Intégration et primitives

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1 DERNIÈRE IMPRESSIN LE 8 mrs 24 à 4:2 Itégrtio et primitives Tle des mtières Notio d itégrle 2. Défiitio Exemple de clcul d itégrle : l qudrture de l prole Itégrle d ue foctio cotiue positive Défiitio ciémtique de l itégrle Primitive 6 2. Théorème fodmetl Défiitio Primitive vérifit ue coditio iitile Existece de primitives Primitive des foctios élémetires Règles d itégrtios Exemples de clcul de primitives Itégrle d ue foctio cotiue 3. Clcul à prtir d ue primitive Itégrle et ire Propriétés lgériques de l itégrle Itégrles et iéglités Vleur moyee Clcul du volume d u solide 5 4. Présettio d ue méthode de clcul Clcul du volume d ue sphère Volume d u côe PAUL MILAN TERMINALE S

2 NTIN D INTÉGRALE Notio d itégrle Le ut de l itégrtio est de clculer l surfce délimitée pr ue coure et l xe des scisses.. Défiitio Défiitio : Soit f ue foctio cotiue et positive sur u itervlle [ ;]. Soit C f s coure représettive. Le pl est mui d u repère orthogol (, I, J). ppelle Uité d ire (u..) : l ire du rectgle âti à prtir des poits, I et J. Domie sous l coure : domie délimité pr l coure C f, l xe des scisses, et les droites d équtio x = et x = ( ). Ce domie est l esemle des poit M(x; y) du pl tels que : x et y f(x) Itégrle de f sur [ ;] : l mesure de l ire e u.. du domie situé sous l coure C f. l ote : f(x) dx J u. I C f f(x) dx Remrque : f(x)dx se lit : «somme ou itégrle de à de f(x)dx». L vrile "x" est ue vrile muette, c est à dire qu elle est plus présete lorsque le clcul est effectué. L vrile x peut être remplcée pr : t, u, ou toute utre lettre à l exceptio de et. Exemple : doe l représettio suivte d ue foctio f sur [ 2 ;3] isi que les mesures : I = 2 cm et J = 3 cm. Clculer : 2 J L uité d ire. 3 f(x) dx puis l ire e cm I 2 3 L uité d ire vut : 2 3 = 6 cm 2 Pour clculer l itégrle, il fut clculer l ire sous l coure e uité d ire soit le omre de rectgles. Il y 7 rectgles pleis u demi rectgle e hut à PAUL MILAN 2 TERMINALE S

3 .2 EXEMPLE DE CALCUL D INTÉGRALE : LA QUADRATURE DE LA PARABLE guche et u trigle e hut à droite de côté respectifs 2 et soit 2 2 = rectgle. e déduit doc : 3 f(x) dx = 8, 5 et A = 8, 5 6 = 5 cm Exemple de clcul d itégrle : l qudrture de l prole Le prolème : Clculer l itégrle de l foctio crrée f sur [; ]. Il s git doc de clculer l ire A sous l prole ds l itervlle [ ;]. L idée de Riem est d ecdrer cette ire pr deux séries de [ rectgles. ] divise l itervlle [ ;] e prties. Sur chque petit itervlle i, i+, o détermie l vleur miimle et mximle de l foctio ( crrée. ) Comme cette foctio est ) i croisste sur [ ;], l vleur miimle est f et l vleur mximle f otiet lors ces deux séries de rectgles comme l figure ci-dessous : ( i+. Suite T Suite S ( ) i+ f f ( ) i 2... i i+ = défiit deux suites vec f(x) = x 2 : L suite (S ) des rectgles hchurés dot l ire est S : ( ) 2 S = ( ) ( ) = ( ) 2 3 L suite (T ) des rectgles leus dot l ire est T : T = ( ) 2 + = ( ) L ire sous l coure A vérifie doc : = S + ( ) 3 2 ( ) S A T PAUL MILAN 3 TERMINALE S

