Elaboration sans prototypage du circuit équivalent de transformateurs de type planar

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1 Uivesité Josep Fouie N attibué pa la bibliotèque / / / / / / / / / / / THESE Pou obtei le gade de DOCTEUR DE L UNIVERSITE JOSEPH FOURIER Spécialité : «Géie Electique» Pépaée au Laboatoie d'electotecique de Geoble Das le cade de l Ecole Doctoale «Electoique, Electotecique, Automatique, Télécommuicatio, Sigal» Pésetée et souteue publiquemet pa Xavie MARGUERON Le 3 octobe 6 Elaboatio sas pototpage du cicuit équivalet de tasfomateus de tpe plaa Diecteu de tèse : Jea-Piee KERADEC M. Piee BEAUVILLAIN Pésidet M. Facis PIRIOU Rappoteu M. Buo ALLARD Rappoteu M. Jea-Piee KERADEC Diecteu de tèse M. Géad MEUNIER Co-ecadat M. Hevé STEPHAN Co-ecadat idustiel M. Robet PERRET Ivité

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3 Remeciemets Les emeciemets C'est ue patie du mémoie impotate puisque c'est sûemet celle qui sea lue le plus souvet. Vu les difficultés que j'ai ecotées pou fii les emeciemets "oau" le jou de ma tèse, je me dis que ça e peut pas ête pie, et que je devais éussi à les fii sas avoi à mouille le clavie d'ep3!!! Je l'ai déjà fait ue fois, mais c'était de la bièe qu'il a légèemet igugitée u vededi apès midi su le bloc de so lecteu CD Ca fait maiteat 3 mois tout juste que j'ai souteu il est doc temps d'e fii et d'écie les emeciemets et de cite quelques pesoes qui m'ot accompagé de pès ou de loi pedat ces tois deièes aées jusqu'à la aissace du "bébé" ( B. F.). Comme il est de taditio, je voudais commece mes emeciemets pa les difféets membes du ju : Piee Beauvillai Meci de s'ête déplacé de Pais pou vei péside le ju de ma tèse. Etat u peu etéieu au mode du géie électique, j'espèe que j'ai pu lui mote que os tavau de modélisatio 'étaiet pas déués d'itéêts et de sciece et que les ececes das ce ses sot ecoe pomises à u bel avei. Facis Piiou et Buo Allad qui ot eu la loude tace de appote ma tèse... il faut quad même savoi qu'o leu a laissé evio ue semaie et demie pou igugite et digée les 69 pages du mémoie povisoie. Meci pou leu apidité, leus emaques et sutout meci pou l'attetio qu'ils ot potée à mes tavau. Pou compléte ce ju, meci à Robet Peet, avec so statut d'ivité à cause de sa ouvelle activité de pofesseu à la etaite. E plus de sa paticipatio à mo ju, je souaiteais le emecie pou ce qu'il a su me mote de l'électoique de puissace, des cous e ampi jusqu'à la diectio d'ue équipe de ecece... Que die esuite su mes cefs? Kéké et Gégé J'ai eu, je pese, la cace d'ête ecadé pa le meilleu biôme de tout le laboatoie. Au delà de leus capacités scietifiques (je eviedais là dessus), c'est avat tout leu getillesse, leu boe umeu et leu dispoibilité de tous les istats qui fot d'eu des pesoes icotouables et sutout idispesables. Cette fois je vais commece pa mo Kéké Commet décie Jea-Piee Keadec??? U scietifique? U psicie? U pofesseu passioé? U bo vivat? U aateu? U comique? C'est fialemet u mélage de tous ces temes. C'est le pemaet poce des doctoats, toujous pêt à acote ue aecdote autou d'u café, pale sciece ou campigo das u couloi ou bie ecoe place ue petite blague subtile (que je e compeais pas toujous immédiatemet o se mettait souvet à plusieus pou la compede) au milieu d'ue 3

4 éuio d'équipe. Le "M Tasfo", comme o l'appelle m'aua éomémet appis et c'est sû que sas lui, sas so aide et sas so amitié, aucu de ces tavau 'auaiet vu le jou. J'auais u message à die à ses tésads et à ses étudiats, voie à toutes les pesoes du laboatoie : pofitez-e tat qu'il 'est pas à la etaite ca il a ecoe éomémet de coses à vous appede ;-) Mo deuième cef est tout autat impotat à mes eu. Même si j'ai mois eu l'occasio de tavaille avec, c'est ue pesoe qui m'a beaucoup aidé dès que j'avais u souci. Toujous accueillat (tous les doctoats vous le diot), sa motivatio, sa smpatie et so savoi fot de lui ue pesoalité à coaîte. J'ai u eget, comme je l'ai dit los de ma souteace, c'est qu'il 'ait pas pu vei avec moi e coféece à Miami Meci aussi à mo aute co-ecadat, idustiel cette fois, Hevé Stépa... Cette tèse 'auait pas été possible sas ce soutie fiacie. Meci de m'avoi fait ou plutôt de "ous" avoi fait cofiace das cette tâce. E espéat que ce mémoie soit eploitable et sutout que les ésultats obteus soiet itéessats pou THALES et utilisés das les futus tasfomateus Je souaiteais emecie u cetai ombe de pesoes au laboatoie, cetaies pesoes avec qui j'ai eu ou j'ai ecoe l'occasio de tavaille (tèse et eseigemet) et d'autes simplemet de discute Alos das le désode : Tua (le mie, pas celui d'gami), Betad R., Olivie C., Reé, Jéémie, Yva, Mac B., Djidji, Emmauel, Rap, Gilles, Hicem, Lalao, Jea-Louis, Jea-Cistope, Viet, Bi, Jea-Paul, Yves, James, POJ, Aima, Ewa, Elisabet, Cistia, Jea-Luc, Gaël, Ma, Haizea, Amaia etc sas oublie les quate pesoes sas qui le labo e toueait pas et qui se sot toujous aagées avec mes istoies difficiles d'aget (mo CDI de catie), d'isciptio, de taspot, de fa pou les Etats Uis etc : Jacquelie, Daielle, Elise et Moique!!!! Ue pesée peut-ête à tous les céateus de l'espit EPTE sas les cite ca ils sot ombeu. J'espèe avoi été dige, malgé ma Mai Molle (et la demie su la oute du etou de Bulgaie) Si vous aviez ue boe opiio de moi, vous pouvez vous aête là... Il me este pas mal de pesoes "plus poces" à emecie alos commeços pa les ges du labo ***Ciblos le bueau D55 : Meci... Les actuels : Bej' : mo copai d'puis l'iut toujous assis au e ag, mais toujous là (ou pesque) pou u apéo-sta Was Comme o disait : DEGACHE!!!!! 4

5 Ale : à qui j'ai sifflé ue patie du ba fa de foot, de legos, de Matsé et de dopame Gubus "Le Gad" : J'veu ête clai (d'accod mais moi je este Gat), so ombe plae su tous les doctoats d'epte depuis maiteat quelques gééatios. Meci à toi mo gas! Hevé : Le doe Je vais fialemet aive à evoe ma tèse avat lui!!! Futu esposable de la filièe EPTE, de la salle EPTE voi Cef de MADEA il est pomis à u gad avei i te GElab wold Nico : Cet omme est éevat puisqu'il est doué e tout C'est u peu le poblème avec cetais agégés, mais celui-là, je vous le coseille, soit pou pale sciece, soit OM, soit Guitae! Rock 'N Roll. Dimitios : il possède plusieus suoms dot le vedeu de Kebab ou ecoe Gec le Missioaie Les acies : Gami : Mo 'BBYSH, mo copai d'pot, mo copai d'bueau, mo copai d'jujitsu, mo copai d'musique, mo copai d'apéo 'BBYSH Tem All!!! Back Fauel : mo Maîte il m'a tout appis j'ai éussi à le ede malade la boucle est bouclée e tout cas meci pou tout pace que toi mo gas, toi mo gas et ba :'( "O se souvieda" Biz à sa policewoma! Kiki : le casseu de OsaitPasTopQuoi Ouaic 7-3 epésete, qui comme tous les savoads et moi le pemie e possédait que 5 slips Jo Peg : Sa tèse estea LA éféece Temblez futus tésads de Sceide ca ce gas la vous a déjà fait du mal!!! Les filles : Nat' : la blode Tout le mode ous a evié d'ête amis avec cette fille A ma collègue de pomo je diai boe cotiuatio au pas de la saucisse et de la bièe et à tès bietôt Maia : la bue Meci pou le voage e Bulgaie Ca estea u tès fot momet de ces 3 aées Co : Supe admi Toujous là pou ous faie foctioe ces p de logiciels, mails et autes essouces mpomatiques Adi : Tu as tès bie fait de coisi u savoad :-D Aude : Tu as tès bie fait de coisi le labo pou faie to stage :-D 5

6 ***Tout e ous éloigat : Meci... Le cobeau du LEG et so fils, le cobeau du GElab Les ouveau : Abdel (la tès boe elève) Mes stagiaies : Alfed (Cato, mo biôme de l'iut), Julie, Queti, Husse, Auelie, Yves et Hamza Les oumai(e)s : Da, Biaca et Maia Les musicies : Step, Atoie ***E sotat du labo : Meci... Les bièes : Ko, Heieke Les fèes Betom Les autes Ibbs et attacés : Pilou (et sa matou), JR, le Be, Lapi, Rap, Tamb Les saucissos : Justi Bidou (avec et sas oisettes) Les Mets : Las, Jamz, Kik, Robet, Jaso et Cliff Les Macels : Mouloud, James, JB, Bouli, Tof, Tibal Les Tamtama (Rdv le 4 mai à Mela) La baguetteie WWtdd.com Et pis sutout Les BLUM (à vote avis, je suis où das le goupe???) : Alf (CLC), Lioel (Jack), Oliv' (Pae), Pieick (Clow), Bej' (BeBe) 6

7 Mes collègues z'et amis musicies : Jacques, Gab, Este, Clémece, Célie, Lauet, Auélie, Caole eu... (et les 8 autes qui e sot pas veus)! Mes avat-deièes pesées vot à ma famille. Meci de vous ête déplacés e ombe! C'était tès émouvat et vous 'êtes pas iocets au fait que j'ai complètemet caqué à la fi de la souteace Meci d'avoi accepté/suppoté mes coi et tout le este efi MERCI pou tout! Et puis il este ma Loa... Meci au pas de l'est et sutout à toi, pou tout ce que tu m'as déjà appoté et tout ce que tu m'appotes au quotidie! Je e emecie pas : CèvePasLaC... et CeluiQuiSeBaladeSasCaussue :-D Taks a lot fo comig... See a et ea (ou pas), same place... X. 7

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9 Table des matièes Table des matièes INTRODUCTION GENERALE 3 CHAPITRE : TOPOLOGIE DES CIRCUITS EQUIVALENTS 9 I. INTRODUCTION II. CIRCUITS TRADITIONNELS II.. Coupleus pafaits II.. Scéma gééal pou u tasfomateu à deu eoulemets 3 II.3. Tasfomateus à eoulemets multiples 5 II.3.a. Scéma taditioel pou u tasfomateu à tois eoulemets 5 II.3.b. Pésetatio d'autes modèles et de leus limites 6 III. SCHEMAS EQUIVALENTS POUR N-ENROULEMENTS 8 III.. Pésetatio ituitive 9 III..a. Tasfomateu à deu eoulemets 9 III..b. Tasfomateu à tois eoulemets 9 III..c. Tasfomateu à quate eoulemets et gééalisatio 3 III.. Appoce téoique 3 III..a. Epessio de l'éegie d'u sstème das difféetes bases 3 III..b. Cagemet de base : Eemple patique 33 III.3. Simplificatios des scémas équivalets 33 III.3.a. Idetité de deu eoulemets 34 III.3.b. Couplage domiat 35 III.3.c. Couplage égligeable das le tasfomateu de fuite 36 IV. APPLICATIONS DES SCHEMAS EQUIVALENTS 37 IV.. Modélisatio des coupleus sous Pspice 37 IV.. Iductace tipasée 38 IV.3. Tasfomateu tipasé 4 V. CONCLUSION 43 CHAPITRE : IDENTIFICATION EXPERIMENTALE 45 I. INTRODUCTION 47 I.. Commet élaboe le cicuit équivalet d'u tasfomateu? 48 I.. Impédaces à vide, e cout cicuit et elatios das u quadipôle 49 I.3. Sépaatio Statique-damique 5 I.4. Sépaatio de la patie électostatique 5 I.5. Costates localisées ou épaties? 5 I.6. Pise e compte de la vaiatio féquetielle des élémets 53 II. LES MESURES D IMPEDANCES 54 II.. Mesue voltampèemétique et autes teciques 54 II.. Mesues "4 fils" 55 II.3. Métode du pot auto calibé 56 II.4. Poblèmes de mesue et ecommadatios 57 II.4.a. Commet coisi les mesues à effectue? 57 II.4.b. Itéêt de la mesue edodate 58 II.4.c. Compesatio du pot d'impédace 58 II.4.d. Quelques pécautios utiles 6 II.4.e. Limites patiques des mesues iductives et ésistives 6 II.4.f. Mesue valide ou o? 63 III. CARACTERISATION EXPERIMENTALE DU MODELE INDUCTIF 63 9

10 Table des matièes III.. Calcul et gadeus complees 63 III.. Caactéisatio d'u tasfomateu deu eoulemets 64 III..a. Impédaces mesuables 64 III..b. Idetificatio d'u tasfomateu à deu eoulemets 65 III..c. Applicatio à u tasfomateu toique 66 III..d. Détemiatio de l'impédace d'u cout cicuit 68 III.3. -eoulemets 69 III.3.a. Déombemet des impédaces et gééalisatio 7 III.3.b. Eemple d'u tasfomateu plaa à tois eoulemets 7 III.3.c. Coclusio su la gééalisatio 8 IV. VERS UN MODELE COMPLET L'ASPECT CAPACITIF 8 IV.. Quelques appels 8 IV.. Aspect patique pou u tasfomateu à tois eoulemets 8 IV.3. Validatio pou le tasfomateu tois eoulemets 83 V. VALORISATION D'UNE CARACTERISATION H.F. 85 VI. CONCLUSION 87 CHAPITRE 3 : CALCULS ANALYTIQUES DES PARAMETRES STATIQUES DU TRANSFORMATEUR DE FUITES 89 I. INTRODUCTION 9 I.. Défiitio des iductaces de fuites 9 I.. Pouquoi est-il impotat d'évalue u tel paamète? 9 I.3. Etat de l'at 93 II. METHODE DE CALCUL DES INDUCTANCES DE FUITE STATIQUES 94 II.. Simulatio Flu3D et obsevatio 94 II.. Hpotèses de calcul 95 II.3. Picipe de calcul 96 II.4. Potetiel vecteu et iductio d'u méplat ifii 97 II.4.a. Epessios aaltiques 97 II.4.b. Validatio des epessios 98 II.5. Pise e compte du cicuit magétique 99 II.5.a. Cicuit magétique supposé "ifii" II.5.b. Cicuit magétique d'épaisseu fiie II.5.c. Milieu ifii ou épaisseu fiie? 3 II.6. Calcul de desité d'éegie et itéêt du potetiel vecteu 4 II.6.a. Itégatio uméique 5 II.6.b. Itégatio aaltique 5 II.7. Cemi moe 7 II.8. Stèse de la métode 8 III. APPLICATION A UN TRANSFORMATEUR EP3 9 III.. Desciptio du tasfomateu 9 III.. Compaaiso des éegies III..a. Simulatio 3D et simplificatio e D III..b. Itégatio de l'éegie pa AJ et BH III..c. Simulatios et calculs aaltiques III.3. Evaluatio de l'iductace 3 IV. APPLICATION A UN TRANSFORMATEUR PLANAR 5 IV.. Desciptio du tasfomateu 5 IV.. Iductace de fuite pimaie/auiliaie 6 IV..a. Desciptio des eoulemets 6 IV..b. Fome des camps et éegies 6 IV..c. Evaluatio de l'iductace de fuite 8 IV.3. Homogééisatio patielle des eoulemets 8

11 Table des matièes IV.4. Iductace de fuite Pimaie/Secodaie IV.4.a. Desciptio des eoulemets IV.4.b. Fome des camps et éegies IV.4.c. Evaluatio de l'iductace de fuite V. EXTENSION AU TRANSFORMATEUR DE FUITE VI. CONCLUSION ET LIMITES DE CETTE METHODE 5 CHAPITRE 4 : TECHNIQUES ANALYTIQUES DE CALCUL DES PERTES CUIVRE ET DES FUITES DYNAMIQUES 7 I. INTRODUCTION 9 II. LES DIFFERENTS TYPES DE PERTES H.F. DANS LE CUIVRE 3 II.. Effet de peau 3 II.. Effet de poimité 3 II.3. Couats de ciculatio 3 II.4. Téoème d'otogoalité 33 III. CALCULS EXACTS DES COURANTS INDUITS DANS LES CONDUCTEURS 35 III.. Equatio à ésoude et coditios au limites 35 III.. Poblèmes ésolus 36 III..a. Plaques ifiies 36 III..b. Fil clidique 37 III.3. Fil méplat ectilige 39 III.3.a. Simulatio d'u méplat 39 III.3.b. Décompositio de la desité de couat double polôme de Legede 4 III.4. Coclusio su le calcul eact des couats iduits 4 IV. CALCULS BASES SUR DES APPROXIMATIONS 4 IV.. Métode de Dowell 4 IV..a. Picipe de la métode 4 IV..b. Résistace et iductace d'ue associatio de plaque 43 IV..c. Equivalece appe de coducteus-plaque 45 IV..d. Limites e gééal et das les tasfomateus plaa 46 IV.. Cicuits équivalets de plaques 47 IV..a. Cicuit équivalet associé à ue plaque 47 IV..b. Epessios des impédaces pou les tois tpes de plaque 5 IV..c. Plaque costituée de fils paallèles coectés e séie 5 IV..d. Goupemet de plaques coductices idetiques 5 IV..e. Illustatio de la métode 55 IV.3. Peméabilité complee 56 IV.3.a. Equivalece pou ue plaque-modèle D 57 IV.3.b. Etesio au modèle D et limites 58 IV.3.c. Equivalece pou u éseau ectagulaie de fils méplats-applicatio au tasfomateus plaa 59 IV.3.d. Coclusio su la métode de la peméabilité complee 6 IV.4. Métode PEEC 6 IV.4.a. Picipe de la métode PEEC 6 IV.4.b. Pise e compte des matéiau magétique-etesio au PEEC 63 IV.4.c. Ves ue fomulatio aaltique des couats de suface pou des feêtes de tasfomateu 64 IV.4.d. Eemple de calcul : Fil das u clidique magétique 65 IV.4.e. Impotace de la mise e paallèle 68 IV.4.f. Pespectives ouvete pa la métode PEEC 7 V. CONCLUSION 7

12 Table des matièes CHAPITRE 5 : DEVELOPPEMENTS TECHNOLOGIQUES POUR LA REDUCTION DES PERTES CUIVRE : DES TRANSFORMATEURS PLANARS AUX CONDUCTEURS MEPLATS 73 I. INTRODUCTION 75 II. PERTES SUPPLEMENTAIRES LORS DE LA MISE EN PARALLELE DE CONDUCTEURS 76 II.. Ifluece des couats das u tasfomateu plaa 76 II.. Pise e compte de ces couats de ciculatio 77 II..a. Modélisatio des couces secodaies uiquemet 78 II..b. Modélisatio du tasfomateu complet 79 II.3. Réductio des couats de ciculatio 8 III. BLINDAGE PAR DES CONDUCTEURS ECRANS DANS UN COMPOSANT BOBINE 8 III.. Effets de blidage das u tasfomateu plaa 8 III.. Réductio des petes pa déplacemet de coducteus 8 III.3. Réductio des petes cuives das ue iductace 85 IV. GUIDAGE DU FLUX DANS LES TRANSFORMATEURS 87 IV.. Picipe de la métode 87 IV.. Deu coducteus méplats pacouus pa des couats de ses iveses 89 IV.3. Deu coducteus méplats das lesquels les couats ciculet das le même ses. 9 IV.4. Coducteu méplat seul 93 V. MINIMISATION DES PERTES DANS UN CONDUCTEUR MEPLAT 94 V.. Desciptio du dispositif étudié et but ececé 94 V.. Idetificatio et ecéatio des camps 95 V.3. Picipe de l'optimisatio 99 V.4. Résultats de l'optimisatio 99 V.4.a. Optimisatio de Re(a ) et Im(a ) 99 V.4.b. Optimisatio de Re(a 4 ) et Im(a 4 ) V.4.c. Optimisatio de Re(a ), Im(a ), Re(a 4 ) et Im(a 4 ) V.4.d. Coclusio su les optimisatios VI. CONCLUSION CONCLUSION ET PERSPECTIVES 3 BIBLIOGRAPHIE 9 ANNEXE I : CALCUL DU CHAMP MAGNETOSTATIQUE CREE PAR UN FIL RECTILIGNE SUR UN MILIEU MAGNETIQUE SUPPOSE INFINI 7 ANNEXE II : CALCUL DU CHAMP MAGNETOSTATIQUE CREE PAR UN FIL RECTILIGNE SUR UN MATERIAU MAGNETIQUE D'EPAISSEUR FINIE 7 ANNEXE III : FEUILLE DE CALCUL MATHCAD DES INDUCTANCES DE FUITES STATIQUES 39 ANNEXE IV : DOUBLE INTEGRALE DES POLYNOMES DE LEGENDRE POUR LE CALCUL DU POTENTIEL VECTEUR DANS UN MEPLAT 6 ANNEXE V : QUADRIPOLE EQUIVALENT A N QUADRIPOLES IDENTIQUES CONNECTES EN CASCADE 65 ANNEXE VI : FONDEMENT DU DEVELOPPEMENT MULTIPOLAIRE 7

13 Itoductio gééale INTRODUCTION GENERALE 3

14 Itoductio gééale 4

15 Itoductio gééale Le développemet de l'électoique de puissace a cou, depuis ue vigtaie d'aée, u esso emaquable. Des covetisseus de plus e plus pefomats et de plus e plus petits sot pésets das la plupat des dispositifs utilisés quotidieemet : télépoe potable, odiateus Homis le coût, les deu péoccupatios pioitaies des développeus sot l'ecombemet et le edemet. Les edesseus, aceus et autes alimetatios à découpage ot doc subi des évolutios impotates tat au iveau de leu stuctue que de leus composats actifs et passifs. La miiatuisatio des alimetatios a, e gade patie, été facilitée pa l'élévatio des féqueces de découpage, ce qui 'est pas sas iduie u cetai ombe de cotaites au iveau des composats. E effet, pou ue puissace équivalete, ue dimiutio de taille écessite souvet u cagemet de tecologie et de ouveau poblèmes appaaisset. Plus u composat est petit, plus le edemet est essetiel puisque les caloies sot plus difficiles à évacue d'u petit composat. Au coeu des covetisseus, les tasfomateus sot u élémet essetiel qui pemet le tasfet de l'éegie, l'adaptatio des iveau de tesio et de couat et l'isolatio galvaique de deu paties d'ue alimetatio. Leu edemet doit ête élevé afi de tasfée l'éegie sas péalise le edemet global. Das ue optique de éductio de dimesios, les composats bobiés, "classiques", se etouvet limités puisque ces deies sot bobiés avec du fil de cuive (émaillé ou de tecologie Litz), dot o e peut dimiue la sectio. Pou sumote ce poblème, les composats plaas ot été itoduits. Les tasfomateus plaas (ou les iductaces) sot costitués d'u cicuit magétique mice (gééalemet e feite usié) das lequel o isèe u cicuit impimé (PCB multicouce) su lequel les spies sot gavées (Figue ). La tecologie de cicuit impimé pemet d'obtei des coducteus d'épaisseus éduites (de 5 m jusqu'à ue cetaie de m). Aisi l'empilage de ombeuses couces de coducteus das u espace éduit deviet possible. E oute, losqu'elle est bie maîtisée, cette tecologie pocue des edemets souvet supéieus à 98.5% et elle favoise l'évacuatio des caloies à taves le cicuit magétique. Cicuit magétique plat PCB multicouce Figue : Tasfomateu de tpe plaa 5

16 Itoductio gééale Toué ves le macé aéoautique, ote pateaie idustiel, THALES, développe des alimetatios pou toutes les foctios (picipales et de secous) pésetes das des avios militaies ou civil. Suivat l'applicatio visée, les cotaites diffèet et, ete le poids et le edemet, la pioité 'est pas placée de la même faço. Tpiquemet, pou des applicatios militaies, les edemets les plus élevés sot ececés de même qu'u volume miimum, alos que, pou l'aviatio civile, la taille est pimodiale mais le edemet est mois citique. Pou des composats bobiés de stuctue classique, le savoi actuel est tel que les cocepteus pavieet souvet à cocevoi le tasfomateu satisfaisat le caie dès le pemie pototpe. Pou les composats plaas, les coaissaces e sot pas suffisates pou pétede à ue efficacité compaable. E effet, même si le picipe de foctioemet est le même das les deu cas, la fome des coducteus utilisés, aisi que leu dispositio das les feêtes des tasfomateus, e pemettet pas d'applique les mêmes ègles de coceptios. La coceptio d'u tasfomateu, passe pa plusieus pases : aalse du caie des cages, calcul des paamètes, validatio pa simulatio uméique, pototpage, mesues (Figue ). Le développemet de ouvelles alimetatios eploitat des tasfomateus plaas, écessite ue logue pase de pototpage, basée su ue métode de tpe essai-eeu, coûteuse e temps et, bie etedu, e aget. Logiciel élémet fii Aalse du caie des cages Calcul/Dimesioemet du tasfomateu Validatio pa simulatio élémets fiis Pototpage Mesues Caactéisatio du pototpe Composat coespodat au caie des cages? NON OUI Composat Validé Figue : Sopsis de la coceptio d'u tasfomateu Aat e vue les éductios de temps et, sutout, de coût du pototpage, les tavau de cette tèse viset à foui des outils, basés su des fomulatios aaltiques, pou aide à cocevoi et à dimesioe les tasfomateus plaa. Les fomulatios aaltiques pésetet deu itéêts picipau. Pemièemet, elles sot essetielles pou évite (ou du mois limite) le ecous à des simulatios électomagétiques pa élémets fiis, qui peet beaucoup de temps. Deuièmemet elles ouvet les pespectives d'optimisatios. E effet, les logiciels actuels 6

17 Itoductio gééale d'optimisatio écessitet le ecous à des "foctios objectifs" qui doivet ête miimisées e utilisat des algoitmes. Les optimisatios uméiques (à l'aide de logiciels élémets fiis) état à l'eue actuelle impossibles vue la compleité des poblèmes taités, l'appoce aaltique paait bie mieu adaptée pou ajuste u paamète à ue valeu désiée. Le but de cette tèse est doc de compede les péomèes itees au tasfomateus plaas et de les fomule aaltiquemet afi de pouvoi élaboe, sas avoi ecous à des simulatios, i à des mesues, le cicuit équivalet de tasfomateus de tpe plaa et ce, e vue de pouvoi pédie so compotemet e foctio de la féquece. Avat de pouvoi atteide ce but, difféetes étapes ot été facies pogessivemet, e s'aidat de mesues et de simulatios pa élémets fiis pou valide os appoces. Das le pemie capite de ce mémoie, ous ous itéessos à la epésetatio, pa u cicuit équivalet, du couplage magétique des tasfomateus. Même das l'potèse simplificatice d'u foctioemet liéaie, peu de cicuits équivalets ot été poposés pou epésete ce couplage losque le ombe d'eoulemets dépasse tois. L'équipe du LEG a pogessivemet itoduit ue métode gééale d'élaboatio de ces cicuits qui est maiteat bie étaée et qui a été testée su de ombeu cas patiques. Ces cicuits fouisset atuellemet l'ossatue des cicuits epésetat le compotemet complet du tasfomateu. C'est pouquoi ous faisos ue pésetatio stétique de cette métode e mettat e lumièe cetaies popiétés dégagées duat ce tavail aisi que des applicatios ouvelles. Das le capite, ous pésetos ote faço d'idetifie les paamètes du cicuit équivalet e patat de mesues d'impédaces. Bie etedu, le cicuit équivalet ececé e se boe pas à epésete le couplage magétique. E peat l'eemple d'ue iductace pou justifie la démace, ous sépaos les effets électostatiques et les petes statiques du composat pou bâti u cicuit équivalet qui ped tout e compte, compis les vaiatios féquetielles des petes et des iductaces. Pou idetifie les élémets de ce cicuit équivalet gééal, ous pouvos eleve ue multitude d'impédaces distictes ete les boes d'u eoulemet aussi bie qu'ete deu eoulemets. La statégie guidat le coi des mesues à effectue est pésetée. Efi, les poblèmes iéets au mesues elles-mêmes sot détaillés avec ue attetio paticulièe potée au impédaces faibles et à l'icidece des couts-cicuits. Avec le capite 3, ous commeços la détemiatio des élémets du cicuit équivalet à l'aide de fomule aaltiques. L'évaluatio des ésistaces des eoulemets, aisi que de l'iductace magétisate d'u tasfomateu e posat pas de poblèmes paticulies, ous ous itéessos das ce capite à la détemiatio des élémets statiques de ce que ous appelos "tasfomateu de fuite". Ce deie est costitué d'iductaces de fuites et de 7

18 Itoductio gééale coupleus pafaits. Leus valeus sot détemiées à des féqueces iféieues à celles ou les couats iduits se développet das les coducteus. La métode de calcul est basée su la détemiatio de l'éegie de fuite à l'itéieu des feêtes du tasfomateu e utilisat des fomules aaltiques coues pou des coducteus ectagulaies : celles eploitées pa la métode PEEC. Les calculs aaltiques sot compaés à des simulatios électomagétiques aisi qu'à des mesues effectuées su deu pototpes de coceptios difféetes. Nous abodos esuite, das le capite 4, l'étude des couats iduits das les coducteus ectagulaies. Losque la féquece du couat augmete, sa épatitio das u coducteu 'est plus uifome. Il s'esuit ue augmetatio des petes (de la ésistace appaete) et ue dimiutio de cetaies iductaces. Ces modificatios doivet ête pises e compte los du dimesioemet d'u tasfomateu. Les tasfomateus plaas fot appel à des coducteus ectagulaies aplatis : des méplats. Pou ce tpe de coducteu, la solutio eacte de l'équatio de diffusio qui égit les couats iduits est idispoible et seules des solutios appoimatives sot poposées das la littéatue. Nous pésetos bièvemet plusieus d'ete elles : la métode de Dowell, la métode des cicuits équivalets de plaques et ous itoduisos la métode PEEC. U début de solutio aaltique de l'équatio de diffusio das u méplat, basé su les doubles polômes de Legede est itoduit das ce capite. Le capite 5 est dédié au amélioatios tecologiques. E pemie, ous utilisos ue des métodes pésetées au capite pécédet pou étudie les couats de ciculatios supplémetaies qui ciculet das les spies e paallèles d'u tasfomateu plaa, foui pa ote pateaie idustiel. Nous motos esuite que la éductio des petes das les tasfomateus plaas est possible si o tie pofit des effets de blidage pocués pa des coducteus écas. Le tasfomateu plaa utilisat majoitaiemet des coducteus méplats, ous tetos efi de éduie les petes d'u coducteu méplat e jouat su so evioemet. Cetais ésultats sot pobats. Ils icitet à appofodi la éfleio duat la pase de coceptio du composat. Pou fii, u camp etéieu vaiable est appliqué à u méplat pacouu pa u couat das le but de modifie la épatitio de so couat. Nous touvos aisi quelle fome de camp miimise les petes pa effet de peau du méplat. 8

19 Capite : Topologie des cicuits équivalets CHAPITRE : Topologie des cicuits équivalets 9

20 Capite : Topologie des cicuits équivalets

21 Capite : Topologie des cicuits équivalets I. INTRODUCTION La simulatio e électoique de puissace s'est pogessivemet imposée comme ue pase icotouable de la coceptio. E effet, cet outil pemet de limite le ecous au métodes de tpe essai-eeu et, e coséquece, il éduit le coût de développemet. Toutefois, obtei des pévisios fiables écessite de dispose d'ue pat, de logiciels appopiés et, d'aute pat, de modèles epésetat le compotemet des élémets costitutifs du sstème. U modèle e peut ête foui seul. Il doit ête accompagé des potèses su lesquelles il se fode, de so domaie de validité aisi que de la métode d'idetificatio des difféetes gadeus qui le caactéiset. Les tasfomateus utilisés e électoique de puissace 'etet e gééal pas e satuatio et ils sot éalisés autou de oau feites. Ceci ous autoise à accode u lage cédit au modèles liéaies. Cette potèse simplificatice état adoptée, il este, pou que les pévisios soiet fiables losque les sigau sot cagés e amoiques, à développe des modèles pécis su ue lage gamme de féquece (au mois jusqu'à di fois la féquece de tavail du motage). Ceci 'est pas simple losque les composats comptet tois, quate, ciq eoulemets ou plus. Les tasfomateus multi-eoulemets se aget pami les composats les plus complees à modélise sutout losqu'ils possèdet plus de tois eoulemets. Nous allos appele, das ce capite, les difféetes topologies de cicuits équivalets, développées pa l'équipe du LEG, los de pécédets tavau [COGITORE-94], [SCHELLMANNS-99-]. Los de la modélisatio de ces tasfomateus, les effets magétiques et capacitifs peuvet ête complètemet sépaés. Pou illuste ce aisoemet, cosidéos ue simple iductace. Le scéma équivalet de ce composat peut s'obtei e associat des élémets discets (costates localisées). A pati du momet où u fil est bobié su u oau magétique, l'iductace L s 'est pas idéale. Il faut lui ajoute ue ésistace séie s qui epésete la ésistace des fils et ue ésistace de petes paallèles petes dues au cicuit magétique. R f qui ed compte sommaiemet des Losque la féquece augmete, la tesio qui appaaît ete les spies poces est esposable d'u couat capacitif de mois e mois égligeable. Il coviet d'itoduie cet effet ( C ) das le scéma iitial (Figue -). fil

22 Capite : Topologie des cicuits équivalets C fil R f L s s Figue - : Cicuit équivalet d'ue iductace Le cicuit obteu mote que les aspects magétique et capacitif peuvet ête découplés selo la Figue -. E basse et moee féquece, seule la patie magétique, qui iclut les petes, est impliquée. E evace, e aute féquece, la patie capacitive est pépodéate. Couplage iductif V V Couplage capacitif V 3 Figue - : Sépaatio magétique/électostatique Das ce capite, ous ous itéesseos uiquemet au couplage magétique. Ce tpe d'étude a déjà doé lieu à de ombeuses publicatios, caque auteu poposat so pope scéma, applicable das cetaies coditios. [ROBERT-99] ecese les difféets cicuits équivalets poposés, pou e dégage les plus itéessats. Afi d'élaboe des cicuits équivalets aussi gééau que possible, ous avos adopté ue appoce éegétique [MARGUERON-4]. Le tavail péseté abouti à des ésultats gééau qui s'appliquet pleiemet à l'électoique de puissace. Des modèles simplifiés mais gééiques sot poposés pou cetais tpes de tasfomateus commus. II. CIRCUITS TRADITIONNELS U cicuit équivalet de tasfomateu se décompose doc e ue patie magétique et ésistive d'u coté et ue patie capacitive de l'aute. Les cicuits qui e ésultet sot composés d'iductaces, de ésistaces, de capacités et de coupleus, ces deies composats pemettat de epésete les lies éegétiques ete les difféets eoulemets. Das cette patie, ous allos ous itéesse au compotemet magétique des tasfomateus et voi de quelle faço les tasfomateus à plusieus eoulemets sot taditioellemet décits. II.. Coupleus pafaits Avat d'abode l'élaboatio de modèles, il est impotat d'itoduie la otio de coupleu. E effet, ce composat pemet de taduie tout couplage passif, qu'il soit magétique ou électostatique. C'est ue epise du "tasfomateu pafait", utilisé depuis logtemps pa les

23 Capite : Topologie des cicuits équivalets électotecicies mais, désomais, so appot idépedat de la féquece 'est plus sstématiquemet doé pa u appot de ombe de spies. Pou ces composats (Figue -3), les tesios et les couats e etée et e sotie sot das u appot costat. Ils sot défiis pa les elatios (.) pou le coupleu simple et (.) pou le coupleu à multiples etées. V V = et I η I (.) ηv η3v3 = =, V = η3v3 et I3 η 3I η3i = (.) I 3 η 3 I I 3 η 3 I I η I V 3 V V 3 V V V η 3 I η 3 I V V a b c Figue -3 : Coupleus pafaits a : Coupleu simple b : Coupleu à multiples etées c : Coupleu à multiples etées (simplifié) II.. Scéma gééal pou u tasfomateu à deu eoulemets Du poit de vue magétique, u tasfomateu à deu eoulemets se caactéise pa le sstème d'équatios (.3). V V = L L I jω (.3) L L I Les élémets de la matice iductace peuvet ête détemiés à l'aide de tois mesues. Le teme L coespod à l'iductace à vide vue du pimaie. L coespod à l'iductace à vide vue de l'aute eoulemet. Le toisième élémet de la matice, L, est lié au couplage du tasfomateu. Ue toisième mesue e cout-cicuit est alos écessaie pou détemie la valeu du coefficiet k (.4), image du couplage des deu eoulemets. La valeu de L est esuite calculée e foctio de ce coefficiet de couplage (.5). Lcc k = (.4) L L = (.5) k L L 3

24 Capite : Topologie des cicuits équivalets Le cicuit équivalet classique [KERADEC-94] pou ce tpe de tasfomateu est péseté su la Figue -4. ( ( ) L ( k ) L k η = L L L k L Figue -4 : Scéma équivalet pou u tasfomateu deu eoulemets Les valeus des élémets de ce cicuit sot doées e foctio des élémets de la matice iductace du tasfomateu, du coefficiet algébique de couplage k et d'u paamète, coisi abitaiemet. Ce deie a été itoduit ca ce scéma équivalet compote quate élémets alos que la matice iductace 'est caactéisée que pa tois paamètes (.3). Aisi, les iductaces de fuite du tasfomateu dépedet du paamète. S'il est pis espectivemet égal à k, ou k, les fuites semblet localisées su l'eoulemet pimaie, patagées équitablemet ete les deu eoulemets ou totalemet dues au secodaie du tasfomateu. Localise les fuites su u eoulemet plutôt qu'u aute est e gééal totalemet abitaie. E effet, les fuites suvieet ete les deu eoulemets et, pou les épati, o ecout, e gééal, à ue cate de camp qui est le fuit d'ue potèse et o d'u ésultat de mesue. Si est coisi e deos de l'itevalle k;, ue des iductaces de fuites est égative. k Ceci e doit pas coque ca seules les iductaces diectemet mesuables doivet ête positives. Les iductaces de fuites e pouvat ête mesuées idividuellemet, elles peuvet ête égatives. Si le appot de tasfomatio est pis égal au appot du ombe de spies des eoulemets, peut ête e deos de l'itevalle idiqué ci-dessus et ue des iductaces du scéma peut ête égative. Das ce modèle, ous évitos de faie appel au paamète "ombe de spies", ca ce deie 'est pas toujous accessible à la mesue. Le appot de tasfomatio (.6) du modèle pou deu eoulemets est epimé e foctio des iductaces diectemet mesuables L et L et du paamète abitaie. L η = (.6) L E patique, ous coisios souvet égal à ue des tois valeus évoquées ci-dessus. Cela coduit soit à e place qu'ue iductace de fuite, soit à e itoduie deu idetiques. 4

25 Capite : Topologie des cicuits équivalets II.3. Tasfomateus à eoulemets multiples II.3.a. Scéma taditioel pou u tasfomateu à tois eoulemets Pou epésete le couplage magétique d'u tasfomateu à tois eoulemets, le scéma, appelé modèle e T (Figue -5), est commuémet utilisé [CUK-8]. I 3 * l 3 η 3 * l I V 3 l m V η * 3 l I V Figue -5 : Scéma équivalet taditioel pou u tasfomateu tois eoulemets Il est décit pa quate iductaces et deu appot de tasfomatio, soit si paamètes, ce qui coespod au ombe d'élémets idépedats de sa matice iductace (.7) qui est toujous smétique ( L = L ). ij [ ] ji L L L3 L = L L L (.7) 3 L3 L3 L33 D'u poit de vue éegétique, la fome quadatique doat l'éegie de ce cicuit peut ête égalée à la fome gééale epimée e foctio des élémets de sa matice iductace (.8). 3 3 L i= j= avec L = L ij ( η I η I I ) * * * ij Ii I j = l I l I l3 I3 lm 3 3 ji 3 (.8) De cette faço, les si paamètes du scéma équivalet s'epimet e foctio des élémets de la matice iductace (.9). * l = L L3 L l m = L L L L * l η = L 3 L = L L L L * 3 l η = L 3 33 L = L L3 L L 3 3 (.9) 5

26 Capite : Topologie des cicuits équivalets Comme das le cas du tasfomateu à deu eoulemets, les iductaces de ce cicuit peuvet ête égatives. Depuis quelques aées, les logiciels de simulatio acceptet l'itoductio de valeus égatives pou les iductaces et capacités. Le ecous à des astuces de cotouemet de cette ègle limitative 'est doc plus d'actualité. Pou u tasfomateu à deu eoulemets, ce modèle taditioel e T coespod, e fait, à ue iductace magétisate placée ete deu iductaces de fuite. Losque l'o ajoute u eoulemet, ue iductace de fuite est placée su cet eoulemet supplémetaie, de l'aute coté d'u coupleu. Ce tpe de modèle, valide pou u tasfomateu à deu ou à tois eoulemets (Figue -5), cesse d'ête utilisable losque le ombe d'eoulemets dépasse tois. Pou u tasfomateu à quate eoulemets pa eemple, ciq iductaces et tois coupleus (soit uit paamètes ajustables au total) sot écessaies alos que la matice iductace possède di paamètes idépedats. II.3.b. Pésetatio d'autes modèles et de leus limites Plusieus modèles sot féquemmet utilisés. Le pemie d'ete eu, itoduit das [KERADEC-94], cosiste à elie caque temiaiso d'u eoulemet pa ue iductace. Ce scéma découle d'ue aalse du sstème e admittaces. Pou eoulemets, l'isolatio galvaique est assuée pa coupleus. Le poit foid du secodaie des coupleus est elié au poit foid de l'etée o isolée. Il este à dessie le cicuit de couplage ete les boes aisi défiies. O le fait e iséat ue iductace ete toutes les paies de boes. Ce tpe de cicuit a l'avatage de compote ( ) iductaces, ce qui coespod au ombes d'élémets idépedats de la matice. La smétie de cette epésetatio e pivilégie aucu eoulemet mais le scéma obteu est quad même difficile à itepéte psiquemet. Ue aute vesio de ce modèle, plus cou sous le om du modèle "catileve étedu" [ERICKSON-98] pemet de détemie u scéma électique diectemet tasposable d'ue matice iductace (Figue -6). Ue iductace magétisate est placée su l'eoulemet pimaie ete le poit d'alimetatio et ue masse. Caque eoulemet est sépaé du este du motage pa u coupleu pafait. Ue des boes de caque coupleu est placée à la masse et autes potetiels sot doc dispoibles à la sotie des coupleus. Tous ces potetiels sot eliés u à u pa des iductaces qui peuvet toutes ête détemiées diectemet avec des mesues de tesio et de couat das difféets eoulemets. Des simplificatios découlet égalemet de ce modèle "catileve étedu", otammet losque cetaies iductaces sot beaucoup plus gades que d'autes. Les iductaces sot alos simplemet ôtées du cicuit équivalet (Figue -7) [CHANGTONG-]. 6

27 Capite : Topologie des cicuits équivalets Figue -6 : Modèle "catileve étedu" pou u tasfomateu quate eoulemets [ERICKSON- 98] Figue -7 : Eemple d'u scéma équivalet modèle "catileve" simplifié [CHANGTONG-] Ce tpe de modèle est compaé à u modèle dit "T étedu" das [HAYES-4]. Ce deie dispositif est e fait u agecemet d'u tasfomateu pimaie secodaie, mis e cascade avec u aute secodaie etc... (Figue -8) dot les iductaces et mutuelles iductaces ete les eoulemets sot détemiées e cosidéat difféetes liges de flu das la feête de tasfomateu. Pou u composat à tois eoulemets pa eemple, si iductaces et quate coupleus sot écessaies, soit paamètes, soit quate de top pou coïcide avec le ombe des élémets idépedats de la matice iductace. Plus le ombe d'eoulemets augmete, plus la compleité du cicuit s'accoît. Pou u tasfomateu à quate eoulemets (Figue -8b), euf iductaces et euf coupleus sot écessaies. a b Figue -8 : Modèle T étedu pou u tasfomateu [HAYES-4] a : Tois eoulemets b : Quate eoulemets Les cicuits équivalets obteus pa cette métode sot doc sucagés pa appot au ombe de vaiables écessaies pou etascie le compotemet magétique du tasfomateu. O peut cepedat ote l'appaitio d'iductaces couplées et de 7

28 Capite : Topologie des cicuits équivalets tasfomateus de ag, cocept que ous etouveos das les scémas développés au sei de ote équipe. U toisième tpe de modèle, basé su des mutuelles impédaces, est commuémet utilisé (Figue -9) [ASENSI-94] [ASENSI-99]. Figue -9 : Modèle dépedat de la féquece [ASENSI-99] U tasfomateu à quate eoulemets est décit pa quate impédaces et si mutuelles impédaces, comme das sa matice iductace. Le paamète L m epésete le compotemet o liéaie du oau magétique. U tel modèle est patique losque l'o s'itéesse à des vaiatios féquetielles des composats puisque que caque impédace est epimée sous des fomes polomiales e s. Les epessios aaltiques sot issues d'ue combiaiso de simulatios électomagétiques et d'optimisatio. Ce modèle est tès fiable su le pla féquetiel, mais il e peut ête obteu à l'aide de mesues. Des simulatios électomagétiques sot écessaies. So utilisatio este cepedat limitée puisqu'u tel modèle est difficilemet implatable das u logiciel de simulatio cicuit classique. III. SCHEMAS EQUIVALENTS POUR N-ENROULEMENTS Les modèles poposés pa le LEG [COGITORE-94] [SCHELLMANNS-99-], viset à palie les défauts des pécédets. Ils sot gééau, fidèles au compotemet décit pa la matice iductace et ils dépedet d'u ombe de paamètes égal à celui des élémets idépedats de la matice iductace, ce qui simplifie leu implatatio das u logiciel de simulatio. Cette appoce pésete deu autes avatages. Le pemie est que les modèles sot facilemet simplifiables losque les composats pésetet cetaies popiétés couates. Il est e effet itéessat de pouvoi éduie os scémas autat que possible pou facilite la compéesio et accélée la simulatio des cicuits. Le secod itéêt est que la métode d'obtetio des cicuits équivalets est écusive. U tasfomateu à eoulemets iclut u tasfomateu à eoulemets qui lui-même iclut u tasfomateu de ag Ceci ed cette métode d'élaboatio simple à etei. 8

29 Capite : Topologie des cicuits équivalets III.. Pésetatio ituitive III..a. Tasfomateu à deu eoulemets Cosidéos u tasfomateu à deu eoulemets. Si so pemie eoulemet (pimaie) est alimeté alos que le secodaie est à vide, l'iductace vue du pimaie est l'iductace magétisate et, d'aute pat, le appot de tesio secodaie/pimaie coespod au appot de tasfomatio. Si, pou compléte, ue mesue d'impédace est effectuée e alimetat le secodaie alos que le pimaie est cout-cicuité, l'iductace magétisate est sutée pa le cout cicuit et ue iductace doit ête ajoutée e séie du côté du secodaie pou ede compte de l'iductace ésiduelle obsevée. Le scéma obteu (Figue -) coespod au scéma classique d'u tasfomateu à deu eoulemets (Figue -4), avec les fuites localisées au secodaie ( = ). k I l η I V l V Figue - : Scéma équivalet d'u tasfomateu à deu eoulemets Le tasfomateu est décit pa tois paamètes, l'iductace magétisate, celle de fuite, aisi que le appot de tasfomatio. Ce ombe est égal à celui des élémets idépedats de la matice iductace (.). L L l η η L = = l (.) L L η [ ] III..b. Tasfomateu à tois eoulemets La démace meat au scéma équivalet d'u tasfomateu à tois eoulemets (Figue -) est similaie. L'iductace magétisate l 3 vue d'u eoulemet est obsevée losque les deu autes eoulemets sot à vide. Deu appots de tesios pemettet, das cette cofiguatio, de touve les appots η 3 et η 3. Losque le pimaie est cout-cicuité, l'iductace magétisate est sutée et ous avos à caactéise le lie qui eiste ete les deu secodaies. A pati du momet où ces deu eoulemets sot couplés, ils peuvet ête epésetés comme idiqué pa la Figue -. O itoduit alos u tasfomateu dit "de fuite", ete les deu secodaies du tasfomateu (Figue -). 9

