Rappels et compléments sur les vecteurs Notion de barycentre

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1 Rappels et compléments sur les vecteurs Notion de barycentre Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 2010/2011 Table des matières 1 Rappels et compléments sur les vecteurs Quelques rappels Vecteurs égaux Sommes de deux vecteurs Multiplication d un vecteur par un réel Coordonnées dans un repère Vecteurs colinéaires Applications Compléments sur la norme d un vecteur Barycentre de deux points pondérés Définition Homogénéité du barycentre Réduction de somme vectorielle Coordonnées du barycentre Barycentre de trois points pondérés Extension de la définition et des propriétés Associativité du barycentre Barycentre de n points pondérés 10 Ce cours est placé sous licence Creative Commons BY-SA 1

2 TABLE DES FIGURES TABLE DES FIGURES Table des figures 1 Vecteurs égaux Relation de Chasles Somme de deux vecteurs de même origine Multiplication d un vecteur par un réel Cas Multiplication d un vecteur par un réel Cas Premier exemple de barycentre Deuxième exemple de barycentre Utilisation de l associativité du barycentre

3 1 RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES VECTEURS 1 Rappels et compléments sur les vecteurs 1.1 Quelques rappels Vecteurs égaux Différentes façons d exprimer l égalité AB = CD, où A et B sont deux points non confondus ( voir figure 1) : Figure 1 Vecteurs égaux 1. Grâce à une transformation : D est l image de C par la translation de vecteur AB. 2. Par une figure connue : ABDC est un parallélogramme. 3. En termes de milieux : [AD] et [BC] se coupent en leur milieu. 4. Par les caractéristiques des vecteurs : (AB) (CD), c est-à-dire que les vecteurs ont même direction ; on va de A vers B comme de C vers D, c est-à-dire que les vecteurs ont même sens ; AB = CD, c est-à-dire que les vecteurs ont même longueur ou norme Sommes de deux vecteurs Propriété 1 : Relation de CHASLES Pour tous les points A, B, C du plan. AB + BC = AC Figure 2 Relation de Chasles Remarque : L égalité de longueurs AB + BC = AC est en général fausse. Dans la figure 2, on a : AB + BC > AC. 3

4 1.1 Quelques rappels 1 RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES VECTEURS Figure 3 Somme de deux vecteurs de même origine Propriété 2 : Soit AB = u et AD = v. (voir figure 3) Le point C tel que AC = u + v est le quatrième sommet du parallélogramme ABCD. Remarques : 1. La propriété 1 permet de construire une somme de vecteurs en les mettant «bout-à-bout» (l extrémité du premier vecteur est l origine du second). 2. La propriété 2 permet de construire la somme de deux vecteurs de même origine Multiplication d un vecteur par un réel Définition : A et B désignent deux points distincts et k un nombre réel non nul. Si AC = k AB, alors C est le point de la droite (AB) tel que : Si k > 0, AC = k AB et les points B et C sont du même côté de A (figure 4). Si k < 0, AC = ( k) AB et les points B et C sont de part et d autre de A (figure 5). Figure 4 Multiplication d un vecteur par un réel Cas 1 Figure 5 Multiplication d un vecteur par un réel Cas 2 Remarque : Autrement dit : Si k > 0, AB et AC ont même direction, même sens et AC = k AB. Si k < 0, AB et AC ont même direction, sens opposés et AC = ( k) AB. Exercice : 7 page [TransMath] 1. Relation vectorielle dans un quadrilatère quelconque. 4

