Introduction - p. 2/42. - p. 1/42. Introduction. Le problème. Exemple. Spline Cubique. Introduction - p. 4/42. Introduction. Le problème.

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1 Interpolation VIET HUNG NGUYEN - FABIEN RICO HungNguyen@lip6fr EPU Pierre et Marie Curie - Sicence de la Terre - p /42 - p 2/42 L interpolation sert à transformer un ensemble de points en une courbe Ensemble discret fonction continue Soit une fonction f que l on connaît sur un petit nombre de points C est à dire que l on connaît les valeurs a < a < < a n et f, f, f n telles que : i {,,, n} f i = f(a i ) Synthèse d images (dessin vectoriel) Fonts Étude mathématique d un ensemble de valeurs Prévisions On souhaite mieux connaître f, calculer f(x) sur un grand nombre de points connaître des propriétés mathématiques de f (par ex l intégrale) Mais on ne connaît pas f explicitement échantillonage, fonction calculée par un code dont l exécution est coûteuse Il faut «représenter» f par une fonction simple Comment choisir cette fonction? - p 3/42 - p 4/42 Soit g la fonction qui «représente» f g doit être proche de f c est à dire : coïncider avec f sur les points a i (i= n) polynôme d interpolation de splines ou minimiser l erreur sur les a i (moindre carré) avoir des dérivées qui coïncident avec celles de f (BEZOUT) Nous ne nous intéresserons d abord qu au cas où g est une fonction polynomiale ou polynomiale par morceaux Bases mathématiques Théorème (STONE-WEIERSTRASS) Toute fonction continue sur un intervalle [a, b] de IR est limite uniforme d une suite de polynômes Par exemple : polynômes de TAYLOR g doit être simple fonctions polynomiales, fonctions polynomiales par morceaux fonctions rationnelles fonctions trigonométriques g doit avoir de bonnes propriétés régulière (C n ) comportement entre les points d interpolation avoir des bornes d erreurs sur f(x) g(x) - p 5/42 polynômes de CHEBYSHEV polynômes Minimax Cela ne fonctionne que sur un intervalle fini de IR - p 6/42 TAYLOR en Minimax sur [ 45, 45] sin(x) x x3 6 + x5 5! x7 7! x x x x x 5 - p 7/42 - p 8/42

2 Dans ce chapitre g sera le polynôme de degré n qui est égal à la fonction f sur tous les point a, a, a n Théorème (Polynôme d interpolation) Soient les n + points distincts (a < a <, a n ) IR n+, il existe un unique polynôme P de degré n qui coupe la fonction f sur ces points ie tel que : Soient les n + points distincts (a < a <, a n ) IR n+, on appelle base de les polynômes de la forme : L i (x) = n k=,k i i, j L i (a j ) = x a k a i a k { si i = j si i j i {,, n} P (a i ) = f(a i ) Le polynôme : P (x) = f L (x) + f L (x) + + f n L n (x) Convient On l appelle polynôme d interpolation de L unicité est à démontrer en exercice - p 9/42 - p /42 Si on interpole la fonction f C n+ sur l intervalle [a, b], par le polynôme P (x) de degré n, grâce au points d interpolation a < a < < a n a a a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 Théorème x [a, b] il existe η [a, a n ] tel que f(x) P (x) = (n + )! f (n+) (η)φ(x) avec φ(x) = (x a )(x a ) (x a n ) Idée de la preuve : On étudie la fonction g(z) = f(z) P (z) (f(x) P (x)) φ(z) φ(x) g s annule n + 2 fois g s annule n + fois g (n+) s annule une fois en η Or φ (n+) = (n + )! et P (n+) = - p /42 - p 2/42 f(x) P (x) = (n+)! f (n+) (η)φ(x) avec φ(x) = (x a )(x a ) (x a n ) f(x) = e x2 L erreur dépend de : qui tend vers si n (n+)! φ(x) qui tend vers quand x problèmes quand x f (n+) (η) qui dépend de la fonction f et de l intervalle [a, a n ] problèmes si un point est très différent des autres (f (n+) >> ) le polynôme a tendance à osciller entre les points d interpolations Certaines fonctions simples seront mal interpolées par un polynôme - p 3/42 - p 4/42 Comment améliorer l interpolation? On découpe l intervalle en petits morceaux, On utilise des polynômes de petit degré pour approcher la fonction sur chaque sous-intervalle Par exemple : Fonctions linéaires par morceaux Fonctions quadratiques par morceaux Les splines cubiques (polynôme de degré 3 par morceau) - p 5/42 - p 6/42