30 Capite : Topologie des cicuits équivalets I 3 η 3 I l V 3 l 3 η V η 3 l I V Figue - : Scéma équivalet d'u tasfomateu à tois eoulemets Le scéma équivalet obteu compote tois iductaces et tois coupleus ce qui est e accod avec le ombe d'élémets idépedats de la matice iductace (.). [ ] [ L ] L L L3 η3 η3η 3 η3 L 3 = L L L3 = l3η 3η 3 η3 η3 (.) L3 L3 L33 η 3 η3 III..c. Tasfomateu à quate eoulemets et gééalisatio Le scéma équivalet d'u tasfomateu à quate eoulemets est obteu de la même faço (Figue -). Losque l'eoulemet magétisat est cout cicuité, le couplage des tois autes eoulemets se décit à l'aide du scéma équivalet d'u tasfomateu à tois eoulemets. La matice iductace (.) s'écit aussi e foctio de celle d'u tasfomateu à tois eoulemets. I 4 η 34 l 3 I 3 V 4 l 4 η 3 η 3 V 3 η 4 l l I η V η 4 I V Figue - : Scéma équivalet d'u tasfomateu à quate eoulemets 3

31 Capite : Topologie des cicuits équivalets [ ] [ L ] 3 η 4 η4η 4 η4η 34 η4 = η 4η 4 η 4 η4η 34 η4 L 4 l (.) 4 η 4η 34 η4η 34 η34 η34 η4 η 4 η34 L'itéêt de cette métode qui 'itoduit aucue appoimatio appaaît désomais claiemet. U tasfomateu de ag est costitué d'ue iductace, de coupleus et d'u tasfomateu de ag, lui-même costitué d'ue iductace, de coupleus et d'u tasfomateu de ag, etc L'appoce est écusive et tous les scémas suivats peuvet ête cées pa déductio pogessive. Les scémas pou des tasfomateus à eoulemets sot composés de paamètes qui se décomposet e iductaces et ( ) ( ) coupleus. Le ombe de paamètes ajustables est doc stictemet égal à celui des élémets idépedats de la matice iductace. Les matices iductaces se calculet d'ailleus e teat compte de la matice de ag pécédet. Le couat das caque iductace s'epime e foctio de combiaisos liéaies des couats das le tasfomateu I i (.3). I I I I l l l3 l4... = I = η I = η I 3 4 = η I I η η 3 4 I I I 3 η 34 I 3 I 4 (.3) (.4). L'epessio gééale de l'éegie magétostatique du sstème s'écit alos simplemet W = l i i= i j= III.. Appoce téoique η ji I j I (.4) i La fome miimale et écusive obteue los du développemet pécédet est totalemet ituitive. Cette métode admet cepedat ue justificatio téoique que ous pésetos maiteat. III..a. Epessio de l'éegie d'u sstème das difféetes bases Pou u composat magétique à etées dot le compotemet est supposé liéaie, l'éegie magétostatique est ue foctio quadatique des couats. Elle peut s'epime sous 3

32 Capite : Topologie des cicuits équivalets la fome gééale (.5) et sous la fome maticielle (.6), e itoduisat le vecteu des couats [ I ]. = = W = Lij I i I j avec L ij = L ji i j (.5) t W = [ I ] [ L][ I ] (.6) La matice iductace [ L ] est éelle et smétique. O peut déjà e déduie que ses valeus popes sot éelles [GANTMACHER]. Cepedat, puisque la desité d'éegie magétostatique est doée pa H, l'éegie magétique totale d'u sstème e peut ête que positive. Il s'e suit que, selo (.6), la matice iductace est défiie positive. Ses valeus popes sot doc éelles et positives [CAIGNAERT] et il est alos commode de pocéde, pou les couats, au cagemet de base (.7). [ I '] = [ M ][ I ] avec [ ] M : Matice de cagemet de base (.7) E effet, pou ue matice éelle, smétique défiie positive [ L ], il eiste u matice diagoale [ L ] ' costituée des valeus popes de [ L ] et ue matice tiagulaie [ M ] dot la diagoale est costituée de, telle que la elatio (.8) soit véifiée [RAKOTOMAMONJY]. t ' [ L] = [ M ] [ L ][ M ] avec [ ] M : Matice tiagulaie de cagemet de base (.8) La fome tiagulaie de [ M ] et le fait que sa diagoale soit costituée de, ous pemettet de etouve les elatios (.3) liat les difféets couats (.9). ' I ' I = λ ' I λ λ I I I 3... ' I I I ' ' 3... = I = = ' λ I I (.9) ' ' λ3 I λ 3 I I 3 E effectuat ce cagemet de base, la fome quadatique de l'éegie (.5) peut ête éduite. L'éegie magétostatique s'idetifie maiteat à la somme des éegies stockées pa les iductaces ' L ii, pacouus pa les couats de la ouvelle base ' I i (.). Cette éegie est toujous positive quels que soiet les couats ca les iductaces popes sot toutes positives. = W i= ' L ii I i ' (.) 3

33 Capite : Topologie des cicuits équivalets Cette fomulatio issue d'ue factoisatio est diectemet tasposable à u cicuit équivalet. E effet, l'epessio (.9) est similaie à (.3). Les scémas coçus à l'oigie ituitivemet, touvet ici leu justificatio téoique. III..b. Cagemet de base : Eemple patique Nous avos vu qu'il était utile de cage la base des couats pou epime l'éegie de faço plus simple. Cette opéatio se taduit simplemet, su le cicuit équivalet gâce au coupleus. η I η I ' V V ' η η η η V η V ' I η I ' a b Figue -3 : Cagemet de base des tesios (a) ou des couats (b) à l'aide de coupleus pafaits (.) : Les vaiables tesios et couats s'epimet das la ouvelle base de la faço suivate V V ' ' = η V η V = η V η V et I I ' ' = η I = η I η η I I (.) III.3. Simplificatios des scémas équivalets Si la écuece aide à etei le mécaisme de céatio, la gééalité de la métode fait que le cicuit associé à u tasfomateu à eoulemets iclut iductaces et ( ) coupleus. Losque dépasse ciq ce cicuit, qui 'iclut ecoe i les petes, i les capacités paasites, deviet complee. Pou cette aiso, ous evisageos ci-dessous des situatios paticulièes où cetais élémets de la matice iductace sot liés. Le cicuit, qui déped alos d'u ombe de paamètes idépedats plus esteit, deviet plus simple. 33

34 Capite : Topologie des cicuits équivalets Pou faie face à ces situatios compliquées, ous allos mote que les cicuits équivalets itoduits ci-dessus peuvet se simplifie tès facilemet. Ceci les distigue des scémas dits "maticiels" pésetés das [KERADEC-94] ou [ERICKSON-98]. Pou cela, tois situatios vot ête evisagées. Das u pemie temps, ous allos cosidée l'idetité de deu eoulemets. Nous taiteos esuite le cas où u eoulemet est couplé de faço plus fote avec u deuième eoulemet qu'avec tous les autes. Nous fiios avec le cas paticulie d'u couplage égligeable das le tasfomateu de fuite. III.3.a. Idetité de deu eoulemets Peos l'eemple d'u tasfomateu à quate eoulemets (Figue -). L'éegie du cicuit équivalet (.5) s'écit sous la fome (.). E supposat maiteat que les eoulemets et soiet idetiques, la pemutatio des couats I et I e doit pas modifie l'éegie magétostatique (.3). [ LI L I L33I 3 L44I 4 L II L3 II 3 L4 II 4 L3I I 3 L4 I I 4 L34I 3I 4 ] [ L I L I L I L I L I I L I I L I I L I I L I I L I I ] W = (.) W = (.3) Tois égalités doivet ête espectées pou que ces deu valeus soiet égales, quels que soiet les couats I, I, I 3 et I 4 (.4) : L = L 3 L3 L = L 4 = L (.4) 4 La matice iductace 'a plus di élémets idépedats, mais seulemet sept. L'éegie magétostatique s'écit alos sous la fome simplifiée (.5). [ L ( I I ) L I L I L I I L ( I I ) I L ( I I ) I ] W = (.5) 4 Cette epessio est tès poce de celle de l'éegie stockée das u tasfomateu à tois eoulemets tavesés pa des couats I I, I 3 et I 4. Si o pose L = ( L L ) et l = ( L L ), l'epessio (.5) se met sous la fome (.6). [ L( I I ) l( I I ) L33I 3 L44 I 4 L3 ( I I ) I 3 L4 ( I I ) I 4 ] W = (.6) L'éegie est alos stockée das u tasfomateu à tois eoulemets aat I I, I 3 et I 4 comme couats d'etées et das ue iductace supplémetaie tavesée pa u couat I I. Le scéma équivalet simplifié obteu das ce cas est péseté su la Figue -4. Tous 34

35 Capite : Topologie des cicuits équivalets les coupleus utilisés ot u appot de et l'iductace l est le seul paamète veat s'ajoute au si du tasfomateu à tois eoulemets, le ombe de paamètes ajustables coespod bie au sept élémets idépedats de la matice iductace. Notos que la sotie appaaît plus smétique si o emplace l'iductace l pa ue de valeu l et que l'o place aussi l de l'aute coté du coupleu. Tasfomateu 3 eoulemets I I I V V l l V I V V l Figue -4 : Scéma simplifié das le cas de deu eoulemets idetiques Si les deu eoulemets idetiques sot les deu paties d'u eoulemet à poit milieu, le scéma peut ecoe ête simplifié e etiat le coupleu ete les eoulemets et (Figue -5). I I I Tasfomateu 3 eoulemets V l V V I Figue -5 : Scéma simplifié das le cas d'u eoulemet à poit milieu III.3.b. Couplage domiat Ce cas de Figue appaaît losqu'u eoulemet est fotemet couplé avec u deuième et ettemet mois avec le ou les autes. Le coefficiet k (.4) image de ce couplage est alos tès poce de et les autes sot plus faibles. E cosidéat de ouveau u tasfomateu à quate eoulemets et e ajoutat l'potèse que les eoulemets 3 et 4 sot pafaitemet couplés ete eu et mois avec le et, le scéma équivalet peut se epésete comme su la Figue -6. La matice iductace de ce scéma est sigulièe (.7) ca deu de ses liges ( V 3 et V 4 ) et doc deu de ses coloes, sot popotioelles. 35

36 Capite : Topologie des cicuits équivalets I 3 η 43 I 4 V 3 V 4 ' I 3 Tasfomateu 3 eoulemets I I V V Figue -6 : Scéma simplifié das le cas d'u couplage idéal [ L] L L = L3 η 43L 3 η L L L 43 3 L 3 η L L L L 33 η η η L L L L33 η (.7) D'u poit de vue patique, des eoulemets e peuvet jamais ête "pafaitemet" couplés. Pou tei compte de cette impefectio, ue iductace de fuite est ajoutée (Figue -7). La épatitio amot/aval de l'iductace de fuite pa appot au tasfomateu à tois eoulemets est abitaie. Cette fois, la matice iductace 'est plus sigulièe. I 4 L f L f η 34 I 3 V 4 V 3 ' I 4 I V Tasfomateu 3 eoulemets I V Figue -7 : Scéma simplifié das le cas d'u couplage 3-4 plus fot que les autes III.3.c. Couplage égligeable das le tasfomateu de fuite Alos que les coefficiets de couplage défiis pa la matice iductace du composat sot aemet faibles, il 'est pas ae que cetais de ceu figuat das la matice iductace de so tasfomateu de fuite le soiet. Ces coefficiets, qui e epésetet pas diectemet la foce du couplage de deu eoulemets, dépedet souvet de difféeces ete coefficiets de couplages du composat. Ces difféeces peuvet ête positives, égatives ou ulles. Il 'est doc pas supeat que ces coefficiets puisset pafois ête égligeables. 36

37 Capite : Topologie des cicuits équivalets Afi d'illuste ceci, cosidéos u tasfomateu à tois eoulemets (Figue -). So tasfomateu de fuite comped deu eoulemets (.8) et le coefficiet de couplage associé k s'epime e foctio des tois coefficiets de couplage du composat k, k 3 et k 3 (.9). L 3 L3 L3 L L = L33 L L 33 f (.8) L 3L3 L3 L L L33 L33 [ ] k k3k 3 k = (.9) ( k )( k ) 3 3 L'epessio de k (.3) déped bie de la difféece de couplage ete les eoulemets. Si cette valeu est, pa eemple, iféieue à., das le pie des cas, l'iductace de fuite sea modifiée de 4%. L cc = k si k <. (.3) L Le tasfomateu de fuite poua doc, sous cetaies coditios de couplage, ête égligé. Das ce cas, le ou les coupleus pafaits, liat les eoulemets pouot ête suppimés. Nous péseteos u eemple cocet de ce cas das le capite de ce mémoie. IV. APPLICATIONS DES SCHEMAS EQUIVALENTS Afi d'illuste les métodes pécédetes, ous allos maiteat cece le cicuit équivalet d'ue iductace tipasée et d'u tasfomateu tipasé. L'objectif commu de ces deu études est de pavei à u cicuit équivalet simple et facilemet idetifiable, compatible avec Pspice [PSPICE]. IV.. Modélisatio des coupleus sous Pspice Le composat caièe de tous ces modèles est le coupleu pafait que ous avos itoduit das la patie II.. Il est composé (Figue -8) de deu souces cotôlées, commadable espectivemet e tesio et e couat. Ue ésistace de tès fote valeu est égalemet iséée das le motage afi de e pas laisse de potetiel flottat los de la simulatio. L'ajout d'iductaces autou de ce coupleu isque d'itoduie des boucles iductives poscites pa Pspice. Das ce cas, l'ajout d'ue ésistace de tès faible valeu ( des iductaces pemet de cotoue le poblème. Ω ) e séie avec ue 37

38 Capite : Topologie des cicuits équivalets I I I = η V V = ηv Figue -8 : Repésetatio d'u coupleu pafait sous Pspice IV.. Iductace tipasée Pou assue le filtage CEM d'ue lige tipasée, ue iductace doit ête iséée e séie avec caque pase du sstème. Deu teciques peuvet ête utilisées pou éalise ce filtage. L L L 3 Figue -9 : Iductace tipasée Soit o utilise tois iductaces idetiques que l'o isèe su cacue des pases. Soit tois bobies idetiques sot efilées su le même oau magétique (Figue -9). Cette deièe solutio est lagemet péféable losque l'o doit faie face à des cotaites de masse et de volume. E patique, u oau e E avec etefe épais est utilisé et caque bobie est eoulée autou d'ue jambe du cicuit magétique. Ce dispositif e peut se epésete pa des iductaces seules, puisqu'u couplage eiste ete les difféets eoulemets. Magétiquemet, l'iductace se compote comme u tasfomateu à tois eoulemets (Figue -). E obsevat la Figue -9, o costate que les eoulemets L et L 3 sot idetiques. Le scéma de la Figue -4 peut ête utilisé e emplaçat le tasfomateu à tois eoulemets pa u à deu eoulemets (Figue -). V l l η l V V 3 V l Deu eoulemets (Figue ) Dédoublemet (Figue 4) Figue - : Cicuit équivalet d'u iductace tipasée e teat compte de l'idetité de deu eoulemets 38

39 Capite : Topologie des cicuits équivalets E patique, les etefes d'ue iductace tipasée sot suffisammet épais pou égi etièemet le patage du flu, si bie que celui cée pa ue coloe, se patage équitablemet ete les deu autes. Ce foctioemet se taduit pa ue matice iductace tès simple défiie pa u paamète uique (.3). [ L] L = L L L L N L L avec L = (.3) 3R L L N : Nombe de spies d'ue bobie et R : Réluctace de l'etefe L'epessio gééale de l'éegie (.3) s'écit simplemet à l'aide des temes de la matice iductaces (.3). ( I I I ) L( I I I I I ) W = L (.3) 3 3 I 3 L'idetificatio de l'éegie du cicuit de la Figue - avec l'epessio (.3) pemet de détemie les valeus des paamètes du scéma équivalet (.33). l = L l = 3L l = η = (.33) Puisque l'iductace de fuite l est ulle et que les appots de tasfomatio sot égau à, les coupleus peuvet ête egoupés. L'iductace l peut ête doublée et placée su caque pase. Ces deu modificatios pemettet d'obtei u scéma ecoe plus simple et smétique (Figue -). 3L V L I 3 3L V 3 Figue - : Scéma simplifié d'ue iductace tipasée 39

40 Capite : Topologie des cicuits équivalets Ce deie cicuit 'est pas uique. Il est cetes simplifié, mais ue écitue difféete de l'epessio de l'éegie (.34) pemet de touve u aute cicuit smétique tès simple (Figue -). W = L( I ) I L I I 3 L I 3 I (.34) I L I L I 3 L Figue - : Scéma équivalet d'ue iductace tipasée IV.3. Tasfomateu tipasé Itéessos ous maiteat à u tasfomateu tipasé de modèle étudié foctioe sous des tesios omiales pimaies de V N V =. s t N s N p N p N s N s N p N p N s N s N p N p N s Figue -3 : Tasfomateu tipasé.5kva (Figue -3). Le V N = 83V et secodaies de U eoulemet pimaie et u secodaie sot bobiés su caque jambe du tasfomateu (, s et t). Au total, si eoulemets sot pésets das ce composat. Pou epésete les difféets couplages liat ces eoulemets il faudait 6 iductaces et 5 coupleus (Figue -4), soit gadeus ajustables. Ce ombe coïcide, bie etedu, avec celui des élémets idépedats de sa matice iductace. Cepedat, la géométie de la stuctue pemet de fomule quelques potèses simplificatices. Deu emaques découlet diectemet de l'obsevatio de la Figue -3. Pemièemet, les eoulemets potés pa la coloe sot pemutables avec ceu potés pa la coloe t. Deuièmemet, le couplage ete pimaies et secodaies d'ue même jambe doit ête beaucoup plus fot que vis-à-vis des autes eoulemets. Ces deu potèses sot cofimées pa l'aalse de la matice iductace elevée epéimetalemet (.35). E effet, les iductaces popes et mutuelles des coloes et t sot égales, au eeus de mesues pès, et le couplage 4

41 Capite : Topologie des cicuits équivalets ete u pimaie et u secodaie d'ue même jambe ( k =. 996 k ou k =. 998 = tt fot qu'avec u eoulemet disposé su ue aute jambe ( k. 55 s st ss k ou. 38 k ). t ) est plus [ L].5 s 68.5 t 4 = 93 s 8.5 t.5 s t s t Les iductaces sot epimées e mh (.35) Figue -4 : Scéma équivalet si eoulemets Ces potèses pemettet, au vu des simplificatios pésetées das la patie III.3, de modifie le scéma équivalet de la Figue -4 [MARGUERON-4]. Le ésultat de ces simplificatios est péseté su la Figue -5. 4

42 Capite : Topologie des cicuits équivalets η l f l L.5 η l fs s s.5 L l η l ft t t Figue -5 : Scéma simplifié du tasfomateu tipasé Le scéma obteu est gééique pou u tasfomateu tipasé à si eoulemets. E effet, si le tasfomateu est bie costuit, les potèses de couplage domiat ete pimaie et secodaie d'ue même coloe aisi que celle d'idetité des coloes etéieues, sot tès souvet espectées. Les paamètes du tasfomateu se éduiset alos à deu iductaces ( L et l ), u appot de tasfomatio (η ) et tois iductaces de fuites ( L f = L ft et L fs ), soit ciq paamètes idépedats au total. L'idetificatio est doc apide. Les deu iductaces L et l se déduiset diectemet des iductaces vues des pimaies cetal et latéal losque aucu eoulemet 'est cagé. L'iductace vue de la jambe cetale L est égale à s s l et celle vue d'ue des coloes latéales ou t ( L = L tt ) est égale à L l. Le appot des tesios à vide su ue coloe doe la valeu de η et l'iductace vue d'u secodaie quad le pimaie coespodat est e cout cicuit doe l'iductace de fuite coespodate. Nous avos eu l'occasio de teste la gééicité de ce cicuit e l'appliquat à u aute tasfomateu tipasé (Figue -6). 4

43 Capite : Topologie des cicuits équivalets Figue -6 : Tasfomateu Tipasé Ce deie est destié à u oduleu tipasé tavaillat à ue féquece de khz. Oute les couplages domiats et l'idetité des coloes etees, u etefe est péset su caque coloe du tasfomateu. Ceci appoce les caactéistiques de la coloe cetale de celles des deu autes et les éluctaces sot majoitaiemet dues à ces etefes. E cas d'égalité pafaite o auait l L l = soit L = 3l. Ici, ous avos touvé H 37 et 93 H. Ce cicuit équivalet (Figue -5) a pemis de tei compte du couplage des tois pases de l'oduleu, ce qui s'est avéé ête tès impotat pou l'étude de l'oduleu. V. CONCLUSION Afi de éalise des simulatios fiables e électoique de puissace, des cicuits équivalets, aptes à epésete les composats bobiés sot écessaies. Si celui d'u tasfomateu à deu eoulemets est lagemet cou, losque le ombe d'eoulemets dépasse tois, peu de epésetatios gééales sot poposées. Das ce capite, ous avos péseté ue métode pemettat de touve des scémas magétiques équivalets de tasfomateus à -eoulemets. C'est su le couplage magétique que epose le foctioemet des tasfomateus. Il est doc atuel de commece pa s'itéesse à sa epésetatio. Bie etedu, il fauda esuite itoduie les petes et les capacités paasites, mais l'étude meée ici fouia toujous la "coloe vetébale" des cicuits fialemet eploités. La métode itoduite das ce capite et basée su des citèes éegétiques, pésete plusieus itéêts. Pemièemet, elle 'itoduit que le ombe miimal de composat écessaie afi de bie etascie le couplage magétique tel qu'il est décit pa la matice iductace. Deuièmemet, l'appoce pésetée ici est écusive et les scémas équivalets se costuiset tès facilemet losque l'o augmete le ombe des eoulemets. Nous avos péseté ici les cicuits équivalets gééau de tasfomateus possédat jusqu'à si eoulemets et dépasse ce ombe est aisé. Ces cicuits tieet compte de tous les couplages potetiels à l'itéieu des tasfomateus. Toutefois, e patique, ces cicuits équivalets peuvet ête simplifiés pou tei compte d'ue caactéistique paticulièe du tasfomateu. Cette possibilité costitue le toisième itéêt de la métode. Les scémas pésetés peuvet ête simplifiés si cetais 43

44 Capite : Topologie des cicuits équivalets couplages sot égligeables, ou si cetais domiet, ou ecoe si des eoulemets sot idetiques. Ceci pésete u gad itéêt los des simulatios puisque les scémas peuvet ête allégés, sas altée la pécisio. U tasfomateu tipasé à si eoulemets a pu aisi ête décit pa ciq paamètes alos que das le cas gééal il e auait fallu vigt et u. Cet eemple de tasfomateu tipasé 'est pas le seul que ous aos taité. Nous avos établi le scéma équivalet d'u iductace tipasée et moté que les scémas obteus 'étaiet pas uiques. Notos pou fii que toutes les iductaces pésetes das os cicuits sot positives. Cela gaatit la positivité de l'éegie stockée quels que soiet les appots de tasfomatio des coupleus impliqués. Nous ous sevios de ces cicuits équivalets et de leus simplificatios das toute la suite de ce mémoie, et e paticulie los de l'étude et de la caactéisatio de tasfomateus plaa. 44

45 Capite : Idetificatio epéimetale CHAPITRE : Idetificatio epéimetale 45

46 Capite : Idetificatio epéimetale 46

47 Capite : Idetificatio epéimetale I. INTRODUCTION Au cous du capite ous avos vu commet epésete, pa u cicuit à costates localisées, le couplage magétique tel qu il est taduit pa la matice iductace. Bie qu u tasfomateu soit coçu pou assue ce couplage, des péomèes paasites iévitables compliquet le foctioemet et gêet l idetificatio epéimetale. Il est doc idispesable de ecese ces picipau péomèes et de savoi commet o peut e tei compte das le cicuit équivalet, pou appécie les difficultés de mesues dot ous allos pale das ce capite. A cet effet, ous ésumos ci-dessous les picipales étapes qui ous ot meés au cicuits équivalets actuels. Cotaiemet à leus omologues B. F. qui eploitet des matéiau feomagétiques pou éalise le cicuit magétique, les tasfomateus H. F. fot appel à des feites ou ils foctioet sas cicuit magétique. De ce fait, leu compotemet est quasimet liéaie tat que l iductio est pas top gade. E patique, les péomèes o liéaies sot visibles e B. F. losque l'impédace est faible et que le pot de mesue pemet d'ijecte u couat suffisat (Figue -) Impédace Module (Om). 3 Impédace Pase (Degé) Féquece (Hz) Couat de A Couat de ma Féquece (Hz) Couat de A Couat de ma Effet o liéaie 3 Iductace (mh) Féquece (Hz) Couat de A Couat de ma Limitatio e couat du pot de mesues Figue - : Coube d'iductace e foctio de l amplitude du sigal Aussi logtemps qu il se compote liéaiemet, u tasfomateu à eoulemets appaaît comme u cicuit électique liéaie à etées qui se caactéise, à caque féquece, pa sa matice impédace (.). Etat doée la smétie de cette matice, elle comped ( ) élémets idépedats. 47

48 Capite : Idetificatio epéimetale V Z V = Z M M V Z Z Z L L O Z I M I M Z I Avec Z = Z (.) ij ji La coaissace de sa matice impédace, su ue lage plage de féquece, pemet d étudie le compotemet du composat losqu il est soumis à u égime quelcoque, sous éseve que celui-ci e sote pas du domaie de foctioemet liéaie. Pou fie les idées, o sait pa epéiece que la pévisio pécise du compotemet e ode caée eige que le cicuit équivalet soit cou coectemet jusqu à ue féquece evio fois supéieue à celle du fodametal. C est pouquoi, losqu u tasfomateu doit ête iclus das u covetisseu foctioat à quelques cetaies de khz, o cosidèe que so cicuit équivalet doit ête pécis jusqu à quelques MHz. D autes cosidéatios, telles que la cofomité avec les omes CEM pa eemple, élèvet pafois le iveau d eigece. Pou faie cout, o peut die que ote objectif cosiste à coaîte la matice impédace d u tasfomateu du cotiu jusqu à, au miimum, quelques MHz. Il faut cepedat pécise deu poits. Tout d abod, il faut que cette coaissace du composat puisse ête facilemet et apidemet itoduite das u logiciel de simulatio électoique. Note but est e effet de mee des simulatios pécises su tout motage électoique icluat u tasfomateu. La epésetatio pa u cicuit à costates localisées est, de ce poit de vue, tès itéessate ca u tel cicuit se décit pa u petit ombe de paamètes. Esuite, il faut que cette coaissace soit idetifiable epéimetalemet, si possible sas démotage du composat. A teme, c est cetai, cette caactéisatio epéimetale sea évitée aussi souvet que possible : des calculs aaltiques ou des simulatios électomagétiques coduiot de la desciptio psique du composat à so cicuit équivalet. Il e demeue pas mois que, de temps e temps, des validatios epéimetales seot écessaies. I.. Commet élaboe le cicuit équivalet d'u tasfomateu? Impédace due iductace (Om) Féquece (Hz) Impédace mesuée Modèle.67 F 538 Ω.79 H 8 mω Impédace d'ue iductace (Om) Féquece (Hz) Impédace équivalete Figue - : Cicuit équivalet d'ue iductace 48

49 Capite : Idetificatio epéimetale Pou élaboe le cicuit équivalet d u tasfomateu, ous pocédos comme pou l iductace (Figue -). Nous patos de la epésetatio du couplage magétique élaboée au capite et ous lui adjoigos, e séie avec caque eoulemet, la ésistace du fil e cotiu. Nous plaços égalemet, pou tei compte des petes fe, ue ésistace e paallèle su l iductace magétisate (Figue -3). Nous obteos aisi u cicuit à etées qui autoise ue boe estimatio des petes séies et paallèles. Pafois, des péomèes autes féqueces (effets de couats iduits das les fils, couats de déplacemet das les feites) bie idetifiables epéimetalemet, amèet à itoduie quelques ésistaces supplémetaies mais cela se fait sas cage l essetiel du cicuit. Il faut égalemet tei compte des capacités paasites. Comme pou l iductace, ous supposos qu elles itevieet e paallèle su l itégalité du composat. E clai, ous cosidéos qu u sstème électostatique liéaie, soumis à difféeces de potetiel idépedates, est coecté eclusivemet au boes etéieues du composat. E patique, toute epésetatio dot l éegie ped la fome d ue foctio quadatique de ces difféeces de potetiel est admissible. La matice capacité est, elle aussi, smétique si bie qu e ègle gééale, pou epésete ce couplage capacitif, il faut itoduie ( ) codesateus das le cicuit. Cepedat, losqu u couplage magétique est tès fot, il est loisible de cosidée que les deu tesios coespodates sot liées. Das ces coditios, le ombe des tesios idépedates dimiue et le ombe de capacités écessaies aussi (Figue -3). Modèle η sp Impédace Module (Om) Pimaie η as Secodaie Impédace Module (Om) η ap Féquece (Hz) Impédace mesuée Auiliaie Féquece (Hz) Impédace équivalete Figue -3 : Cicuit équivalet d'u tasfomateu à tois eoulemets I.. Impédaces à vide, e cout cicuit et elatios das u quadipôle U cicuit liéaie passif peut se caactéise à l aide de difféets lots de appots de tesio ou de couats (impédaces, mutuelles impédaces, gais e tesio, ). Les agumets 49

50 Capite : Idetificatio epéimetale e faveu des mesues d impédaces aat déjà été pésetés [SCHELLMANNS-98], ous e les épéteos pas ici. E evace, ous allos eamie attetivemet les mesues d impédaces. E électoique de commutatio, les tasfomateus sot péiodiquemet coectés à des cages tès vaiables et ils foctioet péiodiquemet à vide ( R ) ou e cout cicuit ( R = ). Il faut que les modèles mis e œuve soiet pécis los de ces coditios etêmes. Caactéise u tasfomateu e s appuat su des mesues d impédaces à vide et e coutcicuit semble doc tout idiqué. Attetio, toutes les impédaces mesuables à vide et e cout cicuit, e sot pas idépedates. Pou u quadipôle passif (Figue -4), les quate impédaces mesuables das ces coditios sot liées pa la elatio (.). I I Quadipôle passif V V Figue -4 : Quadipôle passif ' ' Z Z cc = Z Z (.) cc avec : Z : Impédace à vide vue de '' Z : Impédace vue de '', '' état cout-cicuité cc ' ' cc Z : Impédace à vide vue de '' Z : Impédace vue de '', '' état cout-cicuité Avec les appaeils de mesues dispoibles actuellemet, les impédaces "facilemet" mesuables sot compises ete quelques l itevalle m Ω et quelques M Ω si la féquece este das 5 Hz - MHz. Au-delà, de ombeuses pécautios doivet ête pises pou que les mesues soiet fiables. O peut pafois tie pofit de la elatio (.) ca, avec tois mesues coisies pou leu pécisio, il est possible de déduie pécisémet la quatième, même si elle est plus difficile à mesue diectemet. La quatième mesue, à pemièe vue edodate, pemet pafois d évalue ue impédace paasite comme, pa eemple, celle d u cout-cicuit de mesue. Nous eviedos su ce poit das ce capite. I.3. Sépaatio Statique-damique Losqu'u tasfomateu est alimeté pa u couat basse féquece, les petes cuive sot uiquemet dues au ésistaces popes des eoulemets. Le couat est uifome das la sectio du coducteu, ce qui miimise les petes qui lui sot dues. Quad la féquece de foctioemet augmete, les ésistaces augmetet de même que les petes cuive, sous l'effet des couats iduits das les coducteus. Le fait que la ésistace d'u eoulemet soit miimum e cotiu pemet de epésete les petes statiques pa des ésistaces séies «etéieues» (Figue -5). L esemble de ces ésistaces d eoulemets e cotiu doe la totalité des petes suveat e cotiu. Le sous- 5

51 Capite : Idetificatio epéimetale cicuit estat e taduit que les petes supplémetaies qui appaaisset losque la féquece augmete (petes damiques). Cicuit avec petes damiques I 3 3 η 3 I l V 3 l 3 η V η 3 l I V Figue -5 : Cicuit statique-damique Les deu paties du scéma sot idetifiées successivemet. Dès que les mesues d impédaces sot elevées, ous déduisos les ésistaces e cotiu (de ces mesues ou de mesues éalisées avec le mico ommète) puis ous les etacos des impédaces mesuées pou accéde au impédaces du sous-cicuit magétodamique du modèle. Il est clai qu e tès basse féquece le sous-cicuit magétodamique e poua pas ête caactéisé avec pécisio puisqu il est masqué pa les ésistaces séies et que ses impédaces s obtieet pa difféece de quatités poces. I.4. Sépaatio de la patie électostatique Alos que tasfomateu à tois eoulemets pésete ciq etées selo le aisoemet de l itoductio de ce capite, la Figue -5 e mote que tois. Cette cotadictio est qu appaete ca le cicuit de la Figue -5 est ecoe icomplet : il iclut pas le cicuit électostatique qui iteviet e paallèle. Comme ous le veos, celui-ci pésete bie 5 etées idépedates! Nous pouvos déjà pévoi que l idetificatio de la patie magétodamique sea difficile e aute féquece ca elle sea masquée, cette fois, pa u cicuit capacitif e paallèle. I.5. Costates localisées ou épaties? Los des pécédetes études, les élémets (iductaces e paticulie) des modèles magétodamiques étaiet supposés idépedats de la féquece [SCHELLMANNS-98]. Les mesues destiées à caactéise u tasfomateu étaiet éalisées à vide ou e cout-cicuit et 5

52 Capite : Idetificatio epéimetale les iductaces étaiet déduites de ces coubes d'impédace au poit où la pase était la plus poce de 9 (Figue -6). Module de l'impédace (Om) Pase de l'impédace (Degé) Féquece (Hz) Mesue à vide Mesue e cout cicuit Féquece (Hz) Mesue à vide Mesue e cout cicuit Iductace magétisate Iductace de fuite O voit das l eemple ci-cote que, selo cette métode, l'iductace magétisate était évaluée à ue féquece quate fois plus faible que l'iductace de fuite. Cette métode tès patique a été appliquée avec succès à la caactéisatio de ombeu tasfomateus et même d'autes composats tel que des LCT [LEMBEYE-5]. Les modèles aisi obteus sot pécis, sous éseve que les difféetes iductaces vaiet peu e foctio de la féquece. Figue -6 : Détemiatio des valeus des iductaces pa la métode "Scellmas" E fait, pou bie des tasfomateus, cette appoimatio est acceptable. L'iductace magétisate est quasimet idépedate de la féquece et seule l'iductace de fuite vaie, e aute féquece, sous l'effet des couats iduits. Cette vaiatio peut d'ailleus ête modélisée gossièemet e associat e séie (Figue -7), ue iductace et u dipôle iductace/ésistace e paallèle. E basse féquece, les deu iductaces s'additioet : L BF L HF et L = L L. E aute féquece, la ésistace sute l'iductace L. L'iductace équivalete se éduit à L HF. L HF L BF L HF L f L HF L Figue -7 : Vaiatio d'iductace et modélisatio L étude appofodie des couats iduits ous eseige que ces péomèes sot à costates épaties. C est pouquoi, e aute féquece, il peuvet coduie à des impédaces 5

53 Capite : Idetificatio epéimetale / popotioelles à f. E dépit de cela, la epésetatio pa des costates localisées este possible, à coditio d accepte u petit tau d impécisio et de boe la zoe féquetielle de validité. Cela ous a ameés à emplace la cellule paallèle de la Figue -7 pa plusieus cellules de ce tpe coectées e séie. Il faut pécise que le ombe des cellules Rp-Lp aisi itoduites pou gaati la pécisio souaitée a jamais dépassé quate I.6. Pise e compte de la vaiatio féquetielle des élémets E dépit de ce qui pécède, duat os tavau, ous avos costaté que l'iductace magétisate de l u des tasfomateus plaa étudié vaiait sesiblemet avec la féquece. Nous savos maiteat que ce compotemet est assez féquet das les tasfomateus plaa muis d'u etefe, sutout si cetais de leus coducteus sot lages. La métode de caactéisatio que ous utilisios (cf. I.5) était mal adaptée à u tel cas ; il e ésultait ue détemiatio impécise de cetaies iductaces et cetaies compaaisos modèles/mesues étaiet décevates. E oute, comme la détemiatio de la plupat des capacités paasites se fait e eploitat les féqueces de cetaies ésoaces [SCHELLMANNS-99-], toute impécisio su les iductaces etaîe ue impécisio su les capacités. Pou sumote cette difficulté, ous avos décidé de cece ue métode de mesue qui e postule pas l ivaiace féquetielle des élémets. Nous l avos touvée e emaquat que l appoce emputée pou touve les cicuits équivalets au couplage magétique s étedait à impote quel cicuit liéaie passif, à coditio de emplace les iductaces pa des impédaces et d admette que les appots de tasfomatios pouvaiet ête complees. La Figue -8 illuste ceci pou u cicuit à tois etées. Le cicuit epéseté est déduit de celui de la Figue (capite ), à coditio de coisi : Z Z = Z η 33 Z Z 33 3 ( Z Z Z Z ) Z ZZ = Z Z Z ( Z Z Z ) Z 3 3 Z Z Z Z 33 Z 3 = Z 3 = Z 33 Z 33 η 3 Z = Z 3 33 η 3 Z = Z 3 33 (.3) Le cicuit epéseté admet ue équatio au impédaces cofome à (.), c est-à-die la plus gééale pou u cicuit liéaie passif. 53

54 Capite : Idetificatio epéimetale I 3 η 3 I Z V 3 Z 3 η V η 3 Z I V Figue -8 : Cicuit équivalet d'u cicuit liéaie passif à tois etées La métode de caactéisatio epéimetale mise au poit cosiste doc à coseve la topologie obteue au capite et à ecece, à toutes les féqueces, les valeus complees des appots de tasfomatio et des impédaces (qui emplacet les iductaces). II. LES MESURES D IMPEDANCES II.. Mesue voltampèemétique et autes teciques Le picipe le plus simple pou effectue ue mesue d'impédace cosiste à ijecte u couat calibé das l impédace et à mesue la cute de tesio qui e ésulte au boes du composat. Cette métode, qui écessite u ampèemète et u voltmète, est coue sous le om de "métode voltampèemétique". Elle doe toujous u ésultat plus ou mois eoé e aiso des impédaces itees o idéales des deu appaeils. Des métodes plus sopistiquées o été mises au poit pou mesue des impédaces avec pécisio. Elles pésetet toutes des avatages et des icovéiets [AGILENT-], [TI- R78]. Tois de ces métodes sot compaées das le Tableau -. La métode de mesue "4 fils" aisi que celle "du pot auto calibé" sot décites plus loi. Le coi ete ces difféetes teciques se fait e foctio de la gamme de féquece, de l'ode de gadeu des impédaces à mesue, de la pécisio désiée et, aussi, de la simplicité de mise e oeuve. Quelle que soit la métode coisie, des pécautios d'utilisatio appopiées sot equises pou obtei des ésultats pécis. 54

55 Capite : Idetificatio epéimetale Métode Avatages Icovéiets Pot Q-mète (métode ésoate) Aalseu de éseau - Faible impécisio (.% tpiquemet) - Lage gamme de féqueces avec difféets tpes de pots - Faible coût - Tès boe pécisio pou les mesues de fotes valeus de Q - Lage gamme de féquece - Tès boe pécisio losque l'impédace à mesue est poce de l'impédace caactéistique - Réglages mauels - Gamme de féqueces étoite pou caque tpe de pot - Impécisio pou les faibles valeus d'impédaces - Calibatio à efaie à caque cagemet de féquece - Gamme d'impédace mesuable étoite Gamme de féquece à 3 MHz khz à 7 MHz Supéieue à 3 khz Tableau - : Compaaiso des difféetes métodes de mesue Applicatio Mesue de laboatoie Mesue de composats à fot facteu de qualité Q Mesue de composats Radio Féquece Nous avos utilisé deu appaeils de mesue : u micommète [OM] et u pot d'impédace [494A]. Nous allos maiteat ous attade su les métodes eploitées pa ces deu appaeils, à savoi la métode "4 fils" et la métode du "pot auto calibé". II.. Mesues "4 fils" Des mesues pécises de faibles ésistaces peuvet ête éalisées à l'aide d'u micommète. Cet appaeil s'avèe souvet utile pou mesue les ésistaces des eoulemets. Il s'appuie su la métode 4 fils (Figue -9) et pemet de éalise des mesues de Z fil v Z fil I Z mes Figue -9 : Mesue e 4 poits Ω à 5 kω. Le picipe de la mesue 4 fils cosiste à ijecte u couat I et à mesue la tesio iduite V diectemet au boes du composat. De cette faço, elle s'affacit des cutes de tesios dues au impédaces des fils d'ameées du couat ( fil Z, Z ). Cette métode e peut ête utilisée qu e basse féquece, jusqu'à quelques khz. Avec u multimète classique, la mesue s'effectue e " poits", suivat la métode voltampèemétique ; l'impédace des fils d'ameées de couat s'ajoute alos à celle ececée. fil 55

56 Capite : Idetificatio epéimetale II.3. Métode du pot auto calibé Le scéma de picipe de cette métode est péseté su la Figue -. Le couat I tavesat le composat à mesue Z est opposé au couat I tavesat la ésistace R. L'amplificateu maitiet le potetiel du poit "L" poce de zéo volt, céat aisi ue masse vituelle. A l'équilibe, la elatio (.4) est espectée. V V Z R = E patique, les composats eploités pa cet appaeil diffèet suivat la gamme des féqueces couvetes. Pou des féqueces iféieues à la cetaie de khz, l'amplificateu A (Figue -) est u simple amplificateu opéatioel. Pou mote plus aut e féquece, u amplificateu dédié, aat u tès gad poduit gai-bade doit ête utilisé. Les caactéistiques, avatages et icovéiets de cette métode sot pésetés das le Tableau -. (.4) H I Z L R I Osc V A V Figue - : Mesue d'impédace pa métode du pot auto calibé Métode Avatages Icovéiets Pot auto calibé - Lage gamme de féqueces avec difféets tpes de pots - Gade pécisio su ue lage gamme d'impédaces - Les plus autes féqueces e sot pas accessibles - Plusieus appaeils sot écessaies pou couvi toute la gamme de féquece Tableau - : Métode du pot auto calibé Gamme de féquece Applicatio 4 Hz à MHz Usage gééal Cette métode de mesue est mise e œuve pa le pot d'impédace [494A] que ous avos emploé pou caactéise epéimetalemet os composats. Das ue gamme de féquece allat de s'étedat de 4 Hz à MHz, cet appaeil (Figue -) fouit le tacé d'impédaces 3 mω à MΩ 5 e BF, cette gamme étécissat losque la féquece augmete. 56

57 Capite : Idetificatio epéimetale So scéma de picipe est visible su la Figue - et la maièe dot est éalisée l'auto compesatio est pésetée sous la fome d'u diagamme foctioel. Figue - : Agilet 494A Figue - : Scéma aalogique de foctioemet du 494A Des modulateus suivis de filtes pemettet de coaîte les deu composates (e pase et e quadatue avec le couat) de la tesio V au boes de fiée pa la tesio V au boes de R. II.4. Poblèmes de mesue et ecommadatios Z, l'oigie des pases état Avat de pésete la métodologie mise au poit pou idetifie epéimetalemet les élémets du cicuit équivalet, il est itéessat de pésete quelques coseils pou coisi les impédaces à mesue et pou les acquéi le plus pécisémet possible. II.4.a. Commet coisi les mesues à effectue? La caactéisatio magétique s'effectue e basse féquece soit, e patique, de 4 Hz (limite iféieue du pot) au pemièes ésoaces visibles du tasfomateu. Das cette gamme féquetielle, les impédaces e sot jamais top élevées pou ête mesuées pécisémet. Les poblèmes appaaisset plutôt losqu'elles sot top faibles. Les impédaces à vide sot plus fotes que celles e cout-cicuit; elles seot doc toutes mesuées das u pemie temps. Cepedat, pou détemie tous les élémets d'u scéma équivalet, elles e suffiset pas. Il faut éalise des mesues avec cout-cicuit. Pou u quadipôle passif, pa eemple, deu mesues e cout-cicuit peuvet ête éalisées. Il est coseillé de mesue la plus fote des deu afi de s'affaci des poblèmes d'icetitude su les faibles valeus. La elatio (.) pemet de se dispese de la mesue la plus délicate. 57

58 Capite : Idetificatio epéimetale II.4.b. Itéêt de la mesue edodate La elatio (.) évoquée ci-dessus est idépedate du cicuit équivalet adopté pou la cc epésetatio. Elle se taduit pa le fait que =. Véifie cette égalité, dot ous appelos le module "idice de cofiace", à caque féquece, est istuctif (Figue -3) Féquece (Hz) Rappot (ZZ'cc)/(Z'Zcc) Figue -3 : "Idice de cofiace" des quate impédaces d'u quadipôle Z Z ' Z Z ' 58 cc Les écats pa appot à peuvet, cetes, ête imputables à des impécisios su cacue des mesues ou à des o liéaités. Ils peuvet aussi ête dus à l'impefectio des impédaces de cage utilisées : impédace de cout-cicuit o ulle, ou impédace à vide o ifiie. Cette emaque costitue ue pemièe icitatio à eleve la quatième mesue. Il est possible égalemet d'eploite cette quatième mesue edodate pou éduie l'impact d'ue impédace de cage impafaite. Nous veos das la patie caactéisatio (cf. III) commet o peut, gâce à cette égalité supplémetaie, évalue l'impédace d'u cout-cicuit et, e coséquece, affie la caactéisatio du quadipôle. II.4.c. Compesatio du pot d'impédace L'appaeil de mesue péseté su la Figue - doit ête utilisé avec u boie de mesue das lequel o place le composat à étudie (Figue -4). Le pot d'impédace évite lui-même des eeus e combiat la métode du pot auto calibé et la métode 4 fils. Cepedat, le boie qui assue le lie au composat itoduit lui aussi des impédaces paasites qui fausset la mesue. E dépit de toutes les pécautios pises los de la éalisatio de ce deie, il pésete ue ésistace et ue iductace séie aisi qu'ue capacité paallèle. Bef, c'est aussi u quadipôle. Figue -4 : Boie 647E Pou attéue l'ifluece du boie, il faut le caactéise avat de soustaie so icidece pa calcul. Deu mesues sot écessaies si le quadipôle peut ête cosidéé comme smétique, ce qui est toujous admissible si so impédace séie est beaucoup plus petite que so impédace paallèle. Les deu mesues écessaies se ommet "compesatio à vide" et "compesatio e cout cicuit". Pou compede leu pocédue et leu utilité, il faut s'attade su la Figue -5

59 Capite : Idetificatio epéimetale qui pésete le scéma de coeio d'u boie "icou" su lequel est placé ue impédace à mesue ( Z ). Ce dispositif "icou" se compote comme u quadipôle passif et il peut ête décit pa sa matice impédace (.5). Boie "4 poits" icou I I Istumet de mesue : 494A Z Z Z m V V m Z Z V V Z o Z m = I V Z o I Z m I = (.5) Z m Z o I V = Z m I Z o I Figue -5 : Caactéisatio du boie L'impédace d'etée de ce quadipôle smétique icou, cagé pa cette impédace à détemie Z, s'epime suivat (.6). Z m = Z o o m Z Z Z (.6) O peut déduie de cette epessio, la valeu Z que l'o souaite détemie (.7). Z = Z m Z Z o o Z Z o m Z m (.7) Pou évalue les paamètes du quadipôle ( Z o et Z m ), o éalise esuite deu mesues complémetaies. La "compesatio à vide" doe l'impédace d'etée à vide du quadipôle (.8). La "compesatio e cout cicuit", quat à elle, est égale à l'impédace d'etée du quadipôle e cout cicuit. Elle s'epime selo (.9). Z om = Z o (.8) Z sm m o o o m Z Z Z = Z o = (.9) Z Z E epotat (.8) et (.9) das (.7), ous obteos l'impédace ececée Z foctio des tois impédaces elevées (.). C est le calcul éalisé automatiquemet pa ote appaeil. Z Z Z sm m = Z (.) om Z m Z om avec : Z om : Impédace de compesatio e cicuit ouvet Z : Impédace de compesatio e cout cicuit sm Z m : Impédace d'etée du quadipôle cagé pa Z Losque le boie e pemet pas de fie le composat, il faut ajoute des fils pou éalise les coeios. Cet ajout itoduit, lui aussi, des impédaces. Nous veos plus tad so 59