4 NTIN D INTÉGRALE Algorithme : Clculer à l ide d u lgorithme les vleurs de S et T lorsque = 5,, 2,, Progrmme clssique pour détermier les termes d ue suite défiie pr ue somme. otiet lors les résultts suivts à 4 près : S T 5, 24, 44, 285, 385 2, 388, 3588, 3284, 3384, 3328, 3338 Vriles N, I, S, T Algorithme Lire N S Pour I vrit de à N S+ I2 N 3 S FiPour S+ N T Afficher S et T costte que les deux suites semlet coverger vers l même limite : S T, 333 Remrque : D près le tleu de vleurs, o peut cojecturer que l suite (S ) est croisste et l suite(t ) est décroisste. De plus leur différece T S = ted vers. dit lors que les suites sot djcetes. Démostrtio : Motros que ces deux suites coverget vers l même limite. peut motrer pr récurrece que l somme des crrés est égle à : = (+)(2+) 6 E ppliqut cette formule à l ordre, o otiet : ( ) 2 = ( )[2( )+] 6 E ppliqut cette reltio ux suites S et T, o otiet : S = ( )(2 ) 6 3 = = ( )(2 ) 6 : T = (+)(2+) 6 3 = lim = et lim = e déduit pr dditio : lim + S = 3 et lim + T = 3 Comme les deux suites ecdret A, o : A = 3 u.. et doc x 2 dx = 3 Clculette TI 82 : Pour clculer l vleur excte de cette itégrle fire (ds le meu mth) foctitégr(x 2, X,, ) Frc o retrouve /3 PAUL MILAN 4 TERMINALE S

5 .3 INTÉGRALE D UNE FNCTIN CNTINUE PSITIVE.3 Itégrle d ue foctio cotiue positive géérlise cet ecdremet à ue foctio f quelcoque cotiue et positive. divise l itervlle[; ] e prties égles. Sur chque petit itervlle, o détermie l vleur miimle et mximle de l foctio f. L ire sous l coure est lors ecdrée pr deux suites correspodtes à l ire des rectgles hchurée et l ire des rectgles leus. Ces deux suites coverget vers l même limite qui correspod à l itégrle de f sur [; ] (théorème dmis) comme le motre l figure ci-dessous. Les suites (S ) et (T ) coverget vers ue même limite A Suite T Suite S doc : f(x) dx = A C f Remrque : Le symole dx ds l itégrle est ue ottio différetielle qui symolise ue très petite distce et représete l lrgeur de chque petit rectgle. f(x) dx représete l ire d u rectgle et le symole devt sigifie que l o fit l somme des ires de chque petit rectgle. Exemple : Clculer l itégrle suivte : x 2 dx. Le cercle de cetre et de ryo pour équtio : x 2 + y 2 =. e déduit lors que le demi-cercle de cetre et de ryo pour y pour équtio y = x 2. e déduit que l itégrle est l ire du demi-disque de ryo soit π 2. C f x 2 dx Coclusio : x 2 dx = π 2.4 Défiitio ciémtique de l itégrle doé jusqu ici ue défiitio géométrique de l itégrle, o peut ussi doer ue défiitio ciémtique de l itégrle. Pour u moile se déplçt sur ue trjectoire à l vitesse v(t) positive ou ulle, l distce d prcourue pr le moile etre les istts t et t 2 s exprime pr : d = t2 t v(t)dt PAUL MILAN 5 TERMINALE S

