MECANIQUE DU POINT Enoncés 1 à 61

Dimension: px

Commencer à balayer dès la page:

Download "MECANIQUE DU POINT Enoncés 1 à 61"

Lucien Sauvé
il y a 6 ans
Total affichages :

1 MEANIQUE DU INT Enoncés 1 à 61 nématque 1. our ben ntégrer soluton page 31 Une partcule se déplace dans le plan horzontal (,, ), à la vtesse constante v 0, sur une courbe dont le raon de courbure R est nversement ds 1 proportonnel au chemn parcouru : R = = où λ est une constante. n d λs note s l abscsse curvlgne et l angle que fat le vecteur vtesse avec l ae. A l nstant ntal, s et sont nuls. 1. Montrer que l équaton de la trajectore est donnée par : l ntégrale t 0 j t + j = v 0 e dt 0. Tracer qualtatvement la trajectore de la partcule sachant que 0 e π j u du = 1+ j 3. Quelle est l epresson de la force agssant sur la partcule en foncton du chemn parcouru? 4. Applcaton : une automoble roule sans glsser à vtesse constante v 0 sur une autoroute rectlgne horzontale suve d un vrage crculare de raon R. λ v v 0 R Quelle est la condton sur la vtesse pour que le glssement n apparasse pas? n donne : le coeffcent de frottement pneu-route f = 0,4 et R = 00 m. omment les ngéneurs des T..E. évtent-ls les problèmes pour passer d une porton de route rectlgne à une porton de route de courbure constante?. hen et chat soluton page 3 Un chen court après le chat G (Grosmnet). Les modules de leurs vtesses sont constants et respectvement égau à u et v. La vtesse du chen est toujours drgée dans la drecton du chat. A un certan nstant t 0, selon la fgure,

2 8 500 eercces planches d oral la dstance chen-chat vaut L et les vecteurs vtesses des deu anmau sont orthogonales. G L V G V Détermner l accélératon du chen à l nstant t Mouvement d une barre soluton page 3 Une barre AB de longueur a se déplace dans le plan (, ). Le pont A décrt l ae à la vtesse constante v 0. Le module de la vtesse de B est constant et égal à v 0. n note l angle que fat AB avec l ae à l nstant t. π A l nstant ntal, A est en et = 0 = B a 1. Représenter le vecteur vtesse du pont B (l a deu solutons). Quel est le mouvement de la barre dans le cas le plus smple?. Dans le deuème cas, détermner l epresson du vecteur rotaton en foncton du temps. En dédure les équatons paramétrques ( t ) et ( ) trajectore de B. 3. Quel est le mouvement asmptotque de la barre? A t de la 4. Les coordonnées toroïdales soluton page 33 onsdérons une couronne de pan. Elle est modélsée par un tore, surface engendrée par un cercle de raon a, tournant autour d un ae de son plan ne le traversant pas. Le centre du cercle décrt un cercle de centre de raon R > a. a R M r v 0 La poston d un pont M de la me est repérée par ses coordonnées toroïdales r, et, repérant la poston de la tranche de pan par rapport à un plan orgne (,,, r et étant les coordonnées polares de M par rapport au centre de la tranche.

3 Mécanque du pont 9 1. Détermner la base moble assocée ans que le vecteur déplacement élémentare dm en projecton sur cette base. En dédure l are Σ de la croûte de pan et le volume τ de la couronne de pan.. Le pont M se déplace sur le tore r = a, avec des vtesses angulares d d = = ω = te. Détermner les composantes de l accélératon du pont M dt dt u, u, u sur la base ( ) r. Base aréolare (5-6) 5. Défnton et proprétés soluton page 34 Dans le référentel R(,, j,, une partcule est repérée par son vecteur poston = r. n note v son vecteur vtesse et σ son moment cnétque. u N dr r j Dans un déplacement élémentare, la partcule se déplace de dr pendant le temps dt et le vecteur poston balae une are élémentare da = dau N, où u N est le vecteur untare normal à l are balaée, dans le sens ndqué sur la fgure. da Détermner la relaton entre la vtesse aréolare et le moment cnétque σ. dt u, u u où. n appelle base aréolare la base moble orthonormée ( ) r T, u T désgne le vecteur untare transverse u T = u N u r. En désgnant par u& la dérvée temporelle d un vecteur u, montrer que l on peut écrre : u& N = αu T et u& r = βu T où α et β sont deu scalares. u& r u r 3. Détermner la matrce M de passage : u& T = M ut u& N u N Détermner le vecteur rotaton ω du solde assocé à la base aréolare par rapport au repère R(,, j,. Eprmer les composantes de v et de σ sur la base aréolare. 6. Applcatons soluton page Une partcule, de masse m, ntalement en S( 0, h,0) se déplace à vtesse constante v = v. Détermner la base aréolare ans que α et β en foncton de. alculer le moment cnétque. ommenter. N

