PHY4 (Electromagnétisme 2) Formulaire. Scalaire: un scalaire est un nombre réel (élément de IR)

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1 Formulaire I. Eléments de l analyse vectorielle 1. Quelques définitions: calaire: un scalaire est un nombre réel (élément de IR) Vecteur: un vecteur dans IR 3 est une quantité qui peut être représentée par l ensemble de 3 nombres réels (coordonnées dans un repère orthonormé choisi au préalable). Dans un repère cartésien, par exemple, un vecteur rǫir 3 est caractérisé par la donnée de ses trois coordonnées dans le repère (o; x, y, z): r = x u x + y u y + z u z où u x, u y et u z sont trois vecteurs unitaires formant une base orthonormée de IR 3. remarque: Un vecteur contient deux informations, la norme et la direction. La norme d un vecteur A (i.e. sa longueur) est définie, en coordonnées cartésiennes, par: A = A 2 x + A2 y + A2 z avec A = Ax u x + A y u y + A z u z a direction est donnée par le vecteur unitaire: u = A A 2. Lois de l algèbre vectorielle: oit A, B, C des vecteurs et α, β des scalaires (nombres réels), les lois de l algèbre vectorielle sont: a) A + B = B + A commutativité b) A + ( B + C) = ( A + B) + C associativité c) α(β A) = (αβ) A = β(α A) d) (α + β) A = α A + β A e) α( A + B) = α A + α B 3. Produit scalaire et produit vectoriel: oit A et B deux vecteurs de IR 3, on peut définir deux types de produits entre ces deux vecteurs: Licence 2ème année 1 Mossadek Talby

2 un produit scalaire défini par: A B = A B cosθ où θ est l angle entre les vecteurs A et B et A et B leurs modules respectifs avec A = A 2 x + A2 y + A2 z et B = B 2 x + B2 y + B2 z. un produit vectoriel défini par: A B = A B sinθ u où θ est l angle entre les vecteurs A et B et u est un vecteur unitaire perpendiculaire au plan formé par les vecteurs A et B, dont la direction est donnée par la règle dite du tire bouchon. remarque: le produit scalaire entre vecteurs est un scalaire et le produit vectoriel entre vecteurs est un pseudovecteur Quelques propriétés des produits scalaire et vectoriel: oit A, B et C trois vecteurs de IR 3 et α un nombre réel, on a: A B = B A commutativité A B = B A anticommutativité A ( B + C) = A B + A C A ( B + C) = A B + A C distributivité du p.s. par rapport à l addition distributivité du p.v. par rapport à l addition α( A B) = αa B = A αb α( A B) = αa B = A αb A B = 0 (si A 0 et/ou B 0) A B A B = 0 (si A 0 et/ou B 0) A B 5. Quelques relations vectorielles utiles: oient A, B, C et D quatre vecteurs de IR 3, on peut à partir de ces vecteurs définir les relations vectorielles utiles suivantes: A ( B C) = ( A B) C A ( B C) = B( A C) C( A B) ( A B) ( C D) = ( A C)( B D) ( A D)( B C) 1 un pseudovecteur est un objet qui a les mêmes propriétés qu un vecteur mais qui se transforme différemment sous l opération parité. En effet un vecteur change de signe sous l opération parité alors qu un pseudovecteur est invariant sous cette opération. Pour rappel l opération parité consiste à inverser les coordonnées d espace (x x, y y, z z). Licence 2ème année 2 Mossadek Talby

3 upposons que les vecteurs A et B soient des fonctions d une variables s, on a alors les relations suivantes: d ds ( A B) = d A ds B + A d B ds d ds ( A B) = d A ds B + A d B ds II. Vecteur, élément de vecteur, élément de surface et élément de volume 1. Coordonnées cartésiennes: soit ( u x, u y, u z ) une base orthonormée de IR 3. Pour tout vecteur position r de IR 3, on a: r = x u x + y u y + z u z d r = dx u x + dy u y + dz u z On peut définir une surface orientée d dont les composantes en coordonnées cartésiennes sont donnés par: d x u x d y u y d z u z = dy u y dz u z = dydz u x = dz u z dx u x = dzdx u y = dx u x dy u y = dxdy u z L élément de volume dv en coordonnées cartésiennes s écrit: 2. Coordonnées cylindriques: dv = dxdydz En coordonnées cylindriques, on défini une nouvelle base de décomposition ( u ρ, u ϕ, u z ) qui s écrit en fonction de la base ( u x, u y, u z ) comme suit: u ρ u ϕ u z = cosϕ u x + sinϕ u y = sinϕ u x + cosϕ u y = u z où ϕǫ[0, 2π] est l angle que fait le vecteur u ρ avec l axe x. Il est facile de montrer que (le faire comme exercice): u ρ u ϕ = u z, u ϕ u z = u ρ, u z u ρ = u ϕ D autre part étant donné que u ρ et u ϕ sont fonctions de ϕ, il est facile de montrer que: d u ρ dϕ = u ϕ et d u ϕ dϕ = u ρ Licence 2ème année 3 Mossadek Talby

