Suites numériques. 1 Définitions. 1.1 Exemples et définitions. 1.2 Définition explicite - Définition par récurrence

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1 Suites numériques 1 Définitions 1.1 Exemples et définitions Exercice 1. Quel nombre écrire à la places des pointillés? 1. Liste a : 10;15;0;5;.... Liste b : 0;1;3;7;15; Liste c : 1;1;;3;5;8;13; Liste d : 50; 10;; 0.4;... Les listes de nombres écrites ci-dessus constituent des suites numériques : ainsi, une suite numérique est une liste de nombres réels écrite dans un certain ordre. Le premier terme de la suite est son terme initial. Appelons a 0 (lire a zéro, ou a indice 0) le premier terme de la suite a ; appelons a 1 le deuxième terme, etc. Exercice. Pour n N, deviner, dans l exercice 1, une expression pour a n en fonction de n. À partir de là, déterminer une expression pour a n+1 et a n 1. Exercice 3. En adoptant les mêmes notations pour les suites b et c, déterminer, pour n entier naturel quelconque, une relation liant : les nombres b n+1 et b n ; les nombres c n+, c n+1 et c n. Définition : Une suite numérique u est une liste de nombre réels écrits dans un certain ordre. Ainsi, une suite u est une fonction de N vers R : elle associe à chaque entier naturel n l élément de la suite dont le rang est n. L image de l entier naturel n par u est notée u n et est appelé terme de rang n de la suite u. La suite u se note aussi (u n ). Attention! Ne pas confondre la suite (u n ) et son terme de rang n u n. La première désigne l algorithme de calcul de la suite et le second est un nombre (à voir comme la différence entre la fonction f et le nombre f(x)). Exercice 4. Déterminer si possible le terme de rang 0, puis le terme de rang 10, pour les suites : 1. (u n ), définie pour tout n par u n = 3n 10. (v n ), définie pour tout n par v n = n n 3. (w n ), définie pour tout n par w n = n+1 n Exercice 5. Considérons la suite (v n ) définie lorsque c est possible par v n = n. A partir de quel rang est-il possible de calculer le nombre v n? Ainsi, une suite (u n ) peut n être définie qu à partir d un certain rang n 0 (dans l exemple précédent, n 0 =...). Une telle suite se note (u n ) n n0. Nous verrons qu en général, on s intéresse aux valeurs prises par une suite lorsque n devient grand. Ainsi, la suite numérique (w n ) définie par w n = n+3 est définie pour n N {17}, mais le plus souvent, on ignorera les termes de rang n 17 0,1,...,16 pour ne s intéresser qu aux termes de rang strictement supérieurs à Définition explicite - Définition par récurrence Exercice 6. Une suite (u n ) peut être définie par une formule explicite qui donne la valeur de son terme de rang n, comme par exemple la suite des carrés des nombres entiers : pour tout n N, le terme de rang n de cette suite est n. Donner le terme de rang 5 de cette suite. Première ESL Suites : généralités, suites arithmétiques et géométriques Page 1

2 Considérons la suite suivante. 1. Son terme initial est 100. On passe d un terme au terme suivant en augmentant ce terme de 10 % et en ajoutant 0 au résultat. Donner les termes de rang 0, de rang 1, de rang. Que faudrait-il faire pour donner le terme de rang 0? Il existe deux façons de définir une suite numérique : 1. Définition explicite : pour n N, le n ème terme de la suite est donné en fonction de n uniquement. Par exemple, la suite (x n ) définie pour tout n par x n = n +n est définie de façon explicite. Pour déterminer la valeur x 10, il suffit de substituer à n l entier 10 et de faire les calculs.. Définition par récurrence : considérons la suite (u n ) telle que u 0 = 1 et pour tout n N, u n+1 = u n 3. La relation liant les termes u n+1 et u n est appelée relation de récurrence. Le calcul de u 1 se fait en remarquant que grâce à la relation de récurrence : u 1 = u 0 3 = 1 De même, etc. u = u 1 3 = Représentation graphique d une suite numérique On se place dans le plan muni d un repère et on considère une suite (u n ). 1. Suite définie de façon explicite : pour n N, le n ème terme de la suite est donné en fonction de n uniquement. La représentation graphique de la suite est constituée des points de coordonnées (n;u n ). Cette représentation graphique est constituée de points isolés les uns des autres dont l abscisse est un entier naturel. On obtient un nuage de points.. Suite définie par récurrence : soit la suite (u n ) telle que u 0 = 1 et pour tout n N, u n+1 = u n 3. Pour tout naturel n, on peut écrire u n+1 = f(u n ), où f est la fonction définie sur R par f(x) = x 3. Traçons dans un repère la droite d équation y = x et la courbe représentative de la fonction f. Plaçons sur l axe des abscisses le point A 0 (u 0 ;0) et procédons comme indiqué sur le schéma ci-dessous : A A 1 A 0 y = f(x) y = x On obtient sur l axe des abscisses une suite de points (A n ) dont l abscisse est le terme de rang n de la suite (u n ). Exercice 7. Représenter sur le schéma ci-dessus le point A 3 permettant de visualiser le réel u 3 sur l axe des abscisses. Première ESL Suites : généralités, suites arithmétiques et géométriques Page

