TD1 - Suites numériques

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1 IUFM du Limousi PLC1 Mathématiques S. Viatier Exercices TD1 - Suites umériques Exercice 1 Soit α > 0, étudier la covergece des suites déies par u = ( ) 1 + si α, v = 3 + cos α ( ) 1 + α. 3 + Idicatio pour (v ) : o pourra itroduire la foctio g(x) = 1 + αx 3 + x étudiera les variatios e foctio de α ; o traitera à part le cas α = 1., dot o Exercice 2 (d'après termiale S) 1. O pose, pour tout 1, u = ( 1)+1. a) Doer les ses de variatio des sous-suites (u 2 ) et (u 2+1 ). b) Établir que 0 < u 1 pour tout. c) Motrer que (u 2 ) et (u 2+1 ) coverget. Que peut-o dire de leurs limites respectives l 0 et l 1? d) E déduire que (u ) coverge vers ue limite l. 2. O pose, pour tout 1, v = a) Motrer que pour tout réel x > 0, o a 1 1+x l(1 + x) l(x) 1 x. b) E déduire l v l 2 pour tout 1. c) Motrer que (v ) coverge et détermier sa limite. 3. a) Comparer v +1 v et u 2+2 u 2, v 1 et u 2. Quelle relatio peut-o e déduire etre v et u 2? b) Que vaut l? Exercice 3 a) Soit (u ) ue suite majorée croissate, de limite l. Motrer par u raisoemet par l'absurde que u l pour tout. b) Qu'e déduit-o pour ue suite (v ) miorée et décroissate? 1

2 c) O suppose maiteat (u ) croissate, (v ) décroissate et u v ted vers 0. Motrer qu'il existe l, à préciser, tel que pour tous, m : u l v m. Exercice 4 (capès itere 2005) O cosidère la foctio f doée par f(x) = x 2 + 2x + 1 et la suite (u ) N telle que u 0 est u réel xé et, pour tout N, u +1 = f(u ). 1. a) Détermier les deux racies l 1 < 0 < l 2 de l'équatio f(x) = x. b) Motrer que, x R, x < l 1 f(x) < l 1 et 1 < x < 2 1 < f(x) < 2. c) Dresser le tableau de variatios de f, e faisat gurer l 1, l 2, 1 et 2. d) Tracer l'esquisse de la courbe représetative C de f (repère ortohormé, uité 2cm). e) Décrire les positios relatives de C et de la diagoale y = x. 2. a) Représeter les 4 premiers termes de (u ) sur le graphique précédet das les cas suivats : u 0 = 0,7 ; u 0 = 1,25. b) Démotrer que si la suite (u ) coverge vers u réel U alors U {l 1, l 2 }. c) Das cette questio o suppose u 0 < l 1. (i) Démotrer que u < l 1 pour tout N ; (ii) démotrer que (u ) est décroissate ; (iii) la suite (u ) est-elle covergete? Justier la répose. d) Das cette questio o suppose u 0 ]1, l 2 [. O ote (v ) et (w ) les suites déies par v = u 2, w = u 2+1. (i) Démotrer que l 2 < u 1 < 2 ; (ii) démotrer que, pour tout N, 1 < v < l 2 et l 2 < w < 2 ; (iii) détermier 2 réels a, b tels que, pour tout x R, (f f)(x) x = ( x 2 + x + 1)(x 2 + ax + b) ; (iv) détermier les solutios de (f f)(x) x = 0. E déduire le sige de (f f)(x) x pour x ]1, 2[ ; (v) démotrer que (v ) est décroissate et (w ) croissate ; (vi) prouver que (v ) et (w ) sot covergetes et préciser leur(s) limite(s) ; (vii) La suite (u ) est-elle covergete? Justier la répose. Exercice 5 (La plaète R) ( O cosidère la suite (u ) 1 déie par u = ). 2

3 a) Motrer que u > 1 +1 pour tout ; b) e déduire que la suite (u ) est mootoe, puis covergete. Que peut-o dire de sa limite l? c) Motrer que u 2 < u pour tout ; qu'e déduit-o pour l? Exercice 6 (La plaète R) Soiet θ R et k ]0, 1[. Pour N, o pose u = 1 + k cos θ + + k cos θ. a) Soit N, majorer u +1 u idépedammet de θ ; b) motrer que, pour tout p N, o a 1 + k + + k p 1 < 1 1 k ; c) e déduire la majoratio (o pourra utiliser l'iégalité triagulaire) : u +p u < k+1 1 k. d) E déduire la covergece de la suite (u ). Exercice 7 (d'après PLP) A ue suite (u ) 1 de réels o uls, o associe la suite (p ) 1 déie par p = u i = u 1 u 2 u. i=1 1. a) O suppose que u = pour tout 1. Motrer que p = + 1 pour tout, e déduire sa limite. b) Soit a u réel o cogru à 0 modulo 2π. (i) Quelle est la limite de la suite (u ) déie par u = cos a 2? (ii) Motrer que la suite (q ) déie par q = p si a 2 est géométrique. (iii) E déduire la limite de (p ). c) Motrer que si (p ) coverge vers ue limite o ulle, alors (u ) ted vers 1 (o pourra étudier le rapport p +1 p ). Etudier la réciproque de cette propositio. 2. Désormais o suppose que (u ) ted vers 1. a) Motrer qu'il existe u etier 0 tel que 0 u > 0. O se doe u tel 0. b) Pour 0, o pose S = l(u i ). Motrer que (p ) coverge vers i= 0 ue limite o ulle si et seulemet si (S ) 0 coverge. 3

4 c) O pose u = = e l. (i) Vérier que cette suite ted vers 1 et qu'o peut choisir 0 = 1. k+1 l x l k (ii) Motrer que pour tout etier k 3, o a dx k x k. (iii) Etudier la limite de (S ) ; e déduire la covergece de (p ). Exercice 8 1. Soit (x ) N ue suite de complexes telle que x +1 x ted vers 0, o veut motrer que x lim + = 0. Pour tout etier, o pose y = x +1 x. a) Démotrer, à l'aide de la déitio de la limite, que (y ) est borée. b) O xe u ombre réel ε > 0. Motrer qu'il existe 0 N tel que 0 y < ε 2. Vérier que x = x k=0 y k ; e déduire qu'il existe 1 N tel que max{ 0, 1 } = x < ε. c) Coclure. 2. Déduire de ce qui précède le théorème de Césaro : si (u ) coverge vers l C, alors u u 1 l. (O pourra commecer par le cas l = 0.) 3. La suite de terme gééral u = ( 1) e coverge pas. Qu'e est-il de sa moyee de Cesaro, la suite de terme gééral u 0+ +u 1? Exercice 9 (web) O motre le théorème de Cesaro das ue forme plus géérale : État doées ue suite (u ) 0 de complexes covergeat vers l C et ue suite (λ ) 0 de réels strictemet positifs telle que k 0 λ k diverge, la suite de terme gééral coverge vers l. v = a) Motrer qu'o peut supposer l = 0. 0 λ ku k 0 λ k b) Soit N N, motrer que, pour tout N, o a v N 0 λ ku k 0 λ + k N+1 λ k u k 0 λ k. 4

5 c) Coclure. 5