Electromagne tisme 2 : Induction

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1 Electromgne tisme : Induction Induction de Neumnn Eercice 1 : Clcul d une force électromotrice induite n dispose d'un cdre crré fie de côté comportnt N spires d'un fil conducteur d'etrémités A et C dns un chmp mgnétique B B0 cos t uy. L normle u cdre fit un ngle θ vec u. Eercice : Inductnce propre d une bobine torique n considère un circuit formé de N spires jointives bobinées sur un tore de section rectngulire. n note h s huteur, et b les ryons intérieur et etérieur. cdre y A C y θ cdre 1/ Déterminer son inductnce propre à prtir de l epression du flu propre. / Retrouver cette inductnce propre pr l méthode énergétique. 1/ Clculer l force électromotrice et qui pprît entre les bornes de sortie A et C du cdre. / Vérifier que le potentiel vecteur en un point M quelconque peut s'écrire B M A. 3/ Clculer pr une utre méthode l force électromotrice et. Eercice 3 : Signe d une inductnce mutuelle Deu spires circulires filiformes orientées, notées (1) et (), de centres 1 et, sont représentées ci-dessous dns trois situtions. Ces spires sont perpendiculires u pln de l figure, l prtie en grs étnt située en vnt de ce pln. L orienttion choisie pour chque circuit est indiquée pr une flèche. Dns les deu premières dispositions, notées α et β, les deu spires sont coiles. Dns l dernière, leurs es sont coplnires et orthogonu. 1 TD : Electromgnétisme

2 Indiquer dns chque cs le signe de l inductnce mutuelle entre les deu spires (en le justifint!). Eercice 4 : Étude epérimentle du couplge pr mutuelle entre deu bobines (1) n dispose de deu bobines identiques B 1 et B, chcune d inductnce propre L et de résistnce ohmique r = 8 Ω. n repère les bornes de chque bobine pr les lettres C et D. Les deu bobines sont plcées à proimité l une de l utre. n les connecte en série sns les déplcer de mnière à créer un nouveu dipôle. L conneion se fit selon les deu possibilités suivntes : n limente successivement chcun des dipôles () et (b) pr un cournt sinusoïdl de fréquence f = kh. L mesure du module de l impédnce donne Z = 375 Ω et Z b = 5 Ω. En déduire les vleurs de l inductnce propre L de chque bobine et de l inductnce mutuelle M des deu bobines. Que vut le coefficient de couplge M k? L Eercice 5 : Étude epérimentle du couplge pr mutuelle entre deu bobines () n considère bobines identiques, formées de N spires circulires de ryon, d'inductnce L, que l'on plce de fçon que les bobinges soient coiu, vec le même sens d'enroulement, l distnce entre leurs centres étnt repérée le long de l'e commun pr l longueur d. n se propose de mesurer le couplge entre les bobines en envoynt dns l'une d'elles, dite bobine 1, une tension tringulire et en comprnt cette tension vec l tension induite dns l'utre, celle-ci étnt en circuit ouvert. n brnché en série entre le générteur de fonction et l première bobine une résistnce R = 100 Ω. n néglige l résistnce des bobines. 1/ Fire le schém du montge. / Les trces observées à l'oscilloscope ont l'llure suivnte : Au bornes du générteur : tension tringulire d'mplitude crête à crête 1,4 V et de période T = 1 ms ; Au bornes de l bobine : tension rectngulire d'mplitude crête à crête A vrible selon d, de période T, en phse vec l tension u bornes de l bobine 1. TD : Electromgnétisme

3 d (en cm) A (en mv) Représenter l'llure des signu visulisés à l'oscilloscope. 3/ En fisnt vrier l distnce d entre les bobines, on observe pour l'mplitude A du signl induit les vleurs suivntes : , ,5 8 4,,4 3/1. Écrire les équtions électriques du circuit. 3/. Étblir l'epression de l'inductnce mutuelle M entre les bobines en fonction de l période T du signl d'entrée, de son mplitude crête à crête Δe, de l'mplitude crête à crête A du signl induit et de l résistnce R. 3/3. Clculer (en mh) l'inductnce mutuelle M entre les deu bobines pour chque vleur de d. Commenter. Eercice 6 : Induction mutuelle entre une bobine torique et un fil infini Principe de l pince mpèremétrique Un solénoïde l forme d'un tore de ryon R et de section crrée de côté. Il est constitué de N spires jointives. 3/ n suppose que I t I t et on mesure 0 cos l'intensité i t du cournt induit dns le tore, que l'on ferme sur un mpèremètre (l résistnce totle du circuit torique vut lors R'). 3/1. Déterminer l vleur i t de l'intensité du cournt qui trverse le circuit torique en régime sinusoïdl étbli. 3/. AN : N = 1000 ; = cm ; R = 5 cm ; ω = 100π rd.s -1 ; R' = 1 Ω. Clculer l mplitude du cournt i t. 3/3. Que se psse-t-il pour Lω très grnd devnt R'? Commenter. Eercice 7 : Clcul du coefficient d inductnce mutuelle entre deu spires Soient deu spires conductrices, de même e, de centres respectifs et Ω, de ryons respectifs et b ( b ), distntes de d, prcourues pr des cournts d'intensité respective I et i. n pose tn. d i Ω b I d α R I n plce suivnt l'e un fil infiniment long prcouru pr un cournt I' (orienté dns le sens des croissnts). 1/ Déterminer le flu Φ' du chmp mgnétique B créé pr le fil à trvers le solénoïde. / En déduire l'inductnce mutuelle M entre les deu circuits. 1/ Clcul simplifié 1/1. Clculer le chmp mgnétique B créé pr l grnde spire u point Ω. 1/. En négligent toute vrition de B dns l région de l petite spire, clculer le flu du chmp mgnétique B à trvers l petite spire, 3 TD : Electromgnétisme