6 2 PRIMITIVE 2 Primitive 2. Théorème fodmetl Théorème : Soit ue foctio f cotiue et positive sur u itervlle [; ]. L foctio F défiie pr : F(x) = x f(t) dt est dérivle sur [; ] et F = f RC Démostrtio : Ds le cs où f est croisste sur [; ] ( dmet ce théorème ds le cs géérl). reviet à l défiitio de l dérivée, il fut motrer que si x [; ] : er cs : h >, o : F(x + h) F(x ) = F(x + h) F(x ) lim h h x +h (pr soustrctio d ire). f(t) dt x = f(x ) f(t) dt = x +h x f(t) dt = A sit que f est croisste sur [; ], doc si t [x ; x + h], o : f(x ) f(t) f(x + h) doc e ecdrt l ire A A pr le rectgle miort (hchuré) et le rectgle mjort (leu) l ire ( e leu), o : x x +h f(x ) h A f(x + h) h f(x ) A h f(x +h) f(x ) F(x +h) F(x ) h f(x + h) 2 e cs : h <, o motre de même que : f(x + h) F(x +h) F(x ) h f(x ) Coclusio : o sit que f est cotiue sur [; ], doc D près le théorème des gedrmes, o : 2.2 Défiitio F(x + h) F(x ) lim h h lim f(x + h) = f(x ) h = f(x ) Défiitio 2 : f est ue foctio défiie sur u itervlle I. dit que f dmet ue primitive sur I si, et seulemet si, il existe ue foctio F dérivle sur I telle que : x I F (x) = f(x) PAUL MILAN 6 TERMINALE S

7 2.3 PRIMITIVE VÉRIFIANT UNE CNDITIN INITIALE Exemples : ) Soit l foctio f défiie sur R pr f(x) = 2x. Détermier ue primitive de f. F dérivle sur R et défiie pr F(x) = x 2 est ue primitive de f cr : x R F (x) = 2x 2) Motrer que l foctio F défiie sur ];+ [ pr F(x) = x(l x ) est ue primitive de l foctio f défiie sur ]; + [ pr f(x) = l x. F est dérivle sur ];+ [ cr somme et produit de foctios dérivles sur ];+ [. : F (x) = l x + x x = l x F est doc ue primitive de f sur ]; + [. Théorème 2 : Soit ue foctio f dmettt ue primitive F sur I, lors toute primitive G de f est de l forme : x I G(x) = F(x)+k k R Démostrtio : Soit l foctio G ue foctio défiie sur I pr : G(x) = F(x)+k G est mifestemet dérivle sur I cr somme de foctios dérivles sur I. : G (x) = F (x) = f(x) G est doc ue primitive de f sur I. Réciproquemet si G est ue primitive de f sur I, lors o : x I (F G) (x) = F (x) G (x) = f(x) f(x) = Si l dérivée de Doc : (F G) est ulle lors (F G) est ue foctio costte. x I G(x) = F(x)+k k R Exemple : Si l foctio F défiie sur R pr F(x) = x 2 est ue primitive de l foctio f défiie sur R pr f(x) = 2x lors l foctio G défiie sur R pr G(x) = x est ussi ue primitive de f sur R. 2.3 Primitive vérifit ue coditio iitile Théorème 3 : Soit f ue foctio dmettt ue primitive sur u itervlle I. Soit x I et y R. Il existe ue uique primitive F de f sur I tel que : F(x ) = y PAUL MILAN 7 TERMINALE S

8 2 PRIMITIVE Démostrtio : Soit F et G deux primitives de f sur I. doc : F(x) = G(x)+k si o impose F(x ) = y lors il existe u uique k tel que k = y G(x ) Exemple : Détermier l primitive F de f(x) = 2x tel que F(2) = 3. F est ue primitive de f doc : F(x) = x 2 + k F(2) = 4+k lors k = F(2) 4 = 3 4 = doc F(x) = x 2. PAUL MILAN 8 TERMINALE S

9 2.4 EXISTENCE DE PRIMITIVES 2.4 Existece de primitives Théorème 4 : Toute foctio cotiue sur u itervlle I dmet des primitives sur I. RC Démostrtio : Uiquemet ds le cs où l foctio f est cotiue sur u itervlle fermé [; ]. f dmet doc u miimum m. cosidère l foctio g telle que : g(x) = f(x) m g est cotiue (cr somme de foctios cotiues) et positive sur [; ]. D près le théorème fodmetl, l foctio G défiie ci-dessous est ue primitive de g sur [; ]. G(x) = x g(t) dt L foctio F défiie sur [; ] pr : F(x) = G(x)+mx est lors ue primitive de f cr : F (x) = G (x)+m = f(x) m+m = f(x) Remrque : dmet ce théorème ds le cs géérl. x f(t) dt est l primitive de f qui s ule e 2.5 Primitive des foctios élémetires Pr lecture iverse du tleu des dérivées, o otiet le tleu des primitives suivtes e pret comme costte d itégrtio k = : Foctio Primitive Itervlle f(x) = F(x) = x R f(x) = x f(x) = x f(x) = x F(x) = x2 2 F(x) = x+ + F(x) = l x R R ];+ [ f(x) = x = F(x) = ( )x ] ; [ ou ];+ [ f(x) = x F(x) = 2 x R + f(x) = si x F(x) = cos x R f(x) = cos x F(x) = si x R f(x) = e x F(x) = e x R PAUL MILAN 9 TERMINALE S

