UNITÉS ET MESURES AIRES OU SURFACES. Dossier n 4 Juin Conçu et réalisé par : Marie-Christine LIEFOOGHE Bruno VANBAELINGHEM Annie VANDERSTRAELE

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1 UNITÉS ET MESURES AIRES OU SURFACES Dossier n 4 Juin 005 Tous droits réservés au réseau AGRIMÉDIA Conçu et réalisé par : Marie-Christine LIEFOOGHE Bruno VANBAELINGHEM Annie VANDERSTRAELE

2 C. D. R. UNITÉS ET MESURES AGRIMEDIA Aires ou surfaces Apprentissage Objectifs : - Calculer les aires des figures géométriques usuelles à l'aide des formules Sommaire : - Notion d'aire et de surface - Calculs d'aires - Problèmes et corrections Matériel nécessaire : - Une règle graduée - Une calculatrice UNITÉS ET MESURES - Aires ou surfaces - Dossier n 4 1

3 SURFACES et AIRES Chapitre 1 Voici deux figures géométriques : Comparons-les. Elles n'ont pas la même forme : on dira que leurs SURFACES sont différentes. Pourtant elles sont composées de 6 carrés identiques : on dira qu'elles ont la même AIRE. C'est comme moi, tout le monde m'appelle "MÉMÈRE" Définition : on appelle AIRE la mesure d'une surface Remarque : les mots "AIRE", "SURFACE" et "SUPERFICIE" sont souvent utilisés l'un à la place de l'autre. UNITÉS ET MESURES - Aires ou surfaces - Dossier n 4

4 Exemple : Si ce carré représente une unité d'aire, alors la figure tracée ci-dessus a une aire de 13 unités puisqu'elle est composée de 13 carrés unités identiques. Maintenant à vous! Quelle est l'aire de chacune des figures suivantes? Voir réponses page suivante UNITÉS ET MESURES - Aires ou surfaces - Dossier n 4 3

5 RÉPONSES Cette figure est composée de 1 carrés unités. Son aire est donc de 1 unités. Cette figure est composée de 35 carrés unités. Son aire est donc de 35 unités. Cette figure est composée de 9 carrés unités et de 5 moitiés de carrés unités. Son aire est donc : 9 +,5 = 11,5 soit 11,5 unités. Très bien! Passons à la suite. UNITÉS ET MESURES - Aires ou surfaces - Dossier n 4 4

6 CALCULS D'AIRES Chapitre Lorsqu'il s'agit de calculer les aires de figures géométriques usuelles, telles que le carré, le rectangle, le triangle il est plus rapide d'utiliser une formule. Figure géométrique Formule de calcul Exemple CARRÉ 3 Aire = côté x côté Aire = côté x côté Aire = 3 x 3 = 9 côté L'aire de ce carré est : 9 unités RECTANGLE largeur Longueur Aire = Longueur x largeur l = Aire = L x l Aire = 3 x = 6 L = 3 L'aire de ce rectangle est : 6 unités TRIANGLE hauteur base x hauteur Aire = base x hauteur Aire = 3 x Aire = = 3 base 3 L'aire de ce triangle est : 3 unités DISQUE Aire = π x rayon x rayon rayon Aire = π x rayon x rayon Aire = π x rayon 1, Aire = π x 1, x 1, Aire 4,5 L'aire de ce disque est : 4,5 unités TRAPÈZE petite base hauteur petite base + grande base Aire = x hauteur 1 (1+ 4) Aire = x = 5 grande base 4 L'aire de ce trapèze est : 5 unités UNITÉS ET MESURES - Aires ou surfaces - Dossier n 4 5

7 Exercice 1 : Maintenant à vous! Calculez les aires des figures suivantes (elles ne sont pas à l'échelle) : Figure géométrique Calcul de l'aire (ou de la surface) 13 m 7 m rayon = 8,5 m 9,8 cm 6,1 cm 18 mm 7 mm mm Voir réponses page suivante UNITÉS ET MESURES - Aires ou surfaces - Dossier n 4 6