60 Capite : Idetificatio epéimetale ifluece et ous feos appaaîte des limitatios patiques au valeus qu il est possible de mesue. II.4.d. Quelques pécautios utiles Pou que les compesatios soiet efficaces, il faut veille à ce que les impédaces paasites elevées pa le pot duat les compesatios estet costates jusqu'à la mesue. Il faut doc évite toute défomatio d'u fil de coeio aisi que toute décoectio des fils su le composat à caactéise ou su le boie de mesue. Pou fie l'espacemet des fils, u câble bifilaie (voie coaial) peut ête utilisé. Cela peut semble évidet, mais il faut, losque l'ajout de fils est écessaie, pivilégie des fils épais, couts et appocés, pou éduie les ésistaces et iductaces paasites. Des pécautios iveses peuvet ête écessaies pou mesue les fotes impédaces capacitives. Au iveau du boie, le cotact est éalisé e seat caque fil ete deu lames plates et souples. Avec des fils ciculaies, ce cotact est mauvais ca le métal se défome, élastiquemet ou o. L'impédace de cotact isque de cage ete la compesatio et la mesue. Pou évite ce poblème, il est ecommadé de soude des petites temiaisos plaes au etémités des fils pou que le cotact ete ces plaques et le boie soit epoductible. Ue fois que toutes ces pécautios sot pises, les acquisitios à vide et e cout cicuit vues de cet eoulemet peuvet ête effectuées. Das cet espit, les mesues écessaies doivet ecesées et éalisées das u ode pécis afi de miimise les décoeios iutiles. II.4.e. Limites patiques des mesues iductives et ésistives La compesatio e cout-cicuit est obligatoie losque les impédaces sot faibles. Pou situe les limites de cette compesatio, u tasfomateu plaa, abaisseu de tesio, de 5 W, devat foctioe à 5 khz a été testé. Le but de cette essai était de mesue so impédace de fuite (iductace de fuiteésistace de l'eoulemet) vue du secodaie, losque so pimaie était cout-cicuité. Pou doe u ode de gadeu, o peut die que la ésistace à mesue est de mω et l'iductace de H. Nous avos mis e œuve les pécautios pésetées das la patie pécédete et le dispositif de test est péseté su la Figue -6. 6

61 Capite : Idetificatio epéimetale Tasfomateu 4 mm 3 mm Soudue 5 mm Boe de sotie du tasfomateu 4 mm mm 7 mm Coecteu e cuive plat - Boie de mesue 647E Figue -6 : Dispositif de mesues Des fils de 4 mm ot été placés etes le boie du pot d'impédace et les coeios de sotie du tasfomateu. La compesatio e cout cicuit vise à aule l ifluece de ces fils. La Figue -7 pésete deu métodes evisageables pou effectue la compesatio du câblage, e cout cicuit. Das la pemièe (Figue -7a), l'impédace de cout-cicuit est mesuée avat que le fil ite-boes soit coupé. Cette tecique suestime l'impédace mesuée ca la coeio eliat les pattes de sotie du tasfomateu (3 mm) 'est plus pésete los de la mesue de composat. L'impédace de cout-cicuit est doc top élevée avec ce fil et la mesue est sucompesée. Das la secode (Figue -7b), les fils de coeio sot appocés le plus possible du composat e éalisat deu demi boucles; le cout cicuit est éalisé e plaçat ue goutte de soudue à la joctio ete ces deu boucles. Das ce cas, les deu paties eliat les boes du composat à la soudue e sot pas pises e compte los de l'acquisitio de l'impédace e cout cicuit. La mesue est alos sous compesée. Tasfomateu Tasfomateu Suestimatio Sous estimatio - a - b Figue -7 : Métodes de compesatio e cout cicuit 6

62 Capite : Idetificatio epéimetale Les deu compesatios décites pécédemmet ot été compaées los du test évoqué au début de ce paagape. Les ésultats de ces mesues sot epésetés su la Figue -8. Module de l'impédace (O m).. Pase de l'impédace (Degé) Fequece (Hz) èe metode ème metode Iductace 4 H Iductace H a Fequece (Hz) èe metode ème metode b Figue -8 : Mesues de la même impédace apès les deu tpes de compesatio e cout-cicuit Du coté des basses féqueces, la ésistace mesuée est compise ete (cecle su la figue). Avec u mico ommète, la ésistace mesuée est de 6.5 mω et.5mω.77 mω. Pou les féqueces élevées, l'iductace séie vaut 4 H avec la pemièe compesatio et H avec la secode (cecle ). Ces mesues motet que, même e utilisat u appaeil de mesue tès pécis avec ses accessoies d'oigie et e peat les pécautios supplémetaies equises, la ésistace séie peut ête évaluée à icetitude de ±.5 mω pès tadis que l'iductace est détemiée avec ue ± 8H. Pou mesue l iductace, il est tetat de se place à ue féquece plus aute pou que l impédace soit plus fote. Maleueusemet, ces iductaces vaiat avec la féquece, ue telle mesue e pemet pas de déduie la valeu cecée à la féquece d itéêt. La ésistace mesuée est étoitemet liée au fils o compesés (Figue -7b). Pou situe les coses, o peut idique qu u fil de cuive de diamète 6 mm a ue ésistace d'evio mω.7 mm, d'ue logueu de. Descede e dessous de cette limite est possible e utilisat du fil plus épais ou u appaeil plus pécis du tpe micommète. Pou mesue pécisémet de faibles impédaces, il est tetat d applique la tecique 4 fils diectemet sas passe pa le boie de mesue. Pou essae cette métode ous avos elié le composat à l'aalseu diectemet à l aide de quate câbles coaiau. Maleueusemet, l'appaeil se mettait e défaut dès que ous lacios la mesue. Il fauda cosace u peu plus de temps pou compede la cause de cet écec. Souligos pou fii que, los de os mesues, la sucompesatio fait appaaîte ue ésistace égative (cecle ). L'équatio (.) mote que, si l'impédace Z est iféieue à

63 Capite : Idetificatio epéimetale zéo, cela est du au fait que l'impédace de cout cicuit est plus élevée que celle du composat mesué ( Z > Z ) ca le déomiateu de l'epessio est quat à lui toujous égatif ( om Z m sm m Z > ). L'impédace délivée est ue valeu évidemet eoée ca ue pase iféieue à 9, 'a pas de éalité psique pou u composat passif. U tel ésultat abeat 'est pas féquet. Il suviet das des coditios difficiles, c'est-à-die losqu'il faut mesue de tès faibles impédaces. II.4.f. Mesue valide ou o? Il est difficile d'éoce u citèe pemettat de savoi si ue mesue éalisée seule est valable. E ègle gééale, mesue des ésistaces de l'ode de.mω ou des iductaces de l'ode de H est u callege itéessat! Même avec des appaeils tès pefomats, ce tpe de mesue écessite beaucoup de pécautios et ue métodologie tès élaboée. Des siges su les elevés peuvet cepedat alete l'utilisateu, pa eemple du "buit" su les mesues (sutout e basse féquece), des ésoaces "aplaties" ou ecoe des pases d'impédaces qui e sot pas compises das l'itevalle [ ; 9 ] cofiace est u epèe istuctif et pafois cuel! 9 Le tacé de l'idice de Deièe emaque, pou teste des composats magétiques, il faut aussi veille à e pas satue le cicuit magétique e églat de faço coecte le couat de test. Losqu o tavaille avec ue tesio de mesue costate, c est ves les tès basses féqueces qu il faut suveille les satuatios. E cas de doute, u essai meé avec ue tesio ou 3 fois plus petite est istuctif. III. CARACTERISATION EXPERIMENTALE DU MODELE INDUCTIF Nous allos maiteat pésete la métode mise au poit pou tei compte de la vaiatio féquetielle des élémets du cicuit équivalet [MARGUERON-5]. Comme ous l'avos pécisé pécédemmet, elle est basée uiquemet su des mesues d'impédaces à vide et e cout cicuit et elle est gééalisable à -eoulemets. III.. Calcul et gadeus complees Bie que l'étude du capite ous suggèe, avec des agumets fots, ue cetaie topologie de cicuit équivalet, il est clai que celle-ci est povisoie ca les péomèes de couats iduits das les coducteus et les petes fes ot été égligées. Duat la caactéisatio epéimetale, ous supposeos que les iductaces e sot pas pues (autemet dit, ce sot des impédaces) et que les appots de tasfomatio peuvet ête complees (η ). La 63

64 Capite : Idetificatio epéimetale détemiatio état meée su cette base, ous veos bie si les ésultats sot tès éloigés des ésultats établis au capite. Nous allos d'abod pésete la métode élaboée pou u tasfomateu à deu eoulemets puis ous gééaliseos cette appoce à u ombe quelcoque d'eoulemets. III.. Caactéisatio d'u tasfomateu deu eoulemets III..a. Impédaces mesuables Les pécédetes gadeus complees sot epésetées su le scéma équivalet d'u tasfomateu à deu eoulemets (Figue -9). p η Z s s Pimaie Z p Secodaie Figue -9 : Tasfomateu à deu eoulemets avec gadeus complees Pou ce ombe d'eoulemets, deu impédaces à vide et deu impédaces e cout cicuit sot mesuables (Tableau -3). Ces quate impédaces sot liées pa la elatio (.). Mesues Impédace Vue de l'eoulemet avec (m) Z I = (m) Z ' I = (m3) Z cc V = (m4) Z' cc V = Tableau -3 : Déombemet des impédaces mesuables pou u tasfomateu eoulemets Seulemet tois mesues (deu à vide, Z et Z cc ou Z' cc ) sot écessaies pou caactéise etièemet le tasfomateu. Le modèle obteu doit ête pécis doc, de maièe gééale, les mesues alliat facilité d'eécutio et pécisio seot favoisées. Il est itéessat, los de l'idetificatio d'u composat icou, de pocéde à ue pemièe caactéisatio gossièe afi d'avoi u ode de gadeu des valeus à mesue. O peut esuite coisi les mesues les plus faciles à acquéi avec pécisio et éfléci au pécautios appopiées. Das u deuième temps, les mesues sélectioées sot epises e peat toutes les pécautios utiles. Elles mèet au modèle fial. 64

65 Capite : Idetificatio epéimetale III..b. Idetificatio d'u tasfomateu à deu eoulemets Le cemiemet suivi pou cette idetificatio est scématisé pa le soptique péseté su la Figue -. Il mèe au valeus des élémets du cicuit équivalet. O voit que le cicuit coisi sépae les petes statiques et damiques mais qu il itoduit pas ecoe la patie électostatique. Mesues d'impédaces Module/Pase Z, Z', Z cc ou Z' cc HP494A Résistace séie pimaie p p η Z s s Impédace pimaie Z p Pimaie Z p Secodaie 3 Rappot de tasfomatio η 4 Résistace séie secodaie s 5 Impédace secodaie Z s Figue - : Pocessus d'idetificatio d'u tasfomateu à u deu eoulemets Etape : La ésistace pimaie p est détemiée e peat la patie éelle de l'impédace Z e basse féquece. Etape : L'impédace magétisate Z p est détemiée à pati de Z à laquelle o etace p (.). Z p = Z p (.) Etape 3 : Pou touve le appot de tasfomatio η du coupleu, il faut epime les deu autes impédaces mesuées e foctio des élémets du cicuit équivalet (.) (.3). ' = Z p η Z s (.) s Z Z cc = p p ( Z ) Z p s Z η Z s s s (.3) 65

66 Capite : Idetificatio epéimetale U bef calcul mèe alos à la valeu cecée (.4). Cette équatio peut, bie etedu, ête éécite (.5) e foctio de l'aute impédace mesuable e cout cicuit, e utilisat le lie (.). η η Z = Z = ' ( Z Z ) ( Z ) cc p ' ' ( Z Z cc ) ( Z ) p Z η = Z η = ' ( Z Z ) ( Z ) cc p ' ' ( Z Z cc ) ( Z ) p (.4) (.5) Etape 4 : La ésistace de l'eoulemet secodaie s est détemiée e peat la ' patie éelle de l'impédace Z e basse féquece. Etape 5 : Pou calcule l'impédace de fuite secodaie Z s (.6), il suffit d itoduie (.4) das (.). Z s Z = Z ' ( Z ) cc p p s Z = Z Z ' cc Z p ' p s (.6) Ces ciq étapes pemettet, à l'aide des tois mesues coisies, de caactéise etièemet le compotemet magétique du tasfomateu. Notos cepedat qu ue mesue complémetaie est écessaie pou accéde au sige de η puisque seul sot caé est diectemet accessible. III..c. Applicatio à u tasfomateu toique A tite d'eemple, ous allos caactéise u tasfomateu à deu eoulemets bobiés su u toe e feite. Les caactéistiques de ce tasfomateu sot icoues et ous souaitos établi so cicuit équivalet gâce à la métode pécédemmet décite. La Figue - pésete les d'impédaces mesuées aisi que les 3 paamètes du cicuit équivalet, tacés e foctio de la féquece. Les valeus des ésistaces des eoulemets, p = 55 mω et = mω s 35, sot déduites des ' mesues à vide Z et Z e basse féquece. Les impédaces mesuées vues du secodaie sot plus élevées que celles vues du pimaie. A pioi, ce tasfomateu foctioe doc e élévateu de tesio. Le appot de tasfomatio est esuite calculé selo (.4). Sas faie d'potèses su la atue complee et la vaiatio féquetielle de ce appot, le calcul doe ue valeu costate et éelle su ue plage de féquece f de l'ode de tois décades. E basse féquece η 66

67 Capite : Idetificatio epéimetale ( f < 3 Hz ), le appot appaaît petubé. Comme ous l avos déjà epliqué, das cette zoe féquetielle, les ésistaces séies masquet la patie magétodamique du cicuit et uiset à la pécisio de sa caactéisatio. E aute féquece, les ésoaces qui appaaisset su les coubes d impédaces motet que les capacités sot de plus e plus ifluetes et, elles aussi, dégadet la sesibilité de l idetificatio magétodamique. Impedace (module Om) Rappot de tasfomatio (module) Féquece (Hz) Z Z' Zcc Z'cc Féquece (Hz) 8 f η Iductace (H) I ductace (H) Féquece (Hz) Lp f p Féquece (Hz) Ls f s Figue - : Caactéisatio d'u tasfomateu deu eoulemets (toe bobié) Il e est de même pou l'iductace magétisate L p. Cette deièe a été calculée e supposat que l impédace magétisate se décomposait e ue iductace et ue ésistace de petes fe e paallèle (epésetée e bas de la figue). L iductace est costate su ue zoe de féquece f p légèemet plus étoite que celle du appot de tasfomatio. E basse et aute féquece, l'iductace magétisate (et la ésistace de petes fe) est masquée espectivemet pa les ésistaces des eoulemets et pa les effets capacitifs du tasfomateu. L'iductace de fuite, quat à elle, décoît su u itevalle fs à cause, vaisemblablemet, des couats iduits. Cette vaiatio peut ête epésetée pa ue suite de cellule de tpe Lp-Rp 67

68 Capite : Idetificatio epéimetale (Figue -7). E deos de cette zoe féquetielle, elle est, elle aussi, masquée pa les ésistaces et les capacités du composat. E ésumé, le modèle magétodamique de ce tasfomateu paaît assez simple : so appot de tasfomatio est costat aisi que so iductace magétisate. Das la zoe où elle est détemiée pécisémet (de khz à 3 khz ) la ésistace de petes fe vaie de 4 Ω à kω (Figue -). E patique sa epésetatio pa ue valeu costate e coduit pas à des écats décelables su les impédaces mesuées.. 4 Resistace de petes fe (Om) Fequece (Hz) Fequece (Hz) Figue - : Résistace de petes fe Seule l'iductace de fuite vaie avec la féquece et justifie l itoductio de cellules Lp- Rp. E adjoigat à ces composats les deu impédaces séie, o obtiet u cicuit qui epésete le compotemet du composat depuis le cotiu jusqu à, au mois, khz. III..d. Détemiatio de l'impédace d'u cout cicuit Nous avos déjà sigalé que le tacé du appot ' cc Z Z peut ête utile pou détecte si ue ' Z Z des impédaces de mesue est impafaite : cout-cicuit o ul ou impédace à vide o ifiie. Nous motos maiteat commet évalue l impédace du cout-cicuit fautif à l aide de la mesue edodate d impédace. A tite d eemple, supposos que le tasfomateu étudié soit abaisseu de tesio. L'impédace e cout-cicuit vue du secodaie est la plus faible des deu et le cout-cicuit que l'o va place de ce coté petube beaucoup l'impédace e cout-cicuit vue du pimaie. Les impédaces pimaies état plus gades, il est féquet que cette mesue soit la seule des quate à ête petubée de cette faço. Das ce cas, l'impédace du cout cicuit est déductible. ' Les impédaces mesuées Z, Z et cc ' Z cc sot supposées coectes. Seule la mesue Z ccmes pose poblème ca, das cette cofiguatio, la cage du quadipôle 'est pas égligeable : elle est égale à la valeu du cout cicuit Z ds que l'o ecece. 68

69 Capite : Idetificatio epéimetale Selo la téoie des quadipôles, das le cas idéal (cout cicuit pafait Z = ) l'impédace Z cc ped la valeu (.7), alos que, das ote cas, l'impédace mesuée s'écit suivat (.8). Z Z cc = Z ccmes Z Z m ' m m ' cc ' ' Z = Z Z Z Z = Z Z Z Z (.7) Z = Z (.8) ' Z Z ds ' cc ds L'impédace Z ccmes s'epime doc facilemet à l'aide des tois autes impédaces mesuées aisi que celle du cout cicuit (.9). Z ccmes ' ds ' cc Z Z Z Z = Z (.9) ' Z Z O peut fialemet déduie, des quate impédaces mesuées, l impédace du cout cicuit icimié (.). Z ds Z = ' ' Z ccmes Z Z cc (.) Z Z ccmes Ce qui a été dit pécédemmet (cf. II.4.a) su le coi des mesues à effectue peut ici ête emis e questio losque des impédaces faibles doivet ête mesuées. Au lieu de 'e mesue que tois pami les quate dispoibles, il vaut mieu les acquéi toutes afi de tie pati de toutes les ifomatios qu'elles cotieet. De cette faço o détemie quelles mesues il faut éellemet eploite pou avoi u modèle fiable et savoi quelles sot le ou les couts-cicuits qui petubet os mesues. Si seul le cout-cicuit placé au pimaie est impafait, u cagemet d idices das (.9) pemet de touve so epessio. E evace, si les deu sot impafaits, aucue évaluatio est possible ca le ombe d équatios idépedates est isuffisat. III.3. -eoulemets Au cous du paagape pécédet, ous avos péseté ue métode pemettat de caactéise u tasfomateu à deu eoulemets. Nous evisageos maiteat l'idetificatio des paamètes d u tasfomateu possédat davatage d eoulemets. 69

70 Capite : Idetificatio epéimetale cotiet : III.3.a. Déombemet des impédaces et gééalisatio Das le capite ous avos moté que le cicuit équivalet iductaces couplées iductaces coupleus picipau coupleus pou le tasfomateu de fuite de ag 3 Au total coupleus pou le tasfomateu de fuite de ag ( ) élémets sot à détemie. Ce ombe coïcide avec celui des élémets idépedats de la matice iductace qui le caactéise. E vu de l idetificatio et cofomémet à ce qui a été fait pou le tasfomateu à deu eoulemets, ous sotos la ésistace cotiue de caque eoulemet, ous cosidéos que les iductaces sot e patique des impédaces et que les appots de tasfomatio sot complees. Nous obteos aisi le cicuit équivalet magétodamique à idetifie (Figue -3). Pou ce tasfomateu, les eoulemets sot caactéisés deu pa deu. Nous avos vu que, pou idetifie le couplage de deu eoulemets, il fallait eleve, au miimum, deu impédaces à vide et ue e cout-cicuit. Pa etesio, pou u tasfomateu à eoulemets, il faut mesue impédaces à vide et ( ) / impédaces avec u coutcicuit. E téoie, ces mesues suffiset pou caactéise complètemet le composat (tat qu o e s itéesse pas à ses capacités). Les pemièes doet les impédaces popes et les secodes, joites au pemièes, doet accès au impédaces mutuelles. Pou ue lage majoité des tasfomateus, les couplages ete eoulemets sot fots. E evace, ceu du tasfomateu de fuite (ete les iductaces de fuite) sot faibles, voie égligeables. Pafois cepedat, les couplages du tasfomateu de fuite e peuvet pas ête égligés et, des mesues d'impédaces avec au mois deu couts cicuits sot écessaies pou caactéise ces couplages du secod ode. III.3.b. Eemple d'u tasfomateu plaa à tois eoulemets III.3.b.i. Desciptio et mesues possibles Pou illuste les popos du paagape pécédet, ous peos l'eemple d'u tasfomateu à tois eoulemets éalisé e tecologie plaa. Ce composat est costitué d'u eoulemet pimaie (), d'u secodaie () et d'u auiliaie (3). Le cicuit équivalet de 7

71 Capite : Idetificatio epéimetale ce tasfomateu (sas sa patie électostatique) compote 3 ésistaces, 3 impédaces et 3 appots de tasfomatio (Figue -3). p η ap Z a a Pimaie Z p η sa Auiliaie η sp Z s s Secodaie Figue -3 : Tasfomateu à 3 eoulemets avec gadeus complees Le Tableau -4 ecese les impédaces mesuables sas impédace etéieue aute qu u cout-cicuit. O e compte : 3 à vide, 6 avec u cout cicuit et 3 avec cout cicuits. Elles e sot pas toutes idépedates ca tous les goupes de 4 impédaces associés à u même quadipôle satisfot la elatio (.). E l absece de cout-cicuit, il a 3 faços de coisi deu eoulemets et doc 3 elatios à écie. Avec cout-cicuit, il e este qu u quadipôle, ce qui doe tois elatios supplémetaies. Mesue (m) (m) (m3) (m4) (m5) (m6) (m7) (m8) (m9) (m) (m) (m) Impédace Z _ o _ 3o Vue de l'eoulemet avec I, I Z _o _ 3o I =, I 3 = cout-cicuit 3 _o _ o 3 I, I Z Z _ cc _ 3o = = 3 = = V, I Z _ o _ 3cc = 3 = I, V Z _cc _ 3o = 3 = V, I Z _o _ 3cc = 3 = I, V Z _cc _ o = 3 = 3 3 V, I Z _o _ cc = = 3 3 I, V Z _ cc _ 3cc = = V, V Z _cc _ 3cc = 3 = cout-cicuit V =, V 3 = couts-cicuits 3 _cc _ cc 3 V, V Z = = Tableau -4 : Déombemet des impédaces mesuables d'u tasfomateu à 3 eoulemets Toutes ces elatios figuet ci-dessous et, fialemet, compte teu de ces 6 lies, seules 6 de ces impédaces sot idépedates (.). 7

72 Capite : Idetificatio epéimetale m m6 = m m4 m5 m = m7 m m m8 = m3 m5 (.) m4 m = m9 m m m9 = m3 m7 m6 m = m8 m Comme ous l'avos écit pécédemmet, pou caactéise ce tasfomateu, il faut mesue au mois 6 impédaces. Ue septième mesue, effectuée avec deu couts cicuits, est pafois idispesable pou caactéise pécisémet le couplage du tasfomateu de fuite. Les tois mesues icotouables sot celles des impédaces vues de caque eoulemet avec les autes à vides : m, m et m3. Esuite, il faut e coisi au mois tois autes. Le coi est oieté pa les odes de gadeu et pa tous les epèes éuméés pou le tasfomateu à deu eoulemets. Souligos que des mesues edodates pocuet ue plus gade cofiace das la validité des mesues et, e coséquece, das ce qu o e déduit. Elles pemettet e paticulie de tace l'idice de cofiace de tous les quadipôles. Figue -4. III.3.b.ii. Détail de la métode pou 3 eoulemets Le sopsis de la métode pou u tasfomateu à 3 eoulemets est péseté su la Résistace séie pimaie p Impédace pimaie Z p 3 Rappot de tasfomatio η ap p Pimaie Z p η ap Z a a 3' Rappot de tasfomatio η sp 4 Résistace séie auiliaie a η sa Auiliaie 4' Résistace séie secodaie s 5 Impédace auiliaie Z a η sp Z s s Secodaie 5' Impédace secodaie Z s 6 Rappot de tasfomatio coupleu de fuite η sa Figue -4 : Sopsis pou u 3 eoulemets E pemie, les composats caactéistiques du pimaie seul sot évalués: - Etape : La ésistace pimaie p est détemiée e peat la patie éelle de l'impédace -4). Z _ o _ 3o e basse féquece (mesue m cf. Tableau 7

73 Capite : Idetificatio epéimetale - Etape : L'impédace Z p est détemiée avec cette même impédace Z _ o _ 3o (.). Das u deuième temps, le tasfomateu pimaie/secodaie est idetifié: - Etape 3' : Le appot de tasfomatio η sp est calculé e foctio de Z _ o _ 3o (m), Z _o _ 3o (m) et d'ue aute mesue avec u cout cicuit (à coisi ete m4 ou m6) (.4). - Etape 4' : La ésistace secodaie s est détemiée e peat la patie éelle de l'impédace Z _o _ 3o e basse féquece (mesue m). - Etape 5' : L'impédace Z s est détemiée avec (.6). Esuite, le tasfomateu pimaie/auiliaie est caactéisé comme le pécédet : - Etape 3 : Le appot de tasfomatio η ap est calculé e foctio de Z _ o _ 3o (m), Z3 _o _ o (m3) et d'ue aute mesue avec u cout cicuit (à coisi ete m5 ou m8) (.4). - Etape 4 : La ésistace auiliaie a est détemiée e peat la patie éelle de l'impédace Z _o _ o 3 e basse féquece (mesue m3). - Etape 5 : L'impédace Z a est détemiée avec (.6). Efi, ue mesue complémetaie est éalisée pou caactéise le coupleu de fuite. Cette deièe fait appel à deu couts-cicuits : - Etape 6 : Le appot de tasfomatio η as est fialemet détemié e cout-cicuitat l'eoulemet pimaie et e cosidéat le tasfomateu de fuite comme u tasfomateu à eoulemets. III.3.b.iii. Pemièes mesues et itepétatios Les diagammes de Bode des impédaces mesuables de ce tasfomateu sot epésetés su la Figue -5. Les impédaces vues de l'eoulemet secodaie sot tès faibles et difficilemet mesuables e basse féquece. Au micommète, la ésistace de cet eoulemet est égale à.77 mω, ce qui est difficilemet mesuable avec u pot d'impédace, malgé toutes les pécautios pises. Cet ode de gadeu ous laisse à pese qu'u simple fil de quelque millimète de logueu, utilisé pou éalise le cout-cicuit, peut petube de faço otable os mesues. Il e est de même au iveau iductif puisque le fil devait pésete ue iductace o égligeable vis-à-vis de quelques H. 73

74 Capite : Idetificatio epéimetale Pou les autes eoulemets, les impédaces sot bie plus fotes et les couts-cicuits éalisés e peuvet e aucu cas fausse les mesues Impédace Module (Om). 3 Impédace Pase (Degé) 5 5 a Féquece (Hz) Z_o_3o (m) Z_cc_3o (m) Z_o_3cc (m5) Z_cc_3cc (m) Féquece (Hz) Z_o_3o (m) Z_cc_3o (m) Z_o_3cc (m5) Z_cc_3cc (m) Impédace Module (Om)... 3 Impédace Pase (Degé) 5 5 b Féquece (Hz) Z_o_3o (m) Z_cc_3o (m6) Z_o_3cc (m7) Z_cc_3cc (m) Féquece (Hz) Z_o_3o (m) Z_cc_3o (m6) Z_o_3cc (m7) Z_cc_3cc (m). 3 Impédace Module (Om). Impédace Pase (Degé) 5 5 c Féquece (Hz) Z3_o_o (m3) Z3_cc_o (m8) Z3_o_cc (m9) Z3_cc_cc (m) Féquece (Hz) Z3_o_o (m3) Z3_cc_o (m8) Z3_o_cc (m9) Z3_cc_cc (m) Figue -5 : impédaces mesuables du tasfomateu 3 eoulemets (Module et Pase) a : Vue du pimaie b : Vue du secodaie c : Vue de l'auiliaie Les deu obsevatios que l'o viet de faie sot validées pa la Figue -6. L'idice de cofiace este voisi de das le cas du tasfomateu Pimaie/Auiliaie (Figue -6a). 74

75 Capite : Idetificatio epéimetale Aucue impédace paasite e petube les mesues. Ce 'est pas le cas du tasfomateu Pimaie/Secodaie. Ce appot est éloigé de (Figue -6b)..5.5 Rappot des impédaces Rappot des impédaces Féquece (Hz) Z_o_3o*Z3_cc_o/Z3_o_o*Z_o_3cc Féquece (Hz) Z_o_3o*Z_cc_3o/Z_o_3o*Z_cc_3o a b Figue -6 : Idices de cofiace a : Pimaie/Auiliaie b : Pimaie/Secodaie Das ce cas de figue, seule la mesue (m4) pose poblème, doc la détemiatio des élémets du scéma équivalet doit se faie obligatoiemet avec les tois autes ((m), (m) et (m6)) pou le tasfomateu Pimaie/Secodaie. Ue aute obsevatio peut ête faite à popos des elevés d'impédaces (Figue -5). Le couplage ete les iductaces de fuites secodaie et auiliaie semble tès faible ca les impédaces vues du secodaie losque le pimaie est cout-cicuité e cage pesque pas suivat que l'auiliaie est à vide ou e cout cicuit. Même cose vue de l'auiliaie si le secodaie est cout-cicuité ou à vide. Ce couplage semble doc égligeable. Le cicuit équivalet poua ête simplifié e coséquece (cf. capite III.3.c). III.3.b.iv. Composats du cicuit équivalet Toutes les ésistaces des eoulemets sot elevées au mico ommète : p = 85 mω, s =. 77 mω et a =. mω 79. Le pocessus de caactéisatio (Figue -7) est esuite appliqué. Les appots de tasfomatio obteus sot éels et costats su plusieus décades. Les iductaces vaiet e foctio de la féquece et elles sot modélisées pa des cellules Lp-Rp (Figue -7). 75

76 Capite : Idetificatio epéimetale 95 Iductace (H) Féquece (Hz) Iductace magétisate Modèle Lp 3'.8 Rappot de tasfomatio.6.4 Rappot de tasfomatio Féquece (Hz) Rappot Pimaie/Auiliaie Féquece (Hz) Rappot Pimaie/Secodaie 4 5 Iductace (H) 5 Iductace (H) 5' Féquece (Hz) Iductace de fuite auiliaie Modèle La i Féquece (Hz) Iductace de fuite secodaie Modèle Ls Figue -7 : Détemiatio des élémets du cicuit équivalet Si écessaie, il est possible de se cofome plus pécisémet au coubes epéimetales e accoissat le ombe des cellules Lp-Rp. Pou fii, ous pouvos maiteat évalue l'impédace du cout-cicuit petubateu au secodaie. L'écat pa appot à obsevé su la Figue -6b est dû à ue impédace qui peut ête détemiée à l'aide de (.). E plus d'ue ésistace, le cout cicuit pésete ue iductace qui dimiue losque la féquece augmete. Le fil utilisé est elativemet gos (diamète 3 khz..8 mm ) et des couats iduits appaaisset à pati de La Figue -8 pésete le modèle du cout-cicuit et so effet su l'idice de cofiace. Pou calcule sa valeu, l'impédace du cout-cicuit est diectemet etacée de la mesue e cout-cicuit ( Z _ cc _ 3o ) ca o cosidèe que pou les féqueces qui ous itéesset pou ce couplage de fuite ( > khz ), l'impédace magétisate est sutée pa l'impédace de l'eoulemet secodaie à laquelle s'ajoute l'impédace ececée du cout cicuit. Le appot est ecoe tès difféet de pou des féqueces iféieues à khz mais ceci est dû au mesues vues de l'eoulemet secodaie qui sot top impécises e basse féquece. 76

77 Capite : Idetificatio epéimetale La patie iductive qui ous itéesse vaimet (ete khz et 4 MHz ) coespod assez bie à la téoie : il mote ue vaiatio autou de de plus ou mois %. L'epessio de cette impédace peut ous ête utile pou évalue le appot du coupleu de fuite..96 mω.5.3 mω 6.7 H.6 H Rappot des impédaces Féquece (Hz) Z_o_3o*Z_cc_3o/Z_o_3o*Z_cc_3o Figue -8 : Modèle de cout cicuit et validatio III.3.b.v. Coupleu de fuite Pou caactéise le couplage des iductaces de fuites auiliaie et secodaie, il faut coutcicuite l'eoulemet pimaie. Les mesues qui ous sot utiles sot m6, m8, m et m. Nous avos vu péalablemet que le couplage ete ces deu eoulemets semblait faible. Le appot de tasfomatio de ce coupleu η sa peut cepedat ête calculé e cosidéat que le tasfomateu de fuite possède deu eoulemets (.4) ; o peut cosidée que c'est le cas losque le pimaie est cout-cicuité ca au féqueces qui ous itéesset ici ( > khz ), la ésistace de l'eoulemet pimaie 'a plus d'impact. Le ésultat est péseté su la figue (Figue -9). Rappot de tasfomatio Féquece (Hz) Rappot Auiliaie/Secodaie (Tasfomateu de fuite) Figue -9 : Rappot de tasfomatio coupleu de fuite Le appot obteu est éel et quasi-costat à pati de khz. Ue icetitude pesiste coceat le sige des appots de tasfomatio. E effet, si les ses des couplages Pimaie/Secodaie et Pimaie/Auiliaie découlet de la costuctio du composat, celui du tasfomateu de fuite 'est pas défii. Il est pafois positif, pafois égatif et ce sige e se déduit pas d'u aisoemet simple. Les mesues d'impédaces que ous éalisos e doet que le caé de ce appot. U essai supplémetaie, la mesue d'u gai e tesio doit ête effectuée pou détemie le ses de ce couplage. 77

78 Capite : Idetificatio epéimetale Le coefficiet de couplage du tasfomateu de fuite est de l'ode de k =. 4. Ce couplage a été calculé e foctio des valeus détemiées pécédemmet. Losque le coefficiet de couplage est faible, les deu iductaces couplées sot pesque découplées. Bie etedu, ue tesio popotioelle au couat pimaie est iduite au boes du secodaie, mais das le tasfomateu de fuite, le plus impotat ce sot les impédaces qui s'isèet e séie. O peut das ce cas suppime ce coupleu. III.3.b.vi. Scéma fial Le deie paamète du scéma iductif est la ésistace équivalete de petes paallèles qui peut ête détemiée e foctio de la pemièe ésoace los de la mesue de l'impédace à vide. Apès tous ces calculs le cicuit iductif fial obteu est péseté su la Figue mΩ 4.5mΩ H H 79.33H 79. mω Pimaie 396Ω 63mΩ 7.4 H Auiliaie.94 mω H 4.5 H.77 mω Secodaie Figue -3 : Modèle iductif du tasfomateu III.3.b.vii. Validatio du modèle iductif Ce modèle a été itoduit sous Pspice pou ête validé. Toutes les cofiguatios de mesues ot été simulées et compaées au mesues éelles. Les ésultats de la Figue -3 sot si difféets eemples avec, ou couts cicuits. 78

79 Capite : Idetificatio epéimetale Impédace Module (Om). 3 Impédace Module (Om) Féquece (Hz) Z_o_3o mesué Z_o_3o simulé Féquece (Hz) Z_o_3o mesué Z_o_3o simulé Impédace Module (Om) Impédace Module (Om) Féquece (Hz) Z3_o_o mesué Z3_o_o simulé Féquece (Hz) Z_cc_3o mesué Z_cc_3o simulé. 3 Impédace Module (Om) Impédace Module (Om) Féquece (Hz) Z_cc_3cc mesué Z_cc_3cc simulé Féquece (Hz) Z3_cc_cc mesué Z3_cc_cc simulé Figue -3 : Validatio du modèle iductif Le modèle doe de bos ésultats. Les difféeces qui appaaisset au iveau iductif sot dues à ue modélisatio isuffisammet pécise des vaiatios d'iductace et des petes. Il faudait ajoute des cellules Lp-Rp pou tei compte, de faço plus fie, de la décoissace des iductaces de fuite e foctio de la féquece (Figue -7). Les picipales difféeces appaaisset das le cas etême où deu eoulemets sot cout-cicuités e même temps. Cette cofiguatio 'état pas couate, ous 'avos pas voulu complique os modèles pou tei compte fiemet de ces vaiatios iductives. 79

80 Capite : Idetificatio epéimetale III.3.c. Coclusio su la gééalisatio L'eemple du tasfomateu à tois eoulemets que ous avos taité a foui l'occasio d'étede la métode de caactéisatio que ous avos mise au poit pou u tasfomateu à deu eoulemets. Si le ombe d'eoulemet augmete, la tecique este la même. Il faut, das u pemie temps, caactéise deu pa deu les eoulemets pa des mesues à vide et des mesues avec u cout-cicuit. Quel que soit le ombe d'eoulemets, il faut esuite caactéise de faço plus pécise le tasfomateu de fuite. Pou ce faie, l'eoulemet magétisat est cout-cicuité et la détemiatio cotiue e s'appuat su des mesues d'impédaces avec au mois deu couts-cicuits. S'il este ecoe des couplages ifluets à caactéise, l'eoulemet "magétisat" du tasfomateu de fuite est lui aussi cout-cicuité et d'autes mesues, avec au mois tois couts-cicuits, sot éalisées, etc. E patique, ous 'avos ecoe jamais eu à eploite des mesues avec tois couts-cicuits ou plus. IV. VERS UN MODELE COMPLET L'ASPECT CAPACITIF Nous avos vu que les paties iductives et capacitives d'u composat magétique pouvaiet ête sépaées et epésetées pa deu cicuits idépedats mis e paallèle. Les modèles iductifs qui ot été obteus das le paagape pécédet sot fiables. Nous allos maiteat ous itéesse à l'aspect capacitif, de faço à obtei u modèle de tasfomateu valable su ue lage plage féquetielle, s'étedat au delà des pemièes ésoaces. Sas epede toute la téoie et la métode de détemiatio des capacités développées pa ote équipe [SCHELLMANNS-99-], ous allos ous itéesse à l'aspect patique coceat u tasfomateu à tois eoulemets afi de dispose d'ue métode apide pou obtei ses capacités paasites. IV.. Quelques appels A caque fois que des sufaces métalliques poces se fot faces, des capacités appaaisset. Das u tasfomateu, les diveses spies de tous les eoulemets sot à l'oigie d'ue multitude de capacités et il 'est pas facile, e aalsat les coses de faço locale, de savoi combie de capacités doivet ête itoduites et où elles doivet l'ête das le cicuit équivalet. L'appoce adoptée pa ote équipe est globale. De même que l'esemble des effets électostatiques d'ue iductace se maifeste, e pemièe appoimatio, pa ue seule capacité e paallèle, le compotemet électostatique d'u tasfomateu se taduit pa la pésece, e paallèle su le sstème magétique, d'u sstème électostatique. Nous supposos e oute que ce sstème est liéaie et statioaie et, puisque l'état d'u tasfomateu à eoulemets se 8

81 Capite : Idetificatio epéimetale décit pa difféeces de potetiels idépedates, la matice capacité (smétique) du sstème électostatique comped ( ) élémets idépedats. Ue pemièe epésetatio du couplage électostatique du tasfomateu est obteue e plaçat ue capacité ete toutes les paies de boes du tasfomateu (soit ( ) capacités). Les valeus positives ou égatives de ces capacités sot ajustées pou que le dispositif stocke, e pemaece, la même éegie électostatique que le tasfomateu. Aisi, 5 capacités bie coisies doet ue tès boe image du compotemet d'u tasfomateu à tois eoulemets (Figue -3). C 7 C 8 C Pimaie C 3 A E Auiliaie F Modèle iductif B 3 eoulemets C Secodaie D C C C 3 C C 5 4 C 6 C 5 C 4 C C 9 C Figue -3 : Modèle capacitif complet à 5 codesateus Das le cas où cetais couplages magétiques sot tès seés, ue appoimatio pemet de simplifie la epésetatio et de facilite l'idetificatio. E effet, dès que deu eoulemets sot tès fotemet couplés, la tesio au boes de l'u est quasimet popotioelle au boes de l'aute : ces tesios e sot plus idépedates. Pa eemple, losque les tois eoulemets d'u tasfomateu sot fotemet couplés, o peut die, e pemièe appoimatio, que so état électostatique est décit pa tois difféeces de potetiels idépedates. Le cicuit équivalet (Figue -33) se cotete alos de si capacités (ombe d'élémets idépedats d'ue matice smétique 33). Pou tois et plus d'eoulemets, o pocède de la même faço pou positioe les capacités des modèles "allégés". O place pemièemet ue capacité ete les boes de l'eoulemet pimaie. O elie esuite tous les poits cauds des autes eoulemets, e patat de caque boe pimaie, pa ue capacité (soit ( ) ( ) capacités au total). Il este efi à elie ete eu tous les autes poits cauds des eoulemets estat pa ue capacité. Au fial, cette métode ous doe 6 capacités pou u tasfomateu à tois eoulemets, 8

82 Capite : Idetificatio epéimetale pou u tasfomateu à quate eoulemets, 5 pou u tasfomateu à ciq eoulemets (soit autat que le ombe d'élémets idépedats das la matice) C Pimaie C 3 A E F Modèle iductif B 3 eoulemets C D C C 5 4 Auiliaie Secodaie C 6 C Figue -33 : Modèle capacitif à 6 codesateus Cette epésetatio simplifiée peut, si écessaie, ête complétée pa l'adjoctio de 9 autes capacités pou atteide la epésetatio complète. E cas de couplages fots, cet ajout est souvet iutile : les difféeces e se maifestat que su les ème ou 3 ème ésoaces, c'est-à-die au-delà de la féquece de tavail. IV.. Aspect patique pou u tasfomateu à tois eoulemets E téoie, pou u tasfomateu 3 eoulemets, il faut doc 5 capacités pou epésete l'aspect capacitif du tasfomateu (5 potetiels sot idépedats doc la matice capacité est ue matice 55 smétique qui possède 5 élémets idépedats). E patique, ous avos vu que seulemet 6 capacités (Figue -33) suffiset pou ede compte des picipau péomèes. Pou détemie les 6 capacités du scéma ci-dessus, il est écessaie d'avoi 6 équatios idépedates découlat de difféetes mesues. Das u pemie temps, les capacités iteeoulemets sot idetifiées. Pou ce faie, les tois eoulemets sot cout-cicuités ce qui amèe le scéma à u sstème électostatique à tois poits. E eliat deu de ces poits à caque mesue, tois mesues idépedates sot possibles (Figue -34). Das u deuième temps o mesue des capacités sas cout cicuit d'eoulemet. Das ces coditios, seule l'iductace magétisate iteviet. La féquece de ésoace est mesuée et les capacités sot calculées e foctio de la valeu de l'iductace magétisate à cette féquece. 8

83 Capite : Idetificatio epéimetale 83 V mes A B C D E F I mes V mes A B C D E F I mes V mes A B C D E F I mes V mes A B C D E F I mes V mes3 A B C D E F I mes3 V mes3 A B C D E F I mes3 V mes4 A B C D E F I mes4 V mes4 A B C D E F I mes4 V mes5 A B C D E F I mes5 V mes5 A B C D E F I mes5 A B C D E F I mes6 V mes6 A B C D E F I mes6 V mes6 Figue -34 : Si mesues capacitives Ces 6 mesues ous doet u sstème de 6 équatios à 6 icoues (.) qui se ésout aisémet (.3). = = = = = = C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C m m m m m m (.) = = = = = = m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C (.3) IV.3. Validatio pou le tasfomateu tois eoulemets Ces mesues de capacités ot été éalisées los de mo DEA [MARGUERON-3]. Les si valeus de codesateus ot été détemiées à pati des elevés d'impédaces pésetés cidessus.