5 1 RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES VECTEURS 1.2 Vecteurs colinéaires Applications Coordonnées dans un repère ( O ; i ; ) j quel- Dans toute la suite, les coordonnées des points ou des vecteurs sont donnés dans un repère conque. Coordonnées d un vecteur AB : Si A (x A ; y A ) et B (x B ; y B ) alors ( ) xb x AB A y B y A Égalité de deux vecteurs u et v : Si ( ) a u et ( ) a v b b, u = { a = a v si et seulement si b = b Somme de deux vecteurs : Si ( ) a u et ( ) a v b b, les coordonnées de u + ( ) a + a v sont b + b Produit d un vecteur par un réel : Si ( ) a u et si k R, les coordonnées de k ( ) k a u sont b k b 1.2 Vecteurs colinéaires Applications Définition : Soit u et v deux vecteurs non nuls. On dit que u et v sont colinéaires s ils ont même direction. Ainsi, si u = AB et si v = CD, u et v sont colinéaires si (AB) (CD). Remarque : On conviendra que le vecteur nul 0 est colinéaire à tous les vecteurs. Propriété : Soit u et v deux vecteurs non nuls. u et v sont colinéaires si et seulement si il existe un réel k tel que u = k v. Applications : Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB et CD sont colinéaires. Trois points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs AB et AC sont colinéaires. Exercices : 8, 9, 10 page [TransMath] Propriété : Soit (O ; ı ; j ) un repère quelconque du plan. Soit ( ) x u et v y u et v sont colinéaires si et seulement si xy = x y. Exercices : 12, 13 page page page [TransMath] ( x y ) deux vecteurs. 1.3 Compléments sur la norme d un vecteur Définition : La norme d un vecteur u = AB est la longueur AB. On la note u. On a donc u = AB = AB. On dit que u est unitaire si u = 1. Propriété : Soit (O ; ı ; j ) un repère orthonormal du plan. Si ( ) x u alors u = x y 2 + y 2. Remarque : Attention! Ce résultat n est valable que si le repère est orthonormal (sa démonstration utilise le théorème de Pythagore). Exercices : 4, 5, 6 page [TransMath] 2. Alignement, parallélisme. 3. Utilisation d un repère. 4. Plusieurs méthodes. 5. Utilisation des équations de droites. 6. Calcul de normes. 5

6 2 BARYCENTRE DE DEUX POINTS PONDÉRÉS 2 Barycentre de deux points pondérés Activité : Activité 1 page [TransMath] 2.1 Définition Théorème Définition : Soit A et B deux points, α et β deux réels tels que α + β 0. Il existe un unique point G tel que : α GA + β GB = 0 Ce point G est appelé barycentre des points pondérés (A ; α) et (B ; β). Démonstration : α GA + β GB = 0 équivaut à : α GA + β Comme α + β 0, on a donc : AG = Remarques : ( ) GA + AB α GA + β GA + β AB = 0 (α + β) GA + β AB = 0 β α+β 1. Si A et B sont confondus, alors A = B = G. (α + β) AG = β AB = 0 (1) AB, ce qui assure l existence et l unicité du point G. 2. Si a = 0, alors G = B. 3. Pour placer G, il suffit de refaire le calcul 1 pour trouver AG = A, B et G sont toujours alignés. Exemples : Placer, s il existe, le barycentre dans les cas suivants : 1. G barycentre de (A ; 3) et (B ; 2) G existe car 3 + ( 2) 0. On a : 3 GA 2 GB = 0. Ce qui devient, grâce à un calcul similaire au calcul 1 : AG = β α+β AB. En particulier, les points AB = 2 AB. Voir figure 6. Figure 6 Premier exemple de barycentre 2. G barycentre de (A ; 1) et (B ; 2) G existe car On a : GA + 2 GB = 0. Ce qui devient, grâce à un calcul similaire au calcul 1 : AG = 2 1+2AB = 2 3AB. Voir figure G barycentre de (A ; 1) et (B ; 1) G n existe pas car 3 + ( 1) = Équilibre d une tige. Figure 7 Deuxième exemple de barycentre 6