10 2 PRIMITIVE Exemples : Quelques exemples d pplictio du tleu : ) Sur R, f(x) = x 4 lors F(x) = x5 5 2) Sur R +, f(x) = x 3 lors F(x) = 2x 2 pourrit ussi cosidérer que f(x) = x 3, e ppliqut l formule de l foctio puissce, o otiedrit : F(x) = x 2 2 = 2x Règles d itégrtios D près les règles de dérivtio, o déduit les règles suivtes e pret comme costte d itégrtio k = : Primitive de l somme (u+v) = u+ v Primitive du produit pr u sclire (u) = u Primitive de u u u u = u+ + Primitive de Primitive de Primitive de u u u u = u u u = l u u = ( )u u u = 2 u u u Primitive de u e u u e u = e u Primitive de u(x + ) u(x+) = U(x+) 2.7 Exemples de clcul de primitives Bie dpter le coefficiet lorsque cel est écessire pour oteir ue forme doée Polyôme : f(x) = x 3 2x 2 + 4x, lors F(x) = 4 x4 2 3 x3 + 2x 2 x Forme u u : f(x) = 2x(x 2 ) 3, lors F(x) = (x2 ) 4 4 f(x) = (3x ) 4 = [ 3(3x ) 4 ], lors F(x) = (3x ) = (3x )5 5 PAUL MILAN TERMINALE S

11 Forme u u : f(x) = 2 2x 3 f(x) = 4x+ = 4 [, lors F(x) = l 2x 3 4 4x+ Forme u u : f(x) = x+ (x 2 + 2x 3) 2 = 2 F(x) = Forme u u : f(x) = f(x) = 3 2x+ = 3 2 2(x 2 + 2x 3) ], lors F(x) = 4 l 4x+ [ ] 2x+2 (x 2 + 2x 3) 2, lors x+4 lors F(x) = 2 x+4 [ 2 ], lors F(x) = 3 2x x+ = 3 2x+ Forme u e u : f(x) = e 4x+ = [ 4e 4x+ ], lors F(x) = 4 4 e4x+ f(x) = xe x2 +3 = [ ] 2xe x2 +3, lors F(x) = 2 2 e x2 +3 Remrque : Trouver ue primitive est ps toujours chose fcile. Des mipultios plus sophistiquées (pr exemple pour les foctios rtioelles ou les foctios possédt des rdicux) sot prfois ecessires pour détermier ue primitive (cf complémets sur l itégrtio). Prfois l primitive e correspod à ucue foctio coue, elle est lors uiquemet défiie pr ue itégrle (pr exemple l primitive de e x2 ) Cotriremet à l dérivtio qui est toujours possile, l recherche de primitive s vère doc prfois impossile!! 3 Itégrle d ue foctio cotiue 3. Clcul à prtir d ue primitive éted l vlidité du théorème fodmetl ux foctios cotiues de siges quelcoques. Théorème 5 : f est ue foctio cotiue sur u itervlle I. F est ue primitive quelcoque de f sur I, lors pour tous réels et de I o : f(x)dx = [F(x)] = F() F() Démostrtio : Si l foctio f est cotiue sur I lors f dmet ue primitive G sur I qui s ule e. lors pour tous réels et de I : G(x) = x f(t)dt o lors : f(x)dx = G() PAUL MILAN TERMINALE S