4 Pour tout vecteur position r de IR 3, on a en coordonnées cylindriques: r = ρ u ρ + z u z = ρ cosϕ u x + ρ sinϕ u y + z u z d r = dρ u ρ + ρ d u ρ dϕ dϕ + dz u z = dρ u ρ + ρdϕ u ϕ + dz u z Les trois composantes de l élément de surface d en coordonnées cylindriques sont données par: d ρ u ρ d ϕ u ϕ d z u z = ρ dϕ u ϕ dz u z = ρ dϕdz u ρ = dz u z dρ u ρ = dρdz u ϕ = dρ u ρ ρ dϕ u ϕ = ρ dρdϕ u z L élément de volume dv en coordonnées cylindriques s écrit: dv = ρdρdϕdz 3. Coordonnées sphériques: En coordonnées sphériques, on défini une nouvelle base ( u r, u θ, u ϕ ) de décomposition qui s écrit en fonction de la base ( u x, u y, u z ) comme suit: u r u θ u ϕ = sinθ cosϕ u x + sinθ sinϕ u y + cosθ u z = cosθ cosϕ u x + cosθ sinϕ u y sinθ u z = sinϕ u x + cosϕ u y où θǫ[0, π] est l angle que fait le vecteur u r avec l axe z et ϕǫ[0, 2π], l angle que fait la projection de u r dans le plan (x, y) avec l axe z. Il est facile de montrer que (le faire comme exercice): u r u θ = u ϕ, u θ u ϕ = u r, u ϕ u r = u θ D autre part étant donné que u r et u θ sont fonctions des angles θ et ϕ, et que u ϕ est une fonction de ϕ, il est facile de montrer que (le faire comme exercice): u r θ = u u r θ ; ϕ = sinθ u ϕ u θ θ = u u θ r ; ϕ = cosθ u ϕ u ϕ θ = 0 ; u ϕ ϕ = sinθ u r cosθ u θ Pour tout vecteur position r de IR 3, on a alors: r = r u r = rsinθ cosϕ u x + rsinθ sinϕ u y + rcosθ u z ( ur d r = dr u r + r θ dθ + u ) r ϕ dϕ = dr u r + rdθ u θ + rsinθ dϕ u ϕ Licence 2ème année 4 Mossadek Talby

5 Les trois composantes de l élément de surface d en coordonnées sphériques sont données par: d r u r d θ u θ d ϕ u ϕ = r dθ u θ rsinθ dϕ u ϕ = r 2 sinθ dθdϕ u r = rsinθ dϕ u ϕ dr u r = rsinθ drdϕ u θ = dr u r rdθ u θ = r drdθ u ϕ L élément de volume dv en coordonnées sphériques s écrit: dv = r 2 sinθ drdθdϕ III. Champ scalaire et champ vectoriel 1. champ scalaire: Un champ scalaire est une application entre l espace physique (i.e. IR 3 ) et l ensemble des réels (i.e. IR). À tout point M de l espace physique IR 3 repéré par le vecteur position r, on associe un nombre réel de par l intermédiaire d une application f: rǫir 3 f f( r)ǫir La fonction f( r) est appelée fonction scalaire ou champ scalaire. exemple: La température. 2. champ vectoriel: Un champ vectoriel est une application entre l espace physique IR 3 et un espace vectoriel de dimension 3 (e.g. IR 3 ). Un champ vectoriel est donc caractérisé par la donnée de trois fonctions. Chacune de ces fonctions est fonction de trois variables réelles (i.e. les coordonnées du vecteur, par exemple le vecteur position r, dont dépond la fonction): exemple: Le vent. rǫir 3 A A( r)ǫir 3 remarque: On dit qu un champ de vecteurs est uniforme si rǫir 3, on a A( r) = V, où V est un vecteur constant. On dit qu un champ de vecteurs est isotrope si pour un point donné de l espace physique la valeur du vecteur champ (i.e. son module) est constante quelque soit la direction choisie pour la mesurée. IV. Opérateurs différentiels 1. Coordonnées cartésiennes: oit un opérateur vectoriel différentiel défini, en coordonnées cartésiennes, par 2 (,, ) et soient U( r) et A( r) deux fonctions, respectivement scalaire et x y z 2 Pour alléger la notation on écrit parfois ( x, y, z ). L opérateur, s appelle Nabla. Licence 2ème année 5 Mossadek Talby