7 2 BARYCENTRE DE DEUX POINTS PONDÉRÉS 2.2 Homogénéité du barycentre 4. G barycentre de (A ; k) et (B ; k) (k 0) G existe car k + k 0. On a : k GA + k GB = 0. Ce qui devient, grâce à un calcul similaire au calcul 1 : AG = k k+k AB = k 2k AB = 1 2AB. G est le milieu du segment [AB]. Dans ce cas, G est appelé isobarycentre de A et de B (il est inutile de donner les cœfficients) Exercices : 14, 15 page , 18, 20 page [TransMath] 2.2 Homogénéité du barycentre Propriété : Le barycentre reste inchangé si l on multiplie tous les cœfficients par un même nombre non nul. C est-à-dire : Si k 0 et G barycentre de (A ; α) et (B ; β) alors G est aussi barycentre de (A ; kα) et (B ; kβ). Démonstration : G barycentre de (A ; α) et (B ; β)doncα GA + β ( GB = 0. En multipliant par k, on obtient : k α GA + β ) GB = 0, soit kα GA + kβ GB = 0. G est donc aussi barycentre de (A ; kα) et (B ; kβ). Exercices : 61, 62 page [TransMath] 2.3 Réduction de somme vectorielle Propriété : Si G barycentre de (A ; α) et (B ; β) alors : Pour tout point M, α MA + β MB = (α + β) MG. Démonstration : G barycentre de (A ; α) et (B ; β)doncα GA + β GB = 0. α MA + β ( ) ( ) MB = α MG + GA + β MG + GB = α MG + α GA + β MG + β GB = α MG + β MG + α GA + β GB }{{} = (α + β) MG = 0 Remarques : 1. En particulier, si α = β = 1 (c est-à-dire G est l isobarycentre, donc confondu avec le milieu I de [AB]), on retrouve l égalité : MA + MB = 2 MI. 2. Cette relation est souvent utilisée pour trouver des ensembles de points (voir exercices). Exercices : 83, 84 page [TransMath] 8. Construction du barycentre. 9. Retrouver les pondérations. 10. Recherche de cœfficients. 11. Ensembles de points. 7

8 2.4 Coordonnées du barycentre 3 BARYCENTRE DE TROIS POINTS PONDÉRÉS 2.4 Coordonnées du barycentre Le plan est rapporté à un repère (O ; ı ; j ). A (x A ; y A ) et B (x B ; y B ). Soit G (x G ; y G ) le barycentre de (A ; α) et (B ; β) (avec α + β 0) En choisissant M = O dans la relation du 2.3, on obtient : (α + β) OG = αoa + βob C est-à-dire : Soit, en passant aux coordonnées : OG = α OA + β OB α + β α + β { xg = α α+β x A + y G = α α+β y A + β α+β x B β α+β y B = αx A+βx B α+β = αy A+βy B α+β Remarque : Les coordonnées du barycentre sont donc les moyennes pondérés des coordonnées des points. On retrouve en particulier les coordonnées du milieu en prenant α = β = 1. Exercices : 45 page 262 et 63 page [TransMath] 3 Barycentre de trois points pondérés 3.1 Extension de la définition et des propriétés Théorème Définition : Soit A, B, C trois points et α, β, γ trois réels tels que α + β + γ Il existe un unique point G tel que α GA + β GB + γgc = 0. Ce point est appelé barycentre des points pondérés (A ; α), (B ; β) et (C ; γ). 2. Pour tout point M du plan, α MA + β MB + γ MC = (α + β + γ) MG Remarques : 1. La démonstration de ce théorème est analogue aux démonstrations du 2.1 et du 2.3. Elle constitue un excellent exercice d entraînement aux manipulations de sommes vectorielles... On trouve : β γ AG = AB + AC α + β + γ α + β + γ 2. Si k R, G est aussi barycentre de (A ; kα), (B ; kβ) et (C ; kγ). 3. Si α = β = γ, G est appelé isobarycentre de A, B et C. On a alors : GA + GB + GC = 0 donc G est en fait le centre de gravité du triangle ABC. Propriété : Coordonnées du barycentre Le plan est rapporté à un repère (O ; ı ; j ). A (x A ; y A ), B (x B ; y B ) et C (x c ; y c ). Soit G (x G ; y G ) le barycentre de (A ; α), (B ; β) et (C ; γ) (avec α + β + γ 0). Alors : { xg = αx A+βx B +γx C α+β+γ y G = αy A+βy B +γy C α+β+γ Remarque : Les coordonnées de G sont donc les moyennes pondérées des coordonnées des points A, B et C. Exercices : 22, 24 page 260 et 26 page page 261, 53 page 264 et 85 page page [TransMath] 12. Coordonnées du barycentre. 13. Retrouver les pondérations. 14. Ensemble de points. 15. Coordonnées du barycentre. 8