84 Capite : Idetificatio epéimetale Impédace Module (Om). 3 Impédace Module (Om) Féquece (Hz) Z_o_3o mesué Z_o_3o simulé Féquece (Hz) Z_o_3o mesué Z_o_3o simulé Impédace Module (Om) Impédace Module (Om) Féquece (Hz) Z3_o_o mesué Z3_o_o simulé Féquece (Hz) Z_cc_3o mesué Z_cc_3o simulé. 3 Impédace Module (Om) Impédace Module (Om) Féquece (Hz) Z_cc_3cc mesué Z_cc_3cc simulé Féquece (Hz) Z3_cc_cc mesué Z3_cc_cc simulé avec C =.6 pf, C = 37.4 pf, C = 8.6 pf, C = pf, C = 6.6 pf, C 5. 8 pf = Figue -35 : Validatio du modèle complet La Figue -35 pésete, pou diveses cofiguatios, la compaaiso du module des impédaces mesuées avec celui déduit de la simulatio du modèle sous Pspice. Les ésultats issus du modèle cocodet tès bie avec les valeus mesuées. Plus pécisémet, toutes les féqueces des pemièes ésoaces paallèles sot bie localisées. Pou les impédaces à vide, les amplitudes des ésoaces sot idetiques à celles mesuées. Coceat les autes ésoaces (séie pou les impédace à vide ou paallèle pou celles e cout cicuit), les féqueces sot bie évaluées, mais il subsiste u écat au iveau de l'amplitude. Ce deie est essetiellemet dû à la 84

85 Capite : Idetificatio epéimetale simplicité du modèle adopté pou les iductaces de fuite. Ue cellule Lp-Rp, c'est top peu pou ede compte pécisémet de la vaiatio féquetielle des iductaces due au couats iduits. Cette dimiutio s'accompage toujous d'ue coissace de la ésistace séie et c'est cette ésistace qui amotit les ésoaces. Avec plus de cellules, la vaiatio ésistive seait mieu epésetée et l'amotissemet du modèle seait plus cofome à celui obsevé epéimetalemet. L'ajustage mauel d'u ombe plus gad de cellules est tès log. Nous evisageos, pa la suite, de éalise cette opéatio automatiquemet e utilisat u algoitme d'optimisatio. Ces modèles obteus sot pécis jusqu'à plus de foctioemet de ce tasfomateu état de de ag 4. MHz. La féquece fodametale de 5 khz, le scéma est valable jusqu'à l'amoique V. VALORISATION D'UNE CARACTERISATION H.F. Les modèles de tasfomateus semblet aptes à bie taduie leu compotemet électique. Nous avos eu l'occasio de teste l'itéêt de ce tpe de modèle au cous de la simulatio d'ue stuctue d'électoique de puissace. Ce tavail a été l'objet d'u stage de maste pofessioel [MOREL-4], e collaboatio avec THALES. Sas ete das des détails teciques de la stuctue, le covetisseu s'appuie su les stuctues FORWARD et FLYBACK dot il eped les picipes de base. Il délive 5 A sous 5 V. L oigialité de cette stuctue éside das le fait que l iductace FORWARD, omalemet au secodaie, est ameée au pimaie. Cette iductace est e éalité l iductace magétisate d u aute tasfomateu qui, e pase de estitutio, pemet de écupée l éegie stockée pedat la pase de FORWARD. Le but de l'étude était d'évalue l'itéêt que pouvait appote ote modèle de tasfomateu pa appot à u aute, plus classique, qui était utilisé jusque là pedat les simulatios de stuctue. Ce deie était simplemet composé d'ue ésistace séie, d'ue iductace magétisate, de deu coupleus et de deu iductaces de fuite "fies" (Figue -36). Note ouveau modèle "H.F." tiet compte des vaiatios féquetielles des iductaces et des aspects capacitifs qui liet les tois eoulemets. 85

86 Capite : Idetificatio epéimetale Les simulatios avec les deu modèles (H.F. et classiques) sot compaées à des elevés epéimetau effectués su ue maquette (Figue -37). Le scéma équivalet H.F. appote des eseigemets supplémetaies. Figue -36 : Modèle classique Cofomémet à l'obsevatio, il mote que des oscillatios autes féqueces appaaisset su le couat. Cepedat, leu amplitude et leu féquece e coïcidet pas pafaitemet avec la mesue. L'iductace de fuite de l'eoulemet secodaie est tès impotate puisqu'elle iflue su des miimums de tesios et su la féquece des oscillatios du couat. Celles qui ot été idetifiées, que ce soit pou le modèle H.F. ou pou celle fie du modèle classique, sot tès impécises puisqu'elles e sot que de quelques H Ic_passif4 Ipim_TAS 3 Ipim_LEG Ic_passif t3, titas Simulatio Modèle classique Mesue maquette a tilegt3, Simulatio Modèle H.F. Mesue maquette b Figue -37 : Compaaiso de fomes d'odes simulées et mesuées a : Modèle classique b : Modèle H.F. Les ésultats obteus su cage passive e sot pas aussi cocluat que ous l'auios imagié. Le modèle de tasfomateu H.F. pemet de faie appaaîte des péomèes que le modèle simplifié e motait pas, même si ces deies estet appoimatifs. E fait, des poblèmes autes que ceu coceat la modélisatio du tasfomateu sot appaus los de cette étude. Les modèles des autes composats de la stuctue ot posé des poblèmes, ca soit ils 'étaiet pas dispoibles, soit ils 'étaiet pou la plupat, pas tès élaboés (eemple : paamètes iductifs et capacitifs des MOS, epésetatio de la cage passive ). Les impédaces paasites de câblage ot aussi joué u ôle impotat. Elles 'étaiet pas pises e 86

87 Capite : Idetificatio epéimetale compte los des simulatios, o, vu l'ode de gadeu des impédaces au secodaie du tasfomateu, leu ifluece est loi d'ête égligeable! Pou coclue bièvemet, il semble que dispose d'u modèle pécis de tasfomateu soit tès itéessat, mais il faut que ce deie soit accompagé pa des modèles fiables de tous les composats de la stuctue de puissace, câblage compis. Das l'alimetatio testée, beaucoup top d'impécisios eistaiet au iveau des modèles de composats et des élémets de câblage paasites o pis e compte, pou modélise la totalité du cicuit. N'oublios pas o plus de egade objectivemet les mesues : o seulemet leu pécisio est limitée, mais e plus, l'itoductio des sodes petube otablemet le motage [CAUFFET-9]. VI. CONCLUSION Ue métode patique de détemiatio des élémets iductifs du scéma équivalet d'u tasfomateu à eoulemets a été mise au poit. Elle est basée uiquemet su des mesues d'impédaces. Le modèle obteu est itéessat puisqu'il tiet compte des vaiatios féquetielles des difféetes iductaces. Toute la caactéisatio s'effectue uiquemet à l'aide de mesues d'impédaces à vide et e cout-cicuit, ce qui coespod au zoes etêmes de foctioemet pou u tasfomateu. Toutes les mesues effectuées sot coisies de telle faço qu'elles ous appotet soit le maimum d'ifomatios soit la meilleue pécisio, soit les deu combiés. Les elevés d'impédaces que ous éalisos sot souvet impécis losqu'ils coceet des iductaces et des ésistaces faibles. U gad ombe de pécautios, otammet au iveau des compesatios, des fils d'ameée et des couts-cicuits, a été péseté afi de s'affaci de toutes ces impécisios. E oute, ous avos itoduit l'idice de cofiace qui est u ecellet epèe pou évalue la qualité des mesues et détecte les poblèmes. La métode d'idetificatio a été appliquée à deu tasfomateus (à deu et à tois eoulemets) et elle est gééalisable à u ombe quelcoque d'eoulemets. Les modèles iductifs obteus sot fiables jusqu'à plusieus dizaies de MHz losqu'ils sot associés à leus omologues capacitifs. Ces scémas équivalets s'avèet tès utiles pou effectue des simulatios pécises e électoique de puissace, à coditio d'ête associés à des modèles aussi pécis pou tous les autes composats, otammet pou les iteupteus. 87

88 Capite : Idetificatio epéimetale Le cicuit équivalet du tasfomateu plaa à tois eoulemets a été amélioé pou avoi ue éféece e vue du développemet de fomules aaltiques. Les valeus touvées pou les dives élémets sot celles qu'il ous fauda etouve pa des calculs aaltiques. Cette détemiatio a été suivie d'autes coceat des composats plus pefomats et plus puissats. Les ésistaces des eoulemets secodaies état de l'ode de quelques diièmes de m Ω et les iductaces e cout cicuit de quelques H, les mesues au pot sot, malgé les pécautios dacoiees pises, à leu limite de sesibilité. Il fauda s'e souvei quad ous evisageos de compae la valeu calculée d'u élémet du cicuit équivalet avec sa valeu idetifiée epéimetalemet. 88

89 Capite 3 : Calculs aaltiques des paamètes statiques du tasfomateu de fuites CHAPITRE 3 : Calculs aaltiques des paamètes statiques du tasfomateu de fuites 89

90 Capite 3 : Calculs aaltiques des paamètes statiques du tasfomateu de fuites 9

91 Capite 3 : Calculs aaltiques des paamètes statiques du tasfomateu de fuites I. INTRODUCTION La pédétemiatio des iductaces de fuites est u ejeu impotat pou le mode idustiel. E effet, au sei d'u covetisseu, les fuites d'u tasfomateu jouet u ôle capital los des pases de commutatio. Cofomémet à la demade idustielle qui, à teme, vise l'optimisatio automatique des composats, ote objectif ici, est de pavei à cette pédétemiatio pa des moes aaltiques. Comme toujous, pou ce tpe d'appoce, des appoimatios sot écessaies. Celles eteues ici sot issues de deu obsevatios faites au cous de la simulatio, sous Flu3D [FLUX], d'u tasfomateu de tpe EP3. Ces obsevatios seot pésetées pa la suite. Les pémices de ces tavau ot été meés e collaboatio avec David Magot los de sa tèse. Les pemies ésultats ot été pésetés das [MAGOT-4-] et [MAGOT-4-]. I.. Défiitio des iductaces de fuites Le scéma équivalet iductif d'u tasfomateu deu eoulemets peut ête epéseté pa deu iductaces, tois ésistaces et u coupleu pafait (Figue 3-). L f η Pimaie R L m Secodaie Figue 3- : Scéma équivalet tasfomateu deu eoulemets Avec : : Résistace de l'eoulemet pimaie : Résistace de l'eoulemet secodaie (ameée au pimaie) L m : Iductace magétisate L f : Iductace de fuite (ameée au pimaie) R : Résistace de petes fe η : Rappot de tasfomatio du coupleu pafait Si le couplage ete le pimaie et le secodaie du tasfomateu est fot ( k tedat ves ), le appot de tasfomatio η est patiquemet égal au appot du ombe de spies des deu eoulemets et l'iductace de fuite est beaucoup plus faible que l'iductace magétisate. L'ifluece de L f appaaît, su ue mesue d'impédace (Figue 3-) losque l'eoulemet secodaie est cout-cicuité. Cette mesue peut ête effectuée su ue cetaie 9

92 Capite 3 : Calculs aaltiques des paamètes statiques du tasfomateu de fuites plage de féqueces (zoe 4). Les aute zoes sot domiées espectivemet pa d'autes composats : ésistace pimaie (zoe ), iductace magétisate (zoe ), ésistace des deu eoulemets (secodaie ameé au pimaie) (zoe 3) et capacités (zoe 5). E deos de la zoe 4, l'iductace de fuite est masquée pa au mois u aute composat. Impédace Module (Om) Féquece (Hz) Figue 3- : Mesue d'impédace et zoes caactéistiques Si les deu eoulemets (Figue 3-) sot pacouus pa des couats de ses opposés dot le appot est égal au appot du ombe de spies, le couat das l'iductace magétisate s'aule. Cette situatio se ecote losque la féquece est assez élevée et que l'eoulemet secodaie est cout-cicuité. Les ampèes tous sot alos compesés et l'éegie magétique est itégalemet stockée das l'iductace de fuite (3.). W = L f I (3.) I.. Pouquoi est-il impotat d'évalue u tel paamète? Les iductaces de fuites jouet u ôle détemiat los des commutatios des stuctues d'électoique de puissace. Cotaiemet au iductaces magétisates, il 'est pas aisé de pédétemie leus valeus pa calcul. Gééalemet, les iductaces de fuite sot mesuées e pase de post coceptio ou évaluées atéieuemet pa des simulatios "élémets fiis", tès coûteuses e temps de calcul. Coaissat leu impact su les commutatios (sutesios, petes supplémetaies ), les cocepteus doivet pévoi les valeus des iductaces de fuites pou ête cetai que leus motages foctioeot coectemet, avec des petes aisoables los des cagemets d'état des composats actifs. 9

93 Capite 3 : Calculs aaltiques des paamètes statiques du tasfomateu de fuites L'objectif de cette patie est de touve ue fomulatio aaltique doat, pou de ombeuses fomes d'eoulemets, la valeu de l'iductace de fuite avec ue pécisio suffisate (de l'ode de quelques %). I.3. Etat de l'at Les métodes de calcul des iductaces de fuite sot basées su la détemiatio de l'éegie magétique stockée, das le cas où les Ampèe tous se compeset. Cette éegie peut ête calculée à pati de l'epessio du camp H (3.) ou, à pati de l'epessio du potetiel vecteu A (3.3). H : Camp magétique W = H dv (3.) : Peméabilité du milieu W = A J dv (3.3) A : Potetiel vecteu J : Desité de couat L'itégale (3.) doit ête étedue jusqu'à l'ifii, tadis que l'itégale (3.3) se limite à la égio das laquelle la desité de couat J 'est pas ulle, c'est à die à la égio occupée pa les coducteus. Pou simplifie ces calculs, les coducteus sot gééalemet supposés ectiliges (sstème D pla). Das cette situatio, la composate de l'iductio paallèle au coducteus est ulle. E admettat cette potèse géométique, deu métodes sot taditioellemet utilisées pou calcule des iductaces de fuite. Pou la pemièe, le calcul est issu d'ue simplificatio [FERRIEUX-99] qui cosiste à églige ue des composates du camp. Esuite, pou des eoulemets cocetiques, le pofil du camp magétique est tacé das ue "cofiguatio d'iductaces de fuites" (c'est-à-die losque les Ampèe tous se compeset) e s'appuat su le téoème d'ampèe. La valeu de l'éegie magétostatique (3.) est alos calculée et la valeu de l'iductace de fuite (3.) e découle. Cette métode est tès patique das le cas d'eoulemets aat la même "auteu" das la feête, ce qui est assez féquet pou les tasfomateus bobiés stadads. La fomule qui e ésulte est simple et adaptée à l'optimisatio. Pou des géométies plus complees, otammet losque les eoulemets 'ot pas la même auteu (cas des tasfomateus plaas), cette métode est iapplicable. E effet, das ces tasfomateus, patiquemet toutes les couces de cicuit impimé sot difféetes; elles pésetet des ombes de coducteus et des agecemets difféets. Les potèses de calculs évoqués ci-dessus, sot doc loi de la éalité. 93

94 Capite 3 : Calculs aaltiques des paamètes statiques du tasfomateu de fuites La deuième métode de calcul epose su u calcul de double séie de Fouie [SCHUTZ- 99]. La ésolutio de l'équatio de Poisso D à l'itéieu d'ue feête de tasfomateu, effectuée e sépaat les vaiables et e s'appuat su les doubles séies de Fouie, pemet d'évalue le camp das la feête. La composate du camp, égligée das la pécédete métode, est ici pise e compte. Pou la ésolutio de l'équatio de Poisso o a besoi d'ue coditio au limites : o suppose que les liges de flu sot pepediculaies au bods de la feête de bobiage. Cette potèse 'est pas toujous acceptable, otammet pou les bobiages dot les eoulemets e sot pas complètemet etoués pa le cicuit magétique. Aute icovéiet, la décompositio e séie de Fouie covege letemet, sutout e pésece de foctios à vaiatios busques: coducteus méplats, feête ectagulaie. Vu que la décompositio est double, si amoiques sot écessaies das u ses et das l'aute, la séie iclut déjà ue cetaie de temes Les deu métodes pécédetes sot patiques pou obtei des epessios aaltiques appocées, mais leus potèses fodatices e s'appliquet pas à tous les cas. Ue métode plus gééale a doc été développée pou évalue l'iductace de fuite d'u tasfomateu à deu eoulemets. II. METHODE DE CALCUL DES INDUCTANCES DE FUITE STATIQUES La métode mise au poit das cette patie epose su les epessios eactes du potetiel vecteu et des deu composates de l'iductio céés pa des coducteus ectiliges de sectio ectagulaie. Nous allos mote que, losque le couat total qui la tavese est ul, le camp das ue feête de tasfomateu s'e déduit facilemet. II.. Simulatio Flu3D et obsevatio U tasfomateu de tpe EP a été simulé sous le logiciel Flu3D. Ce tasfomateu EP [FERROXCUBE] possède la paticulaité d'avoi u cicuit magétique qui 'est pas femé (Figue 3-3). Il possède ue jambe cetale clidique et seule ue patie des eoulemets est etouée pa du matéiau magétique. L'aute Figue 3-3 : Noau de tpe EP est das l'ai et la jambe cetale du oau s'e appoce su u seul coté. Les desités d'éegie ot été epésetées su deu sectios otogoales passat pa l'ae de la jambe cetale (Figue 3-4). Celle de gauce est das l'ai tadis que celle de doite est etouée de matéiau magétique. 94

95 Capite 3 : Calculs aaltiques des paamètes statiques du tasfomateu de fuites Eoulemet das l'ai Eoulemet etoué de CM Figue 3-4 : Desité d'éegie das u tasfomateu EP3 Deu emaques s'imposet los de l'eploitatio de ces ésultats : Pemièemet, il sembleait que l'éegie magétostatique soit égligeable das le oau magétique. E effet, la desité d'éegie qui paviet à la suface du feite est au mois vigt fois plus petite que le maimum (localisé ete les deu eoulemets pimaie/secodaie). La faible icidece du oau magétique est cofimée pa le fait que la desité d'éegie das le pla où l'eoulemet est das l'ai a le même aspect que das le pla où l'eoulemet est etoué de feite. Das u deuième temps, ue desité d'éegie de même pofil a été touvée, e D, pou deu coducteus ectagulaies tavesés pa des couats égau et opposés (Figue 3-5). Ce tacé fait appaaîte les mêmes fomes que das le cas du tasfomateu (Figue 3-4). Ce calcul aat été effectué e supposat les coducteus ectiliges, la coubue autou de la jambe cetale du cicuit magétique e semble pas détemiate pou la fome de la desité d'éegie. Les calculs 'ot doc pas, à Figue 3-5 : Desité d'éegie calculée pou coducteus ectagulaies ectiliges pemièe vue, besoi d'ête effectués e tois dimesios. Le bie fodé ce ses emaques, coceat l'ifluece du cicuit magétique, aisi que celle de la coubue des eoulemets, sea établi au cous du taitemet des applicatios (cf. III). II.. Hpotèses de calcul Das le cas où tous les matéiau sot liéaies, omogèes, isotopes, ous allos tie pofit des obsevatios ci-dessus, e fomulat tois potèses. 95

96 Capite 3 : Calculs aaltiques des paamètes statiques du tasfomateu de fuites Les calculs sot éalisés e D pla. Les couats sot pepediculaies au sectios des coducteus et ils sot uifomes su ces sectios. Le dispositif est e situatio de "mesue" d'iductace de fuites, c'est-à-die avec u ombe total d'ampèe tous égal à zéo, ou, e D avec u couat total das la feête égal à zéo. Les eoulemets sot costitués soit de coducteus ectagulaies soit de goupemets de fils pouvat ête assimilés à des coducteus ectagulaies pacouus pa des couats uifomes. II.3. Picipe de calcul Le camp d'u coducteu ectilige (Figue 3-6), ifii, de sectio ectagulaie a b, pacouu pa u couat uifome I est cou. Das u epèe Oz dot l'ae z est paallèle au coducteu les aes O et O sot paallèles au faces de la sectio, le potetiel vecteu est diigé suivat Oz et l'iductio lui est pepediculaie. E oute, la camp e vaie pas suivat Oz. b a Figue 3-6 : Coducteu méplat Pou calcule le camp das u feête de tasfomateu, il faut d'abod ajoute les camps dus à tous les coducteus ectagulaies, ou esembles de coducteus assimilables à de tels coducteus (Figue 3-7). Aisi, l'ifluece de cacu d'ete eu est sommée pou obtei les epessios globales de A z, B et B (3.4) (3.5) (3.6). *a *a *b I A z Nb _ cod ( ) = Az (, ), (3.4) k= k k k I *b B Nb _ cod ( ) = B (, ), (3.5) k= k k k Figue 3-7 : Ifluece de plusieus coducteus B Nb _ cod ( ) = B (, ), (3.6) k= k k k avec Nb _ cod le ombe de coducteus Esuite, la pise e compte du cicuit magétique, dot l'ifluece appelos-le est faible, se fait pa la métode des images magétiques. Comme le couat total das la feête est ul, le 96

97 Capite 3 : Calculs aaltiques des paamètes statiques du tasfomateu de fuites camp qu'elle cée décoît assez vite avec la distace et seules les images poces doivet ête pises e compte. Ue desité d'éegie pa uité de logueu (3.7) ou (3.8) est esuite calculée à pati des fomules (3.) ou (3.3). B ( ) dd (3.7) B : Module de l'iductio Wl =, Wl = Az J z dd (3.8) A z : Potetiel vecteu J z : Desité de couat uifome Le domaie d'itégatio des elatios (3.7) et (3.8) 'est pas le même. E effet, si l'itégale de l'iductio doit ête éalisée das tout l'espace, celle su le potetiel vecteu se limite au coducteus. Le camp décoît losqu'o s'éloige des coducteus si bie que l'itégatio de B coît de plus e plus letemet losqu'o élagit la suface d'itégatio, sas jamais atteide la valeu eacte de la desité d'éegie. E evace, l'itégale su le potetiel vecteu (3.8) atteit sa valeu fiale dès que tous les coducteus sot eglobés. Pou obtei l'éegie totale du sstème, il faut esuite touve u cemi moe, coespodat à ue spie dite "moee", pou effectue l'itégale su la toisième dimesio. Etat doé que le calcul est e D pla, il suffit de multiplie la valeu obteue pécédemmet pa ue logueu. Efi, la fomule (3.) doe la valeu de L f e patat de l'éegie. II.4. Potetiel vecteu et iductio d'u méplat ifii L'epessio du potetiel vecteu est issue de la fomulatio PEEC [RUEHLI-74], [CLAVEL-96]. II.4.a. Epessios aaltiques Pou u coducteu ectilige ifii, ue distibutio uifome du couat su la sectio ectagulaie a b doe u potetiel vecteu dot l'epessio est : A z I 6 a b (, ) = [ ( a)( b) l ( a) ( b) b ( a) acta ( b) b ( a) acta ( b) ( a)( b) l ( a) ( b) b ( a) acta ( b) ( a)( b) l ( a) ( b) b a ( a) acta ( b) acta ( a)( b) l ( a) ( b) a a a a a acta b a acta b a acta b b (3.9) 97

98 Capite 3 : Calculs aaltiques des paamètes statiques du tasfomateu de fuites 98 Cette équatio (3.9) peut s'écie sous ue fome plus compacte : [ ] [ ] b Y b Y a X a X z Y X F b a I A = = = = =, 4, avec = Y X Y X Y X Y X XY Y X F acta acta l, (3.) Sacat que A ot B =, les composates de l'iductio s'écivet : = l l acta acta acta acta [ 6, b a b a a b a b a a b a b a b b a b a b b a I B (3.) = l l acta acta acta acta [ 6, b a b a b b a b a b a b a b a a b a b a b a I B (3.) II.4.b. Validatio des epessios Les epessios de B et B (3.) (3.) peuvet ête cofotées au valeus ésultat de simulatios FluD. Das ce but, ous ous itéessos à l'agecemet de coducteus décit pa la Figue 3-8 avec deu eoulemets alimetés: Le pimaie (34 coducteus) et l'auiliaie (3 coducteus), pacouus espectivemet pa u couat de A.5 et de A 3 7. Le couat total est ul et les coditios de "calcul d'iductace de fuite" sot éuies. Les coducteus e sot pas, pou l'istat, etoués de cicuit magétique et ils sot cosidéés comme ifiimet logs, ceci afi de especte les potèses pemettat d'obtei les epessios aaltiques. Auiliaie Pimaie Cemi de test Auiliaie Pimaie Cemi de test Figue 3-8 : Agecemet de coducteus méplats Les composates du camp ( B et B ) sot calculées su le cemi de test de la Figue 3-8, de faço aaltique et pa simulatio. La compaaiso des ésultats, pésetée su la Figue 3-9, valide les epessios aaltiques.

99 Capite 3 : Calculs aaltiques des paamètes statiques du tasfomateu de fuites. Iductio B (Tesla).5. Iductio B (Tesla) Cemi Simulatio Flu Calcul Aaltique Cemi Simulatio Flu Calcul Aaltique a b Figue 3-9 : Compaaiso Calcul aaltique/simulatio FluD pou l'iductio su le cemi de test a : B b : B Patat de ce bo ésultat, obteu pou des coducteus seuls, ous allos maiteat itoduie la métode des images magétiques afi de tei compte des matéiau magétique etouat la feête de tasfomateu. II.5. Pise e compte du cicuit magétique Nous avos vu (Figue 3-4) qu'e cofiguatio "d'iductace de fuite", l'éegie magétique déped peu de la pésece d'u matéiau magétique autou de la feête. E effet, la valeu de l'éegie su le bod de la feête était tès faible et tès peu d'éegie péétait à l'itéieu du cicuit magétique. Su la Figue 3- ous compaos, pou ue feête etièe de tasfomateu plaa, l'allue du module de l'iductio B pou ue simulatio FEM et u calcul aaltique. Ce deie est éalisé e teat compte uiquemet de la desciptio des coducteus alos que la simulatio FEM est éalisé avec les coducteus etoués pa u cicuit magétique sas petes ( = 3). A pemièe vue, la cocodace est boe, otammet là où l'iductio est fote. Toutefois, su la simulatio (Figue 3-b), des odulatios maquées appaaisset pès des bods de la feête alos qu'elles sot plus faibles selo le calcul aaltique losque seuls les coducteus sot cosidéés (Figue 3-a). Ceci mote que, pès des bods, le cicuit magétique evoie ue patie o égligeable de l'iductio icidete. La vaiatio elative est plus faible los du calcul d'éegie, puisque l'iductio est élevée au caé (3.7). Pou estime l'éegie de fuite de faço plus pécise, ous allos tei compte, au mois appoimativemet, de l'icidece du oau magétique. 99

100 Capite 3 : Calculs aaltiques des paamètes statiques du tasfomateu de fuites a b Figue 3- : Compaaiso module de B das ue feête de tasfomateu a : Calcul aaltique b : Simulatio FluD La tecique des "images magétiques" peut ête utilisée pou évalue l'effet des matéiau magétiques [STRATTON-4]. Das u pemie temps, ous feos le calcul e supposat que le matéiau magétique se compote comme s'il était ifiimet épais. Nous ceceos esuite à quelles coditios cette appoimatio est acceptable e compaat ses ésultats avec le calcul des images pou u matéiau magétique d'épaisseu fiie. L'établissemet de la métode des "images magétiques" epose su l'obtetio de la positio et de la valeu du couat à faie cicule, e emplacemet du feite, pou especte les coditios de cotiuité (cosevatio du H tagetiel et du B omal) à l'iteface ete les milieu difféets, vide et magétique. II.5.a. Cicuit magétique supposé "ifii" U fil est positioé à ue distace d'u milieu magétique semi ifii de peméabilité (Figue 3-). Des tavau su la pise e compte de matéiau magétiques supposés ifiis ot déjà été éalisés pou des composats plaas [ROSHEN-88] [ROSHEN-9-].

101 Capite 3 : Calculs aaltiques des paamètes statiques du tasfomateu de fuites I Pou le fil placé e (,) et pacouu pa u couat I, Bi Ai tois tpes d'iductios coabitet : L'iductio icidete B i qui coespod à celle B émise pa le fil. L'iductio éflécie pa le milieu magétique B. Milieu magétique Bt Figue 3- : Ifluece d'u milieu magétique ifii L'iductio B t qui est tasmise à taves la suface sépaat les deu milieu. La démostatio de cette métode des images est pésetée das l'aee I. L'équatio de Laplace D est ésolue et sa solutio gééale, associée au coditios de cotiuité à la suface sépaat les deu milieu, pemet de déduie les couats images équivalets. Elles peuvet se ésume de la faço suivate : L'iductio icidete B i est l'iductio pope du fil positioé e (,) et pacouu pa le couat I. L'iductio éflécie B coespod à l'iductio céé pa u fil positioé e (,) et pacouu pa u couat I. L'iductio B t est égale à l'iductio icidete multipliée pa u facteu. Cette démostatio s'éted sas difficulté à des coducteus ectiliges de sectio quelcoque et elle s'applique quelle que soit la peméabilité du matéiau magétique. Le poblème se complique u peu losque le coducteu se situe ete deu matéiau magétiques paallèles. Des images d'images, e ombe ifii, doivet alos ête ivoquées. Heueusemet, des appoimatios sot acceptables. No seulemet ous savos que le cicuit magétique 'iteviet que pou 4 à 5% de la valeu cecée, mais, e oute, ous avos das la feête u couat total ul. Le camp céé pa l'esemble des coducteus décoît doc vite avec la distace (pas de teme polaie) ce qui ous autoise à églige l'ifluece des images loitaies. Apès quelques essais coceat ue feête etouée su ses quate côtés, ous avos emaqué que la limitatio à 8 images (Figue 3-3) doait u tès bo ésultat alos que la pise e compte de seulemet 4 images (Figue 3-) coduisait à ue su estimatio sesible de l'iductio.

102 Capite 3 : Calculs aaltiques des paamètes statiques du tasfomateu de fuites Feête Tasfomateu Feête Tasfomateu Figue 3- : Quate images magétiques Figue 3-3 : Huit images magétiques II.5.b. Cicuit magétique d'épaisseu fiie Repeos le poblème du fil fi paallèle à u milieu magétique mais admettos cette fois que le matéiau magétique pésete ue épaisseu fiie ep (Figue 3-4). Tois zoes appaaisset: le milieu '', composé d'ai das lequel est plogé le fil. le milieu '', magétique avec ue peméabilité. le milieu '3', composé d'ai, situé de l'aute coté du milieu magétique. Atéieuemet, des tavau ot été meés pou pede e compte l'épaisseu fiie de matéiau magétiques das la métode des images. Pou les composats plaa, o peut cite [ROSHEN-9-] qui doe des epessios, basées su les tavau de [SILVESTER-68], pemettat de calcule cette ifluece pou ue iductace costituée d'ue spiale de couat positioée au dessus d'u substat magétique d'épaisseu fiie. I Pou le fil placé e (,) das u milieu appelé '' et pacouu pa u couat I, ciq iductios doivet ête distiguées : Ai L'iductio icidete B i qui coespod à celle émise pa le fil das le milieu ''. Milieu magétique Ai 3 B i B B t ep B B 3t t Figue 3-4 : Ifluece d'u milieu magétique d'épaisseu fiie L'iductio éflécie B pa le milieu magétique '' das ''. L'iductio B t qui est tasmise das le milieu ''. Ue ouvelle iductio B qui est éflécie pa la ème face du feite Ue deièe iductio B 3 t qui est tasmise das le milieu '3'.

103 Capite 3 : Calculs aaltiques des paamètes statiques du tasfomateu de fuites La démostatio meat au epessios des difféets camps est pésetée das l'aee II. Pou ue feête de tasfomateu, le camp éfléci H est celui qui est evoé ves la feête. Il doe, avec le camp icidet H i (,, I ), la valeu du camp total das lequel sot plogés les coducteus. Il peut se mette sous la fome gééale (3.3) : H = 4 Hi,, I H,, i ep I = (3.3) Cette epessio se décompose e temes : Le e est, comme pou le cas milieu ifii, le camp céé pa u fil positioé e (,) et pacouu pa u couat I. Le d coespod à la somme des camps céés pa ue ifiité de fils positioés e (, ep) et pacouus pa des couats I. Ce teme est podéé pa u facteu ete les bods du feite. 4. Cette somme est due au éfleios multiples du camp II.5.c. Milieu ifii ou épaisseu fiie? Le pemie teme de l'équatio (3.3) est idetique à l'image que ous avios d'u milieu magétique ifii. Pou le secod teme, le facteu est focémet iféieu à u et il dimiue quad l'image cosidéée ecule. Aisi, au fu et à mesue que coit, le couat image est plus faible et il est situé de plus e plus loi la suface. So icidece das la feête est doc de plus e plus petite. Le modèle "milieu ifii" doit doc, das cetaies situatios, ête suffisat. Pou cece les appoimatios acceptables, ous avos étudié le camp céé pa u fil fi ectilige pacouu pa 5 A et placé à 5mm = d'ue plaque ifiie de feite. Nous avos coisi de compae le module de l'ecitatio obteue das l'ai, cote la suface, e Figue 3-4. = 5 mm 3

104 Capite 3 : Calculs aaltiques des paamètes statiques du tasfomateu de fuites Camp H (module) 4 3 Camp H (module) Epaisseu Feite (m ) =4, somme ifiie =4, somme su temes =4, feite ifii Epaisseu Feite (m ) =, somme ifiie =, somme su temes =, feite ifii a b Figue 3-5 : Ifluece de l'épaisseu du matéiau su le module de l'ecitatio pès de la suface a : =4 b : = La compaaiso des deu coubes mote d'abod que, pou ue épaisseu ifiie, le module de l'ecitatio e vaie que de 3% (6 cote 5.5) losque passe de 4 à. Nous voos esuite qu'au-delà d'ue cetaie épaisseu, la plaque doe le même ésultat que le milieu semi ifii. E otat la vaiatio du module de H povoquée pa le passage d'ue épaisseu ulle à ue épaisseu ifiie, o peut pede comme epèe l'épaisseu pou laquelle 9% de cette vaiatio est atteite. O coclut alos qu'au-delà d'ue épaisseu d' mm pou = et de mm pou = 4, la plaque peut ête cosidéée comme ifiimet épaisse. O etieda qu'e patique il est iutile de tei compte de l'épaisseu losque la peméabilité est de l'ode de. E evace, pede e compte l'épaisseu losque est de l'ode de 4 est souvet justifié. Pou cette peméabilité, le camp coect est obteu e teat compte de à 5 images. Maiteat que les matéiau magétiques peuvet ête pis e compte de faço aaltique, il este à calcule l'éegie de fuite e combiat les camps iitiau céés pa les coducteus et ceu evoés pa le feite. II.6. Calcul de desité d'éegie et itéêt du potetiel vecteu Coaissat l'epessio de l'iductio et du potetiel vecteu du camp total das la feête du tasfomateu, la desité d'éegie pa uité de logueu peut ête calculée à l'aide de (3.7) et (3.8). L'itégale double de l'iductio doit ête étedue à tout l'espace alos que celle du potetiel vecteu se limite au égios où le couat 'est pas ul, c'est-à-die das les 4

105 Capite 3 : Calculs aaltiques des paamètes statiques du tasfomateu de fuites coducteus. Il est doc plus facile d'obtei la boe valeu à l'aide de cette secode fomulatio. L'itégatio peut ête meée soit uméiquemet, soit aaltiquemet. II.6.a. Itégatio uméique Ce tpe d'itégatio est idispesable pou compae les ésultats aaltiques au ésultats issus de simulatios f.e.m.. Le même algoitme d'itégatio est appliqué das les deu cas. Peos ue feête discétisée (Figue 3-6) puis calculos e cacu de ses ectagles, les difféetes foctios. N N élémets j j j- X Y 3 3 i- i i N N élémets Figue 3-6 : Discétisatio d'ue feête Pou l'iductio, su cette gille N N, l'itégale (3.7) deviet l'itégale uméique (3.4). Pa appot à ue itégatio su u espace ifii, le ésultat obteu ici est u ésultat pa défaut puisque l'éegie au delà de la gille 'est pas ulle. Wl N N = ( Bi j Bi j Bi j Bi j ),,,, X Y i= j= (3.4) Pou le potetiel vecteu, ue gille doit ête défiie su caque coducteu. Cette métode d'itégatio ped u temps de calcul impotat et ous amèe à péfée ue itégatio aaltique. II.6.b. Itégatio aaltique Le calcul aaltique de la desité d'éegie est basé su l'epessio du potetiel vecteu (3.9). Pou eplique la démace, ous détaillos u eemple à deu coducteus (Figue 3-7) avat de gééalise à coducteus. II.6.b.i. Eemple pou deu coducteus Pou l'eemple de la Figue 3-7, ous ous itéessos à deu coducteus d'idice ""et "" aat espectivemet : ue lageu a et a 5

106 Capite 3 : Calculs aaltiques des paamètes statiques du tasfomateu de fuites ue épaisseu b et b u décetage de ( ) et ( ) u couat I et I,, Das ce cas, la combiaiso de (3.4) et (3.8) ous doe l'epessio globale de l'éegie pa uité de logueu : Wl = = J J Scod [ A (, ) A (, )] ( A A ) dd J ( A A ) dd Scod dd (3.5) La pimitive double G de F (et doc du potetiel vecteu A (3.)) suivat et est accessible aaltiquemet (3.6). G X X 7 = 4 3 Y Y (3.6) ( X, Y ) ( X 6X Y Y ) l( X Y ) XY X acta Y acta X Y Le calcul de (3.5) se mèe doc e calculat la vaiatio de G suivat et su la suface des coducteus. Wl = J Scod Scod = J ( A A ) dd J ( A A ) a b a b [ G G ] ] J [ G G ] ] a b a dd b (3.7) Le potetiel vecteu céé pa u coducteu ceté e (,) état lui-même issu d'ue double vaiatio de la foctio F (3.), il faut e tei compte das l'epessio de G. Le positioemet de caque coducteu e ( k, k ) doit aussi ête pis e compte. L'epessio (3.7) peut aisi s'écie suivat (3.8). Wl = J J 4 J J 4 X = a Y = b X = a [ G ( X, Y )] ] J [ G ( X, Y )] ] X = a Y = b X = a Y = b X = a [ G( X, Y )] ] J [ G ( X, Y )] ] X = a Y = b 4 4 Y = b X = a Y = b Y = b X = a Y = b = a = a = a = a = b = b = b = b (3.8) Cette deièe équatio doe l'epessio de l'éegie, pa uité de logueu, du dispositif péseté su la Figue 3-7. L'étape suivate cosiste à gééalise la fomulatio de ce calcul à Nb_cod coducteus 6

107 Capite 3 : Calculs aaltiques des paamètes statiques du tasfomateu de fuites Pou u ombe II.6.b.ii. Gééalisatio à u ombe quelcoque de coducteus Nb _ cod de coducteus, l'epessio (3.8) se gééalise et s'écit : = b = a Nb _ cod Nb _ cod X a Y = b k k J = Jk [ G( X k Y k )] X a ], = k Y = bk = k = = a = b Wl = 4 (3.9) L'epessio obteue est la valeu eacte de l'éegie pa uité de logueu du sstème de coducteus auquel o s'itéesse. Das le cas où la somme des couats est ulle, elle coespod à l'éegie de fuite emmagasiée pa le tasfomateu. II.7. Cemi moe Toutes les éegies calculées pécédemmet sot évaluées pou ue uité de logueu. Pou coaîte l'éegie de fuite écessaie au calcul de L f, il faut doc multiplie les valeus obteues pa ue logueu moee. E pemièe appoimatio cette logueu coïcide avec celle de la spie moee. Cepedat, puisqu'il faut évalue l'éegie totale, il semble judicieu d'évalue cette logueu là où est le pic de desité d'éegie. Das les tasfomateus plaa, les feêtes alle et etou sot aemet smétiques l'ue de l'aute. Les iductios das caque feête état difféetes, ous évaluos le cemi moe e localisat le pic de desité d'éegie das caque feête du tasfomateu. La distace sépaat ces maimums est epésetée pa la vaiable d su la Figue 3-7. Feête gauce d Feête doite Figue 3-7 : Distace ete les maimums d'éegie de deu feêtes Vue la fome des spies, la pofodeu p (Figue 3-8) est la secode gadeu à pede e compte pou calcule le cemi moe. Sa logueu vaut doc l = d p. 7

108 Capite 3 : Calculs aaltiques des paamètes statiques du tasfomateu de fuites p Les desités d'éegie état difféetes pou les deu feêtes ( Wl G, Wl D ), la dispaité est pise e compte e podéat cacue pa la moitié du cemi moe. Figue 3-8 : Pofodeu des coducteus L'éegie totale se met doc sous la fome : W ( p d ) WlG ( p d ) WlD = (3.) Cette epessio, appocée de (3.), mèe à la valeu de l'iductace de fuite du tasfomateu. II.8. Stèse de la métode Toutes les fomules et métodes pésetées das cette patie sot egoupées das ue feuille Matcad [MATHCAD] de calcul d'iductace de fuites. Cette feuille est pésetée e Aee III. L'iductace de fuite d'u tasfomateu est calculée à pati de ciq évaluatios distictes de l'éegie qui sot poposées pou compae les difféets modes de calcul eposés das ce capite: èe évaluatio : L'éegie est calculée à pati de l'iductio B e éalisat l'itégale de B / de faço uméique. ème évaluatio : L'éegie est calculée à pati du potetiel vecteu A e calculat l'itégale de A J de faço uméique. 3 ème évaluatio : L'éegie est calculée à pati du potetiel vecteu A e calculat l'itégale de A J de faço aaltique. 4 ème évaluatio : L'éegie est calculée à pati du potetiel vecteu A e calculat l'itégale de A J de faço aaltique e teat compte de 4 images magétiques. 5 ème évaluatio : L'éegie est calculée à pati du potetiel vecteu A e calculat l'itégale de A J de faço aaltique e teat compte de 8 images magétiques. Le ficie est documeté et automatisé. La seule cotaite est de décie pa u tableau Ecel ou u ficie tete, la géométie des coducteus et du cicuit magétique. Bie etedu, o peut se cotete de la 5 ème évaluatio qui est désomais la plus pécise et la plus apide. Nous allos maiteat applique cette métode à deu tpes de tasfomateu (bobié et plaa) afi de teste sa validité et ses limites. 8

109 Capite 3 : Calculs aaltiques des paamètes statiques du tasfomateu de fuites III. APPLICATION A UN TRANSFORMATEUR EP3 Nous allos maiteat cofote ote métode de calcul à la éalité d'u tasfomateu "classique" bobié. Les ésultats obteus seot compaés à ceu déduits des mesues et à ceu ésultat de la métode taditioelle. III.. Desciptio du tasfomateu Le composat étudié est u tasfomateu d'isolatio de appot composé de deu eoulemets de 46 spies (Figue 3-9). L'isolatio des eoulemets est obteue gâce à l'isolat plastique du fil secodaie. Le bobiage est éalisé su u oau de fomat EP3 éalisé e 3C9. Figue 3-9 : Tasfomateu d'isolatio Les deu eoulemets ot la même auteu. Le pimaie est bobié su u peu plus d'ue couce; il est costitué de fils de cuive de diamète etéieu du fil à.5mm, l'émaillage potat le diamète.5mm. Le secodaie, éalisé e fil de cuive isolé au polamide, est bobié su tois couces. Les diamètes espectifs du fil et du cuive sot.4mm et.mm. La paticulaité de ce fomat de oau magétique (Figue 3-3) est qu'il e couve pas etièemet le bobiage du tasfomateu. La moitié evio de caque spie est etouée de cicuit magétique tadis que l'aute est etouée d'ai. Nous avos déjà modélisé ce dispositif e tois dimesios (Figue 3-4). Pou le modélise e deu dimesios (Figue 3-), ous le décivos pa deu coducteus ectagulaies adjacets, pacouus pa des couats uifomes et opposés. Le pimaie, qui 'iclut pas d'isolat plastique, est beaucoup plus fi que le secodaie. Pou l'itégatio de BH, ous utiliseos deu gilles idetiques pou la feête gauce et la feête doite. Le pas est suffisammet fi pou que le pimaie soit décit avec pécisio. Feête gauce Feête doite Pimaie Secodaie Cicuit magétique Figue 3- : Modélisatio D 9

110 Capite 3 : Calculs aaltiques des paamètes statiques du tasfomateu de fuites III.. Compaaiso des éegies Ce sstème est u bo test pou ote métode de calcul. Il pemet e effet, avec u dispositif simple, de teste le calcul d'iductace de fuite et d'étudie l'ifluece du cicuit magétique su les calculs d'éegie. Les deu feêtes, idetiques d'u poit de vue coducteu, diffèet au iveau de leu evioemet magétique. O peut aisi compae les difféetes métodes d'itégatio ( AJ et B / ). III..a. Simulatio 3D et simplificatio e D Ce tasfomateu a d'abod été modélisé sous Flu3D pa David Magot [MAGOT-4-]. Au cous de cette simulatio, l'éegie pa uité de logueu su ue feête a été calculée uméiquemet (3.4) (cf. II.6.a) et compaée à os simulatios éalisées e deu dimesios (Tableau 3-). Le but de ce calcul est d'évalue l'impact de la coubue des eoulemets. Simulatio 3D Simulatio D Feête gauce Feête doite 67.4 J / m 7. J / m 7. J / m 73.8 J / m Tableau 3- : Compaaisos simulatios D / 3D pou ue feête Les valeus obteues pou ce composat justifiet ote coi puisque l'effet "3 dimesios" est faible ( 5 % d'éegie e plus). La coubue des eoulemets peut ête égligée ca des coducteus ectiliges doet à peu de coses pès le même camp. Das ce cas, les fomules de la métode PEEC sot adéquates. Ce tableau mote égalemet que le cicuit magétique 'ajoute que 3.5% d'éegie losqu'il etoue les eoulemets. III..b. Itégatio de l'éegie pa AJ et BH Puisqu'elle 'iclue que deu coducteus ectagulaies, cette simulatio ous a pemis de teste os algoitmes d'itégatio uméique. Nous ous e sevos ici pou compae les deu tpes d'itégatios AJ et BH (Tableau 3-). Itégatio BH Itégatio AJ Feête gauce Feête doite 7. J / m 73.8 J / m 7.8 J / m 73.9 J / m Tableau 3- : Compaaiso itégatio de AJ et BH su ue feête Les valeus obteues à l'aide du potetiel vecteu (itégatio su caque coducteu) sot supéieues à celles obteues avec l'iductio. L'itégatio de l'iductio devait ête étedue à l'ifii pou foui le même ésultat. O ote égalemet que, pou la feête etouée pa le

111 Capite 3 : Calculs aaltiques des paamètes statiques du tasfomateu de fuites 3C9, tès peu d'éegie est pésete das le cicuit magétique et à l'etéieu de celui-ci puisque les itégatios doet quasimet le même ésultat. III..c. Simulatios et calculs aaltiques Nous appliquos maiteat ote métode de calcul aaltique à la détemiatio de l'éegie de fuite. Les iductios sot calculées das les deu feêtes du tasfomateu e utilisat les fomules PEEC et la métode des images magétiques (Tableau 3-3). Simulatio uméique D Aaltique simple Feête gauce Feête doite 7. J / m 73.8 J / m 63. J / m Aaltique avec image(s) 7.8 J / m ( image) 77. J / m (8 images) Tableau 3-3 : Eegie pa calcul aaltique (itégatio BH) E l'absece du matéiau magétique, ue desité d'éegie pa uité de logueu de 63. J / m est pésete das les deu feêtes puisqu'elles sot idetiques. Si l'o compae cette valeu avec celles obteues pou ote modèle uméique D (Tableau 3-), ue difféece de l'ode de % appaaît. Teos compte maiteat du cicuit magétique. Pou la feête gauce, ue seule image est cosidéée. Elle doe ue valeu tès poce de celle obteue pa simulatio. Pou la feête doite, uit images sot ajoutées au coducteus iitiau et la valeu d'éegie obteue est u peu supéieue à la simulatio. Cette difféece a été évoquée losque la tecique des images magétiques a été itoduite. Le fait d'utilise uit images a tedace à suestime l'éegie. Il faudait tei compte de plus d'images pou éduie cette suestimatio, mais su le pla patique, la pécisio obteue actuellemet ous semble suffisate. L'évaluatio pécédete ous a pemis d'obtei l'éegie globale coteue pa ue feête de tasfomateu. Nous allos maiteat teste le bie fodé de os appoimatios de faço plus locale. Pou cela, ous obsevos l'iductio das la feête doite, e taçat, su deu cemis (Figue 3-), la vaiatio du camp pépodéat H.

112 Capite 3 : Calculs aaltiques des paamètes statiques du tasfomateu de fuites e cemi d cemi Figue 3- : Cemis pou validatio de B Le e cemi est pis au cete des eoulemets, su toute la lageu de la feête. Le d est tacé à la joctio ete les eoulemets, su toute la auteu du cicuit magétique. Les ésultats de la simulatio D aisi que ceu du modèle simplifié "ue composate" sot pésetés su les Figue 3- et Figue 3-3. Su la pemièe figue, le camp aaltique est tacé e teat compte uiquemet des coducteus alos que, su la secode, des camps issus des 8 images magétiques sot ajoutés au camp iitial. Les deu figues "a" appellet les fomes de camp obteues, pou des eoulemets cocetiques, losque les ampèes-tous sot compesés. Le camp calculé aaltiquemet, sas tei compte du matéiau magétique (Figue 3-), est décalé pa appot à celui obteu pa simulatio. Ce deie est ul au etémités de la feête, état doé que la composate de l'ecitatio das le cicuit magétique est ulle losque les Ampèes tous se compeset. Efi, l'appoimatio "ue composate" doe ue valeu pa ecès de ce camp Aaltique sas image Simulatio D Appoimatio à composate a b Figue 3- : H das la feête doite a : Cemi b : Cemi Le fait d'ajoute des images magétiques (Figue 3-3) eausse les coubes qui étaiet sous-estimées. Su les difféets cemis "a" et "b", le camp est légèemet suévalué. La composate tagetielle su le bod de la feête est quasimet ulle.

