Fiche Intégration MOSE Octobre 2014
|
|
- Vivien Petit
- il y a 6 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Fiche Intégrtion MOSE 13 9 Octore 14 Tle des mtières Propriétés de l intégrle 1 Théorème fondmentl du clcul intégrl Intégrle d une fonction de signe quelconque Propriétés clcultoires Méthodes de clcul 5 Primitivtion directe Intégrtion pr prties Chngement de vrile Propriétés de l intégrle Soit f une fonction continue sur un intervlle fermé [, ]. Définition Lorsque f est continue et positive u sens lrge sur [, ], on définit l intégrle de f, notée f () d comme égle à l ire comprise entre l e des et l coure représenttive de f dns un repère crtésien orthonormé, entre les scisses = et =. L surfce hchurée de l figure suivnte illustre cette définition. f() f() d Figure 1 Définition de l intégrle
2 Encdrement. L inconvénient de l définition ci-dessus est de ne ps être une définition mthémtique. Elle peut stisfire le physicien, qui peut se contenter de l notion intuitive d ire, mis l rigueur mthémtique eige une pproche plus précise. C est l rison pour lquelle les mthémticiens du 19ème siècle, prmi lesquels Bernhrd Riemnn, ont proposé d encdrer l ire en encdrnt le grphe de f entre les grphes de fonctions constntes pr morceu. Pour ces fonctions en effet, le clcul de l ire sous l coure se limite à l somme d un nomre fini d ires rectngulires. f() Figure Encdrement L figure montre ce processus. L intégrle de f est encdrée entre l ire de l zone vert foncé qui est sous l coure, et cette même ire, ugmentée de l ire de l zone vert clir, qui est u dessus de l coure. En considérnt toutes les fonctions en esclier qui encdrent f de cette fçon, on prvient à définir l intégrle de f sns utiliser ucune notion intuitive. Nous n étudierons ps ici les détils de cette construction. Vleur moyenne. Une utre idée qu on peut se fire de l ire sous l coure est d imginer que l figure représente un qurium étroit vu de côté, l coure représenttive de f étnt l surfce (gitée) de l eu dns l qurium. Le rectngle leu de l figure 3 représente l eu revenue à son étt d équilire. L huteur d eu m de ce rectngle représente l vleur moyenne de l fonction f sur l intervlle [, ]. f() m c Figure 3 Vleur Moyenne L eu étnt incompressile, on voit que l surfce ( ) m du rectngle leu doit être égl à l ire sous l coure de f, et pr conséquent l vleur moyenne de f vut. m = 1 f () d On peut montrer, en utilisnt l continuité de f, qu il eiste un point c [, ] tel que cette moyenne ville f (c). Cette propriété porte le nom de théorème de l moyenne. On représenté un tel point c sur l figure, point où se coupent les surfces de l eu dns l qurium gité et dns l qurium u repos. On donc f () d = ( ) f (c)
3 On peut voir ce résultt un peu différement si on imgine cette fois-ci que l coure représenttive de f représente le profil de l étpe d une course cycliste, comme celles qu on voit dns les journu sportifs. L vleur m est l ltitude moyenne de l étpe et le théorème de l moyenne dit qu à u moins un instnt pendnt l étpe, les coureurs seront ectement à l ltitude moyenne. Théorème fondmentl du clcul intégrl 1. L fonction F définie sur [, ] pr l formule F () = f (t) dt est une primitive de l fonction continue f sur [, ], c est à dire qu elle est dérivle et De plus, F () = F () = f () [, ]. Si G est une primitive de f sur [, ], lors f () d = G () G () L figure 4 montre l définition de F (), c est à dire l intégrle de f entre les scisses et. f() F () Figure 4 Primitive L figure 5 ci-dessous illustre le clcul de l dérivée de F : si h est un réel positif suffisment proche de, l différence F ( + h) F () est l ire sous l coure de f située entre les scisses et + h. Le théorème de l moyenne nous dit lors que cette ire vut (( + h) ()) f (c) pour un certin point c [, + h]. On donc F ( + h) F () = f (c) h Lorsque h tend vers, l vleur de f (c) tend vers f () puisque le point c est entre et + h et f est continue. On otient insi le fit que F est dérivle et de dérivée f. Intégrle indéfinie (sns orne). On utilise l nottion d intégrle sns orne pour désigner une primitive d une fonction f, définie à une constnte dditive près. Pr eemple on peut écrire sin (5) cos (5) d = + C 5 pour signifier qu une primitive de cos (5) est l fonction de droite, où C est une constnte réelle quelconque. On note que l intégrle indéfinie désigne une fonction, tndis que l intégrle définie (vec ornes) désigne un nomre. 3