8 RÉPONSES Calculez les aires des figures suivantes (elles ne sont pas à l'échelle) : Figure géométrique Calcul de l'aire (ou de la surface) 13 m Aire = Longueur x largeur Aire = 7 x 13 Aire = m L'aire de ce rectangle est : 351 m rayon = 8,5 m Aire = π x rayon x rayon Aire = π x 8,5 x 8,5 7 L'aire de ce disque est : 7 m 9,8 cm base x hauteur Aire = 6,1 cm 9,8 x 6,1 Aire = = 9,89 L'aire de ce triangle est : 9,89 cm 18 mm 7 mm petite base + grande base Aire = x hauteur (18 + 7) Aire = x = 990 L'aire de ce trapèze est : 990 mm mm UNITÉS ET MESURES - Aires ou surfaces - Dossier n 4 7

9 Exercice : 1) Quelle est l'aire d'une porte rectangulaire de mètres de haut et de 0,93 mètre de large? ) Quelle est l'aire d'une vitre carrée de 1, mètre de côté? 3) Quelle est l'aire d'un massif circulaire de 3 mètres de diamètre? 4) Quelle est l'aire d'un champ en forme de trapèze de bases 10 m et 150 m et de hauteur 75 m? 5) Quelle est l'aire d'un panneau de signalisation triangulaire ayant 60 cm de base et 5 cm de hauteur? Voir réponses page suivante UNITÉS ET MESURES - Aires ou surfaces - Dossier n 4 8

10 RÉPONSES 1) Quelle est l'aire d'une porte rectangulaire de mètres de haut et de 0,93 mètre de large? L'aire de cette porte est : x 0,93 = 1,86 soit 1,86 m L'aire de cette porte est : 1,86 m ) Quelle est l'aire d'une vitre carrée de 1, mètre de côté? L'aire de cette vitre est : 1, x 1, = 1,44 soit 1,44 m L'aire de cette vitre est : 1,44 m 3) Quelle est l'aire d'un massif circulaire de 3 mètres de diamètre? Le rayon de ce massif est la moitié de son diamètre soit 1,5 m L'aire de ce massif est : π x 1,5 x 1,5 7,07 soit 7,07 m L'aire de ce massif est : 7,07 m 4) Quelle est l'aire d'un champ en forme de trapèze de bases 10 m et 150 m et de hauteur 75 m? L'aire de ce champ est : ( ) x 75 = soit m L'aire de ce champ est : m 5) Quelle est l'aire d'un panneau de signalisation triangulaire ayant 60 cm de base et 5 cm de hauteur? L'aire de ce panneau est : 60 x 5 = soit cm L'aire de ce panneau est : cm UNITÉS ET MESURES - Aires ou surfaces - Dossier n 4 9

11 PROBLÈMES 1) Une pelouse carrée de 5 mètres de côté est traversée, en son milieu, par deux allées pavées perpendiculaires de 1, mètre de large (voir schéma). Calculez l'aire de la pelouse à tondre puis l'aire des allées. ) Un bassin circulaire de 3 mètres de rayon est entouré d'une allée en gravier de largeur 1,5 mètre. Quelle est l'aire de l'allée? Allée Aide : calculer l'aire totale (bassin + allée), ensuite calculer l'aire du bassin et enfin calculer la différence entre les deux. Bassin Voir réponses page 1 UNITÉS ET MESURES - Aires ou surfaces - Dossier n 4 10

12 3) La nouvelle ligne du T.G.V. (Train à Grande Vitesse) va traverser un champ rectangulaire de 600 mètres de long sur 360 mètres de large (voir schéma). Quelle était l'aire cultivable avant la construction de la ligne? Quelle sera l'aire cultivable après la construction de la ligne? 15 m 195 m 4) Une porte cochère a la forme d'un carré surmonté d'un demi disque. Sa hauteur totale est 4,5 mètres et sa largeur 3 mètres (voir schéma). Sachant que chaque ouverture grillagée mesure 30 cm de diamètre, quelle est la surface à vernir? Voir réponses pages 13 et 14 UNITÉS ET MESURES - Aires ou surfaces - Dossier n 4 11

