Devoir surveillé de terminales S1-Samedi 22 février durée 3h

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1 Devoir surveillé de terminales S1-Samedi 22 février durée 3h Exercice 1 : Une urne A contient quatre boules rouges et six boules noires. Une urne B contient une boule rouge et neuf boules noires. Les boules sont indiscernables au toucher. Partie A Un joueur dispose d un dé à six faces, parfaitement équilibré, numéroté de 1 à 6. Il lance une fois le dé : s il obtient 1, il tire au hasard une boule de l urne A sinon il tire au hasard une boule de l urne B. 1) Soit R l évènement : «le joueur obtient une boule rouge». Montrer que.1 2) Si le joueur obtient une boule rouge, la probabilité qu elle provienne de A est elle supérieure ou égale à la probabilité qu elle provienne de B? Partie B Le joueur répète deux fois l expérience aléatoire décrite en A, dans des conditions identiques et indépendantes.( C'est-à-dire qu à l issue de la première expérience, les urnes retrouvent leur composition initiale). Soit un entier naturel non nul. Lors de chacune des deux épreuves, le joueur gagne x euros s il obtient une boule rouge et perd deux euros s il obtient une noire. On désigne par G la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur en euros au terme des deux épreuves. la variable aléatoire prend donc les valeurs :, 1) Déterminer la loi de probabilité de G. 2) Exprimer l espérance de la variable aléatoire G en fonction de x. 3) Pour quelles valeurs de a ton?

2 Partie C ( Bonus) Le joueur répète n fois ( l expérience aléatoire décrite en A, dans des conditions identiques et indépendantes.( C'est-à-dire qu à l issue de la première expérience, les urnes retrouvent leur composition initiale). Soit un entier naturel non nul. Lors de chacune des deux épreuves, le joueur gagne x euros s il obtient une boule rouge et perd deux euros s il obtient une noire. On désigne par le nombre de fois où le joueur obtient une boule rouge sur les n parties. 1) Quelle est la loi de probabilité de? préciser ses paramètres. 2) Calculer l espérance de en fonction de. On désigne par G la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur en euros au terme des deux épreuves. la variable aléatoire prend donc les valeurs : 3) Exprimer en fonction de,. 4) En déduire de la variable aléatoire G en fonction de et. 5) Pour quelles valeurs de a ton? Exercice 2 Partie A. Démonstration de cours Pré requis : définition d une suite tendant vers plus l infini : «une suite tend vers si pour tout réel A, tous les termes de la suite sont, à partir d un certain rang, supérieurs à A». Démontrer le théorème suivant : Si une suite croissante n est pas majorée alors elle est tend vers. Partie B. On considère la fonction définie sur l intervalle par : ln 1 1 La courbe représentative de la fonction dans un repère orthogonal est donnée en annexe. Cette courbe sera complété et remise avec la copie en fin d épreuve. 1) Calculer la limite de en 2) Etudier le sens de variation de la fonction sur l intervalle. 3) Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe au point d abscisse. 4) Tracer (T) sur le graphique.

3 Dans la suite de l exercice, on admet que sur l intervalle la courbe est au dessus de (T). 5) Un élève souhaite calculer une mesure en unité d aire de l aire du domaine situé entre : la droite (T) la courbe la droite d équation x la droite d équation a) Hachurer le domaine ( sur le graphique fourni en annexe. b) En utilisant un logiciel de calcul formel, il obtient l écran suivant : Vérifier par le calcul le résultat ainsi obtenu on admet que l expression «integrer f(x)» est utilisée pour rechercher une primitive de f). Partie C c) En déduire que la valeur exacte de l aire du domaine en unité d aire est ln. On rappelle que l on admet que sur l intervalle la courbe est au dessus de (T). On considère la suite définie par 1 1) Construire sur l axe des abscisses les cinq premiers termes de la suite en laissant apparaitre les traits de construction. 2) A partir de ce graphique, que peut on conjecturer concernant le sens de variation de la suite et son comportement lorsque tend vers? 3) a) Démontrer par récurrence que :, 1 b) Démontrer que la suite est croissante. c Démontrer que la suite n est pas majorée. d) En déduire que la limite de la suite.,

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5 Exercice 3 La feuille annexe donnée portera les constructions demandées au cours de l exercice. Cette feuille est à rendre avec la copie. Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct,, le point A a pour affixe. On nomme l application qui, à tout point d affixe associe le point d affixe tel que : Le but de l exercice est de construire géométriquement le point. connaissant le point 1) Un exemple On considère le point K d affixe 1. a) Placer le point K b) Déterminer l affixe du point image de par. c) Placer 2) Des points pour lesquels le problème ne se pose pas. a) On considère le point L d affixe. Déterminer son image par. Que remarque-t-on? b) Un point est dit invariant par s il est confondu avec son image. Démontrer qu il existe deux points invariants par f dont on déterminera les affixes. 3) Un procédé de construction On nomme G le centre de gravité du triangle et l affixe de a) En utilisant le fait que :, vérifier que : b) En déduire que : si M est un point du cercle de centre A et de rayon r, alors G est un point du cercle de centre 0 et de rayon c) Démontrer que : arg d) Sur la feuille annexe, on a marqué un point sur le cercle de centre A et de rayon. On nomme l image de par. Déduire des questions précédentes la construction de et la réaliser sur la figure annexe à rendre avec la copie. 1

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