113 Capite 3 : Calculs aaltiques des paamètes statiques du tasfomateu de fuites Aaltique avec 8 images Simulatio D Appoimatio à composate a b Figue 3-3 : H das la feête doite avec 8 images magétiques a : Cemi b : Cemi Les ésultats obteus avec les uit images magétiques sot tès poces de ceu issus de la simulatio uméique. Cosidée les coducteus seuls 'est doc pas suffisat. Il faut tei compte du cicuit magétique pou avoi ue idée pécise des camps à l'itéieu d'ue feête et, pa la même occasio, obtei ue valeu d'éegie de fuite tès poce de la éalité. La métode pésetée ici doe ue valeu coecte de l'éegie pace que l'appoimatio adoptée pou le camp est tès éaliste. III.3. Evaluatio de l'iductace Ue mesue au pot d'impédace HP494A a pemis de tace l'impédace e cout-cicuit et sa patie iductive e foctio de la féquece (Figue 3-4). I ductace (H). 3 L'iductace vaie su la plage de féquece Hz Hz. Pou touve la valeu de l'iductace de fuite e "statique", o se place apès cette décoissace, losque l'iductace se stabilise. O touve alos ue iductace L f = 3. 4 H. Pou Féquece (Hz) Iductace de fuite Valeu "statique" Figue 3-4 : Mesue de l'iductace de fuite des féqueces plus basses, l'iductace de fuite est masquée pa la ésistace de l'eoulemet, si bie qu'e tès basse féquece, o e voit plus que l'iductace magétisate (Figue 3-). Comme le oau de tpe EP possède ue jambe ciculaie, l'éegie de fuite à l'itéieu du composat peut s'epime e coodoées clidiques. L'appoimatio cosistat à localise le maimum de l'iductio pou évalue u ao moe, peut ête affiée si l'o pocède à ue 3

114 Capite 3 : Calculs aaltiques des paamètes statiques du tasfomateu de fuites itégatio uméique. Si l'o appelle le ao oigie du e ectagle, l'epessio (3.) peut ête utilisée. W N N Bmoi, j i= j= = i i ds (3.) avec Bi, j Bi, j Bi, j Bi, j Bmo i, j = (3.) 4 Avec ce oau EP, la logueu de la patie des spies etouée complètemet pa le cicuit magétique est plus gade que celle de la patie située à l'etéieu. E coséquece, pou calcule l'iductace de fuite, ous peos la valeu de l'éegie de la feête doite (celle etouée pa le matéiau magétique). Ceci doit logiquemet mee à ue valeu pa ecès. De faço supeate, il 'e est ie. Selo les ésultats de la ème coloe du Tableau 3-4, l'iductace calculée est bie plus faible que celle mesuée (sauf pou l'appoimatio du camp à ue seule composate). A la éfleio, c'est ote desciptio des eoulemets qui est e cause. La simplificatio qui cosiste à epésete les coducteus pa des blocs ectagulaies adjacets 'est pas assez fie. E effet, los des simulatios et des calculs, ous 'avos pas teu compte de l'isolatio des fils. Celle-ci itoduit u petit espace ete les eoulemets et o sait que le camp est maimum ete les deu eoulemets. E écatat les coducteus, o devait obtei ue image plus éaliste de la desité d'éegie. Pou tei compte de cela, ous avos oté, su caque face des deu ectagles, ue épaisseu égale à celle de l'isolat impliqué, le couat de l'eoulemet estat uifomémet épati das la suface estate. Le picipal effet de cette modificatio est d'itoduie, ete les deu eoulemets, u espace d'épaisseu égale à la somme des épaisseus d'isolats ete les deu fils (Figue 3-5). Isolat fils :..5 Figue 3-5 : Eoulemet avec isolats de fils Das ces coditios, o obtiet les ésultats de la 3 ème coloe du Tableau 3-4. La simulatio F.E.M. 'a pas été efaite avec cette ouvelle géométie. Les fomules aaltiques doet u bo ode de gadeu pou le calcul aaltique simple et même ue valeu pécise si o tiet compte du cicuit magétique pa la métode des images. O a alos ue iductace calculée de 3.58 H pou ue valeu mesuée de 3.4 H. O costate égalemet que, la métode " composate", qui semblait poutat appopiée à cette géométie, doe ue valeu assez lagemet suestimée. 4

115 Capite 3 : Calculs aaltiques des paamètes statiques du tasfomateu de fuites Géométie iitiale Avec isolat Simulatio F.E.M. D 3.7 H No simulé Aaltique simple.6h.93h Aaltique avec 8 images Appoimatio " composate" 3.H 3.58 H 3.97 H 4.5H Tableau 3-4 : Evaluatio de l'iductace de fuite-tasfomateu EP A l'issue de ce test, ous pouvos die que la métode développée s'applique bie à des tasfomateus bobiés classiques. Décie u esemble de fils pa u coducteu ectagulaie e semble pas pose de poblème, sous éseve d'évalue coectemet l'espace du à l'isolatio des deu eoulemets. Le camp, aisi que l'éegie stockée, sot e effet maimum das cet espace. IV. APPLICATION A UN TRANSFORMATEUR PLANAR Cotaiemet à l'eemple pécédet auquel les métodes "classiques" pouvaiet ête appliquées, aucue fomule coue e s'applique à la géométie oigiale de ote tasfomateu plaa. Nous allos doc teste ote métode e la compaat à des simulatios f.e.m. e deu dimesios et à des mesues effectuées su u pototpe. IV.. Desciptio du tasfomateu Le composat plaa que ous étudios ici, est u tasfomateu à 3 eoulemets (pimaie, secodaie et auiliaie) aat espectivemet 7, et 3 spies. Figue 3-6 : Tasfomateu plaa Les spies sot éalisées das u PCB multicouce et le matéiau magétique est du 3C9. Les mesues au pot d'impédace ot pemis de eleve les valeus "statiques" des iductaces de fuites (.6 H pou le couplage pimaie/secodaie et 3 H pou le couplage pimaie/auiliaie). L'iductace pimaie/secodaie, tès faible, est difficile à mesue. C'est pouquoi, das u pemie temps, ous ous itéessos à l'aute iductace qui lui est plus de di fois supéieue pou valide ote appoce. Pou ue iductace de cet ode de gadeu, ous avos pu ous assue que os mesues étaiet coectes et qu'elles eflétaiet bie le couplage ete les eoulemets pimaie et auiliaie. Pou l'iductace de fuite pimaie/secodaie, il est 5

116 Capite 3 : Calculs aaltiques des paamètes statiques du tasfomateu de fuites pobable que des coducteus o pis e compte das os calculs (tpiquemet les coducteus écessaies pou amee les etémités des spies su les soties, les picots etc ) jouet u ôle o égligeable das la valeu mesuée. IV.. Iductace de fuite pimaie/auiliaie IV..a. Desciptio des eoulemets Les agecemets des coducteus sot difféets das les deu feêtes du tasfomateu (Figue 3-7). Les 7 spies pimaies sot costituées cacue de deu coducteus mis e paallèle. O a doc au total 34 coducteus pimaies. L'eoulemet auiliaie, quat à lui, est costitué de 3 spies simples qui sot épaties su deu couces das la feête de gauce et su la même couce das la feête de doite. Les deu feêtes sot discétisées selo ue gille coteat poits su la lageu et poits su la auteu. Pimaie Auiliaie a b Figue 3-7 : Agecemet des coducteus pimaie/auiliaie a : Feête gauce b : Feête doite E cofiguatio d'iductace de fuite, c'est-à-die losque le couat total de la feête est ul, les coducteus pimaies sot pacouus pa u couat que l'o fie abitaiemet à.5 A et les coducteus auiliaies, pa u couat opposé de 7 A 3. IV..b. Fome des camps et éegies Rappelos que ous avos déjà testé la pécisio de os appoimatios pou cet agecemet de coducteus e elevat les composates du camp su u cemi test (Figue 3-9). Su la Figue 3-8, les composates B et B de l'iductio sot tacées su la gille à l'itéieu de caque feête telles qu'elles ésultet du calcul aaltique avat l'itoductio des images. 6

117 Capite 3 : Calculs aaltiques des paamètes statiques du tasfomateu de fuites B_G B_G B_D B_D a b c d Figue 3-8 : Composates de l'iductio a : B -feête gauce b : B -feête gauce c : B -feête doite d : B -feête doite A pati de ces composates, ue image de la desité d'éegie (3.3) est obteue (Figue 3-9). W i, j = Bi, j Bi, j (3.3) W_G W_D a b Figue 3-9 : Eegie su les gilles a : Feête gauce b : Feête doite Ces tacés ous pemettet de détemie la distace qui sépae les deu pics d'éegie das les eoulemets. Pou la feête doite ous avos pis le pic le plus aut (le plus éloigé de la jambe cetale). Coisi le cete de gavité de la desité e cage que tès peu (.5 mm ) le cemi moe. E cosidéat les dimesios du tasfomateu et de ses feêtes, aisi que le positioemet des maimums d'éegie, o touve que la distace d sépaat les pics vaut 7

118 Capite 3 : Calculs aaltiques des paamètes statiques du tasfomateu de fuites 4 mm (Figue 3-7). La pofodeu des coducteus (Figue 3-8) est aussi elevée: p = 3mm. Le cemi moe (cf. II.7) est doc égal à 37 mm. IV..c. Evaluatio de l'iductace de fuite L'éegie pa uité de logueu est calculée de difféetes maièes e utilisat la feuille de calcul Matcad (Tableau 3-5). Seule l'itégatio uméique du potetiel vecteu 'est pas éalisée ca ce calcul demade u temps de calcul tès impotat (caque coducteu doit ête discétisé fiemet). A tite d'eemple, su u odiateu de tpe Petium IV, pou la cofiguatio des eoulemets pimaie/auiliaie, ce tpe d'itégatio uméique ped evio ue dizaie de miutes cote quelques secodes pou le calcul aaltique. Les éegies obteues pou les deu feêtes sot difféetes (35% de difféece). Il est doc idispesable de tei compte de la dispositio éelle des coducteus das caque feête, losque aucue smétie 'est appaete. La valeu de l'iductace de fuite, calculée suivat les quate epessios de l'éegie est iscite das le Tableau 3-5. Celui-ci mote que ote métode doe des ésultats poces de la valeu mesuée : ue iductace de fuite de L f = 3H. Pou ce composat, l'itégatio aaltique de AJ (3.9) doe.5h, soit 9% de mois. Il e semble pas focémet écessaie de tei compte d'images magétiques das ce cas; cela cooboe le fait que, su la Figue 3-9, l'éegie est quasimet ulle su le bod de la feête. Toutefois, si le oau est pis e compte à l'aide de uit images magétiques, l'iductace obteue est de.3h, soit % de mois que la valeu mesuée. La métode semble doc applicable égalemet à ce tpe de tasfomateu, alos que, appelos-le, la métode taditioelle est iapplicable. B²/ uméique AJ aaltique AJ aaltique 4 images AJ aaltique 8 images Eegie Feête Eegie Feête Iductace de fuite Gauce Doite 8.H / m 8.4 H / m 7.9 H 9.5H / m 9.4 H / m.5 H 3.H / m.74 H / m.7 H 3.73H / m.45 H / m.3h Tableau 3-5 : Evaluatio de l'iductace de fuite Pimaie/Auiliaie-Tasfomateu Plaa IV.3. Homogééisatio patielle des eoulemets Le ombe élevé de coducteus (37) ous icite à cece ue desciptio plus simple des eoulemets. Pou des fils ods, epésete ue appe de coducteus pa u coducteu 8

119 Capite 3 : Calculs aaltiques des paamètes statiques du tasfomateu de fuites ectagulaie équivalet est ue tecique tès utilisée. La métode de Dowell [DOWELL-66] ou celle de la peméabilité complee [KERADEC-9] e sot de bos eemples. Pou le poblème qui ous itéesse ici, la simplificatio e écessite pas d'potèses à pioi su la cate de camp, i de calculs supplémetaies su les coducteus. Les epessios du camp et du potetiel vecteu sot cous pou u coducteu ectagulaie, quelle que soit sa taille. Nous allos doc essae de simplifie la desciptio des eoulemets e egoupat plusieus coducteus das u même ectagle. Nous ciffeos esuite l'eeu qui ésulte de cette omogééisatio. E obsevat l'agecemet des coducteus, les egoupemets semblet évidets (Figue 3-3). Les méplats sot egoupés e quate zoes distictes das la feête de gauce et tois pou celle de doite. I _ G = A I _ G = 5 A I _ G3 = I _ G4 = Auiliaie ( / 3) ( / 3) 7A 7A Pimaie 4 3 Auiliaie Pimaie 3 I _ D = A I _ D = 5 A I _ D3 = 7A Figue 3-3 : Homogééisatio des eoulemets Pimaie/Auiliaie Su le cemi de test défii pa la Figue 3-8, les composates B et B de l'iductio sot tacées avat et apès omogééisatio (Figue 3-3). L'allue globale du camp est espectée, mais elle est lissée : Les pics associés à cetais coducteus dispaaisset.. Iductio B (Tesla).5. Iductio B (Tesla) Cemi Tous les coducteus Homogééisatio patielle Cemi Tous les coducteus Homogééisatio patielle a b Figue 3-3 : Compaaiso de l'iductio, Tous les coducteus/homogééisatio patielle a : Composate B b : Composate B 9

120 Capite 3 : Calculs aaltiques des paamètes statiques du tasfomateu de fuites L'iductio 'est pas top modifiée pa cette simplificatio, mais il faut s'itéesse à l'éegie das les deu feêtes pou coclue au sujet de l'utilisabilité de ce tpe d'omogééisatio. Comme das le cas pécédet, ous calculos les deu éegies e utilisat plusieus métodes (Tableau 3-6). Ue logueu de spie moee est esuite utilisée pou calcule la valeu de l'iductace de fuite. Les maimum d'iductio état localisés au mêmes edoits (Figue 3-3), cette logueu e vaie pas ( 37 mm ) B²/ uméique AJ aaltique AJ aaltique 4 images AJ aaltique 8 images Eegie Feête Eegie Feête Iductace de fuite Gauce Doite 6.94 H / m 5.83H / m 99.4 H 8.6 H / m 6.45 H / m 3.5 H 3.53H / m 7.74H / m. H 3.3 H / m 7.53H / m. H Tableau 3-6 : Evaluatio de l'iductace de fuite Pimaie/Auiliaie (géométie simplifiée) L'omogééisatio des eoulemets a tedace à éduie u peu la valeu de l'iductace de fuite. Das le pie des cas, l'iductace de fuite est 9% plus petite, ce qui est tès coveable, vu la simplificatio que cette omogééisatio appote au momet de l'itoductio des doées. IV.4. Iductace de fuite Pimaie/Secodaie L'eemple pécédet, elatif à l'iductace de fuite ete les eoulemets pimaie et auiliaie, a moté que ote tecique de calcul doe des valeus poces de celles mesuées, que les eoulemets soiet décits de faço complète ou de faço simplifiée. L'évaluatio de l'iductace de fuite ete le pimaie et le secodaie va ous mette devat les limites d'ue telle compaaiso losque les valeus d'iductaces sot faibles. IV.4.a. Desciptio des eoulemets Le pimaie est celui qui a été décit pécédemmet. Le secodaie, quat à lui, (Figue 3-3) est costitué d'ue seule spie composée de si coducteus mis e paallèle. Pou se place e cofiguatio d'iductace de fuites, les coducteus pimaies sot toujous pacouus pa u couat de.5 A et les coducteus secodaies pa u couat opposé de 7 A. 6

121 Capite 3 : Calculs aaltiques des paamètes statiques du tasfomateu de fuites Pimaie Secodaie a b Figue 3-3 : Agecemet des coducteus pimaie/secodaie a : Feête gauce b : Feête doite IV.4.b. Fome des camps et éegies E aiso de la quasi-idetité des deu feêtes du tasfomateu, les composates de l'iductio B et B e sot epésetées que su ue seule feête (Figue 3-33). L'éegie (3.3) tacée su la gille est pésetée su la Figue Les coducteus secodaies état tès poces du cicuit magétique l'éegie à l'iteface ete l'ai et le milieu magétique 'est pas ulle. Il est doc écessaie de tei compte du cicuit magétique. B_G B_G a b W_G Figue 3-33 : Composates de l'iductio Figue 3-34 : Eegie su la gille a : B b : B IV.4.c. Evaluatio de l'iductace de fuite O pocède de la même faço que los des deu évaluatios pécédetes. O calcule pou caque feête de tasfomateu, l'éegie pa uité de logueus avec plusieus tpes d'itégatio (Tableau 3-7). L'ode de gadeu de l'iductace obteue se situe autou de 5.5 H. Cette valeu doit ête compaée à celle obteue pa mesue (.6 H ).

122 Capite 3 : Calculs aaltiques des paamètes statiques du tasfomateu de fuites B²/ uméique AJ aaltique AJ aaltique 4 images AJ aaltique 8 images Eegie Feête Eegie Feête Iductace de fuite Gauce Doite 9.74H / m 8.4 H / m 4.8 H.7 H / m.7 H / m 5. H.4 H / m.3h / m 5.5 H. H / m.h / m 5.5H Tableau 3-7 : Evaluatio de l'iductace de fuite Pimaie/Secodaie-Tasfomateu Plaa La limite de ote métode appaaît claiemet. D'ue pat ote métode de calcul idéalise la fome des coducteus : Elle e tiet pas compte de la liaiso des pistes au picots de sotie, i des vias de coeios itees. D'aute pat, la valeu mesuée est sujette à cautio puisque aucu cout-cicuit e pésete ue ésistace et ue iductace suffisammet faible pou ête égligées et que la compesatio de cout cicuit mise e œuve pou cette mesue de faible impédace 'est pas pafaite o plus. E défiitive, bie que la valeu calculée vaille 5.5 H et que la valeu mesuée e vaille.6 H, il est impossible de coclue e doat la "vaie" valeu. Il faut doc ête citique vis-àvis de ce ésultat. E effet, est ce que cette faible valeu epésete éellemet les fuites das le tasfomateu? Quelle est l'icidece des iductaces paasites tpiquemet dues au coeios de sotie du tasfomateu et au fils d'ameés? Le moide cm de fil peut avoi ue iductace pope de quelques H ; à pioi, ie e ous dit que le ésultat du calcul est eoé. Tout au plus, il faut lui ajoute les impédaces, égligées jusqu'ici, de cetaies coeios. Le poblème que pose la mesue des tès faibles iductaces pa appot au iductaces des coeios de sotie de tasfomateu est paticulièemet adu à ésoude [SKUTT-94] (cf. Capite ). Das les tasfomateus actuels abaisseu de tesio, le poblème est aggavé pa le fait que, les tesios état de plus e plus faibles, les couats augmetet pou délive ue puissace équivalete. V. EXTENSION AU TRANSFORMATEUR DE FUITE La métode de calcul pésetée das ce capite e se limite pas au seules iductaces de fuite. E effet, le tasfomateu de fuite, qui epésete le couplage ete les difféetes iductaces de fuites, peut aussi ête pédétemié à l'aide de cette tecique. Cosidéos u tasfomateu quelcoque à tois eoulemets (Figue 3-35). Pou calcule ses fuites, il faut que le couat tavesat l'iductace magétisate L p soit ul; les

123 Capite 3 : Calculs aaltiques des paamètes statiques du tasfomateu de fuites Ampèes tous sot alos compesés. Psiquemet, das le composat, cette popiété lie les couats des tois eoulemets pa la elatio (3.4). I η ap I a ηsp I = (3.4) p s I p η ap Coupleu du tasfomateu de fuite I a Pimaie L p L a η sa Auiliaie η sp L s I s Secodaie Figue 3-35 : Détemiatio du coupleu du tasfomateu de fuite Pou détemie les difféetes iductaces de fuite des eoulemets, o pocède comme ous l'avos péseté das la patie IV de ce capite, e aulat u pa u les couats das les eoulemets. Aisi, pou détemie l'iductace de fuite auiliaie, vis-à-vis du pimaie, il faut aule le couat das l'eoulemet secodaie ( I = ). L'éegie das le tasfomateu s'écit alos suivat la elatio (3.5). Wm = L a I a Lf a = La s (3.5) Das u deuième temps, pou calcule l'iductace de fuite secodaie, il faut aule le couat das l'eoulemet auiliaie ( I = ). L'éegie du sstème s'écit alos selo (3.6). a Wm ( L η L ) I = s sa a s Lfs = Ls ηsala (3.6) Le tasfomateu de fuite état costitué de deu iductaces et d'u coupleu, il e maque plus qu'ue seule équatio pou touve le appot de tasfomatio du coupleu. N'impote quelle combiaiso des couats espectat (3.4) pemet d'écie cette équatio 3

124 Capite 3 : Calculs aaltiques des paamètes statiques du tasfomateu de fuites supplémetaie. Aisi, avec deu couats quelcoques I a et I s, l'éegie emmagasiée das le tasfomateu de fuite s'écit : Wm 3 = L s I s La I a η sa I s (3.7) passe das Cette éegie s'idetifie à celle stockée das tout le tasfomateu si aucu couat e L, autemet dit, losque le total des Ampèes tous est ul ( p I p = η I η I ). Le développemet de (3.7) fait appaaîte les iductaces de fuites calculées pécédemmet (3.8). Wm 3 = = Lf ( L η L ) s s I s sa a Lf I s a I a L a I a Lf η I a L η I sa s I a a sa s I a ap a sp s (3.8) Le appot de tasfomatio du coupleu se déduit (3.9) de cette epessio. Wm3 Lf s I s Lf a I a η sa = (3.9) Lf I I a s a Il est utile d'évalue le coefficiet de couplage k f du tasfomateu de fuite. Pou cela, emaquos tout d'abod que la mutuelle M du tasfomateu de fuite vaut η sa L a. De là, o déduit que : k f = L M L = L a η L sa sa ( L η L ) Lf s s a sa a = η Lf a (3.3) C'est ce coefficiet (3.3) qui pemet de décide si o peut éduie le tasfomateu de fuite à deu iductaces Lf a et Lf s o couplées (cf. Capite ). Si l'o s'itéesse de ouveau au tasfomateu plaa à 3 eoulemets, o peut calcule le appot de tasfomatio et le coefficiet de couplage du tasfomateu de fuite (3.3). La valeu faible du coefficiet de couplage cofime que ce coupleu peut ête égligé vis-à-vis des autes coupleus et suppimé du cicuit équivalet. η =.4 k f =. (3.3) sa Nous veos de mote que, moeat u calcul supplémetaie d'éegie, ote métode pemet d'évalue tous les paamètes du tasfomateu de fuite d'u tasfomateu à tois eoulemets. Cette etesio vaut pou eoulemets, sous éseve d'effectue u 4

125 Capite 3 : Calculs aaltiques des paamètes statiques du tasfomateu de fuites ombe suffisat (autat que de coupleus das le tasfomateu de fuite) de calculs supplémetaies d'éegie. VI. CONCLUSION ET LIMITES DE CETTE METHODE Ue métode d'évaluatio des iductaces de fuite statiques a été mise au poit pou offi ue alteative au calculs taditioels qui écessitet des potèses soit su les camps soit su la géométie. Le calcul doe des ésultats tès pometteus. Ce calcul s'appuie su l'epessio PEEC du camp et du potetiel vecteu céés pa u coducteu méplat, ifiimet log et pacouu pa u couat épati uifomémet. Ces epessios sot lagemet eploitées pa la métode PEEC. La métode peut ête appliquée à des tasfomateus de tous tpes, qu'ils soiet classiquemet bobiés avec du fil od (à coditio de fusioe des coducteus pou obtei des egoupemets ectagulaies), ou qu'ils soiet plaa, avec des coducteus méplats et pésetat des géométies e pemettat d'utilise aucue des appoimatios abituelles. Que l'o omogééise ou o la epésetatio des coducteus ou du cicuit magétique autou des feêtes d'u tasfomateu, ue estimatio des iductaces des fuites d'u tasfomateu peut ête obteue à ±%. Cette pécisio est limitée pa l'icetitude que l'o a su cetais paamètes géométiques. Pa eemple, pou deu bobiages éalisés e fil od, il faut tei compte de l'espacemet qui sépae les sufaces e egad des deu eoulemets sous peie de sous-estime, de faço otable, la valeu de l'iductace de fuite. U aute tpe d'icetitude appaaît losque les iductaces calculées sot tès faibles ( < H ), ce qui est le cas pou les tasfomateus abaisseus de tesio. Si l'o cece à compae les ésultats obteus pa calcul avec les mesues effectuées su u pototpe, les iductaces de quelques H sot toujous masquées pa des iductaces paasites de câblage situées à l'itéieu même du composat ou à l'etéieu pou le elie à l'appaeil de mesue. La fomulatio fiale du calcul de l'iductace de fuite eploite l'itégale du potetiel vecteu. Elle est complètemet aaltique et peut ête utilisée das u logiciel destié à éalise des optimisatios. Pou u cocepteu de tasfomateu, cet outil est itéessat, puisqu'il pemet d'obtei apidemet la valeu de l'iductace de fuite. Il peut aisi ajuste les paamètes géométiques des eoulemets (lageu, auteu, positioemet ) pou obtei ue iductace de valeu poce de celle désiée. U tès gad ombe de coducteus 'est plus u obstacle ca ous avos moté que des simplificatios de la géométie sot acceptables. Elles alléget la desciptio du poblème et facilitet les optimisatios. 5

126 Capite 3 : Calculs aaltiques des paamètes statiques du tasfomateu de fuites La métode de calcul pésetée s'éted à l'esemble des paamètes du tasfomateu de fuite. E effet, le appot de tasfomatio, image du couplage ete les iductaces de fuite peut ête détemié pa u calcul similaie, e utilisat ue combiaiso difféete des couats das le tasfomateu. Ce calcul, accompagé de celui du coefficiet de couplage, pemet de décide de la epésetatio du cicuit équivalet à adopte et d'idetifie totalemet les élémets statiques du tasfomateu de fuite. 6

127 Capite 4 : Teciques aaltiques de calcul de petes cuive et des fuites damiques CHAPITRE 4 : Teciques aaltiques de calcul des petes cuive et des fuites damiques 7

128 Capite 4 : Teciques aaltiques de calcul de petes cuive et des fuites damiques 8

129 Capite 4 : Teciques aaltiques de calcul de petes cuive et des fuites damiques I. INTRODUCTION Das le capite pécédet ous avos itoduit ue métode pemettat d'évalue les iductaces de fuite "statique", et plus gééalemet tout les élémets du tasfomateu de fuite. Les valeus touvées sot valables e basse féquece, c'est-à-die jusqu'au féqueces où les couats iduits appaaisset das les coducteus. Ces effets, dits "autes féqueces", modifiet la épatitio du couat à l'itéieu des coducteus. De ce fait, ils iduiset ue augmetatio de la ésistace séie des eoulemets aisi qu'ue dimiutio des iductaces de fuite. Cette vaiatio peut ête sigificative et, suivat la féquece de tavail, l'iductace de fuite à pede e cosidéatio los du dimesioemet du tasfomateu peut ête assez difféete de celle que ous sommes capables de calcule e statique. Les deu effets évoqués ici, sot attibués au "couats iduits". Ils appaaisset losque la féquece augmete et ils sot gééalemet épatis ete effets de peau et effets de poimité. Pou u cocepteu de tasfomateu, il est écessaie de tei compte de ces deu péomèes, o seulemet pou avoi la véitable valeu de l'iductace de fuite à la féquece de tavail, mais aussi pou optimise les petes du composat [HURLEY-98]. D'ue maièe gééale, u tasfomateu à eoulemets est u quadipôle passif qui itoduit des petes séies et des petes paallèles. La plupat du temps, les petes séies sot dues au coducteus alos que les petes paallèles sot attibuées au cicuit magétique. C'est pouquoi o les omme espectivemet petes cuive et petes fe. Das ce tavail ous avos cosacé davatage de temps à l'étude des petes cuive; ous e ous étedos pas plus su les petes fe. Nous eveos doc maiteat e détail su les petes dites "cuive" qui sot des petes localisées das les coducteus. Nous allos tout d'abod décie bièvemet les deu péomèes évoqués plus aut et qui sot esposable de cette vaiatio féquetielle. Devat la difficulté d'ue fomulatio aaltique eacte des effets de couat iduits das les coducteus méplats, ous feos le poit su plusieus métodes aaltiques appoimatives. Nous évoqueos aisi successivemet la métode de Dowell, les cicuits équivalets de plaques, la peméabilité complee et les potetialités de la métode PEEC. La éductio des petes cuive évoquées à plusieus epises das ce capite et diveses applicatios des métodes pésetées das cette patie seot taitées das le capite 5 de ce mémoie. 9

130 Capite 4 : Teciques aaltiques de calcul de petes cuive et des fuites damiques II. LES DIFFERENTS TYPES DE PERTES H.F. DANS LE CUIVRE Le miimum de petes das u coducteu, quelque soit sa fome, est atteit losque le couat qui le tavese a ue épatitio uifome su toute sa sectio. Cette uifomité s'établit atuellemet si la féquece du couat est suffisammet basse, c'est-à-die si l'épaisseu de peau (4.) est ettemet plus gade que les dimesios tasvesales du coducteu. Losque la féquece de foctioemet augmete, la épatitio du couat est modifiée à l'itéieu des coducteus. Les petes augmetet, la ésistace séie s'accoît et puisque les couats iduits s'opposet à la péétatio du camp magétique, l'éegie stockée das le cuive dimiue et les iductaces de fuites aussi. II.. Effet de peau Le couat qui pacout u coducteu cée u camp magétique à l'itéieu de lui même. A pati d'ue cetaie féquece, le couat ésultat de ce camp 'est plus égligeable et il se supepose au couat iitial. Le couat a alos tedace à se cocete su la péipéie du coducteu. U effet de pellicule appaaît comme le mote la Figue 4-. Figue 4- : Illustatio de l'effet de peau [ROBERT-99] Plus la féquece augmete, plus cet effet est maqué. L'épaisseu équivalete su laquelle se épatit la couat, appelée épaisseu de peau, est doée pa (4.). ρ δ = (4.) f Avec ρ : ésistivité du matéiau f : féquece du couat : peméabilité du vide : peméabilité du matéiau Afi d'illuste ce péomèe et pouvoi ultéieuemet le compae au autes, la Figue 4- mote la épatitio du couat obteue das u fil de cuive clidique de diamète.75 mm, alimeté pa u couat de Aeff à khz. 3

131 Capite 4 : Teciques aaltiques de calcul de petes cuive et des fuites damiques Figue 4- : Desité de couat à khz das u coducteu clidique e cuive de diamète.75 mm La puissace dissipée das ce cas est de 46.mW / m. Pou compaaiso, elle e s'élève qu'à 38.9 mw / m e cotiu losque les couats iduits e se maifestet pas. La suface que le couat tavese est éduite, la ésistace appaete augmete et les petes aussi. II.. Effet de poimité Losqu'u secod coducteu o alimeté, est placé à poimité du pécédet qui est alimeté, u couat se développe das ce secod coducteu sous l'effet du camp magétique céé pa le pemie (Figue 4-3). Le couat moe este ul puisque le coducteu 'est pas alimeté, mais cette ciculatio de couat, appelée effet de poimité, cause focémet des petes à l'itéieu du coducteu. Le couat se épatit égalemet su la péipéie du coducteu mais le péomèe est difféet de celui causée pa l'effet de peau puisque le camp magétique est céé pa u aute coducteu et o pas pa lui-même. Cet effet est péseté su la Figue 4-4a. Le pemie coducteu est toujous alimeté pa A eff à khz, mais u deuième coducteu, lui aussi e cuive, est placé à coté du pemie. La desité de couat qui le tavese peut ête obsevée su la Figue 4-4a. Figue 4-3 : Illustatio de l'effet de poimité [ROBERT-99] Les Figue 4- et Figue 4-4a e peuvet ête diectemet compaées puisque les écelles de couleu sot difféetes. L'allue de la desité de couat illuste cepedat de faço tès claie l'ifluece de la poimité d'u coducteu alimeté. Au iveau des puissaces, 9.8 mw / m sot dissipées das le coducteu o alimeté. La poimité du secod coducteu modifie aussi la épatitio du couat das le pemie. La puissace due à l'effet de peau das ce fil passe aisi de 3

132 Capite 4 : Teciques aaltiques de calcul de petes cuive et des fuites damiques 46.mW à.3 mw 46. Les effets de peau doivet doc ête évalués e pésece de l'evioemet éel du fil et o pas, comme c'est abituel, e cosidéat u fil éloigé de tout. Nous veos pa la suite qu'il est pafois possible de éduie les petes dues au effets de peau e modifiat l'evioemet du coducteu de faço adéquate. Pou calcule aaltiquemet les effets de poimité, o cosidèe gééalemet que le coducteu baige das u camp uifome, égal à celui eistat au cete du coducteu e so absece. Nous avos moté [MARGUERON-6-], commet cée u camp pafaitemet uifome. La desité de couat obteue pa simulatio e appliquat le camp uifome défii ci-dessus (Figue 4-4b) est difféete de la pécédete. Les petes, das ce cas, sot de 4. mw. Cette valeu est supéieue à celle obteue das le cas éel. E tout état de cause, losqu'o les calcule aisi, les petes pa poimité sot tès appoimatives. a B Figue 4-4 : Desités de couats associées au effets de poimité a : Effet de poimité du à u coducteu clidique b : Appoimatio "camp uifome" II.3. Couats de ciculatio Das u eoulemet de tasfomateu, losque plusieus coducteus sot coectés e paallèle, caque spie 'est pas soumise au même flu puisqu'elle 'est pas positioée au même edoit das l'eoulemet. Cette difféece de flu cée ue difféece de potetiel ete les coducteus. Des couats peuvet alos cicule ete les difféets fils e paallèles, l'itesité dépedat de l'impédace pope des coducteus. Plus cette deièe est faible, plus le couat ciculat isque d'ête élevé pou ue tesio iduite doée. Peos l'eemple d'u tasfomateu e cout-cicuit (Figue 4-5). L'eoulemet pimaie est composé de 5 spies, bobiées deu fils e mai, ce qui sigifie que deu coducteus sot eliés e paallèles pou fome caque spie. Nous allos cocete ote attetio su ce qui se passe pou les deu fils e paallèles, ecadés su la Figue

133 Capite 4 : Teciques aaltiques de calcul de petes cuive et des fuites damiques Coducteus alimetés camp etéieu Figue 4-5 : Coducteus e paallèle u eoulemet de tasfomateu Losque cette paie de coducteus 'est pas alimetée, u couat de la boucle fomée pa les deu coducteus. Cette ciculatio occasioe.83 Aeff cicule das 4.6 mw de petes das caque fil. Le couat se épatit comme idiqué pa la Figue 4-6. Losque les coducteus sot alimetés et soumis au camp du tasfomateu, le couat e se épatit pas équitablemet ete les deu coducteus (Figue 4-5). Tout se passe comme si le dispositif se compote comme si le couat de ciculatio de.83 Aeff s'ajoutait au couat iitial das u fil et se etacait de celui pacouat l'aute (Figue 4-7). Cette difféece se esset au iveau des puissaces, puisque 4.8 mw sot dissipées das le pemie fil et.3 mw 67 das le secod. I fil I cic I I fil fil I fil I I fil fil I cic I fil I fil Figue 4-6 : Répatitio des couats losque les coducteus e sot pas alimetés mais soumis au camp de la feête de tasfomateu Figue 4-7 : Pacous des difféets couats Les petes egedées pa ces couats de ciculatio peuvet ête impotates. Ce poblème est bie cou des modélisateus, mais les cocepteus de tasfomateus e disposet pas de fomules aaltiques pou évalue ces petes supplémetaies. II.4. Téoème d'otogoalité Losque plusieus coducteus sot pacouus pa des couats o uls et positioés à poimité l'u de l'aute, ils subisset les deu effets pécédets. Caque fil est le siège d'u effet de peau modifié, teat compte des matéiau aletous et caque fil cée, das ceu qui lui sot poces, u couat de poimité. Pou calcule la puissace équivalete totale, les puissaces 33

134 Capite 4 : Teciques aaltiques de calcul de petes cuive et des fuites damiques dues au deu effets, peuvet ête additioées. Cette popiété est coue sous le om de téoème d'otogoalité. Cette supepositio des deu effets est mise e évidece pa la Figue 4-8. Caque fil est ici alimeté pa u couat de Aeff à khz. La simulatio doe ue puissace dissipée das Figue 4-8 : Supepositio des effets de peau et de poimité caque fil de = 56.mW 54.4 mw. Cette valeu est à compae à. Les deu ciffes sot tès poces et la petite difféece est due à des poblèmes de ésolutio. Pou éduie les petes pa effet de peau, les coducteus massifs sot gééalemet factioés e des coducteus de plus petite sectio, eliés e paallèle. Das le cas de coducteus clidiques, du fil de Litz est gééalemet utilisé. Les coducteus sot alos emplacés pa des bis, dot l'épaisseu est plus faible que l'épaisseu de peau, tous eliés e paallèle. Les bis sot tosadés afi que caque spie soit soumise statistiquemet au même flu. Cette tecique pemet d'évite que des difféeces de flu e céet des f.e.m. iduites et doc, pa la même occasio, des couats de ciculatio. Les bis sot tessés afi que le picipe foctioe bie das u camp supposé uifome, ce qui est aemet le cas das u eoulemet. Pou des coducteus ectagulaies, ce tosadage est iéalisable. Les fils sot alos découpés e ectagles de taille plus petite et eliés e paallèle au etémités. ( 54.4 mw La puissace totale ( 94.mW ) coespod bie au petes das caque coducteu ), additioée de celles dues au camp etéieu ( 4.6 mw ). Le téoème d'otogoalité s'applique doc au deu fils cosidéés comme u tout. Les deu effets que ous veos de cite modifiet doc les épatitios de couats das les coducteus et, pa la même, les valeus des iductaces, des ésistaces et des petes. U cocepteu de tasfomateu doit ête capable de pévoi ces modificatios qui appaaisset e aute féquece [REATTI-]. Le calcul aaltique eact de ces petes 'est ésolu que das le cas de coducteus ods ou de plaques ifiies. Cepedat, losque l'o s'itéesse à des coducteus ectagulaies de dimesios tasvesales fiies, les epessios aaltiques eactes 'eistet pas. Les fomulatios eistates, dispoibles das la littéatue, sot toutes basées su des appoimatios simplificatices du camp égat autou des coducteus. 34

135 Capite 4 : Teciques aaltiques de calcul de petes cuive et des fuites damiques III. CALCULS EXACTS DES COURANTS INDUITS DANS LES CONDUCTEURS Nous allos maiteat ous itéesse au epessios aaltiques epimat les couats iduits das des coducteus massifs. Pou des aisos de simplicité, ous cosidéeos das cette patie des coducteus ectiliges et ifiimet logs (sstème D pla). III.. Equatio à ésoude et coditios au limites U coducteu de fome quelcoque est pacouu pa u couat siusoïdal total I de féquece telle que I l'effet de peau se maifeste (Figue 4-9). La épatitio du couat das ce cas, 'est pas uifome. Cece le Coducteu Ai Figue 4-9 : Coducteu das l'ai camp céé pa u tel dispositif eviet à ésoude l'équatio vectoielle de Poisso (4.) das les coducteus et à accode ses solutios à celles de Laplace das l'espace sépaat les coducteus. A = J Equatio de Poisso (4.) Puisque ous tavaillos e D pla, seules les composates suivat z de A et J sot o ulles. Les couats souces de camps sot céés pa l'applicatio d'u camp électostatique E au boes du coducteu (de coductivité σ ). E magétostatique, ce camp est uifome, tout comme la desité de couat J. E evace, losque la féquece augmete, le camp électomoteu, dépedat de A, cesse d'ête égligeable. Aisi, à l'itéieu du coducteu, la desité de couat J est due à l'additio d'u camp électostatique uifome E et d'u camp électomoteu iω A. Das ce cas, le potetiel vecteu satisfait l'équatio de diffusio (4.3) alos que, das l'ai autou du coducteu, aucu couat 'état péset, l'équatio de Laplace (4.4) égit le camp (Figue 4-4). A A jωσ A = σ E Equatio de diffusio (4.3) A A = Equatio de Laplace (4.4) 35

136 Capite 4 : Teciques aaltiques de calcul de petes cuive et des fuites damiques (4.5). Pou ces calculs, ous itoduisos l'épaisseu de peau δ (4.) das l'équatio de diffusio A A j δ A = σ E Equatio de diffusio (4.5) I Equatio de diffusio Equatio de Laplace Figue 4- : Equatios pou u coducteu das l'ai Nous devos doc ésoude des équatios liéaies au difféetielles patielles dépedat de deu coodoées das l'ai (4.4) et das le coducteu (4.5). Les solutios gééales de telles équatios s'obtieet e ajoutat, à la solutio gééale de l'équatio sas secod membe, ue solutio paticulièe de l'équatio avec secod membe. Les solutios pou ces deu tpes d'équatios sot coues [GOLDNER] mais, psiquemet, seules celles qui satisfot les coditios au limites doivet ête eteues. Plus pécisémet, il faut que l'ecitatio tagetielle et l'iductio omale soiet cotiues au passage de la suface etee du coducteu. Losque le péimète de la sectio des coducteus pésete des discotiuités, il 'est pas facile d'applique ces coditios au limites. Das la littéatue, seules les sectios les plus simples, les plaques ifiies et les clides, sot taitées complètemet. III.. Poblèmes ésolus III..a. Plaques ifiies Cosidéos ue plaque ifiie d'épaisseu a (Figue 4-). Le camp autou de la plaque se décompose e deu paties supeposables [LEFEVRE-4] : le camp pope, céé pa le couat ciculat das la plaque ( ( H po H pop ) et le camp de poimité iduit pa d'autes coducteus ). L'itéêt de cette décompositio appaaît picipalemet losque l'o s'itéesse à l'étude des puissaces. Le téoème d'otogoalité pemet d'additioe les puissaces dues à cacue de ces deu causes. 36

137 Capite 4 : Teciques aaltiques de calcul de petes cuive et des fuites damiques J z ( ) J z ( ) H pop H pop H po H po z a a a H = H po H pop H = H po H pop Figue 4- : Plaque ifiie Pou ésoude aaltiquemet ce poblème de plaque ifiie, il faut écie l'équatio de diffusio du camp magétique [RAULET-98] : B H = σ Equatio de diffusio du camp magétique (4.6) t Appliquée au poblème de la Figue 4-, l'équatio de diffusio (4.6) deviet : H = jω σ H (4.7) La solutio de ce tpe d'équatio est de la fome : H ( ) ( j) ( j) = A e δ B e δ (4.8) Les costates A et B pou le cas du camp pope et pou le camp de poimité, se déduiset des coditios au limites su les faces de la plaque. Le camp total s'epime esuite e combiat les epessios obteues pou le camp pope et le camp de poimité (4.9). H ( ) = H ( ) H ( ) = H pop pop si si po ( j) ( j) III..b. Fil clidique δ H a δ po cos cos ( j) δ a δ j Cosidéos maiteat u fil clidique plogé das u camp uifome (4.9) H et (Figue 4-). Le fil est, das ce cas, o alimeté. Les couats iduits se développat à l'itéieu du clide sot de somme ulle. 37

138 Capite 4 : Teciques aaltiques de calcul de petes cuive et des fuites damiques ϕ H et Figue 4- : Fil clidique soumis à u camp uifome Vu la smétie du sstème, le poblème peut ête ésolu e coodoées clidiques. A l'itéieu du clide, l'équatio de diffusio sas secod membe (4.5) peut s'écie de la faço suivate: A A A α A = ϕ j avec α = (4.) δ La solutio gééale de cette équatio s'epime à l'aide des foctios Bessel [LAROCHE]. Etat doé la smétie du camp icidet, seul le teme d idice = est susceptible d itevei et o e doit gade que cette patie qui doe ue ecitatio paie pa appot à O (4.) jϕ (, ϕ) = aj( k) e aj ( k) = aj ( k) cos( ϕ) A e jϕ (4.) La costate a est détemiée e espectat, au passage de la suface clidique, les coditios de cotiuité de la composate tagetielle du camp H ϕ et de la composate omale de l'iductio B. Ces deu équatios pemettet de touve la valeu de la costate a aisi que celle du momet dipolaie pa uité de logueu M du fil [LAVEUVE-94]. a = α J H et ( α ) ( α ) H et ( α ) (4.) J M = (4.3) α J Les deu poblèmes que ous veos de pésete admettet des solutios aaltiques simples, calculées à pati de coditios au limites fomulables aaltiquemet. Nous allos maiteat ous itéesse au cas plus complee d'u coducteu méplat et pésete le poblème des couats iduits à l'itéieu de ce tpe de coducteu. 38

139 Capite 4 : Teciques aaltiques de calcul de petes cuive et des fuites damiques III.3. Fil méplat ectilige III.3.a. Simulatio d'u méplat Ue simulatio "élémets fiis" est éalisée pou coaîte la épatitio du couat à l'itéieu d'u coducteu ectagulaie supposé ifiimet log. La Figue 4-3 pésete le pofil du module du couat das u coducteu ectagulaie, su le pla de smétie et pès de la suface. Comme das le cas des coducteus ods, le couat a tedace à se cocete ves les etémités. I Couat (A) Positio e su le méplat Etémité du coducteu Cete du coducteu Figue 4-3 : Effet de peau das u coducteu ectagulaie Comme ous l'avos vu (III.), le camp itee est décit pa l'équatio de diffusio (4.3) alos que, das l'ai autou du coducteu, le camp se déduit de l'équatio de Laplace (4.4) où sot touvées les solutios gééales de ces deu équatios. La difficulté viet esuite : commet satisfaie les coditios au limites su caque face du ectagle (Figue 4-4)? Coditios au limites su la suface du méplat Equatio de diffusio Equatio de Laplace Figue 4-4 : Poblématique pou u coducteu méplat Ce poblème est essetiel pou touve les camps à l'itéieu et à l'etéieu de coducteus ectagulaies. La solutio publiée est basée su l'potèse que le camp su la suface du coducteu est tagetiel et costat [JOAN-4]. Maleueusemet, à l'itéieu d'ue feête de tasfomateu, cette potèse est loi d'ête éaliste. Vu les poblèmes de fomulatio des coditios au limites das ce tpe de poblème, u aute tpe de ésolutio 39

140 Capite 4 : Teciques aaltiques de calcul de petes cuive et des fuites damiques aaltique a été evisagé. Ce calcul est basé su la décompositio de la desité de couat su ue base polomiale otogoale, e utilisat les polômes de Legede. III.3.b. Décompositio de la desité de couat double polôme de Legede b J a Figue 4-5 : Coducteu méplat Le calcul du potetiel vecteu d'u coducteu méplat (Figue 4-5) pacouu pa ue desité de couat o uifome J, supposée uidiectioelle et ifiimet logue, peut ête effectué à l'aide la loi de Biot et Savat. E coodoées catésiees, cette epessio s'écit suivat (4.4). A [ ] d b a, = d 4 b a ( ) J (, ) l ( ) ( ) (4.4) Pou ue desité de couat costate, e statique doc, cette epessio ous a pemis de edémote les epessios du potetiel vecteu pésetées au capite 3. Das le cas de la magétodamique, la desité de couat 'est pas uifome. J est doc ue foctio de (, ). Cette deièe est multipliée pa u logaitme épéie et le teme obteu est esuite itégé deu fois. Il sembleait itéessat d'epime la desité à l'aide de foctios "facilemet" itégables losqu'elles sot multipliées pa u logaitme épéie. Les polômes de Legede pésetet cet avatage. Ces deies ot été itoduits e psique à popos de la téoie du potetiel Newtoie [AYANT]. U polôme de degé l est défii de la faço suivate : P l ( ) ( l k)! ( l k)!( l k)! K k lk l k! k= = où Ces polômes sot otogoau su l'itevalle [ ; ] k K = (4.5) ( k ) avec u poids uifomémet épati. E patique, il est commode de les ome e les multipliat cacu pa u coefficiet (4.6). (4.7). P l ( ) ( l k)! ( l k)!( l k)! K l k lk l k! k= = (4.6) Il est possible détede la potée de ces foctios afi qu'elles couvet l'itevalle [ a ; a] 4

141 Capite 4 : Teciques aaltiques de calcul de petes cuive et des fuites damiques P l ( ) ( l k)! ( l k)!( l k)! K lk l k = (4.7) a l k! a k= Le poduit de deu foctios de ce tpe, l'ue de la vaiable, l'aute de, est u élémet d'ue base otoomée pou J et pou toute foctio défiie das u ectagle. E utilisat des doubles polômes de Legede pou décie la desité de couat et e effectuat u cagemet de vaiable, tous les temes à itége de (4.4) peuvet se mette sous la fome gééale (4.8). u p ( u v ) q v l (4.8) L'Aee IV pésete les ésultats de la double itégale de (4.8) pou difféetes valeus de p et q aisi que das le cas gééal. L'utilisatio de cette base de foctio semble doc ête ue piste itéessate puisque le calcul aaltique peut ête meé jusqu'à so teme. Il este maiteat à décie la desité de couat das cette base pou détemie la valeu du potetiel vecteu patout. III.4. Coclusio su le calcul eact des couats iduits Nous avos vu, au cous de cette patie, que la fomulatio des coditios au limites su u coducteu, e vue du calcul aaltique de couats iduits était u poblème difficile. Seul le cas des plaques ifiies et celui des fils clidiques admettet des solutios aaltiques sas appoimatio. Pou ce qui cocee les coducteus ectagulaies, ue solutio eiste, mais elle est basée su ue potèse o éaliste puisque le camp autou du coducteu est supposé pafaitemet paallèle et costat su cacue de ses quate faces. Nous avos esuite eploé ue piste pemettat d'obtei ue fomulatio complète du potetiel vecteu. Cette deièe s'appuie su la décompositio de la desité de couat su ue base otoomée costituée de doubles polômes de Legede. Cette métode sea appofodie das de futus tavau. Face à la difficulté à sumote pou établi la fomulatio eacte, ous allos pésete d'autes calculs aaltiques, basés su des appoimatios et utilisés pou calcule les effets des couats iduits das des coducteus ectagulaies. 4

142 Capite 4 : Teciques aaltiques de calcul de petes cuive et des fuites damiques IV. CALCULS BASES SUR DES APPROXIMATIONS Das cette patie ous pésetos tois métodes aaltiques pemettat : soit de pédie la vaiatio féquetielle de la patie ésistive et iductive d'u eoulemet, soit d'élaboe des cicuits équivalets de tasfomateus à coducteus ectagulaies, soit d'évalue les petes pa effet de poimité das des eoulemets de tasfomateus. Nous ecesos les potèses su lesquelles ces outils eposet aisi que les limites associés à ces modèles. Nous fiissos cette patie pa la pésetatio de la métode PEEC et de so etesio PEEC. IV.. Métode de Dowell Itéessos ous e pemie à la métode aaltique la plus utilisée pou calcule les petes cuive das u tasfomateu, à savoi la métode de Dowell [DOWELL-66]. Elle est basée su l'appoimatio d'u camp uidiectioel, taget au faces des couces coductices qui sot sépaées pa de l'ai et bobiées autou d'u oau magétique. IV..a. Picipe de la métode Cette métode vise à calcule l'iductace de fuite et la ésistace séie d'u tasfomateu à deu eoulemets. Elle epose su la solutio de l'équatio de diffusio das ue plaque coductice ifiie (cf. III..a). Pou applique cette métode, les coducteus doivet essemble à des plaques paallèles, où pouvoi se amee à u esemble de plaques paallèles. Le camp magétique doit ête pafaitemet paallèle au plaques, ce qui suppose que les plaques emplisset etièemet la lageu de la feête du tasfomateu (Figue 4-6). Ue associatio de plaques supposées ifiies, utilisées pou modélise des eoulemets das ue feête de tasfomateu est pésetée su la Figue 4-6. Pou caque couce de cet empilemet, comme pou la solutio du poblème des plaques ifiies, le camp de poimité est uifome. Le camp pope de caque couce est, quat à lui, atismétique et il viet s'ajoute au camp céé pa les autes coducteus. O obtiet aisi le pofil du camp total das la feête de bobiage (Figue 4-6). 4

143 Capite 4 : Teciques aaltiques de calcul de petes cuive et des fuites damiques H Figue 4-6 : Camp das la feête du tasfomateu E cosidéat que les coducteus sot pacouus pa u couat uifome, le téoème d'ampèe pemet d'obtei la épatitio du camp das la feête du tasfomateu. Dowell mote que, das l'ai, la valeu du camp magétique H ( ) est idépedate de la féquece et peut ête touvée e coaissat les couats potés pa les eoulemets. Das les coducteus e evace, le pofil du camp vaie e foctio de la féquece. La métode de Dowell popose doc de le détemie aaltiquemet e ésolvat u poblème à ue dimesio. La épatitio du couat et les petes sot esuite déduits de ce ésultat. IV..b. Résistace et iductace d'ue associatio de plaque Su la base des équatios obteue pou des plaques ifiies (modèle uidimesioel), Dowell a développé des fomules pemettat de calcule diectemet la vaiatio de la ésistace et l'iductace de fuite d'u eoulemet e foctio de la féquece. Ces fomules s'appliquet uiquemet à ue potio d'eoulemet, défiie comme u ombe etie de couces situés ete ue valeu ulle et ue valeu maimal de la foce magétomotice (Figue 4-7). m ième couce Potio d'eoulemet b m. m. f. Figue 4-7 : Modèle uidiectioel La ésistace et l'iductace d'ue associatio de m plaques coductices coectées e séie sot espectivemet doées pa (4.9) et (4.). 43