3 On appelle spline cubique d interpolation une fonction notée g qui vérifie : g(a i ) = f(a i ) pour i =,, n g coïncide avec un polynôme de degré 3 sur chaque sous intervalle [a i, a i+ ] g est C 2 sur [a, a n ] (deux fois continue et dérivable) Cette définition ne permet pas de déterminer la fonction de façon unique Souvent on rajoute une condition par exemple : g (a ) = g (a n ) = Ce qui définit une spline naturelle - p 7/42 - p 8/42 g coïncide avec un polynôme de degré 3 sur chaque intervalle [a i, a i + ] Soit g i ce polynôme g i est une droite sur [a i, a i + ] Donc g est complètement déterminé par les valeurs : m i = g (a i ) On appelle les valeurs m i les moments au noeud numéro i On note aussi Alors : h i = a i+ a i g i x a i a i+ x (x) = m i+ + m i h i h i On peut intégrer g i ce qui donne : g i(x) (x a i ) 2 (a i+ x) 2 = m i+ m i + u i 2h i 2h i (x a i ) 3 (a i+ x) 3 g i (x) = m i+ + m i + u i (x a i ) + v i 6h i 6h i avec u i, v i IR 2 On cherche à éliminer les inconnues u i et v i On connaît les valeurs de g sur les points a i donc g i (a i ) = f i = (ai+ ai) m 3 i + v 6hi i = h m 2 i i 6 + v i g i (a i+ ) = f i+ = h 2 i 6 m i+ + u i h i + v i Ce qui donne u i = (f i+ f hi i ) hi 6 (m i+ m i ) et u i = i f hi i ) hi 6 (m i m i ) - p 9/42 - p 2/42 Enfin, on doit avoir continuité des dérivées donc : hi 2 m i + u i = g i (a i) = g i (a i) = hi 2 m i + u i En combinant cela avec les deux résultats précédents, on trouve : ( h i m i + 2(h i + h i )m i + h i m i+ = 6 (f i+ f i ) ) (f i f i ) h i h i pour i =, 2, n Cela nous donne n équations en les variables m i à résoudre Donc n équations et n + inconnues Pour obtenir une solution unique, il faut rajouter deux équations : m = m n = Cela permet d obtenir la valeur des moments m i et d en déduire les formules de g i (x) Par exemple, si les points a i sont équidistants ie i, h i = h Alors, le système à résoudre est : m = 6 h (f 2 2f + f 2 ) 6 h (f 2 i 2f i + f i+ ) 6 h (f 2 n 2 2f n + f n ) - p 2/42 - p 22/42 Calcul des g i : Calcul des moments m i par la résolution du système linéaire i {,,, n } calculer les valeurs h i = a i+ a i u i = h i (f i+ f i ) h i 6 (m i+ m i ) v i = f i h2 i 6 m i Calcul de g(x) : Trouver l intervalle qui contient x ie trouver i tel que x [a i, a i+ ] Calculer g(x) = g i (x) = m i+ (x ai) 3 6hi + m i (ai+ x) 3 6hi + u i (x a i ) + v i - p 23/42 - p 24/42

4 4 3 2 Formulation matricielle On a une famille de points du plan (x i, y i ) i m et on cherche à approcher cette famille par une fonction f polynôme d interpolation : minimisation de l erreur sur les points d interpolation pas sur les autres Spline cubique : fonction complexe et seulement C 2 approximation au moindres carrés par une famille de fonctions : minimisation de l erreur générale - p 25/42 - p 26/42 On a : une famille de points (x i, y i ), i =,, m une famille de fonctions φ j j =, n linéairement indépendantes (n m) et on cherche la fonction de la forme n φ = u j φ j j= telle que la suite (φ(x i )) i=,,m représente au mieux la suite (y i ) i=,,m c est à dire qui minimise : C est un système avec n degrés de liberté et m contraintes En général, m > n Il n y a pas de résultat exacte C est une méthode d approximation On trouve toujours une solution En générale la fonction φ ne passe pas par les points On trouve la solution la moins mauvaise Minimisation de l erreur générale On doit connaître le comportement de la fonction représentée Lissage du bruit f(u) = m (φ(x i ) y i ) 2 i= On parle alors de lissage ou de régression - p 27/42 - p 28/42 Soit la matrice rectangulaire A M m,n (IR) et le vecteur y définis par : φ (x ) φ 2 (x ) φ n (x ) φ (x 2 ) φ 2 (x 2 ) φ n (x 2 ) y y 2 A = et y = y m φ (x m ) φ 2 (x m ) φ n (x m ) On cherche alors à minimiser la fonction : Si u décrit l espace vectoriel IR n, alors, Au décrit Im(A) On cherche ū qui minimise Au y donc Aū est le projeté orthogonal de y sur Im(A) : y = Aū + v Avec v Im(A) Soit a i la i e colonne de la matrice A, alors i {,, n} Donc ū est un vecteur tel que : a i, y = a i, Aū + a i, v = t a i Aū t AAū = t Ay f(u) = Au y 2 C est ce qu on appelle problème des moindres carrés - p 29/42 - p 3/42 Inversement, tout vecteur ū tel que t AAū = t Ay minimise la norme : Aū y En effet, si t AAu = t Ay = t AAū alors : t AAu t AAū = t AA(u ū) = u ū Ker( t AA) Or Ker( t A) = (Im(A)), donc u ū Ker( t AA) implique u ū Ker(A) Donc Au = Aū Au y = Aū y Cette équation est appelée équation normale Soit A M m,n (IR), n m alors L équation normale t AAu = t Ay admet toujours au moins une solution pour toute matrice M on a : Ker( t M) = (Im(M)) et Ker( t MM) = Ker(M) Donc, t Ay (Ker(A)) Et (Ker(A)) = (Ker( t AA)) = Im ( t ( t AA)) = Im ( t AA) Donc t Ay Im ( t AA) et l équation admet une solution Si rang(a) = n, la solution est unique Car Ker(A) = { } - p 3/42 - p 32/42