3 Suites arithmétiques.1 Définitions Exercice 8. Considérons les premiers termes des suites suivantes : a. Suite (u n ) : 5 ; 8 ; 11 ; 14 ; 17 ;... b. Suite (v n ) : 10 ; 6 ; ; - ; - 6 ; Quelle est selon vous la valeur des deux termes suivants pour chacune de ces suites?. Indiquer une relation entre le terme de rang n et le terme de rang n+1 pour chacune de ces suites Calculer u n et v n. n=0 n=0 Définitions : Une suite arithmétique est une suite de nombres dans laquelle un terme est obtenu à partir du précédent en ajoutant toujours le même nombre r. Ce nombre r est appelé différence commune ou raison de la suite. Soit (u n ) une suite arithmétique de raison r : pour tout n, u n+1 u n = r. La suite des nombres entiers naturels : 0, 1,, 3,... est une suite arithmétique de raison... La suite des nombres entiers pairs : 0,, 4,... est une suite arithmétique de raison... POINT METHODE : Pour prouver qu une suite (u n ) n N est arithmétique, il faut donc prouver que, pour tout n N, u n+1 u n est constant, et cette constante obtenue est alors la raison de la suite. Exercice 9. Reprenons les suites (u n ) et (v n ) de l exercice précédent. Ce sont des suites (on dit aussi des progressions ) arithmétiques. 1. Donner la raison pour chacune de ces suites.. Donner sans démonstration la formule qui permet de calculer le n-ième terme de ces suites en fonction de n.. Formulation explicite d une suite arithmétique Propriété : L expression du n-ième terme d une suite arithmétique (u n ) est : où r est la raison. Plus généralement, quels que soient les rangs n et p : u n = u 0 +n r u n u p = (n p) r Les suites arithmétiques sont en fait des fonctions affines définies sur l ensemble N. Exercice Soit (w n ) la suite arithmétique de premier terme w 0 = 1 et de raison 1 3. Exprimer w n en fonction de n.. (s n ) est une suite arithmétique vérifiant s +s 3 +s 4 = 15 et s 6 = 0. Déterminer la raison et le terme s 1 de cette suite..3 Somme de termes consécutifs d une suite arithmétique Propriétés : Pour tout n N, n = n(n+1) Soit (u n ) une suite arithmétique, de raison r. n u k = n+1 (u 0 +rn) = n+1 (u 0 +u n ) Première ESL Suites : généralités, suites arithmétiques et géométriques Page 3

4 Exercice 11. Calculer les sommes : a. S = b. T = Suites géométriques Exercice 1. Eric possède un somme K 0 de 1500 euros qu il place sur un livret au taux annuel de rémunération de %. Il ne fait aucun retrait ni n ajoute d argent sur ce compte. L intérêt produit chaque année est pris en compte pour le calcul de l intérêt de l année suivante. 1. Calculer le capital K 1 obtenu (placement initial + intérêt produit) à la fin de la première année.. Calculer de même K. 3. Soit n N : par quelle relation simple passe-t-on de K n à K n+1? 4. Exprimer K n en fonction de n. 3.1 Définition Définition : Une suite géométrique est une suite de nombres dans laquelle on obtient un terme à partir du précédent en multipliant toujours par le même nombre r, appelé ratio commun ou raison de la suite géométrique. La raison r est indépendante de n. Soit (v n ) une suite géométrique de raison r 0 et de premier terme v 0 0. v n+1 Pour tout n, v n 0 et = r. v n POINT METHODE : Pour prouver qu une suite (v n ) n N est géométrique, il faut donc prouver que, pour tout n N, v n+1 v n est constant, et cette constante obtenue est alors la raison de la suite. Exercice 13. Soit la suite (b n ) définie pour tout entier n parb n = n+1 5 n 1. Montrer que cette suite est géométrique et préciser sa raison. 3. Formulation explicite d une suite géométrique Théorème : Soit (v n ) une suite géométrique de raison r. Alors, pour tout n N, Plus généralement, quels que soient les rangs n et p : v n = v 0 r n v n = v p r n p Exercice 14. (T n ) est une suite géométrique. Calculer T 15 sachant que T 1 = 6 et T 4 = Somme de termes consécutifs d une suite géométrique Propriété : Soit (v n ) une suite géométrique de raison r 1 : Par convention, r 0 = 1. n v k = v 0 1 r n+1 1 r Exercice 15. Calculer : F = G = Première ESL Suites : généralités, suites arithmétiques et géométriques Page 4

5 n Exercice 16. Que vaut v k si r = 1? 4 Variations Les termes de la suite 1 ; 3 ; 4 ; 7 ; vont en augmentant. Les termes de la suite 1 ; 1 ; 1 4 ; 1 vont en diminuant. 8 Définitions : Une suite (u n ) est : croissante à partir du rang n 0 si pour tout n n 0, u n+1 u n. décroissante à partir du rang n 0 si pour tout n n 0, u n+1 u n. constante à partir du rang n 0 si pour tout n n 0, u n+1 = u n. Remarques 1. On dit qu une suite est monotone pour signifier qu elle est soit croissante, soit décroissante. Étudier la monotonie d une suite, c est étudier ses variations.. On définit la notion de suite strictement croissante ou décroissante en remplaçant le symbole par <. Exercice 17. Etudier les variations des suites suivantes : 1. Suite a : pour tout n N, a n = n n.. Suite b : pour tout n N, b n = n. 3. Suite c : pour tout n N, c n = 1 1 n. Exercice 18. Soit (d n ) la suite définie par d 0 = et pour tout entier naturel n, d n+1 = d n +. Que dire de (d n )? Exercice 19. Soit une suite arithmétique de raison d. Cette suite est-elle croissante ou décroissante? Expliquer. Exercice 0. Soit une une suite géométrique de raison q, q > 0. Cette suite est-elle croissante ou décroissante? Expliquer. Première ESL Suites : généralités, suites arithmétiques et géométriques Page 5