144 Capite 4 : Teciques aaltiques de calcul de petes cuive et des fuites damiques ( m ) ' ' R = R M D (4.9) AC DC 3 L AC = L BF ( m ) '' 3 M m α D Avec ' '' M = α cot α = M '' j M α ' D = α ta = D j D j ω j α = = ρ δ m : ombe de couces : épaisseu d'ue couce '' (4.) E développat les calculs, o obtiet les epessios de la ésistace et de l'iductace d'u eoulemet. Dowell omme facteu de ésistace (4.) les quotiets de ces quatités pa leu valeu basse féquece. F F R L R = R L = L AC DC DC BF ( X ) si( X ) m ( X ) cos( X ) 3 si( X ) si( X ) 3 X cos( X ) cos( X ) F R (4.) et facteu d'iductace si ( X ) si( X ) X si = X cos cos X cos X (4.) si ( X ) si( X ) = m X m X cos X cos X (4.) F L Avec X = δ Les fomules (4.) et (4.) sot issues de la ésolutio des équatios de Mawell à ue dimesio. Cepedat, elles écessitet quelques potèses simplificatices pou ête appliquées. Les tois pemièes pemettet de limite le poblème à ue dimesio et les deu deièes pemettet de simplifie la compleité des solutios matématiques. Les couces coductices occupet toute la lageu b de la feête de bobiage. L'épaisseu d'ue couce est plus petite que le ao de coubue de cette couce. La peméabilité du feite su les côtés de la feête est cosidéée comme ifiie. Toutes les couces d'u même eoulemet possèdet la même épaisseu. Le camp magétique est ul d'u coté d'ue potio d'eoulemet et maimum de l'aute côté. La justificatio des tois pemièes potèses est, bie etedu, que le camp soit taget au plaques coductices. La métode de Dowell e se limite cepedat pas à ce gee de coducteus "plaque", puisque dès le début, d'autes fomes de coducteus (ectagulaie, od) 44

145 Capite 4 : Teciques aaltiques de calcul de petes cuive et des fuites damiques ot été taitées. La géométie de ces couces de coducteus est alos modifiée e vue d'ête ameée à ue plaque équivalete. IV..c. Equivalece appe de coducteus-plaque Peos l'eemple de coducteus ectagulaies épatis de faço égulièe das ue feête de tasfomateu (Figue 4-8). Tat que les coducteus e sot pas top espacés, le camp possède toujous le pofil désié. a b Figue 4-8 : Coducteus ectagulaies Pou ce tpe de coducteus, Dowell a défii u facteu de emplissage image de la popotio de cuive das la lageu de la feête (4.3). Ce facteu est ecoe appelé poosité. E multipliat la ésistivité iitiale pa ce facteu, ue couce de même épaisseu qui occupe toute la lageu de la feête a la même ésistace que les fils iitiau e paallèles. N l a η = Avec N l : ombe de coducteus pa couce (4.3) b Pou tei compte de ce facteu das les epessios de la vaiatio de la ésistace et de l'iductace, il faut emplace la valeu de X pa * X (4.4) das (4.) et (4.) * X = η = X δ η (4.4) La justificatio et l'ifluece de la poosité ot doé lieu à de ombeuses publicatios. [ROBERT-99] pésete d'ailleus de faço tès détaillée, l'eeu commise pa Dowell das so aticle iitial. Les coducteus ectagulaies (ou caés) e sot pas les seuls à ête pis e compte. Dowell a aussi poposé ue appoce pou des fils ciculaies, tasfomés e coducteus caés puis e couce coductice équivalete (Figue 4-9). 45

146 Capite 4 : Teciques aaltiques de calcul de petes cuive et des fuites damiques t d èe couce p ième couce Deièe couce d Figue 4-9 : Tasfomatio de coducteus ods e plaques Les coducteus ods de diamète d sot tasfomés e caés de même suface et de coté (4.5). Les caés sot alos accolés puis le ectagle obteu est étedu à la auteu du bobiage sas cage so épaisseu. Efi, la ésistivité est ajustée pou coseve la ésistace e cotiu. Les epessios de la ésistace (4.) de l'iductace (4.) sot esuite modifiées ** pou tei compte de cette tasfomatio. Il faut alos emplace la valeu de X pa X (4.6). = d 886d 4. X = δ d η = δ ** 4 4 η = δ 3 4 d 3 t (4.5) (4.6) Sas plus s'étede su la métode de Dowell puisque de ombeu auteus l'ot déjà fait, ous allos maiteat pésete ses limites et so utilisatio das des tasfomateus plaa IV..d. Limites e gééal et das les tasfomateus plaa La métode de Dowell utilise u modèle simplifié uidimesioel. C'est la tecique la plus utilisée das le mode idustiel pou calcule des petes cuives d'u composat passif. Cepedat, l'potèse coceat le camp, à savoi que ce deie e pésete qu'ue composate tagete la couce de coducteu 'est que tès appoimativemet véifiée das u composat éel. E effet das les tasfomateus, difféets élémets modifiet l'allue supposée de ce camp. Tois facteus peuvet avoi ue impotace fodametale. Pemièemet, les couces sot supposées occupe la majeue patie des feêtes de bobiage du tasfomateu. Cette potèse est souvet espectée das les tasfomateus bobiés, malgé le fait qu'ue distace d'isolemet est gééalemet equise ete les spies et le cicuit magétique. E tecologie plaa, cette potèse est souvet loi d'ête espectée. Si o eviet au desciptios des feêtes de tasfomateu pésetées das le Capite 3, o s'apeçoit que les coducteus sot loi d'ête épatis su ue feête complète. Das u deuième temps, losque les eoulemets sot costitués de coducteus disticts, le camp 'est pas souvet taget au coducteus : il a tedace à toue autou. C'est d'ailleus le cas das le tasfomateu péseté au Capite 3. Le tasfomateu que ous 46

147 Capite 4 : Teciques aaltiques de calcul de petes cuive et des fuites damiques étudieos au Capite 5 e compeda qu'ue seule spie pa couce. Das ce cas, l'potèse du camp tagetiel sea espectée. La toisième limitatio appaaît losque le composat bobié compote u etefe. Ce deie viet modifie de faço otable le camp das la feête e céat u flu de fuite paasite pès de l'etefe. Le tasfomateu que ous avos eu l'occasio d'étudie et de caactéise fiemet (Capite ) possède u lage etefe. De pat so evioemet d'électoique de puissace, il set à la fois d'iductace pedat ue demie péiode et de tasfomateu pedat l'aute. Pou ces tois aisos, le compotemet féquetiel de ces tasfomateus plaas e peut ête déduit des fomulatios aaltiques de Dowell. La géométie tès paticulièe des feêtes et des coducteus ous oblige à utilise d'autes métodes. IV.. Cicuits équivalets de plaques La secode métode que ous allos pésete est appelée métode des cicuits équivalets de plaques. L'appoce aaltique poposée ici epose su des études pécédetes [KERADEC- 96] [SCHELLMANNS-], dot le picipe cosiste à cosidée u tasfomateu comme u empilemet de plaques coductices, isolates et magétiques. Toutes ces plaques sot supposées ifiies. Elles sot costituées de matéiau supposés liéaies, omogèes et isotopes, décits pa leu peméabilité et leu pemittivité complees. Les écages d'éegie se fot pa des odes plaes, pepediculaies au plaques. Cette appoce pemet d'associe, à caque couce tavesée, u cicuit équivalet électique. IV..a. Cicuit équivalet associé à ue plaque Pou développe l'appoce uidiectioelle, cosidéos ue plaque ifiie, pepediculaie à Oz, d'épaisseu a, dot ue potio de auteu b et de pofodeu c est pise e cosidéatio (Figue 4-). Cette plaque est eposée à des odes plaes icidetes et éflécies su ses deu faces. L'ecitatio magétique H est paallèle à O. Si la plaque est coductice, ue alimetatio électique, caactéisée pa u couat I et ue tesio V, peut ête eliée à cette couce. U couat de coductio paallèle à O cicule alos à l'itéieu. La couce est soumise à tois flu de puissace, ue puissace d'etée, ue puissace ijectée et ue puissace de sotie. 47

148 Capite 4 : Teciques aaltiques de calcul de petes cuive et des fuites damiques Figue 4- : Plaque élémetaie Les elatios liat les si vaiables etees ( E g et H g e etée, E d et H d e sotie aisi que I et V ) admettet ue écitue maticielle. La matice 33 impliquée est smétique (sstème passif) et le téoème d'ampèe mote que le couat I est lié au ecitatios appliquées su les deu faces (4.7). H H g et H d H J (4.7) g d = E défiitive, la elatio maticielle se éduit à deu équatios [KERADEC-96] qui se epésetet sous fome quadipolaie (Figue 4-). E E g d Es = Z H g Z J (4.8) Es = Z H d Z J (4.9) Avec J E s I = b V = c V Es c Z = = (4.3) I J b H g Z Z H d E g J E s Z Ed Figue 4- : Scéma équivalet sous fome quadipolaie O peut modifie la Figue 4- afi d'itoduie la tesio V et le couat I d'alimetatio à la place du camp électomoteu E s et le couat pa uité de logueu J. Ces quate gadeus sot liées pa (4.3). Le scéma peut doc ête modifié e coséquece e utilisat u coupleu pafait de appot c (Figue 4-). b 48

149 Capite 4 : Teciques aaltiques de calcul de petes cuive et des fuites damiques H g Z Z H d E g I c b Z E d V Figue 4- : Cicuit électique équivalet d'ue plaque coductice Les impédaces Z et Z dépedet du dépasage φ (4.3) et de l'attéuatio A (4.3) povoqués pa la tavesée du milieu d'épaisseu a aisi que de l'impédace caactéistique Z c de ce milieu (4.33). φ = ω ε a (4.3) A = e jφ (4.3) Z c = (4.33) ε Z et Z s'epimet alos simplemet selo (4.34) et (4.35). Z Z A φ = Z c = Z c j ta A (4.34) A = Z c = Z c A j si( φ ) (4.35) E basse féquece, ces epessios se simplifiet. Les impédaces Z et Z sot alos omogèes espectivemet à ue iductace (4.36) et à ue capacité (4.37), tout au mois si et ε e vaiet pas avec la féquece. e B.F. e B.F. φ a a Z j Z c = j ω = L (4.36) Z = Z c = ε a = C (4.37) φ j ω ε a Losque plusieus couces paallèles sot tavesées les ues à la suite des autes, il suffit de elie leus quadipôles epésetatifs e cascade pou obtei le cicuit équivalet de l'esemble. Gâce à cette tecique, le poblème de modélisatio électomagétique se éduit à u simple poblème de cicuiteie électique. 49

150 Capite 4 : Teciques aaltiques de calcul de petes cuive et des fuites damiques IV..b. Epessios des impédaces pou les tois tpes de plaque Le cicuit péseté su la Figue 4- est gééal mais, pou ête utilisé, il doit ête pesoalisé pou caque tpe de matéiau. Pa eemple, seules les couces coductices écessitet ue alimetatio électique. Les autes tpes de matéiau, o alimetés, se epésetet simplemet pa u dipôle séie ( Z ). Pou étudie le compotemet d'u tasfomateu, tois tpes de milieu doivet ête distigués : coducteu, isolat et magétique. Nous allos maiteat taite ces tois cas paticulies. IV..b.i. Couce coductice (Cuive ) Ue plaque coductice est défiie pa sa ésistivité ρ = et so épaisseu ep. Pou u σ coducteu, la pemittivité ε est diectemet eliée à la coductivité σ (4.38). Le dépasage φ et l'impédace caactéistique s'epimet alos avec (4.39) et (4.4). σ ε = j ω (4.38) σ ep φ = ω ep = ( j) (4.39) i ω δ Z c = i ω ρ = j (4.4) σδ E posat mettet sous la fome : ep =, les epessios des élémets Z et Z du quadipôle équivalet se δ Z Z ( ) si( ) j [ si( ) si( ) ] cos( ) cos( ) ( ) cos( ) cos( ) si( ) j [ si( ) cos( ) cos( ) si( ) ] cos( ) cos( ) si = (4.4) si = (4.4) Avec ep = δ = : Valeu de Z e B.F. σ a IV..b.ii. Couce d'ai (ou d'isolat) Cotaiemet à ue couce coductice, l'appoimatio B.F. d'ue couce d'ai est valable tès aut e féquece. Ue couce d'ai d'épaisseu ep _ a se modélise doc simplemet pa u dipôle dot l'impédace est doée pa la elatio (4.43) : c'est ue iductace. Z a = i ω ep _ a ep _ a = L (4.43) 5

151 Capite 4 : Teciques aaltiques de calcul de petes cuive et des fuites damiques IV..b.iii. Matéiau magétique (Feite) Ue couce magétique est caactéisée pa so épaisseu ep _ f et sa peméabilité. L'appoimatio B.F. état valable tès aut e féquece, comme pou modélise ue couce d'ai, le modèle le plus simpliste est ue iductace (4.44). Ses petes peuvet cepedat ête pises e compte de diveses maièes. Ue ésistace e paallèle peut ête ajoutée à l'iductace magétisate e pemièe appoimatio. D'autes modèles plus élaboés ot été développé [KERADEC-3], mais leu utilisatio 'est pas justifiée das la gamme de féquece evisagée ici. Z f = i ω ep _ f ep _ f = L (4.44) IV..c. Plaque costituée de fils paallèles coectés e séie Les plaques ivoquées taditioellemet das le cas de tasfomateus bobiés sot des egoupemets de t coducteus coectés e séie et tasfomés e ectagle équivalet pa la métode de Dowell [DOWELL-66]. Nous avos vu das la patie IV..c commet pocéde à la tasfomatio de coducteus clidiques e plaques équivaletes. Au iveau du scéma équivalet, ue plaque de t coducteus clidiques sea epésetée pa le cicuit de la Figue 4-3. Le ombe de coducteus est itoduit à l'itéieu du coupleu pou especte le téoème d'ampèe. Z Z I t c b Z V Figue 4-3 : Cicuit équivalet d'ue plaque de t coducteus IV..d. Goupemet de plaques coductices idetiques Nous veos de voi qu'ue couce équivalete pouvait ête costituée de plusieus coducteus clidiques ou ectagulaies, coectés e séie. U tasfomateu est gééalemet costitué de plusieus couces de ce tpe, eliées e séie ou e paallèle. Caque couce se epésetat à la maièe de la Figue 4-3, la multiplicatio des couces iduit focémet ue complicatio du cicuit électique. Des egoupemets de couces sot possibles 5

152 Capite 4 : Teciques aaltiques de calcul de petes cuive et des fuites damiques e vue de limite le ombe d'élémets du cicuit équivalet et éduie sa compleité. Nous allos maiteat voi commet mette des couces e séie ou e paallèle. IV..d.i. Mise e séie de couces coductices l couces idetiques de t spies sot électiquemet eliées e séie. Caque couce élémetaie, sépaée de sa voisie pa ue zoe d'ai (d'impédace caactéistiques Z et Z (Figue 4-4). Z a ), a pou élémets l couces èe couce ai ème couce ai Z Z Z a Z Z Z a Z Z t t V Figue 4-5. Figue 4-4 : l couces de t spies e séie Le scéma équivalet de cet esemble, issu de [SCHELLMANNS-], est doé pa la Xs Xs l t c b Ys V Figue 4-5 : Cicuit équivalet d'u eoulemet de l couces de t spies e séie Les impédaces Xs (4.45) et Ys (4.46), s'epimet e foctio des élémets Z et Z d'ue couce de cuive et de l'impédace Z a de l'ai sépaat caque couce. Xs Z l Ys = ( Z Z a ) (4.46) 6 l = l Z Z (4.45) a l l IV..d.ii. Mise e paallèle de couces coductices La mise e paallèle de couces coductices idetiques cosiste à elie e paallèle les alimetatios électiques de ces couces (Figue 4-6). Cette epésetatio peut ête simplifiée (Figue 4-7) ca tous les coupleus impliqués pésetet le même appot de tasfomatio. 5

153 Capite 4 : Teciques aaltiques de calcul de petes cuive et des fuites damiques l couces èe couce ai ème couce ai Z Z Z a Z Z Z a Z Z t t Figue 4-6 : l couces de t spies e paallèle l couces èe couce ai ème couce ai Z Z Z a Z Z Z a Z Z t V Figue 4-7 : Simplificatio du scéma équivalet de l couces de t spies e paallèle à u seul coupleu Nous allos maiteat egoupe ces l quadipôles e seul (Figue 4-8). Xp Xp t c b Yp V Figue 4-8 : Cicuit équivalet d'u eoulemet de l couces de t spies e paallèle E coupat les impédaces d'ai e deu paties égales, le cicuit électique de la Figue 4-7 se amèe à ue successio de quadipôles smétiques idetiques (Figue 4-9). O a alos 53

154 Capite 4 : Teciques aaltiques de calcul de petes cuive et des fuites damiques ' Z Z Z a =. Pou établi le scéma équivalet das cette cofiguatio, il est commode d'utilise les popiétés des quadipôles smétiques. ' Z ' Z ' Z Z c Figue 4-9 : Quadipôle smétique et impédace caactéistique L'impédace caactéistique Z c d'u quadipôle est défiie de faço telle que, losqu'u qu'u quadipôle est cagé pa cette impédace, l'impédace vue de so etée est égale à Z c. Cette impédace caactéistique peut s'epime e foctio des impédaces Z et Z de sa epésetatio e T (4.47). Avec cette impédace de cage, l'attéuatio e tesio vaut Gva (4.48). Z c = Z ZZ c Z (4.47) Z Gva = (4.48) Z Z Si N quadipôles idetiques sot placés e cascade, l'impédace caactéistique vue de l'etée de l'esemble vaut aussi Z c et le gai e tesio vaut N Gva. E patat de ces deu valeus, les epessios des deu impédaces Xp et Yp du quadipôle e T équivalet (Figue 4-8) sot doées pa (4.49) et (4.5) (cf. Aee V). Xp = Z c Gva N Gva (4.49) N N Gva Yp = Z (4.5) c N Gva Afi de faie appaaîte, das le cicuit de la Figue 4-7, ue successio de quadipôles idetiques, caque couce coductices a été associée à ue demie couce d'ai. Su les faces d'etées et de sotie d'u bloc de couces e paallèle, il faut maiteat ôte cette demie couce d'ai e soustaat so impédace de Xp. O obtiet aisi l'impédace epésetatio fiale de l'eoulemet. N X ' p (4.5) de la ' Gva Z a X p = Z c (4.5) N Gva 54

155 Capite 4 : Teciques aaltiques de calcul de petes cuive et des fuites damiques IV..e. Illustatio de la métode Cosidéos u tasfomateu à deu eoulemets moocouces éalisé su u oau de tpe EP. Il possède ue smétie de évolutio autou de so ae O. Apès déoulemet, l'agecemet de ses couces essemble à u empilemet (Figue 4-3) dot la pofodeu c est pise égale à la logueu de la spie moee. La auteu b est égale à la lagueu des couces. Caque couce coductice est sépaée pa ue couce d'isolat, magétiquemet équivalete à de l'ai. Le ombe de spies du pimaie ( t) aisi que celui du secodaie ( t ) du tasfomateu sot itoduits das les appots de tasfomatio des coupleus qui assuet l'alimetatio des couces. Feite Ai Pimaie Ai Secodaie Ai Feite Z a3 3 Z p Z p Z a Z s s Z s s Z a Z Z f c p Z s s Z f t c b t b V p V s Figue 4-3 : Cicuit équivalet établi pa la métode des plaques d'u tasfomateu deu eoulemets Apès plusieus tasfomatios de cicuit classique, le scéma de la Figue 4-3 se epésete aussi sous la fome, plus abituelle, d'u modèle e (Figue 4-3). Toutes les impédaces itoduites dépedet de la féquece. L'impédace équivalete du cicuit à vide déped essetiellemet de l'impédace magétisate η ( Z Z Z ) l'impédace du feite ( Z f ) est pépodéate das cette epessio. p a3 f. E patique, 55

156 Capite 4 : Teciques aaltiques de calcul de petes cuive et des fuites damiques η Z p η Z p η Z a η Z s η Z s η Z p η Z s t t V p η Z a3 η Z a Vs η Z f η Z f Impédaces souvet égligeables devat celles liées au feite avec η = t c b Figue 4-3 : Cicuit équivalet au tasfomateu de la figue 8 Il faut cepedat ête citique vis-à-vis de ce modèle. Ce deie est valable, losque les coducteus, ou plutôt les couces de coducteus, occupet toutes la même lageu, sot aligés face à face et que, su toutes les sufaces coductices, l'ecitatio magétique est costate et paallèle à la suface. Ue limitatio supplémetaie poviet du fait que seul le camp électique cosidéé est paallèle au couces. Ce modèle e peut doc pas ede compte des effets électostatiques. E dépit de ses limitatios, cette métode pésete l'itéêt de tascie le compotemet magétique e u cicuit équivalet et ous veos, das le capite 5 qu'elle peut ous sevi pou eplique quatativemet la mauvaise épatitio du couat ete les couces paallèles d'eoulemet. IV.3. Peméabilité complee Pou tei compte des effets de couats iduits das u coducteu au cous de simulatios électomagétiques, le maillage du dispositif est essetiel. E effet, au mois deu mailles doivet ête pésete das l'épaisseu de peau, afi que le sstème puisse ête ésolu de faço coecte. Au vu de la compleité de cetais dispositifs à simule, le maillage est tès difficile à éalise et écessite des odiateus tès puissat. Afi de emédie à ce poblème de sucage mémoie, losque l'o s'itéesse au petes pa effet de poimité das u composat, la métode dite de la "peméabilité complee", ou "complee", a été itoduite. Elle cosiste à cosidée qu'ue zoe coductice compeat des coducteus et de l'ai est omogèe et de peméabilité complee * ( * ' j '' = ). C'est doc ue tecique d'omogééisatio et * est coisi pou que le volume cosidéé coduise au 56

157 Capite 4 : Teciques aaltiques de calcul de petes cuive et des fuites damiques mêmes écages éegétiques que le sstème iitial. A pati du momet où le coducteu 'est plus le siège d'effets de peau i de poimité (puisque sa coductivité σ a été itégée das la peméabilité * ), la ègle des deu mailles das l'épaisseu de peau e se justifie plus. De ombeuses études ot été meées pa difféets auteus pou touve la peméabilité complee de coducteus ods [NAN-5] ou de fomes diveses [GYSELINCK-5]. Au sei de ote laboatoie, les tavau su ce sujet ot été iitiés afi de calcule les petes pa effet de poimité das ue appe de coducteus clidiques [KERADEC-9]. Ces tavau ot esuite été appofodis das le cas de tasfomateus de distibutio das le cas D [MOREAU-98], puis das le cas 3D [JOAN-4] [MOREAU-5] et, plus écemmet, au cas paticulie des tasfomateus plaas [PHUNG-6-]. IV.3.a. Equivalece pou ue plaque-modèle D Le picipe de base cosiste à attibue, à ue zoe de coductivité σ, ue peméabilité complee absobat la même puissace complee losqu'elle est soumise à u camp icidet H omogèe. Le calcul aaltique diect de la peméabilité équivalete est ici u calcul à ue dimesio. O cosidèe que le camp icidet 'est pas modifié pa la plaque ifiie (Figue 4-3). b H z H Figue 4-3 : Modèle ue dimesio pou ue plaque ifiie Le camp das la plaque peut se mette sous la fome (4.5) et la puissace complee s'epime e foctio de cette valeu (4.53). H ( α) ( αb) c j = H avec α = (4.5) c δ p = J J j ωh H σ c cos δ = δ i ωh b b c cos δ δ c cos δ δ j b b c cos δ δ (4.53) E itégat esuite cette puissace su l'épaisseu du coducteu, o obtiet l'epessio de la puissace péétat das la plaque (4.54). 57

158 Capite 4 : Teciques aaltiques de calcul de petes cuive et des fuites damiques 58 = = δ δ δ δ δ δ δ δ σ ω b b c b b s j b b c b b s H d p P b b cos si cos si (4.54) E emplaçat le matéiau coducteu pa u matéiau 'magétique', les petes das ce deie s'epimet suivat (4.55) H H j j H H j P = = ω ω ' ' ' * (4.55) L'équivalece s'effectuat au iveau de l'égalité des puissaces, les valeus de la peméabilité complee (4.56) se déduiset de l'idetificatio de (4.54) et (4.55). = = δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ b b c b b s b b b c b b s b cos si ' ' cos si ' (4.56) Les valeus de peméabilité obteues, tès simples à implémete das logiciel de calcul, sot eactes si la plaque est cosidéée comme ifiie et que le camp icidet su ses faces est uifome. E patique, ces coditios sot tès difficile à obtei. IV.3.b. Etesio au modèle D et limites Pou étede cette métode uidimesioelle à deu dimesios et détemie ue peméabilité aisotopique, u calcul est meé e cosidéat que le camp H de la Figue 4-3 subit ue otatio de 9 et est maiteat pepediculaie à la plaque [MOREAU-98]. O voit ici appaaîte de faço otable les limites de cette métode. E effet, le camp pafaitemet tagetiel su les faces d'u coducteu e peut ête éaliste que si l'o s'itéesse à ue plaque ifiie. A pati du momet où le coducteu cosidéé est fii, des effets de bods appaaisset et les camps 'ot pas du tout la fome désiée, écessaie à l'applicatio de la métode D das les deu dimesios. Le calcul de la peméabilité complee, das ce cas, est sujet à des eeus sigificatives, limitat gademet l'utilisatio de cette métode.

159 Capite 4 : Teciques aaltiques de calcul de petes cuive et des fuites damiques IV.3.c. Equivalece pou u éseau ectagulaie de fils méplats- Applicatio au tasfomateus plaa Nous avos collaboé avec l'équipe modélisatio afi d'applique la métode de la peméabilité complee à u tasfomateu plaa e et 3 dimesios [PHUNG-6-]. Le picipe de calcul est basé su l'potèse qu'il a ue ifiité de coducteus ectagulaies idetiques, disposés selo u éseau péiodique ectagulaie (Figue 4-33). Das ce cas, la cotibutio de caque coducteu est égligeable pa appot au camp total. Pou cée u camp pafaitemet oizotal autou du coducteu, o fie les coditios au limites d'ue cellule élémetaie, qui, pou des aisos de smétie, coespod au quat d'u coducteu. Cellule élémetaie,σ A = A = A = A A A = * Figue 4-33 : Paquet de coducteus et cellule élémetaie La simulatio, tès simple, d'ue cellule élémetaie à l'aide d'u logiciel de calcul élémets fiis pemet de détemie la peméabilité complee * à attibue à ue cellule. Ue simulatio complète d'u tasfomateu plaa à deu eoulemets a esuite été éalisée afi de teste cette tecique d'omogééisatio. Les ésultats de la simulatio avec peméabilité complee sot compaés à ue simulatio du dispositif éel, maillé e foctio de l'épaisseu de peau. Les ésultats sot tès itéessats puisque, pou u tasfomateu costitué d'ue spie pimaie et de deu couces secodaies de ciq spies cacue, les évaluatios de la puissace dues au effets de poimité das le secodaie à vide sot coectes à 6% pès. Das le cas d'ue simulatio e 3 dimesios du même dispositif, les ésultats sot ecoe plus itéessats. E effet, à 5 khz, les petes calculées à l'aide de la peméabilité complee sot suestimée de %, mais pou u temps de calcul éduit à miute et demie, alos que le calcul élémet fii complet demade plus de eues. 59

160 Capite 4 : Teciques aaltiques de calcul de petes cuive et des fuites damiques IV.3.d. Coclusio su la métode de la peméabilité complee Nous veos de pésete ue tecique de calcul pemettat de détemie les petes pa effet de poimité das u tasfomateu. Cette métode, dite de peméabilité complee, doe des ésultats itéessats mais elle est cepedat bâtie su des potèses de camp souvet o espectées das la éalité. L'aute défaut de cet outil est qu'il 'est développé e deu dimesios que gâce à des simulatios électomagétiques et o de faço aaltique. Le calcul aaltique à ue dimesio (plaque) est valable sous coditio que le camp cosidéé soit bie tagetiel au difféetes plaques coductices. Nous etouvos ici la même potèse estictive que pou les autes métodes décites plus aut. Pou évite de ecoui à de telles cosidéatios su la fome du camp das ue feête de tasfomateu, ous allos maiteat ous attade u peu su ue métode e écessitat aucue potèse de ce gee, la métode PEEC. IV.4. Métode PEEC Les métodes itoduites ot moté leus limites losque le camp 'est pas pafaitemet taget au coducteus. Sas faie aucue potèse su le tpe de camp, i su la épatitio du couat das les coducteus, ue métode a été mise au poit pa [RUEHLI-74] pou cece le cicuit équivalet de sstèmes composés de multiples coducteus. Cette métode est coue sous l'abéviatio PEEC (Patial Elemet Equivalet Cicuit). Elle cosiste à divise tout coducteu pacouu pa u couat o uifome e u assemblage, e paallèle, de coducteus plus fis pacouus cacu pa u couat uifome. S'ils sot suffisammet fis, ces coducteus e sot plus le siège de couats iduits. Des études ot été meées, au sei de ote laboatoie [CLAVEL-96], afi d'utilise cette métode pou accéde à la épatitio des couats das des coducteus ectagulaies. Elles ot abouti lieu à la céatio d'u logiciel de calcul d'iductaces de câblage ICa [INCA]. De ombeuses études ot esuite mis à pofit cette métode et ce logiciel, otammet pou éduie les petes d'u jeu de baes de distibutio [GUICHON-] et pou coaîte la épatitio du couats das des itecoeios d'électoique de puissace [MARTIN-5] ou tout écemmet, das des edesseus fote puissace [AIME-6]. L'utilisatio de la métode PEEC a logtemps été esteite à des coducteus seuls ou multiples mais positioés das l'ai, ca les matéiau magétiques e pouvaiet pas ête pis e compte. Des tavau écets de ote équipe ot abouti à développe ue fomulatio spécifique, eploitable e pésece de matéiau magétiques [GONNET-5]. Cette métode plus complète est maiteat coue sous le om de PEEC. 6

161 Capite 4 : Teciques aaltiques de calcul de petes cuive et des fuites damiques IV.4.a. Picipe de la métode PEEC Des coducteus massifs, pacouus pa des couats et soumis à des effets de peau et de poimité sot décomposés e ue multitude de coducteus élémetaies qui sot supposés pacouus pa des couats uifomes (Figue 4-34). Coducteu massif discétisé Coducteu élémetaie das lequel le couat est supposé uifome Figue 4-34 : Discétisatio d'u coducteu massif e coducteus élémetaies Caque coducteu élémetaie peut ête epéseté, de faço scématique, pa so iductace patielle, sa ésistace pope et les mutuelles patielles ete ce coducteu et tous les autes coducteus élémetaies. D'u poit de vue électique, la elatio maticielle (4.57) egoupe toutes les elatios qui ésultet de cette epésetatio. [ V ] = [ Z] [ I ] [ Z ] j ω = Ri M ij (4.57) Tous les fils élémetaies d'u même coducteu sot esuite eliés électiquemet e paallèle. Toutes les tesios de la matice [ V ] sot, das u pemie temps, supposées égales mais ous eviedos su l'impotace de cette mise e paallèle à la fi de ce capite. U eemple de cicuit équivalet obteu pou u coducteu découpé e quate cellules élémetaies est péseté su la Figue

162 Capite 4 : Teciques aaltiques de calcul de petes cuive et des fuites damiques 3 4 Coducteu massif discétisé L L 3 M 4 Mise e paallèle des coducteus élémetaies L M M 3 M 3 M 34 M 4 L 4 Scéma électique équivalet R R R 3 R 4 Figue 4-35 : Scéma équivalet obteu apès discétisatio d'u coducteu massif A ce stade de la pésetatio de la métode PEEC, il est écessaie d'itoduie la otio d'iductace et de mutuelle patielle. La défiitio abituelle de l'iductace suppose qu'elle est associée à u cicuit femé. Poutat, caque potio d'u cicuit cotibue à l'iductace totale d'ue boucle de couat. E coséquece, l'iductace patielle peut ête défiie à coditio de cosidée aussi la cotibutio à l'iductace cée pa u segmet su u aute [SCHANEN-]. D'u poit de vue matématique, ceci se taduit pa la fomulatio (4.58), Mp epésetat la mutuelle patielle ete le segmet et le segmet m. Das le cas où coespod ue iductace patielle. m = la valeu obteue Mp m = AS dl A S : Potetiel vecteu céé pa le segmet S, m m m I Avec : S I : Couat das le segmet (4.58) Le scéma équivalet obteu (Figue 4-35) est costitué d'élémets localisés. Cela sigifie que l'éegie du sstème peut toujous ête tascite pa des élémets localisés à coditio d'e itoduie u ombe suffisat. La métode PEEC pésete u aute avatage impotat. L'ai etouat le sstème 'a pas besoi d'ête maillé puisque l'éegie est totalemet calculée das les égios coductices. Pou des simulatios de dispositifs écessitat u maillage impotat e élémets fiis, ce deie peut ête allégé de faço dastique puisque seuls les zoes coductices doivet ête maillés (découpés e zoes élémetaies). Les fomules, écessaies pou calcule les élémets des scémas équivalets das le cas de coducteus ectagulaies, sot pésetées das [CLAVEL-96] ou [GUICHON-]. Ces calculs 6

163 Capite 4 : Teciques aaltiques de calcul de petes cuive et des fuites damiques e sot valables que si les coducteus élémetaies sot paallèles ou pepediculaies ete eu. Toutefois, ces potèses e costituet pas ue limitatio icotouable de la métode. IV.4.b. Pise e compte des matéiau magétique-etesio au PEEC La métode PEEC a logtemps été limitée, e teme d'utilisatio, à des dispositifs composés uiquemet de coducteus et ecluat tout matéiau magétique. Los de ses tavau de tèse, Jea-Paul Goet [GONNET-5] a développé ue métode pemettat de pede e compte ces matéiau magétiques. L'utilisatio de la métode PEEC 'est doc plus limitée au coducteus seuls. Des matéiau magétiques peuvet ête pésets sous éseve qu'ils soiet liéaies omogèes et isotopes, autemet dit qu'ils soiet desciptibles pa ue peméabilité complee et ue ésistivité. Das la métode PEEC, les dispositifs icluat u matéiau magétique sot modifiés e u dispositif équivalet (Figue 4-36). Des couats de suface sot ajoutés à l'iteface sépaat le milieu magétique de l'ai. O obtiet aisi u dispositif 'icluat plus que des couats ciculat das l'ai et das lequel le potetiel vecteu et l'iductio sot idetiques au camps iitiau [KERADEC-5] (ce qui 'est pas le cas de l'ecitatio magétique à l'itéieu des matéiau magétiques). Dispositif iitial Dispositif équivalet pou A et B Matéiau magétique > Ai a = Pas de couats de suface Ai B m B a a = Bt m Bt a I Ai = fil K K K 3 a B m B a Ht m Ht a I fil K Elémets de suface B m = B a ; m Hta Ht = Bt m = Bta Figue 4-36 : Couats de suface à l'iteface ete les milieu Le camp céé e tout poit d'u tel sstème est la somme des cotibutios des couats souces et des couats de suface. Si le matéiau 'est pas puemet magétique ( σ ), ou si des coducteus sot pésets das le dispositif étudié, ces deies doivet, comme le equiet la métode PEEC ête subdivisé e coducteus élémetaies. Das ce cas, les élémets sufaciques et les coducteus élémetaies cotibuet à la céatio du camp das tout l'espace. La compleité de mise e œuve d'ue telle métode écessite u solveu uméique pou tei compte de l'ifluece de tous les élémets, coducteus ou couats sufaciques, das le 63

164 Capite 4 : Teciques aaltiques de calcul de petes cuive et des fuites damiques calcul du camp total. Malgé cette compleité appaete, ous allos pésete ue appoce aaltique visat à évalue ces couats de suface. IV.4.c. Ves ue fomulatio aaltique des couats de suface pou des feêtes de tasfomateu Itéessos ous de faço plus pécise, au coditios de passages ete les deu sufaces de la Figue 4-36 et à l'écitue maticielle qui e découle. La cotiuité de l'ecitatio tagetielle du sstème iitial iduit ue discotiuité de l'iductio tagetielle : Bt = Bt. Pa défiitio, das le sstème équivalet, les iductios sot idetiques. Puisque ce sstème 'iclut plus de matéiau magétique, les ecitatios tagetielles sot de pat et d'aute de la suface das u appot et puisqu'il a discotiuité, c'est qu'u couat K cicule su la suface. Ce couat ajoute ue ecitatio tagetielle d'u coté et il soustait la même de l'aute coté. Aisi, si Ht est l'ecitatio tagetielle eistat su u poit de la suface losque aucu couat supeficiel e cicule e ce poit, o a : K Ht = K Ht m a (4.59) Cette elatio (4.59) pemet d'epime K e foctio de l'ecitatio tagetielle et de la valeu de la peméabilité du matéiau magétique (4.6). K = Ht (4.6) Le pemie objectif de la métode état de calcule les iteactios ete deu fils fis élémetaies, ous cecos ici le camp céé pa u fil uique das tout l'espace. Le camp tagetiel péset das (4.6) peut se décompose e deu paties. La pemièe cotibutio, Hwt, est due au fil souce pacouu pa u couat I fil. La secode, Hst, est gééée pa tous les couats de suface. L'équatio (4.6) peut doc s'écie sous la fome (4.6). K = ( Hwt Hst) (4.6) Le camp tagetiel céé pa le fil souce e u poit s'epime doc simplemet e foctio du couat de suface au même poit et du camp gééé pa tous les couats de suface (4.6). Ce deie déped liéaiemet de tous les couats de suface, doc la elatio (4.6) peut aussi s'écie de faço maticielle (4.63). 64

165 Capite 4 : Teciques aaltiques de calcul de petes cuive et des fuites damiques Hwt = K Hst (4.6) Hwti = K i Hst i avec Hst U, K (4.63) i = j i j j E défiitive, l'ecitatio tagetielle que cée u fil pès d'u élémet de suface, peut s'écie e foctio des couats de suface uiquemet (4.64). La matice de tasfomatio [ V ] iclut ue patie qui déped du couat de suface de l'élémet cosidéé et ue aute qui taduit l'ifluece de tous les autes couats de suface. [ ] [ V ][ K ] Hwt = (4.64) avec = δ et δ j : smbole de Koecke V i, j i, j U i, j i, Fialemet, la elatio (4.64) peut ête ivesée (4.65) afi de touve le couat de suface qui cicule patout su le sstème équivalet. [ K] = [ V ] [ Hwt] (4.65) Dès que les couats de suface sot cous, le potetiel vecteu dû au coducteu élémetaie peut ête cou patout. Cette métode de calcul pou détemie les couats sufaciques est valable pou toutes les positios de la souce de camp. Pou u dispositif fié, les matices U, V et V estet icagées quelque soit la positio du fil souce. IV.4.d. Eemple de calcul : Fil das u clidique magétique Les tasfomateus qui ous itéesset sot composés de coducteus ectagulaies et etoués pa u cicuit magétique. Ils sot doc itégables das ue appoce PEEC. Cepedat, le calcul complet das ue géométie suffisammet éaliste pou epésete u tasfomateu demade ecoe u peu de temps et quelques simplificatios complémetaies. Nous allos evei à u eemple simple afi d'illuste la métode à applique pou effectue le emplacemet du matéiau magétique pa des couats de suface. Pou applique la tecique de calcul de couats de suface, peos l'eemple d'u clide magétique pafait (sas petes) de ao R et de peméabilité (Figue 4-37). Nous cecos l'iductio céé pa u fil localisé e ( w, θw) et pacouu pa u couat I. 65

166 Capite 4 : Teciques aaltiques de calcul de petes cuive et des fuites damiques θ w I θw R Figue 4-37 : Clide magétique Le potetiel vecteu céé pa ce fil seul à l'itéieu du clide est décit e coodoées clidiques pa l'epessio (4.66). Le couat das le fil est multiplié pa la peméabilité du milieu das lequel il se touve. Aw(, θ ) = I l w w cos( θ θw) (4.66) 4 La composate tagetielle de l'iductio est obteue e déivat (4.66) et l'ecitatio s'e déduit e divisat l'iductio pa puisque le matéiau est cosidéé maiteat comme o magétique (4.67) Hwθ (, θ ) Aw = = I 4 w ( w cos( θ θw) ) w cos( θ θw) (4.67) Des desités de couats sot céées su la suface du clide e divisat cette deièe e N élémets (4.68). θi = i (4.68) N Pou détemie la matice U das cette cofiguatio, o écit l'epessio de l'ecitatio tagetielle céée su la suface du clide pa u élémet i su u élémet j (4.69). ( R R cos( θi θ j ) K i R R cos( θ θ ) N R Hsθ K (4.69) i, j = i 4 N R R = i j La matice U se déduit aisémet de (4.69) et fialemet la matice V ped la fome (4.7)., = (4.7) N U i j = δ (4.7) V i, j i, j U i, j Il e este plus qu'à ivese V pou déduie la valeu des couats de suface K i (4.65). 66

167 Capite 4 : Teciques aaltiques de calcul de petes cuive et des fuites damiques K i θ i Figue 4-38 : Couat de suface Le pofil des couats su la suface est péseté su la Figue Ce deie a été tacé avec u clide de ao = et de peméabilité = et u fil R cm positioé e w =. 75 R, w = 6 θ et I = A. Le camp magétique, quat à lui, est péseté su la Figue L'effet du fil seul, des couats de suface seuls et la combiaiso des deu effets peuvet ête visualisés su ces tois figues. Le camp obteu fialemet coespod bie à celui céé pa u fil das u clide magétique. Les couats de suface calculés pemettet doc d'élimie le matéiau magétique qui posait poblème los de l'applicatio de la métode PEEC taditioelle. a b c Figue 4-39 : Catogapie du camp magétique a : Fil seul b : Couats de suface seuls c : Fil et couats de suface Cette pemièe étape valide le picipe de calcul des couats de suface das le cas d'u clide magétique. Ce cas admet ue solutio aaltique eacte qui coïcide igoueusemet avec os ésultats. Afi d'étede cette métode à ue feête de tasfomateu, plusieus étapes devot ête facies successivemet (Figue 4-4). E pemie, le fil sea placé das u baeau de feite ectagulaie. Ce dispositif est tès poce du clide magétique que ous veos d'étudie, la difféece veat de la fome ectagulaie et doc de l'epessio du camp tagetiel. Losque cette pemièe étude sea validée, o poua abode celle d'u baeau de feite avec u tou à l'itéieu. Cette deuième étape pemetta, avec des desités de couat su les deu sufaces du matéiau magétique, de se appoce de la géométie d'ue feête de tasfomateu. Efi, la toisième étape cosistea à étudie la mutuelle eistat ete deu fils fis à l'itéieu de ce tpe de feête. 67

168 Capite 4 : Teciques aaltiques de calcul de petes cuive et des fuites damiques èe étape ème étape 3 ème étape M M a b Figue 4-4 : Etesio pogessive de la métode à ue feête de tasfomateu a : Dispositif éel b : Dispositif équivalet Losque l'epessio de cette mutuelle sea coue, tous les élémets écessaies à l'applicatio de la métode PEEC seot dispoibles pou effectue des calculs. Les coducteus ectagulaies, pésets das les feêtes de tasfomateu plaa, seot divisés (Figue 4-35) et les élémets du cicuit équivalet liat tous les fils élémetaies seot calculés. Il estea alos à coecte e paallèle tous les fils élémetaies d'u même coducteu. IV.4.e. Impotace de la mise e paallèle Pou ésoude les équatios de cicuit liat les diveses impédaces au couats das les coducteus, ue mise e paallèle des coducteus élémetaies est écessaie. Les coducteus élémetaies utilisés das la métode PEEC sot tès fis. Pou étudie l icidece de la mise e paallèle de deu fils tès fis su les petes, ous avos étudié et caactéisé [THIOLIERE-6], u tasfomateu à tois eoulemets, costitué de tois bis élémetaies de fil de Litz : u bi pou le pimaie et u pou caque secodaie. Nous l avos éalisé su u oau ETD39 e feite 3C9. Caque eoulemet compote spies. Ce ombe est suffisammet petit pou que les capacités ite-spies soiet égligeables et assez gad pou que les iductaces soiet facilemet mesuables. Puisque les fils étudiés sot suffisammet fis pou évite les couats iduits, le scéma équivalet de ce tasfomateu est celui de la Figue (capite ) auquel il faut ajoute les ésistaces des difféets eoulemets, aisi qu'ue ésistace de petes fe. Si 68

169 Capite 4 : Teciques aaltiques de calcul de petes cuive et des fuites damiques l'o elie e paallèle les deu eoulemets secodaies de ce tasfomateu, u ouveau scéma équivalet est obteu e emplaçat les coupleus η 3 et η 3 pa des coupleus doat la moee ( η ) et la demi difféece ( η ) des deu tesios popes à caque bi (Figue 4-4). I 3 η R 3 l R V 3 R m l m I S η Avec : ( η 3 η3 ) η = ( η 3 η3 ) η = η η l R Figue 4-4 : Scéma équivalet d'u tasfomateu à tois eoulemets e bis élémetaies de Litz dot les deu secodaies sot e paallèle Ce scéma peut ecoe ête modifié pou faie appaaîte le péomèe egedé pa la mise e paallèle de coducteus. E plaçat les ésistaces secodaies et l'iductace l du coté des ouveau coupleus, u quadipôle magétique appaaît. Les deu fils état fotemet couplés les iductaces de fuite sot tès faible et leu ifluece elative pa appot au ésistaces 'est visible qu'au-delà de khz. Le scéma obteu e égligeat leu ifluece est péseté su la Figue 4-4. Ce scéma pemet de voi qu'ue ésistace R 3 R η η 3 (avec R = R ) est ameé e paallèle su l'impédace magétisate. Les petes paallèles vot doc s'e touve augmetées ca u couat ciculea das R et R même si le secodaie est à vide. C'est la pemièe coséquece de cette mise e paallèle. 69

170 Capite 4 : Teciques aaltiques de calcul de petes cuive et des fuites damiques I 3 η R 3 R V 3 R m l m l S Avec : ( η 3 η3 ) η = ( η 3 η3 ) η = η η R Figue 4-4 : Scéma équivalet simplifié d'u tasfomateu à tois eoulemets e bis élémetaies de Litz dot les deu secodaies sot e paallèle Pou évalue complètemet l'impact de cette mise e paallèle, il faut pocéde à l'idetificatio du cicuit de la Figue 4-4 comme o le feait pou u tasfomateu à deu eoulemets. E complétat cette étude pa la coaissace statistique des difféeces de potetiel eistat ete caque bi de fil de Litz, o est e mesue d'évalue les petes dues à cette mise e paallèle de coducteus élémetaies. Nous eviedos, das le capite 5, su ces petes supplémetaies qui appaaisset los de la mise e paallèle de coducteus, afi de les quatifie e peat l'eemple de tasfomateus idustiels. IV.4.f. Pespectives ouvete pa la métode PEEC Cotaiemet au autes métodes décites das ce capite, la métode PEEC e écessite aucue potèse su la fome du camp autou des coducteus pou ête appliquée. L'itoductio des matéiau magétiques das la métode PEEC coue ouve des pespectives tès itéessates pou le dimesioemet o seulemet des tasfomateus, mais ecoe de tous les dispositifs de coectiques das des amoies de distibutio et, plus gééalemet, de tous les dispositifs électomagétiques ou l'éegie est localisée das les coducteus poces de matéiau magétiques. L'eemple d'applicatio de la métode PEEC que ous avos taité (clide magétique), poua ête pologé e compliquat pogessivemet les stuctues étudiées (Figue 4-4). Losque l'o sea e mesue d'évalue la mutuelle iductace ete deu fils fis 7