5 Si A est une matrice carrée (m = n) et que A est de rang n Alors A est inversible, Le système Au = y a une solution ū unique Il suffit donc de calculer : ū = A y par une méthode de résolution de système linéaire Revenons au cas où n m, si les colonnes de la matrice A sont orthonormées, c est à dire si i, j {,, n} 2 Cela signifie que t a i a j = δ ij (δ ij = si i j et δ ii = ) Alors le calcul de ū est simple : t AA = I nn t AAū = t Ay ū = t Ay ū minimise Au y car Au y = - p 33/42 - p 34/42 Si A est une matrice triangulaire de rang n : Quel que soit le choix de u, les m n dernières coordonnées de Au seront nulles, donc A = R Au y 2 = Ru c 2 + d 2 Minimiser la valeur Au y revient à minimiser la valeur Ru c Si A est de rang n, alors R est inversible Alors posons ( ) c y = où c est le vecteur formé des n premières d coordonnées de y et d celui formé par les m n suivantes R M n,n (IR) la matrice carrée triangulaire supérieure formée par les n premières lignes de A On peut donc trouver ū tel que Ru = c, car on dans le cas d une matrice carrée inversible La valeur minimisant cette norme est u = R c - p 35/42 - p 36/42 Dans le cas général, A n est pas orthogonale ni triangulaire Par contre si A est de rang n, il est possible de décomposer la matrice A en le produit de deux matrices : une matrice carrée orthogonale Q M mm une matrice triangulaire R M mn de rang n r R r 22 A = Q rnn Q est une matrice orthogonale donc elle ne modifie par la norme : v IR m, En particulier, Qv = t v t QQv = t vv = v QRu y = t QQRu t Qy = Ru t Qy où R est une matrice triangulaire de même rang que A On se ramène alors au problème précédant - p 37/42 - p 38/42 Soient m n, A M mn et Y un vecteur de IR m Pour chercher u tel que u soit le vecteur qui mminimise Trouver la parabole qui passe au plus près des points ( 4, 3),(, 3),(, ),(, 3),(2, 9) Au Y On décompose A en Q O mm (orthogonale) et R M mn (triangulaire supérieure) ; on calcule Z = t QY ; les n premières lignes de Z forment le vecteur c qui est le projeté orthogonale de Y sur Im(A) ; les m n dernières lignes de Z forment le vecteur d ; les n premières lignes de R forment la matrice S, qui est triangulaire supérieure ; on calcule u solution du système linéaire Su = c ; alors u est solution du problème des moindres carré et l erreur Au Y = d - p 39/42 - p 4/42

6 étudié est un problème de régression linéaire, la fonction φ est une combinaison linéaire des paramètres u,, u n utilisation d une nouvelle décomposition A = QR Il est possible d avoir des problèmes non linéaires, Par exemple approximation d un ensemble de points par une fonction de la forme ae bx où a et b sont les paramètres Cas des matrices de rangs inférieurs à n Polynôme d interpolation autres méthodes de calcul (base de NEWTON) fonctions polynomiales (régulières?) problème en problème de convergence (augmenter le nombre de points d interpolation n améliore pas la fonction) Spline cubique généralisable aux splines de degré n (C n ) augmenter le nombre de points d interpolation améliore la fonction fonction complexe (Régulière?) fonction régulière passe au plus près de tous les points l utilisateur impose la forme (il y a toujours une «solution») la fonction obtenue ne passe pas par les points - p 4/42 - p 42/42