4 puis le coefficient d'inductnce mutuelle M0 entre les deu spires. / n tient mintennt compte des vritions de B u voisinge de l'e. Eercice 8 : Couplge mgnétique entre deu circuits oscillnts n considère le montge de l figure suivnte. /1. Pr des considértions de symétries et d'invrince du problème précises, montrer que :,, B M B r e B r e r r dns l bse cylindrique d'e. /. n note B0 ( ) B (0, ). En ppliqunt le théorème de Guss à trvers le cylindre d'e, situé entre et d, de ryon r est suffismment petit, montrer que l'on peut écrire : r db0 Br ( r, ) ( ). d /3. En ppliqunt le théorème d'ampère le long du contour rectngulire représenté sur l figure ci-contre (r n'est plus supposé petit ici), montrer que : d r d B0 B ( r, ) B0 ( ). 4 d r Les résistnces des deu bobines (circuits rigides et immobiles) sont supposées négligebles. n ppelle L l et L les inductnces propres des deu bobines et M l'inductnce mutuelle des deu circuits (M dépend de l position reltive des deu bobines). n note i l et i les intensités des cournts circulnt dns chque circuit. 1/ n s'intéresse d'bord à l'effet du couplge sur le comportement de deu circuits oscillnts dns le cs du régime libre (cs où et 0 ). Dns tout ce qui suit, on supposer que L1 L L et que C 1 et C sont deu condensteurs identiques de cpcité C. 1/1. Écrire le couple d'équtions différentielles uquelles obéissent les tensions v 1 et v. 1/. Eprimer les solutions générles v v t du régime libre. 1 t et + d r / n chrge le condensteur C 1 (C étnt déchrgé). n rélise le montge de l figure suivnte et on ferme l'interrupteur K à l'instnt t = 0. Les conditions initiles sur v 1 et v sont donc : v 0 v et 1 0 v / Montrer que, si l'on tient compte des développements étblis à l question / le coefficient d'inductnce mutuelle M est égl à : 4 b d B0 M M0 8 ( b I d ) /1. Étblir les epressions v1 t et v t. 4 TD : Electromgnétisme

5 /. n se plce dns le cs d'un couplge fible ( M L). Représenter l llure des courbes v1 t et v t. Quelle serit l llure de ces courbes si on tenit compte des résistnces des bobines d'inductnce L (on ne demnde ucun clcul). 3/ n suppose mintennt que l source de tension et est sinusoïdle : e t E cos t v1 t et v. Eprimer t en régime permnent sinusoïdl. Induction de Lorent Eercice 9 : Ril de Lplce verticl Sur deu rils conducteurs fies, constitués de deu tiges verticles et prllèles distntes de l, glisse sns frottement une tige horiontle MM', de msse m, grâce à deu contcts glissnts M et M'. n considère que l'e est prllèle u tiges verticles et l'e y est prllèle à l tige MM'. n négliger les résistnces de l tige MM' et des rils, insi que le chmp propre produit pr les cournts induits. n produit un chmp mgnétique B uniforme et permnent, norml u pln du circuit formé pr l tige MM' et les rils et dirigé suivnt u. n note g gu l'ccélértion de l pesnteur. 1/ Étudier qulittivement l'évolution du système. / Les etrémités supérieures des rils sont reliées à une résistnce R. L tige MM' est bndonnée sns vitesse initile. n désigner pr i t l'intensité du cournt dns le circuit et pr vt l vitesse de l tige, à l'instnt t. /1. Déterminer l force électromotrice induite e dns l tige MM'. En déduire l'éqution électrique du montge. /3. Étblir l'éqution mécnique du montge. /3. Déterminer l loi d évolution de vt. 3/ Déterminer l puissnce des forces de Lplce et l'eprimer en fonction de biln de puissnce. Eercice 10 : Moteur linéire i t. Conclure sur le Le cdre MNPQ (crré, de côté ) est constitué de N spires. Il se déplce dns le référentiel R à l vitesse vc vc e dns un chmp mgnétique de l forme : B, t Bmcos t e v 0 (où v 0 est une constnte). n ppelle E, t le chmp électrique ssocié à ce chmp mgnétique. y P Q N M 5 TD : Electromgnétisme