171 Capite 4 : Teciques aaltiques de calcul de petes cuive et des fuites damiques situés das u cicuit magétique ectagulaie, la solutio au poblème posé pa la détemiatio des couats iduits das u tasfomateu sea alos tès poce. V. CONCLUSION La pévisio des petes das u composat est essetielle losqu'o cece à le dimesioe. Au sei des dispositifs d'électoique de puissace et plus paticulièemet das les composats bobiés, l'élévatio cotiuelle des féqueces de découpage etaîe u accoissemet des petes dues au couats iduits das les coducteus. Cette augmetatio se taduit, su le cicuit équivalet, pa ue augmetatio des ésistaces séies et ue dimiutio des iductaces de fuites. Nous ous sommes itéessés, das ce capite, au difféetes sotes de petes cuive qui appaaisset e aute féquece. Nous avos aisi péseté quelques métodes pemettat de pévoi la vaiatio féquetielle qui e ésulte. Ces métodes sot à epati das deu catégoies. La pemièe egoupe les métodes qui se baset su des potèses coceat la fome des camps autou des coducteus. Elle eglobe la métode de Dowell, pemettat de détemie la vaiatio féquetielle des ésistaces et iductaces d'u tasfomateu, la métode des plaques qui pemet d'associe à caque féquece u cicuit équivalet de tasfomateu sous fome quadipolaie. La métode de la peméabilité complee pemet aussi de détemie les petes pa effet de poimité das des coducteus, mais cette deièe est basée su des simulatios électomagétiques et e touve pas de solutio aaltique valide. La deuième catégoie compote e fait ue seule métode. Il s'agit de la métode PEEC qui, depuis peu, pemet de tei compte des matéiau magétiques. Cette métode, appelée PEEC, ouve des pespectives pometteuses pou l'étude de dispositifs électomagétiques complees. Losque cette tecique sea applicable diectemet au feêtes ectagulaies des tasfomateus, les couats iduits et leus coséqueces, à savoi l'augmetatio des petes et la vaiatio féquetielle des composats seot accessibles aaltiquemet. 7

172 Capite 4 : Teciques aaltiques de calcul de petes cuive et des fuites damiques 7

173 Capite 5 : Développemets tecologiques pou la éductio des petes des tasfomateus plaas au coducteus méplats CHAPITRE 5 : Développemets tecologiques pou la éductio des petes cuive : des tasfomateus plaas au coducteus méplats 73

174 Capite 5 : Développemets tecologiques pou la éductio des petes des tasfomateus plaas au coducteus méplats 74

175 Capite 5 : Développemets tecologiques pou la éductio des petes des tasfomateus plaas au coducteus méplats I. INTRODUCTION L'objectif pioitaie des cocepteus d'alimetatio à découpage est, souvet, d'obtei u bo edemet éegétique. Deu aisos peuvet ête ivoquées pou justifie ceci. Pemièemet, à ue époque où l'écologie et l'avei de la plaète sot, o l'espèe, au coeu des péoccupatios du mode etie, les écoomies d'éegie sot deveues pimodiales pou limite le écauffemet climatique. La deuième aiso est plus idustielle. E effet, les alimetatios sot souvet cofiées et le cocepteu doit miimise leu volume ou leu poids U poit de edemet gagé pou ue alimetatio et ce sot quelques watts de mois à évacue. Les efoidisseus peuvet doc ête allégés, le poids et le volume de l'alimetatio peuvet ête éduits et cela peut cotebalace le sucoût pou cetaies applicatios. Compte teu de ces coséqueces, o peut die que gage e edemet fait vede. La éductio des petes sea doc le fil diecteu de ce capite. Nous allos pésete quelques cocepts et ésultats sigificatifs e patat des petes das u tasfomateu plaa pou fii pa celles céées das l'élémet clé de ces tasfomateus, à savoi : le coducteu méplat. Das u passé écet, coaîte la valeu des petes cuive egedées pa les deu effets de peau et de poimité aisi que les petes fe était suffisat, pou dimesioe de faço coecte u tasfomateu. Les applicatios actuelles, écessitat à la fois u tès fot couat et des tasfomateus de tailles éduites, obliget les cocepteus à utilise des coducteus tès fis, placés e paallèles, afi de dispose d'ue suface effective de coducteu suffisate pou que le couat puisse cicule. L'ifluece de cette mise e paallèle, qui est bie coue e simulatio, 'est jamais quatifiée de maièe aaltique. C'est pouquoi il est difficile d'e tei compte los du dimesioemet [WEI-3] et sutout, los d'ue potétique optimisatio. Ue des appoces aaltiques que ous avos pésetée das le capite pécédet va ous pemette de quatifie ses effets [MARGUERON-6-3]. Les tasfomateus plaa ot souvet des edemets élevés. Cette boe pefomace est pafois due au fait que cetais coducteus jouet u ôle d'éca magétique. Nous essaeos, das u eemple cocet, de pofite de ce péomèe afi de éduie ecoe plus les petes cuive. E fait, les petes cuive des tasfomateus plaa, sot fotemet coditioées pa la fome des coducteus utilisés. Ces deies sot de fome ectagulaie aplatie (méplat). Alos que les epessios aaltiques des effets de couats iduits e sot pas aisées à établi pou les coducteus de cette fome, ous allos tete, à l'aide d'appoces pa simulatio, de 75

176 Capite 5 : Développemets tecologiques pou la éductio des petes des tasfomateus plaas au coducteus méplats compede ces péomèes et de touve commet les modifie pou éduie les petes associées. II. PERTES SUPPLEMENTAIRES LORS DE LA MISE EN PARALLELE DE CONDUCTEURS II.. Ifluece des couats das u tasfomateu plaa Afi d'appécie l'impact de ces couats paasites de faço éaliste, itéessos ous maiteat au cas d'u tasfomateu plaa idustiel (Figue 5-). 59 mm Figue 5- : Tasfomateu plaa 48 couces Le composat étudié ici est composé de 48 couces de cicuit impimé et d'u cicuit magétique de tpe PQ éalisé e feite (matéiau PC4) [TDK]. Caque couce se pésete sous la fome d'u disque de diamète etéieu 7 m. 4 mm, de diamète itéieu 4 mm et d'épaisseu L'eoulemet pimaie de ce tasfomateu est costitué de plusieus spies e séie. Il possède aussi deu eoulemets secodaies idetiques de couces e paallèle (Figue 5-) et délive 75 Aeff. E foctioemet omal, e siusoïdal à 5 khz, u des secodaies est cagé pa ue ésistace R =. Ω, tadis que l'aute est à vide. A la demi alteace suivate, le foctioemet s'ivese. La Figue 5- pésete les desités de couat obteue e foctioemet omal das les deu demi secodaies, telles qu'elles ésultet d'ue simulatio e D pla. e secodaie (cagé) ème secodaie (à vide) Figue 5- : Eoulemets secodaies La épatitio des couats su les difféetes couces est pésetée Figue 5-3. Das le pemie secodaie, la somme de tous les couats est bie de 75 Aeff, mais das ce deie, le couat se épatit tès iégalemet ete les couces. 76

177 Capite 5 : Développemets tecologiques pou la éductio des petes des tasfomateus plaas au coducteus méplats 8 e secodaie (cagé) ème secodaie (à vide) 6 Module Couat (Aeff) Numéo de couce Couat efficace das les difféetes couces secodaies Figue 5-3 : Module du couat das les eoulemets secodaies La valeu maimale du couat est ciq fois plus gade das la pemièe couce que das les couces cetales de l'eoulemet. La somme des couats das le deuième secodaie (à vide) est ulle, mais idividuellemet, les couats e le sot pas. Le couat maimum atteit même 4 Aeff. La épatitio des couats obteue pou l'eoulemet cagé fait pese à celle obteue das u coducteu massif soumis à l'effet de peau. E evace, celui de l'eoulemet à vide essemble d'avatage à la épatitio caactéistique de l'effet de poimité. Cette mauvaise épatitio du couat, même si elle e péalise pas top le edemet du composat (celui-ci estat supéieu à 98.5%), peut s'avée poblématique. Des poits cauds peuvet ête céés à l'itéieu du tasfomateu puisque 5 fois plus de puissace est dissipée das les couces etéieues que das celles situées au cete de l'eoulemet. Ces fotes puissaces localisées peuvet détuie le composat. II.. Pise e compte de ces couats de ciculatio La géométie de ce tasfomateu semble se pête à u taitemet pa les cicuits équivalets de plaques. E effet, tous les coducteus possèdet la même lageu et sot sépaés pa des couces d'isolat de même peméabilité que l'ai. Nous allos doc tete d'empute cette appoce pou etouve la épatitio des couats à l'itéieu de ce tasfomateu plaa (Figue 5-3). La compleité de modélisatio egedée pa le ombe tès impotat de couces ous pousse à scide l'étude e deu paties. Das u pemie temps, aidés de simulatios électomagétiques, ous allos essae de etouve les couats das les coducteus secodaies. Le tasfomateu complet (pimaiesecodaie) sea modélisé globalemet das u deuième temps. 77

178 Capite 5 : Développemets tecologiques pou la éductio des petes des tasfomateus plaas au coducteus méplats II..a. Modélisatio des couces secodaies uiquemet Si l'o s'itéesse uiquemet au coducteus secodaies, pou calcule la épatitio des couats das les difféetes couces à l'aide de la métode des plaques, il faut coaîte la valeu du camp tagetiel su les faces des eoulemets (Figue 5-4). cellules couces d'ai Ht s a a a a Ht e b b I I I c Figue 5-4 : Modélisatio de l'eoulemet secodaie cagé La simulatio que ous avos éalisée das la patie II. ous pemet d'accéde à ces camps. Afi d'évalue l'ifluece de la coubue des pistes, la simulatio est éalisée e Aismétique et e D pla. Les ecitatios tagetielles su le log des faces, obteues das les deu simulatios, sot esuite compaées (Figue 5-5). Ht s Ht e Ht i Aismétique D pla Camp tagetiel (A/m). 4 Camp tagetiel (A/m) cemi (mm) H su la face supéieue H ete les eoulemets H su la face iféieue cemi (mm) H su la face supéieue H ete les eoulemets H su la face iféieue Figue 5-5 : Camp tagetiel su les faces des eoulemets secodaies (e pase) La simulatio e aismétique fait essoti l'ifluece de la smétie de otatio pa appot à celle effectuée e D pla. Les valeus moees des camps sot cepedat similaies 78

179 Capite 5 : Développemets tecologiques pou la éductio des petes des tasfomateus plaas au coducteus méplats et ce sot ces valeus e pase (5.) et e quadatue (5.) que ous allos itoduie à l'etée et à la sotie de ote cicuit équivalet d'eoulemet. E pase : E quadatue : Ht s = A / m Ht e = 35 A / m Ht i = 4 A / m (5.) Ht s = 48 A / m Ht e = 44 A / m Ht i = 36 A / m (5.) Le cicuit équivalet est esuite taité sous Pspice (Figue 5-4) pou calcule la épatitio des couats das les couces secodaies. Le ésultat est péseté su la Figue Module du couat (A) Couce Simulatio FluD Modélisatio pa plaques (uiquemet couces secodaies) Moee das l'eoulemet modélisé Figue 5-6 : Répatitio du couat das les couces secodaies (Modélisatio des couces secodaies uiquemet) Le pofil du couat est coect, la plus gade divegece appaaissat pou le couat de la couce etéieue de l'eoulemet cagé. Le couat total est, e evace, u peu top faible. E effet, selo Pspice, ce deie atteit 6 A das l'eoulemet cagé alos que sa valeu devait ête de 75 A. Ce déficit de 5% est du picipalemet au fait que l'ecitatio su le petit coté des plaques est égligée das ote modèle alos que la simulatio la mote o ulle. Le bo accod obteu e e epésetat que les eoulemets secodaies ous icite à epésete le tasfomateu complet. Ue telle epésetatio e écessiteait plus le ecous à ue simulatio f.e.m. péalable. II..b. Modélisatio du tasfomateu complet Caque couce du tasfomateu est maiteat selo la tecique pésetée das le Capite 4. Si aucu egoupemet e séie et/ou e paallèle 'est éalisé, il faut à caque féquece 339 impédaces (3 ésistaces et 3 éactaces pa cellule) et 48 coupleus pou modélise etièemet le tasfomateu. 79

180 Capite 5 : Développemets tecologiques pou la éductio des petes des tasfomateus plaas au coducteus méplats Le ésultat de la simulatio Pspice est péseté su la Figue 5-7. Cette fois cette modélisatio doe de tès bos ésultats. Le couat total débité pa l'eoulemet est bie de 75 A ca, das cette cofiguatio, aucue valeu de camp 'est etaite d'ue simulatio f.e.m Module du couat (A) Couce Simulatio FluD Modélisatio complète pa plaques du tasfomateu Figue 5-7 : Répatitio du couat das les couces secodaies (Tasfomateu complet) La métode des plaques équivaletes doe des ésultats similaies à ceu issus de la simulatio pa élémets fiis. L'itéêt picipal de cette métode est u éome gai de temps au iveau des simulatios. E effet, ue simulatio électomagétique ped éomémet de temps pou la desciptio du modèle et des popiétés psiques aisi que los de la ésolutio. Ue simulatio de tpe cicuit est beaucoup plus apide puisque quelques secodes suffiset pou ésoude u poblème. L'itoductio du cicuit équivalet auait pu ête tès logue mais elle est facilitée pa la épétitio de cellules idetiques (associées au couces idetiques). II.3. Réductio des couats de ciculatio E vue de éduie les petes pa couats de ciculatio et d'uifomise les couats das les couces coductices, deu solutios sot gééalemet pécoisées: Le appocemet des couces coductices et l'ecevêtemet de couces pimaie et secodaie [YUEQUAN-]. Les compaaisos des diveses solutios sot doéavat tès apides e utilisat les cicuits équivalets de plaques puisqu'elles cosistet à cage, soit quelques valeus d'impédaces, soit quelques coeios électiques ete les couces. Les optimisatios, éalisées e utilisat des simulatios électomagétiques [PRIETO-] sot tès coûteuses e temps puisqu'à caque fois toute la géométie du composat est à modifie. Pou touve la meilleue dispositio des couces coductices, la métode des plaques costitue doc ue boe alteative à la simulatio pa élémets fiis. 8

181 Capite 5 : Développemets tecologiques pou la éductio des petes des tasfomateus plaas au coducteus méplats III. BLINDAGE PAR DES CONDUCTEURS ECRANS DANS UN COMPOSANT BOBINE Les tasfomateus plaa, e ègle gééale, pésetet des edemets tès itéessats pou les cocepteus d'alimetatio. Les costucteus de tasfomateus, comme [PAYTON] ou [PLANARMAGNETICS], gaatisset des edemet souvet supéieus à 97% pou leus poduits. E oute, leu faible épaisseu facilite l'évacuatio temique. Les composats que ous avos eu l'occasio d'étudie [THALES], motet des edemets supéieus à 98%. Ces valeus tès élevées ous ot poussés à aalse les péomèes itees qui sot à l'oigie de petes si faibles. III.. Effets de blidage das u tasfomateu plaa Le tasfomateu plaa caactéisé das le capite, a été itoduit sous FluD e vue de éalise des simulatios électomagétiques. Ce composat, comme ous l'avos déjà décit, possède tois eoulemets: u pimaie, u secodaie et u auiliaie. E aiso du foctioemet spécifique de la stuctue d'électoique de puissace, ce tasfomateu possède u etefe patagé e deu paties d'iégales épaisseus : ue das caque coi supéieu de la feête (Figue 5-8). De ce fait, des petes supplémetaies sot céées das les coducteus localisés à poimité de ces etefes [LEONAVICIUS-4]. Ce péomèe s'obseve su la Figue 5-8 issue d'ue simulatio électomagétique. Das cette deièe, le tasfomateu est alimeté au pimaie pa u couat de pas cagés..85 A à 5 khz. Les deu autes eoulemets e sot Etefes Secodaie Pimaie Auiliaie Figue 5-8 : Desité de couat et liges de flu das la feête du tasfomateu Les coducteus poces de l'etefe sot pacouus pa des desités de couat plus fotes. Pou ue puissace fouie pa l'alimetatio de.5w, les petes sot de 3.79W das le pimaie, 5.95W das le secodaie et.5w das l'eoulemet auiliaie sot égligeables. de petes das le matéiau magétique. Les petes 8

182 Capite 5 : Développemets tecologiques pou la éductio des petes des tasfomateus plaas au coducteus méplats Figue 5-9 : Peméabilité du 3C9 Aisi, alos que seul le pimaie est pacouu pa u couat global o ul, le secodaie qui est soumis à l'iductio d'u etefe, dissipe plus que le pimaie. Les petes das le feite ot été calculées pa FluD apès qu'o ait itoduit la peméabilité imagiaie à la féquece de tavail (Figue 5-9). Souligos que, los de cet essai à vide, la majeue patie des petes se situe das le cuive. Si la même simulatio est éalisée e cosidéat que les coducteus secodaie et auiliaie sot isolats, la puissace fouie pa l'alimetatio atteit.5w dot W sot dissipés das l'eoulemet pimaie. E appocat ces gadeus, ous obsevos que la puissace dissipée das le cas où le pimaie est seul est supéieue à la totalité des petes cuive elevée e pésece de tous les eoulemets. Le ôle de l'eoulemet auiliaie état égligeable, cette dimiutio s'eplique pa le fait que les coducteus secodaies se compotet comme u blidage qui potège les coducteus pimaies du camp de l'etefe. C'est aisi qu'ils pemettet de éduie les petes cuive globales du tasfomateu. Ce péomèe itéessat ous a icité à mee successivemet plusieus études coceat les petes das le tasfomateu plaa, das ue iductace et, plus gééalemet, das des coducteus méplats. Nous pésetos maiteat les picipau ésultats de ces études. III.. Réductio des petes pa déplacemet de coducteus Puisque les petes das le tasfomateu étudié sot picipalemet localisées à poimité de l'etefe, ous avos essaé de déplace les coducteus soumis à so ifluece afi de les éduie [MOREL-4]. Les coducteus des tois eoulemets ot été sépaés e quate goupes e teat compte de leu agecemet pa couce das le cicuit impimé (Figue 5-). Coducteus secodaies Coducteus pimaies Coducteus auiliaies Figue 5- : Goupemet des coducteus 8

183 Capite 5 : Développemets tecologiques pou la éductio des petes des tasfomateus plaas au coducteus méplats Tois cofiguatios ot esuite été testées (Figue 5-). Pemièemet, les coducteus secodaies et pimaies soumis au effets de bod de l'etefe sot epoussés le plus loi possible de ce deie. Deuièmemet, les coducteus pimaies estet fiés à l'etémité gauce de la feête et les blocs secodaies sot ameés ves l'etefe pou potége les pimaies. Efi, toisième cofiguatio, les coducteus auiliaies sot, eu aussi, placés pou potége le pimaie. Les puissaces dissipées das caque cas sot pésetées das le Tableau 5-. Etefe etéieu Etefe jambe cetale Feête du tasfomateu Cofiguatio iitiale Pemièe modificatio Deuième modificatio Toisième modificatio Figue 5- : Déplacemets testés des coducteus das la feête Puissace fouie pa l'alimetatio.5 W Petes das le pimaie Petes das le secodaie Petes das l'auiliaie Dispositio iitiale 3.79 W 5.95 W. W èe modificatio.78 W 5.49 W 4.59 W.7 W ème modificatio 9.49 W.33W 6.5W.3W 3 ème modificatio 9.36 W.58W 5.86 W.39 W Tableau 5- : Petes paallèles das le tasfomateu pou difféets agecemets de coducteus Ces difféets essais ot meé à u compomis itéessat ete le blidage des coducteus pimaies pa les coducteus secodaies et les petes das ces deies. E effet, si les coducteus pimaies sot laissés sas potectio, leus petes sot tès impotates. D'u 83

184 Capite 5 : Développemets tecologiques pou la éductio des petes des tasfomateus plaas au coducteus méplats aute coté, si les coducteus secodaies sot placés tès pès de l'etefe picipal, ce sot eu qui sot le siège de petes tès impotates. La toisième modificatio (Figue 5-) éduit les petes à vide das l'eoulemet pimaie de 9.6% alos qu'elle e modifie quasimet pas celles de l'eoulemet secodaie. Das ces essais ous ous sommes uiquemet itéessés au petes à vides das le tasfomateu. Il faut doc uace le ésultat obteu : éductio des petes de quasimet %. Des simulatios ot été éalisées das la cofiguatio de cage opposée, c'est-à-die e coutcicuit (Tableau 5-) pou évalue l'ifluece de ce déplacemet su les petes séies (Figue 5-). Puissace fouie pa l'alimetatio. W Petes das le pimaie Petes das le secodaie Petes das l'auiliaie Cas iitial 4.9 W.W.9 W 3 ème modificatio 4. W.96 W.7 W.9 W Tableau 5- : Petes séies das le tasfomateu pou difféets agecemets de coducteus a b Figue 5- : Desité de couat e cout cicuit a : Cofiguatio iitiale b : Toisième modificatio Ce déplacemet des coducteus fait augmete les petes séies de.3%. Il faut doc effectue des essais e cage pou valide l'itéêt de la solutio testée. E défiitive, les diveses simulatios e cage laisset espée u gai de l'ode de 4.4% su les petes totales du tasfomateu. Même si l'amélioatio obteue 'est pas spectaculaie, c'est le cocept du blidage pa des coducteus écas qu'il faut etei. Sas cet effet des lages coducteus secodaies, les petes du tasfomateu seaiet beaucoup plus fotes. E aalsat la fome de liges de flu das la feête du tasfomateu, o costate que les petes sot miimales das les coducteus losque les liges de flu sot paallèles au logs cotés des coducteus [CHEW-9]. Au cotaie, si le flu de fuite à tedace à coupe pepediculaiemet ces côtés (Figue 5-8), les petes sot plus impotates. 84

185 Capite 5 : Développemets tecologiques pou la éductio des petes des tasfomateus plaas au coducteus méplats III.3. Réductio des petes cuives das ue iductace Afi de mieu compede les iteactios impliquées ci-dessus, ous allos pousuive os compaaisos e étudiat le même composat comme ue iductace. Nous cosevos le cicuit magétique, les spies pimaies et ous tetos d'itoduie des écas coducteus pou éduie les petes globales. Ces écas e jouet plus aucu ôle coceat la ciculatio du couat. Losque seules les spies pimaies sot pésetes das la feête, les petes totales ot été évaluées (cf. III.) à W. La Figue 5-3 pésete les essais éalisés avec difféets écas e cuive. Les puissaces touvées sot egoupées das le Tableau 5-3. Le pemie cas taité est celui de l'iductace iitiale, sas aucu éca. Le couat est mal épati das les coducteus poces de l'etefe. Das le deuième cas, ous utilisos u éca de la même lageu qu'ue couce de secodaie et de m 5 d'épaisseu. La puissace totale dissipée est alos de.5 W, les petes das le pimaie état éduites de moitié. Les spies poces de l'etefe sot ecoe soumises au effets de l'etefe. Nous tetos doc d'élagi les écas pou potége totalemet les coducteus (toisième cas). Das ce cas, les petes sot localisées das le coducteu éca, pès de l'etefe, tadis que das les spies de l'iductace, elles sot éduites de moitié. Puisque seule ue patie du blidage est pacouue pa du couat, ous tetos de l'évide : ous e gados, das caque feête, que leu deu côtés (quatième cas). Cet essai doe de mois bos ésultats que les autes ca les liges de flu e sot pas paallèles au coducteus situés au milieu de la feête. Duat le 5 ème et le 6 ème essai, des coducteus écas, juste u peu plus lages que les spies de l'iductaces sot placés au dessus et au dessous de ces deièes. L'épaisseu de ces écas passe de 5 m (5 ème essai) à 3 m (6 ème essai). Ce que ous voos, c'est qu'avec des écas de 3 m d'épaisseu, les petes totales das l'iductace sot éduites de 6%. Petes das les spies de l'iductace Petes das les écas Petes cuive totales Cas Cas Cas 3 Cas 4 Cas 5 5 m Cas 5 3 m W 5. W.6W 5.63W 3.86 W.73W 5.3W 8.8 W 4.8 W 6.86 W 5.4 W W.5 W 9.89 W.43W.7 W 8.5 W Tableau 5-3 : Petes cuive das l'iductace 85

186 Capite 5 : Développemets tecologiques pou la éductio des petes des tasfomateus plaas au coducteus méplats a b Figue 5-3 : Effets d'écas coducteus placés das la feête d'ue iductace a : Liges de flu b : Desité de couat Tous les écas sot bééfiques pou gage quelques watts de petes. Plus les écas sot placés pès de l'etefe, mieu ils e détouet les liges de flu, plus les spies de l'iductace sot potégées. E evace, das le même temps, les petes das ces écas augmetet. L'épaisseu des écas est u paamète sesible. E effet, plus les écas sot épais, plus les liges de flu sot déviées et mieu les coducteus sot potégés. La ecece d'optimum fea l'objet d'études qui seot meées duat la pocaie tèse. Des teciques d'optimisatio sous cotaites seot alos mises e œuve. 86

187 Capite 5 : Développemets tecologiques pou la éductio des petes des tasfomateus plaas au coducteus méplats IV. GUIDAGE DU FLUX DANS LES TRANSFORMATEURS Si les matéiau coducteus epousset les liges de flu, à l'opposé, les matéiau magétiques ot tedace à caalise ces liges de flu. Toujous afi d'essae de dimiue les petes das les tasfomateus, ous avos lacé ue étude pou essae de daie le flu das les tasfomateus plaa [MONTARROS-5]. L'idée diectice était d'utilise soit des matéiau uiquemet coducteus (cuive ρ =.7 8 Ω m ), soit des matéiau puemet magétiques (Feite 3C9 = 3 sas petes), afi de guide, e les attiat ou e les epoussat, les liges de flu. Cette modificatio du camp autou des coducteus iduit ue vaiatio de la épatitio des couats das les coducteus et doc des petes. La top gade compleité d'ue feête de tasfomateu ous a poussé à lace des études eploatoies das tois cas simples 'impliquat qu'u ou deu coducteus. Le pemie sstème étudié cocee deu coducteus méplats pacouus pa des couats de ses opposé. Le deuième s'itéesse toujous à deu coducteus méplats mais ces deies sot tavesés pa des couats de même ses. Le deie est u coducteu méplat seul. Afi de quatifie à la fois l'ifluece des couats iduits à ue féquece doée et le gai ésultat de la modificatio, ous défiissos la puissace omalisée qui est égale au appot des petes dissipées das caque dispositif pa la puissace cosommée das le même dispositif e cotiu (5.3). P Petes N = (5.3) P DC IV.. Picipe de la métode Cosidéos deu coducteus ectagulaies pacouus pa des couats e ses ivese (Figue 5-4) de Ae ff. 5 m 6 m 5 m Pla de smétie : Cemi de test Figue 5-4 : Coducteu ectagulaies pacouus pa des couats e ses ivese : Sstème de éféece Das les difféets essais éalisés, la féquece ( f = MHz ) est coisie de faço telle que des couats iduits otables se maifestet à l'itéieu des coducteus. La puissace omalisée eflète l'impotace de ces petes. Elle vaut ici P =. 7. La desité de couat est N 87

188 Capite 5 : Développemets tecologiques pou la éductio des petes des tasfomateus plaas au coducteus méplats tacée su le cemi de test (Figue 5-5). Les coducteus sot soumis à u effet de peau accetué pa u effet de poimité puisque les deu coducteus sot placés côte à côte. A/(mm cae) Essai sas matéiau mm,5 Figue 5-5 : Desité de couat das les coducteus méplat 3 m m Figue 5-6 : Ecas de cuive Le fait de place d'autes élémets coducteus o alimetés à poimité des deu coducteus ectagulaie (Figue 5-6), modifie la épatitio du couat das les coducteus (Figue 5-7). Le couat obteu est plus uifome et les petes s'e touvet dimiuées de 5% ( P =. 93 cote.7 sas les écas). N Figue 5-7 : Compaaiso des desités de couat das les coducteus méplat avec et sas écas coducteus L'obsevatio des liges de flu (Figue 5-8) mote que ces deièes ot tedace à s'aplati losque l'o ajoute les écas de cuive. 88

189 Capite 5 : Développemets tecologiques pou la éductio des petes des tasfomateus plaas au coducteus méplats Ai Cuive Coducteus Coducteus a b Figue 5-8 : Liges de flu a : Sas écas b : Avec écas de cuive L'eemple taité ici est tès simple mais assez démostatif pou compede le péomèe qui pemet de dimiue les petes das des coducteus méplats. IV.. Deu coducteus méplats pacouus pa des couats de ses iveses Les écas de cuive positioés e dessus et e dessous des coducteus (Figue 5-6) pemettet de modifie l'allue des liges de flu, la épatitio du couat et aisi de dimiue les petes das les coducteus. Cette cofiguatio 'est pas la seule à ête bééfique su la éductio des petes. Les écas de cuive placés su les cotés des coducteus (Figue 5-9a) éoietet les liges de flu su l'etémité des coducteus. Plusieus simulatios ot été éalisées, avec des épaisseus difféetes, pou touve u optimum de éductio de petes. Das le meilleu cas, les petes sot éduites de 6% ( P =. ). Le cumul des écas placés e dessus et e dessous (Figue N 5-6) avec les latéau (Figue 5-9a) coduit à ue solutio où le cuive etoue complètemet les coducteus (Figue 5-9b). Das ce cas, les petes sot dimiuées de 8.5% ( P =. 84 ). Cepedat, la quatité de cuive ajoutée est tès impotate et u compomis ete le gai su les petes et le volume de cuive utilisé est à ecece. Das cetaies applicatios o peut evisage d'utilise des coducteus aat ue utilité pécise pou faie éca. N m 8 m 6 m m m m m a b Figue 5-9 : Autes cofiguatios avec des écas de cuive a : Ecas su les cotés b : Eca etouat les coducteus 89

190 Capite 5 : Développemets tecologiques pou la éductio des petes des tasfomateus plaas au coducteus méplats Ce volume de cuive supplémetaie est coûteu, ecombat et loud. Les allues du camp céé pa ces coducteus ous ot poussé à étudie ue cofiguatio difféete e utilisat des capucos de cuive de pat et d'aute des coducteus méplats (Figue 5-). La éductio des petes est alos u peu mois efficace mais le gai atteit tout de même 7% ( P =. 87 N ). L'itéêt de cette cofiguatio est qu'elle pemet de limite le cuive supplémetaie écessaie pou éalise les écas magétiques. 3 m m 5 m 5 m 5 m Figue 5- : Capucos de cuive U matéiau coducteu comme le cuive peut ête utilisé pou epousse, e aute féquece, des liges de flu. A l'opposé, u matéiau magétique a plutôt tedace à attie les liges de flu. 3 m 4 m Figue 5- : Matéiau magétique ete les coducteus Si l'o pat de ce picipe, le dispositif compeat u baeau de feite ete les deu coducteus méplats (Figue 5-) peut ête utilisé pou guide les liges de flu (Figue 5-). Les liges de flu e sot alos pas tagetielles au coducteus, mais le camp localisé ete les coducteus, esposable des petes pa effet de poimité, est modifié pa l'utilisatio d'u matéiau magétique. a b Figue 5- : Liges de flu avec dai magétique a : Vue gééale b : Flu das le baeau 9

191 Capite 5 : Développemets tecologiques pou la éductio des petes des tasfomateus plaas au coducteus méplats Cette dimiutio de l'effet de poimité est cofimée pa l'allue de la desité de couat ciculat das les coducteus (Figue 5-3). Le couat est beaucoup plus uifome, les pics dus à la poimité des coducteus état éduits d'u facteu quasimet égal à quate. Les petes das les coducteus sot éduites de 44% pou ue puissace omalisée P =.. N 8 desite de couat = f(o) Desité de couat (A/mm²) O (mm) Avec feite Sas feite Figue 5-3 : Compaaiso des desités de couat das les coducteus méplat avec et sas dai magétique (feite) Cette valeu de petes est discutable puisque le feite cosidéée das l'eemple est supposée sas petes. Le fait d'ajoute ue pièce magétique das u composat magétique modifie sa éluctace et doc l'iductace pope du dispositif. Il eiste de ombeuses optimisatios à mee pou savoi commet eploite ces ésultats mais ils ous appeet déjà que ces tetatives e sot pas désespéées. E oute, il est evisageable d'applique ces picipes à des sstèmes beaucoup plus gos comme les baes d'ameées de couat à de matéiau magétiques ete les baes pouait écoomise des kw ou plus 5 Hz. L'isetio E costatat que, sépaémet, u éca de cuive et u dai e feite sot efficaces, il est tetat de les associe. U essai a été éalisé das ce ses, e combiat les capucos de cuive (Figue 5-) et le dai e feite (Figue 5-). Le gai obteu est obteu est quasimet ul puisque les petes e sot dimiuées que de.7%. Le cumul des deu solutios 'est doc pas ue boe cose ca la modificatio du flu egedée pa u des dispositifs est éfaste pou l'aute (Figue 5-4). Il est doc à peu pès cetai que les gais des deu dispositifs e se cumulet pas mais l'essai éalisé ici e emplace pas ue optimisatio bie meée pou édicte ue coclusio défiitive. 9

192 Capite 5 : Développemets tecologiques pou la éductio des petes des tasfomateus plaas au coducteus méplats Figue 5-4 : Liges de flu losque deu solutios sot combiées IV.3. Deu coducteus méplats das lesquels les couats ciculet das le même ses. Nous avos vu que les puissaces dissipées das deu coducteus ectagulaies pacouus pa des couats de ses opposés peuvet ête éduites e utilisat des écas de cuive ou des dais de feite. Nous allos maiteat ous itéesse au cas où les coducteus sot pacouus pa des couats de même ses. De ombeu essais ot moté que, pou cette cofiguatio, aucue solutio utilisat des écas de cuive e pemettait de dimiue les petes du dispositif. O peut cepedat uace ceci ca e utilisat u matéiau plus coducteu que le cuive, il 'est pas eclu que les petes pouaiet dimiue. E effet, le feite utilisé est plus de deu mille fois meilleue que le matéiau des coducteus ( = ). O peut doc pese que l'utilisatio d'u matéiau beaucoup plus coducteu que le cuive pouait appote le gai ececé. Reste à touve ce matéiau E utilisat des dais magétiques, deu baeau de feite, placés de pat et d'aute des coducteus (Figue 5-5) ot u effet positif su la modificatio des liges de flu (Figue 5-6) et doc la éductio des petes (mois 5%). m 4 m m Figue 5-5 : Solutio avec deu dais de feite autou des coducteus méplats Figue 5-6 : Liges de flu avec deu dais de feite 9

193 Capite 5 : Développemets tecologiques pou la éductio des petes des tasfomateus plaas au coducteus méplats IV.4. Coducteu méplat seul Les liges de flu céées pa deu coducteus pacouus pa des couats de même ses (Figue 5-7a) sot compaable à celles issues d'u seul coducteu méplat (Figue 5-7b). La solutio qui cosiste à place deu dais de feite su les cotés du coducteu méite doc d'ête aalsée (Figue 5-8). a b Figue 5-7 : Liges de flu autou des coducteus méplats a : Deu coducteus méplats b : coducteu seul m m 4 m La puissace das ce cas est dimiuée de 6% pou ue puissace omalisée P =. 7. La auteu des dais N joue u ôle impotat pou obtei ce gai. Au cotaie, l'épaisseu des dais de feite e semble pas citique pou que la éductio s'opèe. Figue 5-8 : Solutio avec deu dais de feite autou d'u coducteu méplat Comme pou l'esemble de deu coducteus pacouus pa des couats de même ses, aucue solutio 'utilisat que des écas de cuive 'a pemis de dimiue les petes de ce coducteu méplat seul. Tous ces essais sot empiiques et eploatoies. Ils viset à pépae des pases d'optimisatio meées de faço plus igoueuse avec les outils adéquats. A tite d'illustatio de ce qui poua ête etepis, ous allos tete, ci-dessous, de éduie les petes pa effet de peau das u coducteu méplat e lui appliquat u camp etéieu. O mote, pou u coducteu clidique, que les petes sot miimales losque le camp appliqué etéieuemet est ul. Ituitivemet, o a tedace à gééalise ce ésultat à toutes les fomes de coducteus alos que, ous veos de le voi, le ecous à deu dais de feite pemet de éduie sesiblemet les petes das u méplat. Fot de cet eseigemet, il est itéessat de cece à coaîte le camp qui, appliqué de l'etéieu, amèe les petes du méplat au miimum. 93

194 Capite 5 : Développemets tecologiques pou la éductio des petes des tasfomateus plaas au coducteus méplats V. MINIMISATION DES PERTES DANS UN CONDUCTEUR MEPLAT Le coducteu méplat, plus ou mois allogé, est le seul tpe de coducteu péset das les tasfomateus plaa. Les bus baes [GONNET-3], gééalemet utilisés das des dispositifs de distibutio d'éegie électique, ecouet égalemet à des coducteus de cette fome. Cette allue ectagulaie est tès itéessate. E effet, ous avos vu das la patie pécédete, qu'il était possible de éduie les petes pa effet de peau et de poimité das les coducteus de ce tpe e modifiat le camp autou et, e coséquece, la épatitio des couats à l'itéieu d'u coducteu méplat. Ue telle éductio est impossible pou des coducteus clidiques. La smétie de otatio d'u fil clidique isolé, e pemet pas de modifie la épatitio du couat de faço à gage su les petes das ce coducteu. Cette popiété se démote e utilisat l'otogoalité des foctios de Bessel, utilisées pou décie la épatitio du couat à l'itéieu du fil. Puisque la dimiutio des petes pou des coducteus ectagulaies est avéée, l'idée ous est veue de cece à miimise les petes e appliquat u camp etéieu et de touve quel camp doait le meilleu ésultat [MARGUERON-6-]. Losque l'o pale d'optimisatio, o est souvet cofoté au poblème de fomulatio. L'appoce iitiale pésetée pécédemmet état totalemet ituitive, ous avos décidé d'appofodi la poblématique e ajoutat les outils téoiques utiles pou pose le poblème simplemet. V.. Desciptio du dispositif étudié et but ececé Nous ous itéesseos doc à u coducteu méplat e cuive dot la sectio est assez allogée : lagueu égale à uit fois la auteu (Figue 5-9). mm I 8 mm Pou u couat de A, ses petes e cotiu sot de.5 mw / m. Afi de miimise les petes pa effet de peau das ce coducteu, o se place à ue féquece où ces petes sot ettemet peceptibles. A khz, pou Figue 5-9 : Coducteu méplat 8 u couat de, les petes sot de 6.9 mw / m, soit Aeff mm² tois fois plus qu'e cotiu. Losqu'u fil est pacouu pa u couat cotiu, la épatitio de ce deie est uifome su la sectio du coducteu. Les petes céées à l'itéieu du coducteu sot alos miimales. 94

195 Capite 5 : Développemets tecologiques pou la éductio des petes des tasfomateus plaas au coducteus méplats Quad la féquece augmete, le couat 'est plus uifome (Figue 5-3) et les petes augmetet tès apidemet avec la féquece. a Figue 5-3 : Desité de couat su la sectio du coducteu méplat a : Repésetée e tois dimesios b : A l'écelle pou le méplat 8 mm² Nous avos vu qu'il était possible de modifie ces petes e jouat su l'evioemet des coducteus méplats. La éductio obteue e poua jamais evei au iveau cotiu. Nous souaitos cepedat touve le miimum de petes dissipables pou faie passe u couat doé, à l'itéieu d'u coducteu méplat. Das le méplat de la Figue 5-9, les deu dais de feite sas pete ( = 3) disposés comme su la Figue 5-3, pemettet déjà d'obtei u gai de % avec des petes ameées à 5.34 mw / m. 3 mm b mm 6 mm Feite sas pete Figue 5-3 : Cofiguatio pou la éductio des petes pa effet de peau V.. Idetificatio et ecéatio des camps E patat de cet eemple qui doe u gai itéessat, ous voulos savoi quel camp etéieu pemettait de miimise les petes à l'itéieu du méplat. Pou mee ote étude d'optimisatio e jouat su u miimum de paamète, ous allos utilise la tecique du développemet multipolaie qui a été développée pa ote équipe au cous de tavau pécédets [LAVEUVE-9] [KERADEC-9]. Les fodemets et les itéêts de cette tecique sot pésetés e Aee VI. 95

196 Capite 5 : Développemets tecologiques pou la éductio des petes des tasfomateus plaas au coducteus méplats 96 Afi de fomule les camps impliqués das la cofiguatio de la Figue 5-3, ous allos utilise ue des popiétés du développemet multipolaie qui pemet d'idetifie les camps pésets das u dispositif électomagétique [MARGUERON-6-]. Das la zoe se situat ete le coducteu méplat et les pièces de feite (Figue 5-3), les camps émis et éflécis coeistet. Su u cecle situé à ue distace R, l'iductio s'epime comme la somme des iductios émises et éflécies (5.4).. = = = it si cos,, et tot b R R R a R R R R R B R B B ϕ β ϕ α α ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ (5.4) Pou les sépae, o elève les camps tagetiels su deu cecles de aos difféets ( i ρ et e ρ ) passat ete le méplat et les feites (Figue 5-3) puis o les décompose e séie de Fouie de coefficiets espectifs sot i Cρ, i Sρ et e Cρ et e Sρ. ϕ ρ e ρ i ϕ ρ e ρ i Figue 5-3 : Décompositio e séie de Fouie Les coefficiets obteus sot liés au composates figuat das l'iductio (5.4). Apès idetificatio o obtiet pa les quate elatios (5.5).. = a i i i i C ρ ρ α ρ ρ = b i i i i S ρ ρ β ρ ρ = a e e e e C ρ ρ α ρ ρ = b e e e e S ρ ρ β ρ ρ (5.5) Les valeus de a, α se déduiset esuite e ésolvat le sstème d'équatio (5.6). Les epessios de b et β sot idetiques à celles de a, α e modifiat les coefficiets ρ C e ρ S.. i e i i C e e C a ρ ρ ρ ρ ρ ρ = i e e i i C i e e C ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ α = (5.6)

197 Capite 5 : Développemets tecologiques pou la éductio des petes des tasfomateus plaas au coducteus méplats Le dispositif de la Figue 5-3 est icagé si il subit ue otatio de 8. La décompositio e séie de Fouie e compote doc que des temes pais. De plus, le coducteu est smétique pa appot à l'oigie de l'agle ϕ. La décompositio e doe que des temes e cosius. Seuls les temes paies de α k et a k sot doc écessaies pou coaîte les difféets camps émis pa le coducteu méplat ( α k ) et éflécis pa le feite ( a k ). Pou ecée le camp obteu pa ces feites justemet, o utilise deu clides pacouus pa des desités de couats, ue e pase et ue e quadatue avec le couat ijecté das le méplat (Figue 5-33). E pase Desités de couat I c E quadatue ϕ mm 5 mm Figue 5-33 : Desité de couat pou ecée atificiellemet le camp éfléci Au vu des sméties décites ci-dessus, le couat e compote que cetais temes (5.7). La foctio C (5.8) pemet de faie le lie ete les a k du camp et les coefficiets ijectés das les desités de couat positioés à ue distace du cete du méplat.. = [ ] I c I C Re ak i Im ak cos kϕ (5.7) k = C = k k e Avec e : épaisseu du clide das lequel le couat est ijecté. (5.8) La patie e quadatue des camps tagetiels, obteus das les deu cas d'étude (dispositif avec feite et avec desités de couats), tacés su les aos ρ i et ρ e, sot pésetés su la Figue Le camp ecéé e possède que tois composates a, a 4 et a 6 (Tableau 5-4), ce qui eplique les oscillatios supplémetaies. Le camp céé à l'aide de la desité de couat coespod tès bie à celui qui était éfléci pa le feite. 97

198 Capite 5 : Développemets tecologiques pou la éductio des petes des tasfomateus plaas au coducteus méplats 7 8 Camp Tagetiel (A/m) Camp Tagetiel (A/m) Agle (Degé) avec Feite avec desité de couat Agle (Degé) avec Feite avec desité de couat a b Figue 5-34 : Compaaiso des camps tagetiels e pase obteus avec le feite et les desités de couat clidiques a : Rao itéieu ρi b : Rao etéieu ρe Coefficiets éels Re(a ) Coefficiets imagiaies Im(a ) = = = Tableau 5-4 : Coefficiets idetifiés Les ésultats pou la patie e quadatue sot ettemet mois bos (Figue 5-35), mais leu impact 'est e fait pas tès sigificatif ca leu ode de gadeu est beaucoup plus faible. E effet, la puissace obteue e e cosidéat que la patie e pase du camp est égale à 5.37 mw / m. Les deu valeus avec feite et avec desité de couat sot doc idetiques, et le maque de pécisio su la patie e quadatue 'est pas vaimet u poblème. 4.5 Camp Tagetiel (A/m) 4 Camp Tagetiel (A/m) Agle (Degé) avec Feite avec desité de couat Agle (Degé) avec Feite avec desité de couat a b Figue 5-35 : Compaaiso des camps tagetiels e quadatue obteus avec le feite et les desités de couat clidiques a : Rao itéieu ρi b : Rao etéieu ρe 98

199 Capite 5 : Développemets tecologiques pou la éductio des petes des tasfomateus plaas au coducteus méplats V.3. Picipe de l'optimisatio Cette patie a été meée e collaboatio avec l'équipe Modélisatio du Laboatoie d'electotecique de Geoble et plus paticulièemet avec u de ses doctoats, A Tua Pug [PHUNG-6-]. Le but ececé ici, est de détemie les valeus des coefficiets à coisi das (5.7) pou miimise les petes cuive das le coducteu méplat. Pou éalise cette optimisatio, le logiciel de calcul pa élémets fiis, Flu est couplé avec u outil d'optimisatio appelé GOT (Geeal Optimizatio Toolbo) [COULOMB-]. La tecique eploitée los de cette optimisatio est basée su la métode des plas d'epéieces [GILLON-98]. U cetai ombe de simulatios sot lacées, ce deie dépedat essetiellemet du ombe de paamètes ifluets. Les ésultats de ces simulatios sot esuite taités pou cée ue suface de épose [COSTA-3]. U algoitme géétique est esuite appliqué su cette suface de épose pou touve le miimum de la foctio objectif qui est, das ote cas, la miimisatio des petes cuive. Le ombe de simulatios déped de celui des paamètes ajustables Re ( a k ) et ( a k ) Im et du ombe de valeus que l'o veut teste pou cacu. Plus l'espace de ecece est esteit, plus la suface de épose céée est petite et mois ombeuses sot les simulatios écessaies à sa céatio. Pou limite la vaiatio de os paamètes et le ombe de simulatios à éalise, l'itevalle est coisi e foctio des coefficiets idetifiés pécédemmet (Tableau 5-4); ces deies pemettet, o l'a vu, d'obtei u ésultat itéessat (Figue 5-3). V.4. Résultats de l'optimisatio Nous avos éalisé difféetes optimisatios e augmetat pogessivemet le ombe des coefficiets ajustables de ote poblème. Das u pemie temps, ous avos seulemet optimisé les coefficiets Re( a ) et Im( a ). Les valeus aisi touvées ot été figées et ous avos optimisé les paamètes Re( a 4 ) et Im( a 4 ). Ceci a pemis de mieu délimite l'itevalle das lequel se situaiet les paamètes optimau. La toisième optimisatio a été éalisée e faisat vaie les quate paamètes à la fois. V.4.a. Optimisatio de Re(a ) et Im(a ) Ce calcul 'a doc été éalisé qu'avec les amoiques deu de la décompositio du camp. Les itevalles iitiau ot été découpés e élémets pou Re( a ) et égalemet pou Im( a ). Ceci ous doe 4 simulatios écessaies pou cée la suface de épose. 99

200 Capite 5 : Développemets tecologiques pou la éductio des petes des tasfomateus plaas au coducteus méplats L'algoitme géétique a touvé u miimum de petes de coefficiet (5.9). Re( a ) = 334 Im = 5.37 mw / m pou les valeus de a (5.9) La valeu de petes obteue est supéieue à celle que ous avios das le cas du feite ( 5.37 mw / m ), mais à ce iveau, le camp émis pa les souces de couat est tès simplifié puisqu'il e comped qu'u amoique de ag (cf. Aee VI Figue 3c). V.4.b. Optimisatio de Re(a 4 ) et Im(a 4 ) Les valeus (5.9) sot esuite figées et ue optimisatio est lacée avec les coefficiets Re( a 4 ) et Im( a 4 ). 4 simulatios sot de ouveau éalisées et u poit optimum est touvé (5.) avec ue puissace dissipée de 4.87 mw / m, soit u gai de 9% pa appot à u coducteu seul. ( a ) = 46 Im( ) = 43 Re 4 a (5.) V.4.c. Optimisatio de Re(a ), Im(a ), Re(a 4 ) et Im(a 4 ) Les deu optimisatios pécédetes 'ot sûemet pas doé l'optimum global, mais plutôt des optimums locau. Nous avos doc optimisé les quate coefficiets simultaémet. Caque paamète a été découpé e ciq élémets. 5 4 = 65 simulatios ot doc été éalisées et la suface de épose a doé u optimum de 4.86 mw / m pou les paamètes (5.). Re( a ) = 3397 Im( a ) = 47 Re( a 4 ) = 854 Im( a 4 ) = 854 (5.) V.4.d. Coclusio su les optimisatios Les ésultats de ces optimisatios sot egoupées das le Tableau 5-5. L'optimisatio simultaée des quate coefficiets doe le meilleu ésultat. Les petes sot alos éduites de 9% pa appot à u coducteu seul mais, au-delà de cette valeu, qui 'est sûemet pas idéalemet optimisée, c'est la fome du camp icidet, du camp global autou du méplat et le pofil du couat qui ous itéesset. Nombe de simulatio Nombe de coefficiets optimisés Petes élémets fiis : Re( a ) et Im( a ) mw / m : Re( a 4 ) et Im( a 4 ), mw / m Im a état fiés) ( Re( a ) et ( ) Re a, Im( a ), 4 : Re a et 4 Im a mw / m 4 Tableau 5-5 : Compaaiso des difféetes optimisatios

201 Capite 5 : Développemets tecologiques pou la éductio des petes des tasfomateus plaas au coducteus méplats Le couat das le coducteu méplat soumis au camp optimisé est plus uifome (Figue 5-36), que celui ciculat das le méplat seul (Figue 5-3). Les pics de couat sot popotioellemet mois auts et le couat passe d'avatage pès du petit coté du coducteu ectagulaie. a b Figue 5-36 : Desité de couat su la suface du coducteu méplat (cas optimisé) a : Repésetée e tois dimesios b : A l'écelle pou le méplat 8 mm² L'aalse du camp émis pa les desités de couat (Figue 5-37) mote que l'amoique de ag est bie plus fot que les autes. L'allue du camp obteu est fialemet tès poce de celle pésetée pa la Figue 3c de l'aee VI. Figue 5-37 : Camp etéieu miimisat les petes das le coducteu méplat Losque que le camp pope du méplat et celui émis pa les desités de couat sot cumulés, le camp total obteu tagete les cotés du coducteu (Figue 5-38). Cette figue ous fait pese que le miimum de petes est peut ête atteit pou u camp paallèle au quate faces du méplat.