12 3 INTÉGRALE D UNE FNCTIN CNTINUE Soit F ue primitive quelcoque de f sur I, lors il existe u réel k tel que : F(x) = G(x)+k otiet lors : F() = k et G() = F() k = F() F(). Coclusio : Exemples : f(x)dx = F() F(). ) Clculer l itégrle suivte : 2 2 (x 2 4x+3)dx [ x (x 2 3 4x+3)dx = 3 2x2 + 3x ( ) 8 = ( 3 ) ] 2 = = 6 3x 2) Clculer l itégrle : (x 2 + ) 2 dx 2 3x (x 2 + ) 2 dx = 3 2 2x 2 (x 2 + ) 2 dx = 3 [ ] 2 2 x 2 = 3 ( 5 ) = Itégrle et ire Propriété : Reltio etre ire et itégrle Soit f ue foctio cotiue sur u itervlle [; ] telle que f. Soit A l ire délimitée pr l coure, l xe des scisses et les droites x = et x =. lors : A = f(x) dx Soiet deux foctios f et g cotiues sur [; ] telles que f g. Soit D l ire comprise etre les deux coures et les droites x = et x =. lors : A D C f C f D = ( f g)(x) dx C g Démostrtio : L première propriété se motre fcilemet pr symétrie vec l xe des scisses. L deuxième propriété est directemet liée à l soustrctio de deux ires. Exemple : Trouver l ire comprise etre l prole d équtio y = x 2 et l droite y = x etre les scisses x = et x = PAUL MILAN 2 TERMINALE S

13 3.3 PRPRIÉTÉS ALGÉBRIQUES DE L INTÉGRALE lors comme l prole est e dessous de l droite : A = = (x x 2 )dx [ 2 x2 3 x3 = 2 3 = 6 ] 3.3 Propriétés lgériques de l itégrle Propriété 2 : Soit f ue foctio cotiue sur u itervlle I lors : ) I o : 2), I o : 3) Reltio de Chsles,, c I o : f(x)dx = c f(x)dx = f(x)dx f(x)dx = f(x)dx+ c f(x)dx Démostrtio : Ces propriétés découlet imméditemet du clcul à prtir de l primitive F de f. Pr exemple pour l reltio de Chsles : c c f(x)dx+ f(x)dx = F() F()+ F(c) F() = F(c) F() = f(x)dx Remrque : Si ue foctio est pire, lors d près l reltio de Chsles, o : f(x)dx = f(x)dx+ f(x)dx = f(x)dx+ f(x)dx = 2 Si ue foctio est impire, lors d près l reltio de Chsles, o : f(x)dx f(x)dx = f(x)dx+ f(x)dx = f(x)dx+ f(x)dx = Théorème 6 : Liérité de l itégrle Soit f et g deux foctios cotiues sur u itervlle I cotet et, lors pour tous les réels α et β, o : (α f + βg)(x)dx = α f(x)dx+β g(x)dx Démostrtio : idem, cel découle imméditemet des primitives F et G des foctio f et g. PAUL MILAN 3 TERMINALE S

14 3 INTÉGRALE D UNE FNCTIN CNTINUE Exemple : f et g sot deux foctios cotiues sur [, ] telles que : f(x)dx = 3 et g(x)dx = 2 (5 f 3g)(x)dx = 5 f(x)dx 3 g(x)dx = = Itégrles et iéglités Théorème 7 : Soit f et g deux foctios cotiues sur u itervlle [; ]. ) Positivité Si f sur [; ] lors : 2) Itégrtio d ue iéglité Si f g sur [; ] lors : 3) Iéglité de l moyee f(x)dx f(x)dx g(x)dx Si x [; ], m f(x) M lors m( ) f(x)dx M( ) Démostrtio : ) Immédit cr si l foctio est positive sur [, ], l itégrle f(x)dx représete l ire sous l coure, doc l qutité est positive. 2) Si f g lors o : f g doc d près le ), o : D près l liérité de l itégrle, o : ( f g)(x)dx. ( f g)(x)dx = f(x)dx g(x)dx e déduit doc que f(x)dx g(x)dx 3) De l ecdremet de l foctio f, d près le 2), o e déduit : m dx [ mx m f(x) M ] m( ) f(x) dx f(x) dx [ Mx M dx ] f(x) dx M( ) Exemple : Ecdremet de l itégrle suivte : I = 9 + x dx. PAUL MILAN 4 TERMINALE S