9 3 BARYCENTRE DE TROIS POINTS PONDÉRÉS 3.2 Associativité du barycentre 3.2 Associativité du barycentre Propriété : Soit G le barycentre de (A ; α), (B ; β) et (C ; γ) (avec α + β + γ 0). Si α + β 0 et si H est le barycentre de (A ; α), (B ; β) alors : G est aussi barycentre de (H ; α + β), (C ; γ). Démonstration : On a : α GA + β GB + γgc = 0 d où : ( ) ( ) α GH + HA + β GH + HB + γ GC = 0 α GH + α HA + β GH + β HB + γ GC = 0 (α + β) GH + α HA + β HB +γ GC }{{} = 0 = 0 Par suite, (α + β) GH + γ GC = 0 (C ; γ). avec (α + β) + γ 0, donc G barycentre de (H ; α + β) et Exemple d utilisation : Construction du barycentre G de (A ; 1), (B ; 2) et (C ; 4). On note H 1 le barycentre de (B ; 2), (C ; 4). On a : BH 1 = 4 2+4BC = 4 6BC = 2 3BC (voir figure 8 pour la construction). D après la règle d associativité, G est barycentre de (A ; 1) et (H 1 ; 6). En particulier, G (AH 1 ). On note H 2 le barycentre de (A ; 1), (B ; 2). On a : AH 2 = 2 1+2AB = 2 3AB (voir figure 8 pour la construction). D après la règle d associativité, G est barycentre de (H 2 ; 3) et (C ; 4). En particulier, G (CH 2 ). On peut donc construire G comme intersection des droites (AH 1 ) et (CH 2 ) (voir figure 8). Figure 8 Utilisation de l associativité du barycentre Remarque : Si on note H 3 le barycentre de (A ; 1), (C ; 4) on peut aussi montrer que G est sur la droite (BH 3 ). En particulier, les trois droites (AH 2 ), (CH 1 ) et (BH 3 )sont concourantes. Utiliser l associativité du barycentre peut donc aussi permettre de montrer que des droites sont concourantes. Exercice : Essayer d adapter l exemple précédent pour montrer que les médianes d un triangle sont concourantes (penser au centre de gravité, qui est aussi isobarycentre de A, B et C. Exercices : 30, 31, 33 page page 261, 50 page 263 et 66, 67, 69 page page 262, 52 page 263 et 72, 74 page page 267 et 78, 81 page [TransMath] 16. Placer le barycentre. 17. Retrouver les cœfficients. 18. Droites concourantes. 19. Autres applications du barycentre. 9

10 RÉFÉRENCES 4 Barycentre de n points pondérés On peut généraliser la définition et les propriétés précédentes à plus de 3 points : Définition : Soit A 1, A 2,..., A n n points et α 1, α 2,..., α n n réels tels que α 1 + α α n 0. Alors : 1. Il existe un unique point G tel que α 1GA1 + α 2GA2 + + α n GA n = 0. Ce point est appelé barycentre des points pondérés (A 1 ; α 1 ), (A 2 ; α 2 )... (A n ; α n ). 2. Pour tout point M du plan, α 1 MA 1 + α 2 MA α n MA n = (α 1 + α α n ) MG Remarques : 1. Dans un repère, les coordonnées du barycentre sont les moyennes pondérées des coordonnées des points. 2. Le théorème d associativité reste valable pour des barycentres de plus de 3 points. Module : TD2 page [TransMath] Exercices : 39 page 262 et 70 page , 42, 44 page page [TransMath] Références [TransMath] transmath 1 re S, édition 2005 (Nathan) 4, 5, 6, 7, 8, 9, Construire le barycentre de quatre points. 21. Configurations particulières. 22. Associativité du barycentre. 23. Ensemble de points. 10

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