202 Capite 5 : Développemets tecologiques pou la éductio des petes des tasfomateus plaas au coducteus méplats Figue 5-38 : Camp total vu pa le méplat Des simulatios et des optimisatios avec des amoiques supplémetaies auaiet pu cofote cette idée, mais l'outil d'optimisatio GOT e pemet pas, à l'eue actuelle, de gée plus de ciq paamètes idépedats. VI. CONCLUSION Nous avos péseté das ce capite dives développemets qui ot été meés au log de cette tèse, e vue de éduie les petes das des composats plaas et d'ue maièe plus gééale das des coducteus ectagulaies. Toutes ces idées ot découlé d'ue simulatio pa élémets fiis ous motat l'itéêt d'u eoulemet secodaie jouat u ôle d'éca, das la éductio des petes cuive d'u tasfomateu. Des edemets de plus e plus poces de état toujous visés pa les cocepteus de covetisseus d'électoique de puissace, ous avos essaé, au cous de ces diveses études de dégage quelques pistes de éfleio. Nous ous sommes aussi itéessé au couats de ciculatio qui appaaisset dès la mise e paallèle d'eoulemets das ue feête de tasfomateu. Ce péomèe, cou des modélisateus, a eçu ici ue solutio aaltique pécise et simple d'utilisatio pou u cocepteu. Elle éduit cosidéablemet le temps écessaie pou compae dives empilemets de couces.

203 Coclusio et pespectives CONCLUSION ET PERSPECTIVES 3

204 Coclusio et pespectives 4

205 Coclusio et pespectives Les tasfomateus plaas sot de plus e plus utilisés das les stuctues d'électoique de puissace ca ils pésetet des itéêts majeus, au iveau de l'ecombemet, du edemet et de la métode idustielle de fabicatio. L'objectif de cette tèse était de foui le scéma équivalet d'u tasfomateu plaa aisi que les fomules aaltiques pemettat d'e calcule les composats. Nous avos doc oieté les études aaltiques ves les composats plaas mais cetais aspects de ote tavail sot applicables à des tasfomateus de tous tpes. Nous avos aisi péseté ue topologie de cicuit équivalet pemettat la etasciptio eacte de tous les couplages itees d'u composat magétique (tasfomateu, iductace). U tasfomateu tipasé (6 eoulemets) a aisi été modélisé de même qu'ue iductace tipasée. E oute, d'impotates iégalités liat les élémets de la matice iductace ot été dégagées. Toujous de maièe gééale, ous avos tavaillé à la caactéisatio epéimetale des tasfomateus e patat de mesues d'impédaces. Les scémas iductifs pésetés das le pemie capite ot touvé leu justificatio puisque tous les élémets du scéma équivalet d'u tasfomateu à eoulemets peuvet se déduie d'ue séie de mesues d'impédaces. Suivat la féquece et leu gadeu, ces deièes peuvet s'avée poblématique. De ombeuses pécautios utiles ot été pésetées das le but d'obtei des mesues pécises et sigificatives. Nous avos poposé ue métode de caactéisatio, sas limitatios du ombe d'eoulemets, pemettat d'accéde au valeus de tous les composats et ous avos eposé commet tei compte des impefectios de mesues dues au coeios du composat au pot de mesue ou à des cout cicuits o idéau. Les paamètes du cicuit équivalet fial sot obteus e foctio de la féquece, ce qui est tès patique pou obseve puis epésete, pa eemple, les effets des couats iduits. Nous avos évalué l'itéêt d'u tel modèle pa appot au modèles abituels, aisi que ses limites, e compaat des fomes d'odes elevées su ue maquette de covetisseu. Nous ous sommes esuite itéessé à la détemiatio aaltique des élémets du cicuit équivalet. Das u pemie temps, ous avos focalisé ote attetio su les composats de ce que ous appelos "tasfomateu de fuite", qui comped les iductaces de fuites de caque eoulemet et les couplages qui les eliet. E se basat su la fomulatio PEEC utilisée pou des coducteus ectagulaie, ous avos mis au poit ue métode de calcul pemettat de détemie tous les paamètes statiques du tasfomateu de fuite, c'est-à-die ceu que l'o obseve e l'absece de couats iduits das les coducteus. Cette étude a doé lieu à la céatio d'ue feuille de calcul pemettat au cocepteus de faie des calculs facilemet et apidemet. 5

206 Coclusio et pespectives Nous avos esuite éfléci à la faço d'obtei ces mêmes valeus losque les couats iduits appaaisset das les coducteus. E effet, l'élévatio de la féquece du couat iduit ue modificatio de sa épatitio su la sectio du coducteu et doc ue modificatio de sa ésistace et de so iductace. Face à la difficulté de fomulatio des couats iduits das les coducteus méplats utilisés e tecologie plaa, ous avos péseté quelques métodes, basées su des appoimatios, meat au paamètes cecés pou des coducteus ectagulaies. La métode des cicuits équivalets de plaques s'avèe tès patique pou étudie les couats de ciculatio das des couces e paallèles. La deièe métode pésetée, appelée PEEC ouve des pespectives tès e vue de s'affaci de ces poblèmes. Ue amoce de ésolutio aaltique de l'équatio de diffusio das u coducteu méplat a égalemet été pésetée. Das la deièe patie ous ous sommes itéessé au petes das les tasfomateus, et à celles du coducteu méplat isolé. Nous avos cecé, pa diveses appoces, à éduie les petes des composats plaa e utilisat des effets de blidage. De même pou les coducteus ectagulaies, ous avos teté de miimise leus petes e modifiat la épatitio des couats due à l'effet de peau, e appocat des matéiau coducteus, des matéiau magétiques et même e appliquat u camp etéieu. Le tavail développé das ce mémoie, et, plus gééalemet, la coaissace des tasfomateus (tavau commecés il a plus de 5 as au laboatoie) e s'acèvet pas avec cette tèse. Pa appot au sujet iitial, ous avos ésolu de ombeu poblèmes, mais d'autes e sot que dégossis. Nous espéos que ces ivestigatios iacevées aideot à la fialisatio de ce pojet idustiel. La topologie des cicuits équivalets, aisi que la métode de caactéisatio sot maiteat matues et les pocais tavau vot ête aés ves le calcul aaltique ca les outils d'optimisatio actuels écessitet le ecous à de telles fomulatios. A l'eue actuelle, le plus gos poblème cocee les aspects de couats iduits das les coducteus ectagulaies. Deu appoces pometteuses ot été itoduites das ce mémoie, à savoi la possibilité d'utilise les doubles polômes de Legede pou décompose ue desité de couat, aisi que la métode PEEC. Cette deièe est, sas aucu doute, la métode qui pemetta d'appéede ce poblème das les mois/aées à vei. La éductio des petes das les composats et, de faço plus gééale, das les coducteus ectagulaies, est liée à cette compéesio des couats iduits. Les pistes que ous avos itoduites e vue de la dimiutio des petes demadet à ête appofodie. Les petes éduites das u coducteu ectagulaie, pa difféets moes, 'ot pas ecoe suscité ue applicatio patique. Ue 6

207 Coclusio et pespectives fome paticulièe du camp devait pemette d'atteide le miimum ececé. Il pouait ête itéessat esuite d'essae de ecée ce camp à l'aide de composat discets coducteus et/ou magétiques. L'aspect capacitif 'a pas été taité das cette tèse au-delà de l'idetificatio epéimetale d'u tasfomateu. Des fomules aaltiques devot ête élaboées pou évalue les capacités pésetes das la patie électostatique du cicuit équivalet. Le tout doea lieu à la céatio d'u ou de plusieus outils de calcul pemettat au pateaie idustiel de cocevoi ses tasfomateus de faço plus simple, sas avoi à ecoui à la fabicatio de ombeu pototpes. 7

208 Coclusio et pespectives 8

209 Bibliogapie BIBLIOGRAPHIE 9

210 Bibliogapie

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216 Bibliogapie 6

217 Aee I : Calcul du camp magétostatique céé pa u fil ectilige su u milieu magétique supposé ifii ANNEXE I : Calcul du camp magétostatique céé pa u fil ectilige su u milieu magétique supposé ifii 7

218 Aee I : Calcul du camp magétostatique céé pa u fil ectilige su u milieu magétique supposé ifii 8

219 Aee I : Calcul du camp magétostatique céé pa u fil ectilige su u milieu magétique supposé ifii I. PRESENTATION DU PROBLEME Le calcul qui suit vise à coaîte le camp magétique céé pa u fil fi das l'ai, placé au dessus d'u milieu magétique supposé ifii (Figue ). Ce deie, de peméabilité est positioé e =. Le couat filifome, de valeu I est diigé suivat Oz. Il est situé e (, ) das le epèe O. Les camps sot doc plas et ivaiats suivat z. I Bi Ai B Milieu magétique Bt Figue : Fil su milieu magétique ifii Das ce dispositif, tois tpes d'iductios coabitet : L'iductio icidete B i qui coespod à celle émise pa le fil. L'iductio éflécie pa le milieu magétique B. L'iductio B t qui est tasmise à taves la suface sépaat les deu milieu. II. EXPRESSIONS DES DIFFERENTS CHAMPS II.. Camp icidet Le camp icidet est celui céé pa le fil positioé e (, ) das l'ai ().. Bi Bi (, ) (, ) I = ( ) = I () ( ) II.. Potetiels tasmis et eflecis Les potetiels tasmis et éflécis, tous deu paallèles à Oz, sot solutio de l'équatio de Laplace D (). A A. = () 9

220 Aee I : Calcul du camp magétostatique céé pa u fil ectilige su u milieu magétique supposé ifii Pou ésoude cette équatio, ous utilisos la métode de sépaatio des vaiables. O pose doc A(, ) = F( ) G. L'équatio () deviet :. F ( ) G G F ( ) = F ( ) ( ) F G = (3) G Cette égalité doit ête véifiée quels que soiet et. Elle met e œuve ue foctio de (à gauce) et ue aute de (à doite) ; elle e peut doc ête satisfaite que si ces deu quatités sot costates. Il est commode d'écie cette costate sous la fome ( k ), si bie que :. ( ) F = ( k) F( ) (4) jk Toute foctio du tpe F( ) = e avec k éel est doc solutio de l'équatio (4). De plus, la elatio (3) mote que G admet l'équatio suivate :. G = ( k) G (5) k k Pou caque valeu de k, G admet deu solutios G = e et G = e. Le paamète k aat u sige quelcoque, l itoductio des valeus absolues facilite, das ce qui suit, l appéesio du ses de vaiatio suivat. Au fial, la solutio de A (, ) pou ue valeu de k est ue combiaiso liéaie des deu tpes de foctio (6).. jk k jk k A k, = P k e e Q k e e (6) Pou obtei la solutio gééale de l'équatio, il faut somme toutes les solutios paticulièes ca toutes les valeus éelles de k sot admissibles (7). jk k [ e e ] dk, = (7) j k k. A( ) P( k) e e Q( k) II.3. Camps tasmis et éflécis Les epessios gééales des camps tasmis et éflécis se déduiset diectemet du potetiel pécédet avec la elatio (8).. B = ot A B B A = A = (8)

221 Aee I : Calcul du camp magétostatique céé pa u fil ectilige su u milieu magétique supposé ifii. B B = jk k [ e e ] dk jk k (, ) k P( k) e e k Q( k) = jk k [ e e ] dk jk k (, ) j k P( k) e e j k Q( k) (9) Ces deu camps état issus, das le poblème taité, de la suface =, il est logique de postule qu ils dimiuet losqu ils s e éloiget. Cela eviet à admette que, pou cacu d eu l ue des foctios P ou Q est ulle. Pou le camp éfléci das l'ai ( > ), ous cosidéeos que P =. Pou le camp tasmis das le matéiau magétique ( < ), ous poseos que Q = III. CONDITIONS DE CONTINUITE Des coditios de cotiuité doivet ête espectées su la suface sépaat le milieu magétique de l'ai. Le camp tagetiel et l'iductio omale doivet ête cotiu à l'iteface ete les deu milieu (9). Das l'ai, le camp (ou l'iductio) est la somme du camp icidet céé pa le fil et celui éfléci pa le milieu magétique.. Hi Bi (,) H (,) = Ht (,) (,) B (,) = Bt (,) III.. Camp tagetiel Su la suface, les tois camps s'écivet de la faço suivate : (). Hi H Ht (,) I = jk [ e ] (,) = k Q( k) jk [ e ] dk (,) = k P( k) dk () O peut doc éécie l'équatio () de la faço suivate : I. k Q( k) jk jk [ e ] dk = [ k P( k) e ] dk ()

222 Aee I : Calcul du camp magétostatique céé pa u fil ectilige su u milieu magétique supposé ifii O voit appaaîte l'epessio de tasfomées de Fouie de k Q( k) et k P( k). O peut doc simplifie la elatio () e multipliat pa l'epessio obteue (3). et e peat la tasfomée de Fouie de I jk. e d = k P( k) k Q( k) 4 (3) [AYANT]: La tasfomée de Fouie qui este suite à ce calcul est dispoible das la littéatue. jk k e d = e (4) (3) peut doc s'écie : I k. e = P( k) Q( k) 4 k (5) III.. Iductio omale O pocède de la même faço pou la coditio su l'iductio. Su la suface, les tois iductios omales s'écivet de la faço suivate :. Bi B Bt (,) I = jk [ e ] (,) = j k Q( k) jk [ e ] dk (,) = j k P( k) dk (6) Ces tois iductios sot eliées pa l'équatio (7) :. j k Q( k) jk j [ e ] dk = j [ k P( k) e ] dk I k (7) De la même faço que pécédemmet, o peut tasfome la elatio (7) : I k 4 j. e d = j k Q( k) j k P( k) (8) La tasfomée de Fouie qui este est aussi dispoible das la littéatue [AYANT]:. e d = e sg( k) j jk k (9)

223 Aee I : Calcul du camp magétostatique céé pa u fil ectilige su u milieu magétique supposé ifii 3 E emplaçat (9) das (8), o obtiet :. k Q k P d k k e I k = sg 4 () IV. RESOLUTION DES EQUATIONS Nous avos maiteat deu équatios pemettat de détemie les costates k P et k Q (). La ésolutio de ce sstème ous pemet d'obtei les deu foctios ececées ().. = = Q k k P k e I Q k k P e k I k k 4 4 (). k e I Q k k e I k P k k 4 4 = = () O peut evei maiteat au epessios des iductios ececées e ijectat das (9) les valeus de k P et k Q. La valeu absolue de k oblige à scide l'itégale e deu.. [ ] [ ] [ ] = = = = j j I j e j e I dk e dk e I dk e e I B k j k j k j k j k k j 4, (3) Fialemet o obtiet :., I B = (4) Les tois autes calculs, de la composate du camp éfléci et des deu composates du camp tasmis, peuvet ête meés de faço similaie. O obtiet au fial :., I B = (5)

224 Aee I : Calcul du camp magétostatique céé pa u fil ectilige su u milieu magétique supposé ifii. Bt (, ) I = ( ) (6). Bt (, ) I = (7) ( ) V. RECPITULATIF ET INTERPRETATION Il est possible d'itepéte les difféetes valeus d'iductio que ous avos obteu : L'iductio icidete B i est l'iductio pope du fil positioé e (,) et pacouu pa le couat I. I Bi Ai Bi (, ) I = ( ) Bi (, ) I = Figue : Iductio icidete ( ) L'iductio éflécie B coespod à ue iductio céé pa u fil positioé e (,) et pacouu pa u couat I. B Ai B (, ) I = ( ) B (, ) I = ( ) I Figue 3 : Iductio éflécie das l'ai 4

225 Aee I : Calcul du camp magétostatique céé pa u fil ectilige su u milieu magétique supposé ifii L'iductio B t est égale à l'iductio icidete multipliée pa u facteu I Ai. Bt Bt (, ) (, ) I = ( ) Bt I = Figue 4 : Iductio tasmise das le matéiau ( ) magétique 5

226 Aee I : Calcul du camp magétostatique céé pa u fil ectilige su u milieu magétique supposé ifii 6

227 Aee II : Calcul du camp magétostatique céé pa u fil ectilige su u matéiau magétique d'épaisseu fiie ANNEXE II : Calcul du camp magétostatique céé pa u fil ectilige su u matéiau magétique d'épaisseu fiie 7

228 Aee II : Calcul du camp magétostatique céé pa u fil ectilige su u matéiau magétique d'épaisseu fiie 8

229 Aee II : Calcul du camp magétostatique céé pa u fil ectilige su u matéiau magétique d'épaisseu fiie I. PRESENTATION DU PROBLEME Le calcul qui suit vise à coaîte le camp magétique céé pa u fil fi das l'ai, placé au dessus d'u milieu magétique de peméabilité et d'épaisseu ep (Figue ). Le couat filifome, de valeu I est diigé suivat Oz. Il est situé e (, ) das le epèe O. Les camps sot doc plas et ivaiats suivat z. I Ai B i B Suface S Suface S 3 Milieu magétique Ai 3 B t B B 3t ep Figue : Fil su milieu magétique ifii Das ce dispositif, ciq iductios doivet ête distiguées das tois difféets milieu : L'iductio icidete B i qui coespod à celle émise pa le fil das le milieu ''. L'iductio éflécie B pa le milieu magétique '' das ''. L'iductio B t qui est tasmise das le milieu ''. Ue ouvelle iductio B qui est éflécie pa la ème face du feite. Ue deièe iductio B 3 t qui est tasmise das le milieu '3'. II. CALCULS DES DIFFERENTS CHAMPS II.. Epessio gééale Nous allos epede la métode utilisée das l'aee pécédet. Les camps peuvet s'epimet sous la fome gééale suivate :. B B = ik k [ e e ] dk ik k (, ) k P( k) e e k Q( k) = ik k [ e e ] dk ik k (, ) ikp( k) e e ikq( k) () 9

230 Aee II : Calcul du camp magétostatique céé pa u fil ectilige su u matéiau magétique d'épaisseu fiie II.. Coditios de cotiuité Des coditios de cotiuité pou le camp tagetiel et l'iductio omale doivet ête espectée su les deu sufaces S ( = ) et S 3 ( = ep ). S ( = ). H ( ) H (,) = H (,) H (,) () i, t. Bi (, ) B (,) = Bt (,) B (,) S 3 ( = ep ). H ( ep) H (, ep) = H (, ep) (3) t, (4) 3t. B t (, ep) B (, ep) = B3t (, ep) (5) Pou les camps état issus des sufaces S et S 3, il est logique de postule qu'ils dimiuet losqu'ils s'e éloiget. Cela eviet à admette que pou cacu d'ete eu l'ue des foctios P ou Q est ulle. Pa appot à la suface S : Pa appot à la suface S 3 : B décoît quad augmete P ( k) = B décoît quad augmete P ( k) 3 = B décoît quad dimiue Q ( k) t = B 3 décoît quad dimiue Q ( k) t 3 = II.3. Relatios su la suface S O peut epime les difféets camps simplifiés su la suface S suite au postulat pécédet: Camp icidet : (,) I H i = (6), Camp éfléci das l'ai : ik H ( ) k Q ( k) e dk = (7) t Camp tasmis das la feite : ik H ( ) = k P ( k) e dk, (8), Camp éfléci das la feite : ik H ( ) k Q ( k) e dk = (9) 3 3

231 Aee II : Calcul du camp magétostatique céé pa u fil ectilige su u matéiau magétique d'épaisseu fiie H i I La elatio su la suface S ous doe : (,) H (,) = H (,) H (,) t k Q ik ik ik ( k) e dk = k P ( k) e dk k Q ( k) e dk 3 () De même, o peut epime les difféetes iductios simplifiées su la suface S suite au postulat pécédet: I B i = Iductio icidete : (,) () Iductio éflécie das l'ai : ik B ( ) = i kq ( k) e dk, () t Iductio tasmise das la feite : B ( ) i kp ( k) ik, = e dk (3) Iductio éflécie das la feite : ik B ( ) = i kq ( k) e dk, (4) 3 B i La elatio su la suface S ous doe : (,) B (,) = B (,) B (,) t I i kq 3 ik ik i k ( k) e dk = ikp ( k) e dk ikq ( k) e dk (5) O peut epime les difféets camps simplifiés su la suface S suite au postulat pécédet: Camp icidet : (,) I H i = (6), Camp éfléci das l'ai : ik H ( ) k Q ( k) e dk = (7) t Camp tasmis das la feite : ik H ( ) = k P ( k) e dk, (8), Camp éfléci das la feite : ik H ( ) k Q ( k) e dk = (9) 3 3

232 Aee II : Calcul du camp magétostatique céé pa u fil ectilige su u matéiau magétique d'épaisseu fiie H i I La elatio su la suface S ous doe : (,) H (,) = H (,) H (,) t k Q ik ik ik ( k) e dk = k P ( k) e dk k Q ( k) e dk 3 () De même, o peut epime les difféetes iductios simplifiées su la suface S suite au postulat pécédet: I B i = Iductio icidete : (,) () Iductio éflécie das l'ai : ik B ( ) = i kq ( k) e dk, () t Iductio tasmise das la feite : B ( ) i kp ( k) ik, = e dk (3) Iductio éflécie das la feite : ik B ( ) = i kq ( k) e dk, (4) 3 B i La elatio su la suface S ous doe : (,) B (,) = B (,) B (,) t I i kq 3 ik ik i k ( k) e dk = ikp ( k) e dk ikq ( k) e dk (5) II.4. Relatios su la suface S3 O epime de la même faço les coditios de passage su la suface S 3. t, = Camp tasmis das la feite : ik ep H ( ep) k P ( k) e e k dk (6), = Camp éfléci das la feite : ik ep H ( ep) k Q ( k) e e k dk (7) 3 3 t Camp tasmis das l'ai : ik ep H (, ep) = k P ( k) e e k dk (8) 3 3

233 Aee II : Calcul du camp magétostatique céé pa u fil ectilige su u matéiau magétique d'épaisseu fiie H t La elatio su la suface S 3 ous doe : (, ep) H (, ep) = H (, ep) 3t k P 3 = ik ( k) e e k ep ik ep i k ep dk k Q ( k ) e e k dk k P ( k) e e k dk 3 (9) De même, o peut epime les difféetes iductios simplifiées su la suface S 3 suite au postulat pécédet: t Iductio tasmise das la feite : B ( ep) = i kp ( k) ik k ep, e e dk (3) Iductio éflécie das la feite : ik ep B ( ep) = i kq ( k) e e k dk, (3) 3 3t Iductio tasmise das l'ai : B ( ep) = i kp ( k) ik k ep, 3 e e dk (3) B t La elatio su la suface S 3 ous doe : (, ep) B (, ep) = B (, ep) ikp 3t ik ( k) e e k ep ik ep dk ikq ( k) e e k dk = ikp ( k) 3 3 e ik k ep e dk (33) O a doc les 4 équatios teat compte du H tagetiel et du B omal su les sufaces. I k Q ik ik ik ( k) e dk = k P ( k) e dk k Q ( k) e dk 3 I i kq 3 ik ik i k ( k) e dk = ikp ( k) e dk ikq ( k) e dk k P 3 3 = ik ( k) e e k ep ik ep i k ep dk k Q ( k) e e k dk k P ( k) e e k dk 3 k P 3 = ik ( k) e e k ep ik ep i k ep dk k Q ( k) e e k dk k P ( k) e e k dk 33

234 Aee II : Calcul du camp magétostatique céé pa u fil ectilige su u matéiau magétique d'épaisseu fiie 34 III. RESOLUTION SU SYSTEME O veut doc place ces 4 équatios sous fome telle que l'o puisse détemie les valeus des foctios P, Q, P 3,Q 3. O emaque que toutes les équatios cotieet des tasfomés de Fouie iveses. O peut, e utilisat les mêmes tasfomés de Fouie que das l'aee pécédet, epime le sstème d'équatio sous fome plus simple = = = = ep k ep k k k e k Q k P k P e k Q k P k P k e I k Q k Q k P k e I k Q k Q k P (34) O peut ecoe ce sstème sous fome plus simple : = = = = BQ P P BQ P P A Q Q P A Q Q P (35) Les quate solutios peuvet esuite ête déduites : = B AB P = B B A Q 3 4 = B AB P 3 = B A Q (36) Les quate "costates" s'écivet au fial de la faço suivate : = ep k ep k k e e k e I k P = ep k ep k k e e k e I k Q = ep k ep k k e e k e I k P = ep k k e k e I k Q (37)

235 Aee II : Calcul du camp magétostatique céé pa u fil ectilige su u matéiau magétique d'épaisseu fiie 35 IV. FORME EXPLICITE DU CHAMP REFLECHI DANS L'AIR dk e e e e I dk e e e e I dk e e e e I dk e e e e k e I k H k k i ep k ep k k k i ep k ep k k k i ep k ep k k k i ep k ep k k = = = = , Le déomiateu das l'itégale peut ête assimilé à (-) ou est la aiso d'ue séie géométique. Cette séie pouait povei des éfleios successives : le camp éfléci peut povei de la pemièe éfleio (su la pemièe suface). Esuite, pou essoti ves l'avat, il faut qu'il péète das le matéiau, qu'il le tavese, qu'il se éflécisse su la face aièe, qu'il tavese e etou, qu'il essote. Cacue de ces opéatios coespod à ue attéuatio et cet esemble peut ête épété fois. Avec cette séie, le camp tagetiel peut ecoe s'écie : dk e e e I dk e e e e I H k i ep k ep k k k i ep k ep k 4 4, = = = = Sous cette fome, l'itégale se calcule esuite facilemet (voi démostatio à la fi de l'aee): [ ] [ ] == ep ep ep ep dk e e k i ep k k i ep k Le camp éfléci vaut doc : [ ] [ ] = =, ep ep ep ep I H Apès simplificatio, o obtiet (voi démostatio à la fi de l'aee): [ ] [ ] = = 4, m m mep mep I H

236 Aee II : Calcul du camp magétostatique céé pa u fil ectilige su u matéiau magétique d'épaisseu fiie 36 Cette epessio se décompose e temes : Le e est, comme pou le cas milieu ifii, le camp céé pa u fil positioé e, et pacouu pa u couat I. Le d coespod à la somme des camps céés pa ue ifiité de fils positioés e ep, et pacouus pa des couats I. Ce teme est podéé pa u facteu 4. Cette somme est due au éfleios multiples du camp ete les bods de la feite. V. BILAN Vu la compleité des difféets calculs, ous 'allos pas ete das les détails de epessio pou les 7 autes camps. La métode à applique est la même et les astuces de calcul sot similaies. Nous péseteos juste les uit epessios ececées iitialemet : [ ] [ ] = = = = 4, 4, ep I H ep ep I H (38) = = = =,, ep I H ep ep I H t t (39) = = = =,, ep I H ep ep I H (4) = = = = 3 3 4, 4, ep I H ep ep I H t t (4)

237 Aee II : Calcul du camp magétostatique céé pa u fil ectilige su u matéiau magétique d'épaisseu fiie 37 *********************************************** Démostatios : [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] = = = = = = ep ep ep ep ep ep ep ep ep i ep ep i ep ep i ep ep i ep i ep i ep i ep i ep i ep e i ep e i ep e i ep e dk e e dk e e dk e e k i ep k k i ep k k i ep k k i ep k k i ep k k i ep k k i ep k k i ep k k i ep k k i ep k [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] = = == = = = = = = = = = = = = 4, m m m m m m m m m m mep mep I mep mep I mep mep ep ep I mep mep ep ep I mep mep ep ep I ep ep ep ep I H ***********************************************

238 Aee II : Calcul du camp magétostatique céé pa u fil ectilige su u matéiau magétique d'épaisseu fiie 38

239 Aee III : Feuille de calcul Matcad des iductaces de fuites statiques ANNEXE III : Feuille de calcul Matcad des iductaces de fuites statiques 39

240 Aee III : Feuille de calcul Matcad des iductaces de fuites statiques 4

241 Aee III : Feuille de calcul Matcad des iductaces de fuites statiques Iductaces de fuite "basse féquece" Cette feuille de calcul peut ête utilisée pou détemie de faço aaltique la valeu de l'iductace de fuite d'u tasfomateu e basse féquece. Le calcul est basé su u calcul déegie e cosidéat le cas ou les ampèes tous sot compesés (essai e cout-cicuit). Pou plus de claté, les seules doées que doit ete l'utilisateu sot décites das cette police. Les difféetes foctios utilisées pa la feuille de calcul sot elles décites das cette police. 5 calculs d'éegie sot éalisés pou détemie la valeu de l'iductace de fuite : ) L'éegie est évaluée à pati de l'iductio B e calculat l'itégale de B²/ de faco uméique ) L'éegie est évaluée à pati du potetiel vecteu A e calculat l'itégale de AJ de faço uméique 3) L'éegie est évaluée à pati du potetiel vecteu A e calculat l'itégale de AJ de faço aaltique 4) L'éegie est évaluée à pati du potetiel vecteu A e calculat l'itégale de AJ de faço aaltique e teat compte de 4 images magétiques (ifluece du ciuit magétique) 5) L'éegie est évaluée à pati du potetiel vecteu A e calculat l'itégale de AJ de faço aaltique e teat compte de 8 images magétiques (ifluece du ciuit magétique).d'apès les essais cette valeu semble ête la meilleue, même si elle su estime l'éegie das la feête de tasfomateu. 4 images 8 images Le calcul est écessaie pou évalue esuite u "cemi" moe ete les pics de l'iductio pa uité de logueu. Le calcul peut ête tes log suivat le ombe de coducteus puisque l'itégatio est à éalise su caque coducteu, doc à caque fois su ue gille difféete. De plus, si le ombe d'élémets de caque gille est top faible, il se peut que la valeu de l'itégatio soit légèemet sous évaluée. Cette faible eeu e se etouve pas los de l'itégatio aaltique (calcul 3)puisqu'elle tiet compte de l'eegie das tout l'espace et o pas seulemet das la feete du tasfomateu. Pou tei compte de l'ifluece du CM, les 8 images magétiques (calcul 5) doet de meilleus ésultats que le calcul éalisé avec 4 images (calcul 4). Pou e pas effectue l'itégatio uméique il faut place u "" das la vaiable umeique ci-dessous. Au cotaie, il faut place u "" das cette vaiable pou éalise cette itégatio uméique. Vaiable pou valide l'itégatio uméique : umeique := O a vu l'utilité de décie sépaémet les feêtes des tafomateus, l'éegie coteue das caque feête pouvat vaie de faço cosidéable suivat les placemet des coducteus. Das la feuille de calcul, les doées coteues das la "coloe" gauce coceet la feête de gauce et celles coteues das la "coloe" de doite cocee l'aute feête. 4

242 Aee III : Feuille de calcul Matcad des iductaces de fuites statiques Il faut coisi l'uité das laquel toutes les doées du poblèmes seot etées : ) m ) mm 3) m Vaiable pou les uités : uite := 3 ************************************************************************************************************* -Desciptio du Cicuit magétique L'oigie des aes (,) est pise das le coi iféieu gauce du cicuit magétique Lagueus des feêtes : Lag_fe_G := 68 Lag_fe_D := 69 Hauteu de la feête : Haut_fe := 5 Lageus coloes Cicuit magétique : Lag_CM_G := 3 Lag_CM_D := 6 Epaisseu Cicuit magétique : Ep_CM := 6 Les gilles su laquelle seot tacées les composates de l'iductio et l'éegie sot coteues das les feêtes du tasfomateu. Elles ot pou oigie les ouveau epèes N_G, N_D ; elles s'étedet su Lag_fe_ e et Haut_fe_ e. Nombe d'itevalles e (ombe de poits - ) : Nombe d'itevalles e (ombe de poits - ) : N:= 99 N := 99 4

243 Aee III : Feuille de calcul Matcad des iductaces de fuites statiques -Desciptio des couces et coducteus O cée ue matice pou décie de faco géométique les coducteus. Eemple avec eoulemets épais su 3 couces Les coducteus des couces et sot tous placés e séies et tavesés pa u couat de A. L'uique coducteu de la couce 3 est quat à lui tavesé pa u couat égal à -9 fois le couat d'u coducteu d'ue aute couce (9 coducteus doc -9 A.t) La matice "Desc_c" décivat les coducteu possède doc 8 coloes ; so ombe de lige deped du ombe de couces du tasfomateu où sot épatis les eoulemets. 43

244 Aee III : Feuille de calcul Matcad des iductaces de fuites statiques Matice décivat le placemet des couces et coducteus (logueus epimées das l'uité pécédete) : Matice décivat le placemet des couces et coducteus (logueus epimées das l'uité pécédet Les coducteus de la feête doite sot décits pa appot au epèe N_D Desc_c_G := Desc_c_D := Somme des ampèes tous : liges( Desc_c_G) ΣAt_G := k = Desc_c_G Desc_c_G k, k, 7 Somme des ampèes tous : liges( Desc_c_D) ΣAt_D := k = Desc_c_D Desc_c_D k, k, 7 ΣAt_G = ΣAt_D = Test su la somme des ampèes tous : At := test_at "Feete Gauce : COMPENSES" if ΣAt_G <. test_at "Feete Gauce : NON COMPENSES" otewise test_at "Feete Doite : COMPENSES" if ΣAt_D <. test_at "Feete Doite : NON COMPENSES" otewise test_at Il faut, pou que le calcul soit valide, que la somme des ampèes tous das caque feête du tasofmateu soit ulle. Si das la feete suivate "COMPENSES" appaait pou les feête gauce et doite, le calcul sea valide. Das le cas cotaie, il faut modife la valeu des couats (deiee coloe de la matice) pou obtei ue somme des ampèes tous ulle. Les Ampèes tous sot "Feete Gauce : COMPENSES" At = "Feete Doite : COMPENSES" 44

245 Aee III : Feuille de calcul Matcad des iductaces de fuites statiques 3-Discétisatio de la gille (feête) Uité : u := if uite 3 if uite 6 if uite 3 Coodoées du ouveau epèe : Lag_CM_G u Lag_fe_G Lag_CM_D N_D := u Ep_CM u Coodoées du ouveau epèe : Idice pou balae l'ae : Idice pou balae l'ae : i :=.. N j :=.. N N_G:= Lag_CM_G u Ep_CM u Logueu de la gille e : Logueu de la gille e : Discétisatio des aes : l:= Lag_fe_G u l := Haut_fe u _G := N_G l i N i _G := N_G l j N j Discétisatio des aes : _D := N_D l i N i l _D := N_D j j N Elemet de suface : l l ds := N N 4-Iitialisatio des foctios et vaiables Peméablilité du vide : Foctios pou aodi : := 4 7 matisse( ) := patetièe( ) oudoff ( ) := si( matisse( ) <.5, patetièe( ), plafod ( ) ) Pécisio : ε := Pou diffeetie feête gauce et feête doite : gauce := doite := 45

246 Aee III : Feuille de calcul Matcad des iductaces de fuites statiques Foctio pou tace les coducteus das ue feête gapique : Cod( A, fe) := fo fo.. N m.. N C, m fac 6 fo.. liges( A) C oudoff N A u N_G N fo, l.. oudoff A u N_G, 3 if fe gauce l N m oudoff ( A u, 4 ) N fo l.. oudoff ( A u, ) l C fac, m C fac, m oudoff N A u N_D, l oudoff A N fo.. u N_D, 3 if fe doite l N m oudoff ( A u, 4 ) N fo l.. oudoff ( A u, ) l Foctio de Sommatio (pou B : Gille su la feete) Sg( G, ds) := S fo fo S ds.. N m.. N Wc G, m 4 G G G, m, m, m, m S S Wc, m Foctio de Sommatio (pou A : Gille su coducteus) Sg( G, ds, N, N) := S fo fo S ds.. N m.. N Wc G, m 4 G G G, m, m, m, m S S Wc, m 46

247 Aee III : Feuille de calcul Matcad des iductaces de fuites statiques Composates de l'iductio pou u méplat B(,, a, b, I) := 6 ( b) acta a acta a a b... b b ( b) acta a a acta... b b ( a) ( b) ( a) l ( ( a) ( b) a ( a) ( b) ) l ( a) ( b) I B(,, a, b, I) := 6 I ( a) acta b acta b a b... a a ( a) acta b acta b... a a ( a) ( b) ( b) l ( a) ( b) ( b) l ( a) ( b) ( a) ( b) Recece de maimum das ue feete ma( W_, fe) := m im jm fo fo if if fe if fe k.. N l.. N W_ > m k, l im k jm l m gauce W_ k, l m l N_G N im l m N_G jm N doite m l N_D N im l m N_D jm N m m m im jm Pimitive du potetiel vecteu d'u fil F(,, a, b) := ( a) ( b) l ( a) ( b) ( a) acta b ( b) acta a a b 47

248 Aee III : Feuille de calcul Matcad des iductaces de fuites statiques Vaiatio de la pimitive A(,, ae, be, I) := 4 I [( F(,, ae, be) F(,, ae, be) ) ( F(,, ae, be) F(,, ae, be) )] ( ae be) 5-Calcul de l'emplacemet des coducteus Poiteu pou se déplace das la matice decivat les couces : Etactio de vecteus de l'itéieu de la matice : id_g :=.. liges( Desc_c_G) Abscisse_G := Desc_c_G id_g id_g, Lageu_G := Desc_c_G id_g id_g, 3 Espace_G := Desc_c_G id_g id_g, 4 Epaisseu_G := Desc_c_G id_g id_g, 5 Ecat_G := Desc_c_G id_g id_g, 6 Poiteu pou se déplace das la matice decivat les couces : id_d :=.. liges( Desc_c_D ) Etactio de vecteus de l'itéieu de la matice : Lageu_D := Desc_c_D id_d id_d, 3 Espace_D := Desc_c_D id_d id_d, 4 Epaisseu_D := Desc_c_D id_d id_d, 5 Ecat_D := Desc_c_D id_d id_d, 6 Couat_D := Desc_c_D id_d id_d, 7 Nombe de couces du tasfomateu : Nombe de coducteus das la feête : Nb_couc_G := liges( Desc_c_G) Nb_cod_G := Couat_G := Desc_c_G id_g id_g, 7 Nb_couc_G i = Desc_c_G i, Nb_couc_G = 8 Nb_cod_G = 37 Nombe de couces du tasfomateu : Nombe de coducteus das la feête : Nb_couc_D := liges( Desc_c_D ) Nb_cod_D := Nb_couc_D i = Mise e fome de la matice de desciptio des couces et des coducteus : Desc_c_D i, Nb_couc_D = 7 Nb_cod_D = 37 Mise e fome de la matice de desciptio des couces et des coducteus : Desc_c_G := fo i.. liges ( Desc_c_G) fo j (.. cols( Desc_c_G) ) Desc_c_G Desc_c_G i, j i, j fo i (.. liges( Desc_c_G) ) N_G Desc_c_G Desc_c_G i, i, u fo i.. liges ( Desc_c_G) if i Desc_c_G Desc_c_G, 6, 6 Desc_c_G Desc_c_G Desc_c_G, 5, 6, 5 otewise Desc_c_G Desc_c_G Desc_c_G i, 6 i, 5 i, 6 Desc_c_G Desc_c_G Desc_c_G i, 5 i, 6 i, 5 Desc_c_G Desc_c_D := fo i.. liges( Desc_c_D ) fo j (.. cols( Desc_c_D ) ) Desc_c_D Desc_c_D i, j i, j fo i (.. liges( Desc_c_D ) ) N_D Desc_c_D Desc_c_D i, i, u fo i.. liges( Desc_c_D ) if i Desc_c_D Desc_c_D, 6, 6 Desc_c_D Desc_c_D Desc_c_D, 5, 6, 5 otewise Desc_c_D Desc_c_D Desc_c_D i, 6 i, 5 i, 6 Desc_c_D Desc_c_D Desc_c_D i, 5 i, 6 i, 5 Desc_c_D 48

249 Aee III : Feuille de calcul Matcad des iductaces de fuites statiques Desc_c_G = Desc_c_D = Etactio de vecteus de l'itéieu de la matice : PosH_G := Desc_c_G id_g id_g, 5 PosB_G := Desc_c_G id_g id_g, 6 Abscisse_G := Desc_c_G id_g id_g, Gééatio de la matice décivat tous les coducteus idépedemmet : Etactio de vecteus de l'itéieu de la matice : PosH_D := Desc_c_D id_d id_d, 5 PosB_D := Desc_c_D id_d id_d, 6 Abscisse_D := Desc_c_D id_d id_d, Caque coducteu va ête décit das ue matice. ue lige de cette deièe coespod à u coducteu. Pou décie u coducteu o utilise les coodoées de de ses cois, le coi supéieu gauce et le coi iféieu doit : Das l'eemple utilisé ci-dessus, la matice compotea liges coeespodat à caque coducteu. 49

250 Aee III : Feuille de calcul Matcad des iductaces de fuites statiques A_G := Nc A_G := Nc cmpt fo k.. Nb_cod_G M k k, wile M cod wile Nc Nb_couc_G if Desc_c_G Nc, M Abscisse_G cmpt, Nc M PosH_G cmpt, Nc M M Lageu_G cmpt, 3 cmpt, Nc M PosB_G cmpt, 4 Nc M Couat_G cmpt, 5 Nc cmpt cmpt cod cod otewise M Abscisse_G cmpt, Nc cod cod < Desc_c_G Nc, M PosH_G cmpt, Nc M M Lageu_G cmpt, 3 cmpt, Nc M PosB_G cmpt, 4 Nc M Couat_G cmpt, 5 Nc cmpt cmpt cod cod fo k.. Desc_c_G Nc, M M Espace_G cmpt, cmpt, 3 Nc M PosH_G cmpt, Nc M M Lageu_G cmpt, 3 cmpt, Nc M PosB_G cmpt, 4 Nc M Couat_G cmpt, 5 Nc k k cmpt cmpt k Nc Nc cmpt fo k.. Nb_cod_G M k k, wile M cod wile Nc Nb_couc_G if Desc_c_G Nc, M Abscisse_G cmpt, Nc M PosH_G cmpt, Nc M M Lageu_G cmpt, 3 cmpt, Nc M PosB_G cmpt, 4 Nc M Couat_G cmpt, 5 Nc cmpt cmpt cod cod otewise cod cod < Desc_c_G Nc, M Abscisse_G cmpt, Nc M PosH_G cmpt, Nc M M Lageu_G cmpt, 3 cmpt, Nc M PosB_G cmpt, 4 Nc M Couat_G cmpt, 5 Nc cmpt cmpt cod cod fo k.. Desc_c_G Nc, M M Espace_G cmpt, cmpt, 3 Nc M PosH_G cmpt, Nc M M Lageu_G cmpt, 3 cmpt, Nc M PosB_G cmpt, 4 Nc M Couat_G cmpt, 5 Nc k k cmpt cmpt k Nc Nc 5

251 Aee III : Feuille de calcul Matcad des iductaces de fuites statiques Détemiatio des paamètes a, b (lageu et épaisseu des coducteus) et, (décetage des coducteus pa appot à l'oigie) kd :=.. Nb_cod_D kg :=.. Nb_cod_G Décetage : Dimesios : u A_G A_G kg, kg, 3 _G := kg u A_G A_G kg, 3 kg, a_g := kg u A_G A_G kg, kg, 4 _G := kg u A_G A_G kg, kg, 4 b_g := kg N_G u u A_D A_D kd, kd, 3 A_D A_D Décetage : _D := kd, kd, 4 kd _D := kd u A_D A_D kd, 3 kd, Dimesios : a_d := kd u A_D A_D kd, kd, 4 b_d := kd N_D Caque coducteu est pacouu pa u couat ; ces deies sot placés das u vecteu. Caque lige de ce vecteu coespod à la lige de la atice ou le coducteu est décit géométiquemet. Matice des couats : I_D := A_D kd kd, 5 Matice des couats : I_G := A_G kg kg, 5 6-Validatio du placemet des coducteus das la feête Coducteus_D := Cod( A_D, doite) Coducteus_G := Cod( A_G, gauce ) N_G = Coducteus_D Coducteus_G Si plusieus coducteus appaaisset goupés ('e fomat qu'u seul) il faut augmete le ombe de poits e et/ou ( N et ou N). Cette augmetatio set juste à valide la dispositio des coducteu. il faut veille à e pas faie effectue les calculs suivat (iductio B et B) pou u top gad ombe de poit pou des aisos de temps de calcul qui seaiet alos tès (top) impotat. 7-Discétisatio des Gilles (coducteu) Nombe d'itevalles e su caque coducteu (ombe de poits - ) : Nombe d'itevalles e su caque coducteu (ombe de poits - ) : N_c := 99 N_c := 99 5

252 Aee III : Feuille de calcul Matcad des iductaces de fuites statiques Idice pou balae e caque coducteu : c:=.. N_c Idice pou balae e caque coducteu : c :=.. N_c Elemet de suface d'u coducteu : ds_d := fo l.. Nb_cod_D Elemet de suface d'u coducteu : ds_g := fo l.. Nb_cod_G A_G A_G A_G A_G l, 3 l, l, l, 4 d l N_c N_c A_D A_D A_D A_D l, 3 l, l, l, 4 d l N_c N_c d d 8-Calcul et epésetatio des composates de l'iductio (B, B et B) Somme de l'ifluece de caque coducteu : Somme de l'ifluece de caque coducteu : B G(, ) := B G(, ) := Nb_cod_G k = Nb_cod_G k = Calcul de B su la gille : Repésetatio de B su la gille : B _G, _G, a_g ε, b_g ε, I_G k k k k k B _G, _G, a_g ε, b_g, I_G k k k k k B_G := B G _G, _G i, j i j B D(, ) := B D(, ) := Calcul de B su la gille : Nb_cod_D k = Nb_cod_D k = Repésetatio de B su la gille : B _D, _D, a_d ε, b_d ε, I_D k k k k k B _D, _D, a_d ε, b_d ε, I_D k k k k k B_D := B D _D, _D i, j i j B_D B_G 5

253 Aee III : Feuille de calcul Matcad des iductaces de fuites statiques Calcul de B su la gille : B_G := B G _G, _G i, j i j Calcul de B su la gille : B_D := B D _D, _D i, j i j Repésetatio de B su la gille : Repésetatio de B su la gille : B_G B_D Calcul du module de B su la gille : B_G := B_G i, j i, j ( B_G i, j ) Calcul du module de B su la gille : B_D := B_D i, j i, j ( B_D i, j ) Repésetatio de B su la gille : Repésetatio de B su la gille : B_G B_D 53

254 Aee III : Feuille de calcul Matcad des iductaces de fuites statiques Calcul de l'éegie su la gille : W_G := i, j ( B_G i, j ) Calcul de l'éegie su la gille : W_D := i, j ( B_D i, j ) Repésetatio de W : Repésetatio de W : W_G W_D Eegie pa uité de logueu : ΣWB_G := Sg( W_G, ds) ΣWB_G =.8 5 Eegie pa uité de logueu : ΣWB_D := Sg( W_D, ds) ΣWB_D = Calcul du potetiel vecteu Az (itégatio uméique) Somme de l'ifluece de caque coducteu : AzG(, ) := Nb_cod_G k = A _G, _G, a_g ε, b_g ε, I_G k k k k k Somme de l'ifluece de caque coducteu : Nb_cod_D AzD(, ) := A _D, _D, a_d ε, b_d ε, I_D k k k k k k = 54