15 3.5 VALEUR MYENNE ecdre l foctio f sur [; 9] : x 9 x x x 2 pplique esuite l iéglité de l moyee : 9 4 (9 ) + x dx 2 (9 ) x dx 4 2 I Vleur moyee Théorème 8 : Soit ue foctio f cotiue sur u itervlle [; ]. L vleur moyee de l foctio f sur [; ] est le réel µ défii pr : Remrque : µ = f(x)dx Cette défiitio est l géérlistio de l moyee d ue série sttistique : x = N x i i= Ciémtique. peut doc doer l défiitio de l vitesse moyee V d u moile etre les istts t et t 2 dot l vitesse isttée est v(t) : Iterpréttio grphique : V = t 2 t t2 t v(t)dt Soit f ue foctio cotiue et positive sur [; ], lors : A = f(x)dx = µ( ) µ A = µ( ) L ire A est égle à l ire du rectgle rouge sur l figure ci-cotre Exemple : Clculer l vleur moyee µ de l foctio sius sur [; π]. µ = π si x dx = [ ] π cos x π π = π (+) = 2 π 4 Clcul du volume d u solide 4. Présettio d ue méthode de clcul Ue méthode pour détermier le volume d u solide, cosiste à découper celuici pr des pls prllèles. itègre esuite les surfces oteues pr ce découpge suivt l xe orml à ces pls. PAUL MILAN 5 TERMINALE S

16 4 CALCUL DU VLUME D UN SLIDE s itéresser uiquemet u volume de solide de révolutio. Solide de révolutio : solide egedrée pr ue surfce de révolutio Surfce de révolutio : surfce egedrée pr ue coure (directrice) tourt utour d u xe. Si l xe (z) est l xe de révolutio, le volume V du solide de révolutio est égl à : V = S(z) dz = π r 2 (z) dz z S(z) r(z) dz 4.2 Clcul du volume d ue sphère Compte teu de l symétrie de l sphère, o clcule le volume d ue demi-sphère qu o multiplier esuite pr 2. découpe isi l demi-sphère vec des pl perpediculires à l xe (z). Les surfces oteues sot lors des cercles de ryo r(z). L surfce de ces cercles S(z) vut : S(z) = π r 2 (z) x z R N r(z) R M y Il reste doc à détermier le ryo r(z) e foctio de z à l ide du théorème de Pythgore ds le trigle MN rectgle e N(,, z) : r 2 (z) = R 2 z 2 otiet lors le demi volume de l sphère : R R 2 V = S(z)dz = π(r 2 z 2 )dz = π ] R [R 2 z z3 = π 3 ) (R 3 R3 = πr3 e déduit lors le volume de l sphère que tout le mode ppris : V = 4 3 πr3 4.3 Volume d u côe découpe le côe d xe (z) vec des pls perpediculires à l xe (z). Les surfces oteues sot lors des cercles de ryo r(z). Il reste doc à détermier le ryo r(z) e foctio de z à l ide du théorème de Thlès ds les trigles : BB et AA, o vec A(,, z) : A B = AA BB z h = r(z) R r(z) = Rz h PAUL MILAN 6 TERMINALE S

17 4.3 VLUME D UN CÔNE otiet isi le volume du côe : z V = h π r 2 (z) dz = h π R2 z 2 dz h 2 B R B = πr2 h 2 = πr2 h 2 h [ z 2 dz = πr2 z 3 h 2 3 ( h 3) = 3 3 πr2 h ] h r(z) A A h retrouve isi le volume du côe que tout le mode coît : V = 3 πr2 h y x PAUL MILAN 7 TERMINALE S