6 1/ n ppelle R' le référentiel en trnsltion pr rpport à R à l vitesse vc vc e. A l'ide de l force de Lorent, déterminer l reltion entre EB, dns R et E', B ' dns R'. / Pour quelle vitesse du cdre l fém. induite estelle nulle? 3/ Clculer l fém. induite dns le cdre. 4/ En déduire le cournt induit. 5/ Eprimer l force de Lplce subie pr le cdre à l'instnt t. Quelle est s vleur moyenne u cours du temps? Eercice 11 : Dispositif inspiré des rils de Lplce Les deu brres AA' et CC' se déplcent sns frottement sur deu rils horiontu prllèles, dns un chmp mgnétique verticl uniforme. Les deu poulies sont sns msses, insi que les brres, lesquelles possèdent une résistnce R. Déterminer les vitesses des deu brres à l'instnt t schnt qu'à l'instnt initil elles sont nulles. m' A' A Eercice 1 : Glvnomètre à cdre mobile C' C ABCD est un cdre conducteur, de côté, de résistnce R, de coefficient d'utoinduction négligeble, de moment d'inertie J pr rpport à l'e Ω, constitué d'un enroulement de N spires identiques, de surfce S. Il est suspendu à un fil de torsion Ω, de longueur b, de constnte de torsion C (on rppelle que le couple de rppel qui s'eerce sur le fil s'écrit Γ = -Cα, où α est l'ngle de torsion du fil). m y L'ensemble est plongé dns un chmp mgnétique rdil, de norme constnte : B B0 u AB, où u AB AB est le vecteur unitire colinéire à AB. L position du cdre est repérée pr l'ngle α entre l'e et l normle n u cdre. Qund le système est à l'équilibre, α = 0. Au cours de son mouvement, le cdre est soumis à un couple de frottement fluide d h e. dt Le cdre est fermé sur un circuit électrique comportnt un série un générteur de fém E et une résistnce r. Le système est bndonné sns vitesse dns une position définie pr l'ngle / Que se psse-t-il? / Déterminer le moment des forces de Lplce pr rpport à l'e Ω et l fém induite. En déduire l'éqution mécnique du système puis l'éqution électrique du circuit. n poser 0 4 NB0. 3/ Montrer que l'éqution du mouvement du cdre se met sous l forme : 6 TD : Electromgnétisme

7 d d 0 0 dt dt où τ et ω 0 sont des constntes à déterminer en fonction des crctéristiques du système. Discuter des différents mouvements possibles selon les prmètres du problème. 4/ Montrer que l mesure de l position d'équilibre du cdre permet de déterminer le cournt i circulnt dns le circuit électrique. Eercice 13 : scilltions d une spire dns un chmp mgnétique non uniforme Un cdre crré, de msse m, de résistnce R et de côté, se déplce verticlement dns un chmp mgnétique B B0 b uy. n note k l constnte de rideur du ressort et l 0 s longueur à vide. inférieur qui trempe dns un bin de mercure. L totlité de l surfce de R est plongée dns un chmp mgnétique etérieur uniforme et permnent B0 B0e (l'e est orthogonl u pln de l figure). mercure ω A A l'instnt initil, on communique à l roue une vitesse ngulire ω 0. 1/ Déterminer l'évolution de l vitesse ngulire de rottion de l roue. / Effectuer un biln énergétique entre t = 0 et t. K R C I Eercice 15 : Couplge électromécnique entre deu disques en rottion A l'équilibre, le centre du cdre est à l'ltitude 0. n le lâche de l position 0 Z0 sns vitesse initile. 1/ Étblir l'éqution du mouvement et l résoudre. n négliger les frottements dus à l ir. / Effectuer un biln énergétique entre les instnts t et t+dt. n considère deu disques conducteurs, identiques, de msse m, de ryon et de moment m d'inertie J pr rpport à leur e horiontl, utour duquel ils peuvent tourner sns frottement. n relie pr un fil électrique leurs centres 1 et. Deu points de l périphérie, C 1 et C, sont reliés pr l'intermédiire d'un interrupteur K et d'une résistnce R. n dmet que les cournts les prcourent selon C 1 1 et C. Eercice 14 : Roue de Brlow Une roue de Brlow R est modélisée pr un disque métllique homogène de centre, de ryon, de moment d'inertie J pr rpport à son e horiontl utour duquel elle peut tourner librement. Elle est connectée à un circuit électrique comportnt une résistnce R et un condensteur de cpcité C, entre les points et A, son point 7 TD : Electromgnétisme

8 Initilement, les disques tournent dns le même sens vec les vitesses ngulires ω 10 et ω 0. n les B Be, plonge dns le chmp mgnétique uniforme et constnt. A t = 0, on ferme l'interrupteur K. 1/ Étblir les équtions décrivnt 1 t et t en fonction des données. Représenter leur évolution sur un même grphe. n suppose ω 0 > ω 10. / Étblir l'epression de i t. 3/ Effectuer un biln énergétique entre les instnts t et t dt puis entre t = 0 et t. Commenter. 8 TD : Electromgnétisme