13 RÉPONSES 1) Une pelouse carrée de 5 mètres de côté est traversée, en son milieu, par deux allées pavées perpendiculaires de 1, mètre de large (voir schéma). Calculez l'aire de la pelouse à tondre puis l'aire des allées. Il y a plusieurs façons de résoudre cet exercice, nous vous en proposons une. La pelouse à tondre est formée de 4 carrés égaux. Calculons le côté d'un de ces carrés : 5-1, = 11,9 soit 11,9 mètres L'aire d'un carré est : 11,9 x 11,9 = 141,61 soit 141,61 m L'aire de la pelouse à tondre est donc : 141,61 x 4 = 566,44 soit 566,44 m L'aire totale du terrain carré est : 5 x 5 = 65 soit 65 m L'aire des allées est donc : ,44 = 58,56 soit 58,56 m L'aire de la pelouse à tondre est 566,44 m et l'aire des allées est 58,56 m ) Un bassin circulaire de 3 mètres de rayon est entouré d'une allée en gravier de largeur 1,5 mètre. Quelle est l'aire de l'allée? L'aire totale (bassin + allée) est : π x 4,5 x 4,5 = 63,6 soit 63,6 m L'aire du bassin est : 3 mètres π x 3 x 3 = 8,7 soit 8,7 m L'aire de l'allée est donc : 63,6-8,7 = 35,35 soit 35,35 m L'aire de l'allée est 35,35 m UNITÉS ET MESURES - Aires ou surfaces - Dossier n 4 1

14 3) La nouvelle ligne du T.G.V. (Train à Grande Vitesse) va traverser un champ rectangulaire de 600 mètres de long sur 360 mètres de large (voir schéma). Quelle était l'aire cultivable avant la construction de la ligne? Quelle sera l'aire cultivable après la construction de la ligne? Hauteur du triangle Triangle base 15 m Trapèze 195 m Hauteur du trapèze Avant la construction de la ligne TGV, l'aire cultivable était l'aire du rectangle. Soit : 600 x 360 = ou encore : m Après la construction de la ligne TGV, le terrain cultivable est formé d'un triangle et d'un trapèze. Les dimensions du triangle sont : base = soit 150 m hauteur = 600 m 150 x 600 L'aire de ce triangle est : = soit : m Les dimensions du trapèze sont : petite base = 195 m grande base = soit 345 m hauteur = 600 m ( ) L'aire de ce trapèze est : x 600 = soit : m Après la construction de la ligne TGV, l'aire cultivable sera : = soit m Avant la construction de la ligne TGV, l'aire cultivable était : m Après la construction de cette ligne, l'aire cultivable devient : m UNITÉS ET MESURES - Aires ou surfaces - Dossier n 4 13

15 4) Une porte cochère a la forme d'un carré surmonté d'un demi disque. Sa hauteur totale est 4,5 mètres et sa largeur 3 mètres (voir schéma). Sachant que chaque ouverture grillagée mesure 30 cm de diamètre, quelle est la surface à vernir? 1,5 m 30 cm 3 m 3 m L'aire du carré est : 3 x 3 = 9 soit 9 m Le rayon du demi disque est : 4,5-3 = 1,5 soit 1,5 m π x 1,5 x 1,5 L'aire du demi disque est : = 3,53 soit 3,53 m Le rayon de chaque ouverture grillagée est : 15 cm soit 0,15 m L'aire d'une ouverture grillagée est : π x 0,15 x 0,15 = 0,07 soit 0,07 m La surface à vernir est : 9 + 3,53 - ( x 0,07) = 1,39 soit 1,39 m La surface à vernir est 1,39 m Fin UNITÉS ET MESURES - Aires ou surfaces - Dossier n 4 14