contrôle continu - CORRECTION

Transcription

1 Université Joseph Fourier Phy242 : Physique quantique contrôle continu - CORRECTION durée : 1h avril 28 Sans documents, calculatrice autorisée. Pour toutes les questions, donner le résultat sous forme de formule littérale avant de faire l application numérique. On donne: constante de Planck h = Js; c = 197 ev.nm charge de l électron e = C; masse d un électron m e = kg; m e c 2 =.511 MeV. Exercice 1 - Courant dans un pont métallique En poussant à ses limites les techniques de la microélectronique, on sait aujourd hui fabriquer des ponts métalliques de taille nanométrique. En calculant l action caractéristique, évaluer si les effets quantiques sont importants pour des électrons traversant un tel pont avec une vitesse v = ms 1. w = 1 nm électrons [A] = [p][x] = M 2 T 1 A = pw = m e vw = kgm 2 s 1 4 es effets quantiques deviennent importants. On observera des effets de diffraction comme pour la lumière passant par une fente. Exercice 2 - Cellule photoélectrique Une cellule photoélectrique possède une cathode en cuivre, dont le travail d extraction W e est égal à 4.7 ev. On envoie sur cette cellule un flux de photons monochromatiques de longueur d onde λ. 1. Quelle est la longueur d onde maximale λ pour que ces photons puissent extraire des électrons de la cathode par effet photoélectrique? énergie des photons doit être supérieure au travail d extraction W e hν = hc/λ > W e λ < 2π = 264 nm = λ 1

2 2. On utilise des photons de longueur d onde λ = 2 nm. Quelle est l énergie cinétique des électrons émis lorsqu ils quittent la cathode? E c = hν W e = 2π = 1.49 ev 3. On collecte les électrons émis en appliquant entre l anode et la cathode une différence de potentiel U. Donner la définition du potentiel d arrêt U et calculer sa valeur. e potentiel d arrêt est la tension qu il faut appliquer pour que le courant tombe à zéro, c est à dire que plus aucun électron n arrive sur l anode. E c = eu U = 1.49 V 4. On mesure un courant de saturation de 2 µa. e rendement quantique de la cellule, défini comme le rapport entre le nombre d électrons émis et le nombre de photons reçus, vaut R =.2. Quelle est la puissance lumineuse reçue? a puissance lumineuse est P = n p hν où n p est le nombre de photons reçus par unité de temps. intensité du courant est I = n e e où n e est le nombre d électron émis par unité de temps. On a donc : R = n e = Ihν n p ep P = Ihν er = W 5. Comment sont modifiés le courant de saturation et le potentiel d arrêt lorsqu on passe de λ à λ = λ/2 sans changer la puissance lumineuse (le rendement quantique est supposé constant? Pour le potentiel d arrêt on trouve: U = E c e = 1 e ( 2π c W e = 7.7 V λ Courant de saturation: Si on passe de λ à λ = λ/2, l énergie des photons est doublée: E = hν = 2hν. Pour garder la puissance lumineuse constante, P = n phν = 2n phν = P, il faut réduire le flux des photons (nombre de photons par unité de temps par deux: n p = n p /2. Avec un rendement quantique constant, ceci implique que 2 fois moins d électrons sont éjectés par unité de temps, n e = n e /2, donc le courant de saturation est divisé par deux également: I = n ee = I/2. 2

3 Exercice 3 - Boîte quantique On considère une particule enfermée dans une boîte uni-dimensionelle. Ce système est décrit par le potentiel suivant : V (x = si < x < ; V (x = + sinon. 1. Etant donné la nature du potentiel, déterminer l intervalle sur lequel on doit résoudre l équation de Schrödinger: d 2 ψ(x 2m dx 2 + V (xψ(x = Eψ(x et déterminer les conditions limites de la fonction d onde. A cause des murs de potentiel infiniment hauts en x = et x =, la particule ne peut pas se trouver à l extérieur de l intervalle [, ]. Sa fonction d onde doit donc nécessairement s annuler dès que x atteint les bornes de l intervalle. Par conséquent, on doit résoudre l équation de Schrödinger avec V = pour < x <, avec pour conditions aux bornes ψ( = ψ( =. 2. En sachant que: ψ(x = Ae ikx + Be ikx est la solution générale de cette équation sur l intervalle intéressant, donner l expression de k. On a alors: d 2 ψ dx 2 = k2 ψ 2 2m k2 ψ = Eψ E = 2m k2 k = 2mE/ 3. En utilisant les conditions limites, déterminer B en fonction de A. Puis montrer que l énergie E de la particule ne peut prendre que certaines valeurs et peut s écrire E n = n 2 E où n est un entier et E est la plus petite valeur possible de E que l on déterminera. soit en utilisant la relation précédente : ψ( = A + B = B = A ψ( = A exp(ik + B exp( ik = A(exp(ik exp( ik = 2i sin(k = soit k = nπ, avec n entier positif. En remplaçant k par sa valeur : 2mE = nπ E n = n2 π 2 2 2m 2 = n2 E avec E = π 2 2 /(2m 2 3

4 4. En utilisant le fait que la particule se trouve forcément entre et, déterminer complètement l expression de ψ(x. On rappelle que la probabilité dp de trouver la particule entre x et x + dx est : dp = ψ(x 2 dx et que 2 sin 2 α = 1 cos(2α. on doit avoir : ψ(x = A(exp(ikx exp( ikx = 2iA sin(kx = 2iA sin dp = ψ(x 2 dx = 1 ( 4A 2 sin 2 nπx dx = 1 [ ( ] 2nπx 2A 2 1 cos dx = 1 [ 2A 2 x ( ] 2nπx 2nπ sin = 1 2A 2 = 1 A = 1 2 ( nπx Finalement : ψ n (x = 2i ( nπx sin 2 Exercice 4 - Atome d hydrogène et principe d incertitude Dans cet exercice, on démontre que le principe d incertitude de Heisenberg place une borne inférieure à la distance moyenne de l électron au proton dans un atome d hydrogène et explique ainsi la stabilité de la matière. 1. Exprimer, dans le cadre de la mécanique classique, l énergie totale E de l électron d un atome d hydrogène en fonction de sa distance r au noyau et du module de sa quantité de mouvement p. Pour une écriture concise, utiliser l abréviation a = e 2 /4πɛ. E = E c + E pot = p2 2m e e2 4πɛ r = p2 2m e a r. 2. Admettons que cette expression est valable dans le cadre de la mécanique quantique à condition que le principe d incertitude d Heisenberg soit respecté. Dans ce cadre, r représente alors la distance moyenne entre l électron et le proton et p la quantité de mouvement moyenne de l électron. Dans l atome, les incertitudes sur r et p sont du même ordre de grandeur que leurs modules, c est à dire r r et p p. Déduire du principe d incertitude d Heisenberg r p et de l expression de E que: E 2m e r 2 a r. 4

5 En utilisant r p rp et donc p 2 2 /r 2 dans l expression pour l énergie, on obtient le résultat souhaité. 3. Cette expression admet un minimum. Chercher la valeur r pour laquelle on obtient ce minimum et calculer la valeur de l énergie minimale E min correspondante. de dr = m e r 3 + a r 2 = r = am e E min = m ea Applications numériques pour r et E min en utilisant α = a c Conclusion? r = am e = c = αm e c2.511 = fm =.53Å E min = m ea = 1 2 α2 m e c 2 = 13.6 ev On obtient le rayon de Bohr r et l énergie de l électron dans l état fondamental d un atome d hydrogène. 5