6 vectorielle, dépendantes des coordonnées d espace. On a: U U = ux x + u U y y + u z A A x = x + A y y + A z z ( A Az = ux y A ) y z U z U = 2 U = 2 U x + 2 U 2 y + 2 U 2 z 2 ( Ax + u y z A ) ( z Ay + u z x x A ) x y remarque 1: L opération U, correspond au gradient du champ scalaire U( r), elle s écrit aussi grad U U. grad U est une fonction vectorielle. remarque 2: L opération A, correspond à la divergence du champ vectoriel A( r), elle s écrit aussi div A A. div A est une fonction scalaire. remarque 3: L opération A, correspond au rotationnel du champ vectoriel A( r), elle s écrit aussi rot A A. rot A est une fonction vectorielle. remarque 4: L opération U, correspond au Laplacien du champ scalaire U( r). U est une fonction scalaire. 2. Coordonnées cylindriques: En coordonnées cylindriques, on a: U U = uρ ρ + u 1 U ϕ ρ ϕ + u U z z A 1 = ρ ρ (ρa ρ) + 1 A ϕ ρ ϕ + A z z ( A 1 A z = uρ ρ ϕ A ) ( ϕ Aρ + u ϕ z z A ) ( z 1 + u z ρ ρ ρ (ρa ϕ) 1 ρ U = 1 ( ρ U ) U ρ ρ ρ ρ 2 ϕ + 2 U 2 z 2 3. Coordonnées sphériques: En coordonnées sphériques, on a: U U = ur r + u 1 U θ r θ + u 1 U ϕ rsinθ ϕ A 1 = r 2 r (r2 A r ) + 1 rsinθ θ (sinθa θ) + 1 A ϕ rsinθ ϕ ( A u r = rsinθ θ (sinθa ϕ) A ) θ + u ( θ 1 ϕ r sinθ U = 1 ( r 2U ) + 1 ( sinθ U ) + r 2 r r r 2 sinθ θ θ A r ϕ r (ra ϕ) 1 r 2 sin 2 θ 2 U ϕ 2 ) + u ϕ r ) A ρ ϕ ( r (ra θ) A ) r θ Licence 2ème année 6 Mossadek Talby

7 4. Quelques relations utiles avec l opérateur vectoriel : oit U( r) et V ( r) d une part et A( r) et B( r) d autre part des fonctions respectivement scalaires et vectorielles des coordonnées d espace, on a alors les relations utiles suivantes: U = 0, ( A) = 0, U A et: (U + V ) = U + V (UV ) = U V + V U ( A B) = B ( A) + A ( B) + ( B ) A + ( A ) B de même on a: ( A + B) = A + B (UA) = A U + U( A) ( A B) = B ( A) A ( B) ( A + B) = A + B (UA) = ( U) A + U( A) ( A B) = ( B) A ( A) B + ( B ) A ( A ) B ( A) = ( A) 2 A 5. Quelques relations intégrales utiles: oit U une fonction scalaire et A une fonction vectorielle des coordonnées d espace, on a alors les relations intégrales suivantes: A d s = A dv (Théorème d Ostrogradski) v A d l = ( A) d s (Théorème de tokes) C U d s = U dv v A d s = ( A) dv v U d l = U d s C UA [ ] d s = A ( U) + U( A) dv v B( A [ d s) = ( A ) B + B( A) ] dv v Licence 2ème année 7 Mossadek Talby

8 V. Fonctions dépendantes des coordonnées relatives oit f une fonction scalaire dépendante des coordonnées relatives R = r r, où r et r sont deux vecteurs positions de l espace IR 3 : On a dans ce cas: soit donc: de même on a: f( R) = f(x, Y, Z) = f(x x, y y, z z ) f x = f X X x = f X f = f x X X = f x X f( R) x f( R) y = f( R) x = f( R) y f( R) = f( R) z z Il est donc facile de montrer que: f( R) = f( R) où = u x x + u y y + u z z. En appliquant l opérateur (Laplacien) à la fonction f, il est facile de montrer que: f( R) = f( R) Dans le cas d un champ vectoriel A( R), on a aussi les relations suivantes: A( R) = A( R) A( R) = A( R) i on applique l oppérateur au module du vecteur R (R = R ), on a: R = R = R R = u R où u R est le vecteur unitaire porté par le vecteur R = R u R. Il est facile de montrer que (le faire comme exercice): ( ) 1 = ( ) 1 = u R R R R = R 2 R 3 et ( ) 2 1 = ( ) 2 1 = 0 R 0 R R Licence 2ème année 8 Mossadek Talby