4 eercces planches d oral v j S h. La partcule est soumse à une force centrale. aractérser la base aréolare et son vecteur rotaton ω. 3. Un fl netensble de longueur r, fé en est tendu par la masse de la partcule. L ensemble consttue un pendule conque. S H g fat un angle constant avec la vertcale, la partcule décrt un cercle de centre H de raon H = R et sa poston est repérée par l angle que fat H avec HS, S étant la poston ntale de. Détermner la base aréolare ans que α et β en foncton de &. alculer & et commenter. 7. Modèle cnématque de la gravtaton soluton page 36 Dans le repère plan R (,, j), se déplace une partcule. n note ρ et u, la base moble assocée. Le vecteur vtesse ses coordonnées polares et ( ) v de est égal à : v = u + w u ρ u, où u et w sont des constantes. w u u ρ ρ u 1. Détermner la trajectore de la partcule en coordonnées polares selon la valeur du coeffcent e = w u. Détermner l accélératon de la partcule en foncton de la seule varable ρ. ommenter. 8. La roue floue soluton page 37 Une roue de bcclette de centre, de raon R, roule sans glsser sur un ae horzontal. n appelle ω la vtesse angulare de la roue.

5 Mécanque du pont 11 n repère un pont d un raon par ses coordonnées polares (r, ) relatvement à. u u r ω 1. Eprmer la vtesse de sur la base ( u r,u ).. Détermner l ensemble des ponts des raons de la roue qu ont une vtesse nstantanée radale. En dédure l aspect de la photo de la roue s le temps de pose est assez long. 9. La chasse au canard soluton page 37 Un canard a nage à vtesse constante u en restant au bord d un étang crculare de centre, de raon a. Un chen h poursut le canard en nageant dans sa drecton avec une vtesse w < u. Dans le repère de l étang R 1 (,, j), la poston du canard est donnée par l angle que fat a avec. Dans le R ( ' ' ) repère du canard a,, j où est un vecteur untare drgé de a vers et j le vecteur drectement perpendculare. La poston du chen est donnée par ses coordonnées polares ρ et. u a u ' j' u ρ j ρ a h 1. Détermner les équatons dfférentelles du mouvement du chen. en foncton du temps dans le repère de l étang.. Dans le cas partculer où la vtesse du chen w = u, montrer que la trajectore asmptotque du chen est un cercle dont on détermnera le raon. Montrer que l angle tend vers une valeur lmte que l on calculera. 10. Uncté de la vtesse angulare d un solde soluton page 38 n consdère un référentel R(,, j, et tros ponts 1, et d un solde S repérés par 1 = R 1, = R, = r. n note 1 = r 1, = r et 1 = R. n suppose que la rotaton du solde se fat avec un vecteur ω 1 autour du pont 1 et un vecteur ω autour du pont. 1 r 1 r r S j

6 1 500 eercces planches d oral Ecrre de deu façons les dérvées temporelles de r et R dans R(,, j, dédure que le vecteur rotaton est unque. et en 11. La roue carrée soluton page 38 Dans le plan vertcal () d un repère galléen R(,, j,, une roue carrée homogène, de centre G, de côté a roule sans glsser sur un sol bosselé de telle sorte que G sot à la vertcale du pont de contact avec le sol et que la trajectore de G sot une drote horzontale. vtesse g G B A l nstant ntal, la dagonale GA est vertcale et le sommet A se confond avec l orgne du repère. A G H 1. Montrer que la foncton ( ) Avec la condton ntale f ( 0) α A B f sut l équaton dfférentelle : La fgure c-contre représente le quadrant GAB de la roue à l nstant t. Le coté AB est tangent au profl de la bosse au pont de coordonnées (, ) et fat l angle α avec l horzontale. n cherche le profl par son f. équaton cartésenne = ( ) df f 1 + = d a = 0, montrer que le profl de la bosse est un arc de chaînette d équaton : = a ch en précsant la valeur de. a En dédure la pérode spatale p des bosses.. Eprmer le vecteur rotaton de la roue et écrre la condton de roulement sans glssement. Détermner la vtesse v de G en foncton de α sachant que le moment d nerte de la roue par rapport à l ae horzontal passant 1 par G est : I = ma. omparer au cas d un dsque roulant sans glsser sur un 3 sol parfatement plat.

Documents pareils

Exercices d Électrocinétique

Exercices d Électrocinétique ercces d Électrocnétque Intensté et densté de courant -1.1 Vtesse des porteurs de charges : On dssout une masse m = 20g de chlorure de sodum NaCl dans un bac électrolytque de longueur l = 20cm et de secton