4 f() c + h Figure 5 Théorème fondmentl Intégrle d une fonction de signe quelconque Lorsque f est une fonction continue de signe quelconque, on peut l écrire comme l différence de deu fonctions non négtives en posnt Ces fonctions sont continues et on l reltion f + () = m (f (), ) et f () = m ( f (), ) [, ] L figure 6 illustre les grphes de f + et f. f () = f + () f () f() f + () f () Figure 6 Prties positive et négtive. On peut lors définir l intégrle de f comme l différence de deu intégrles de fonctions positives : f () d = f + () d f () d On montre que cette définition permet d étendre le théorème fondmentl et le théorème de l moyenne u fonctions de signe quelconque. Pour ce qui est du clcul des ires, on voit que l intégrle représente cette fois ci une «ire nlytique» entre l coure représenttive de f et l e des scisses, otenue en comptnt positivement les ires pour les prties de coure situés u dessus de l e des scisses, et négtivement les ires pour les prties de coure située en dessous de l e des scisses. Le signe du résultt dépend nturellement de l fonction f. Propriétés clcultoires Les trois propriétés suivntes sont les outils de se permettnt de mnipuler les intégrles dns les clculs : Linérité : l intégrle d une cominison linéire de fonctions est l cominison linéire des intégrles de ces fonctions, c est à dire que (λf + µg) () d = λ f () d + µ g () d 4
5 où f et g sont deu fonctions continues sur [, ] et λ, µ R. Eemple : / cos () d + / sin () d = / ( cos () + sin () ) / d = 1 d = [] π/ = π Monotonie : Si f et g sont deu fonctions continues telles que f () g () pour tout [, ], lors f () d Eemple : Lorsque [, π 4 ], on sin (), donc 4 sin 3 () d 4 g () d 3 d = π4 56 Reltion de Chsles : Lorsque f est définie et continue sur un intervlle contennt les trois vleurs,, c, on f () d + c f () d = c f () d On peut tirer cette reltion du théorème fondmentl du clcul pr eemple. Cette reltion incite à définir pr convention lorsque f () d = f () d Cette convention permet à l reltion de Chsles d être vrie indépendment de l ordre des trois points,, c. Elle est églement comptile vec les théorèmes fondmentu et de l moyenne. L reltion de Chsles permet de découper l intervlle d intégrtion lorsque l fonction s y prête nturellement, pr eemple lorsqu il y une vleur solue : 1 d = Méthodes de clcul Primitivtion directe 1 d + d = 1 d + d = 1 + = 5 On peut primitiver directement une fonction lorsqu on reconnit une primitive usuelle. Voici le tleu miniml qu il fut connître (C désigne ici une constnte réelle ritrire) 5
6 f () primitive F () α 1 e α 1 + tn () = 1 cos () α+1 α+1 ln + C e α α tn () + C + C ], + [, α 1 ], [ ], + [ + C ], + [, α ] kπ π, kπ + π [, (k Z) cos () sin () + C ], + [ sin () cos () + C ], + [ rctn () + C ], + [ 1 1 rcsin () + C ] 1, 1[ Utilisées conjointement vec l formule de dérivtions des fonctions composées, ces primitives usuelles permettent de clculer des intégrles telles que u () (u ()) α d = (u ())α+1 α + 1 +C, u () d = ln u () +C, u () u () e u() d = e u() +C où u () est une fonction dont l dérivée est continue et que les domines permettent l composition. Pr eemple [ 1 + d = 1 u () 1 u () d = ln ( 1 + ) ] = 1 ln (5) 1 ln (5) ln (1) = en posnt u () = 1 +. Il fut pour cel repérer que l fonction à intégrer est de l forme u () f (u ()), où f est une fonction usuelle de primitive F connue. L primitive cherchée est lors F (u ()). Intégrtion pr prties Si u et v sont deu fonctions continûment dérivles sur l intervlle [, ] (fonctions dérivles dont les dérivées sont continues), on sit que le produit uv est l primitive de u v + uv, donc (u () v () + u () v ()) d = [u () v ()] En coupnt l intégrle en deu à l ide de l linérité, il vient l etc formule d intégrtion pr prties. u () v () d = [u () v ()] u () v () d Le sens du crochet est ici [u () v ()] = u () v () u () v () On utilise l intégrtion pr prties comme une formule de trnsformtion d intégrle. Le prolème de clculer l intégrle de guche est remplcé pr le prolème de clculer l intégrle de droite, qu on espère plus simple. 6
7 Eemple Soit l intégrle on peut poser L formule donne lors sin () d u () = sin () v () = u () = cos () v () = 1 [( cos ()) ] π On urit pu fire le choi ( cos ()) 1 d = π + cos () d = π + [sin ()] π = π u () = v () = sin () u () = v () = cos () L formule conduit lors à [ ] π sin () cos () d = cos () d ce deuième choi conduit donc à une intégrle qui semle plus difficile que l intégrle initile. L intégrtion pr prtie est donc une technique qu on essye, éventuellement de plusieurs fçons différentes, qui peut réussir ou échouer en conduisnt à des intégrles qu on sit ou ne sit ps clculer. Chngement de vrile Cette technique s ppuie sur l formule de dérivtion des fonctions composées. Soit α, β R, et soit une fonction ϕ continue sur [α, β] et continûment dérivle sur ]α, β[. Soit pr illeurs f une fonction continue sur ϕ ([α, β]), de primitive F. On lors, pr le théorème fondmentl du clcul β α f (ϕ (t)) ϕ (t) dt = β α (F (ϕ (t))) dt = [F (ϕ (t))] α β = F (ϕ (β)) F (ϕ (α)) = ϕ(β) ϕ(α) f () d Un cs prticulier intéressnt est celui où ϕ est une ijection de l intervlle [α, β] sur un intervlle [, ], ce qu on peut ssurer en demndnt que l dérivée ϕ ne s nnule ps sur ]α, β[. Dns ce cs, cette dérivée est de signe constnt et ϕ est strictement monotone sur [α, β]. C est lors une ijection de l intervlle [α, β] dns l intervlle [, ]. Remrque. Dire que ϕ est une ijection de [α, β] dns [, ] signifie que Pour tout t [α, β], on ϕ (t) [, ]. Pour tout [, ], il eiste un t [α, β] et un seul tel que ϕ (t) =. On note t = ϕ 1 (). L formule précédente peut lors s écrire Formule de chngement de vrile. f () d = ϕ 1 () ϕ 1 () f (ϕ (t)) ϕ (t) dt où ϕ 1 est l ijection réciproque de ϕ. Eemple. Soit à clculer l intégrle 4 e d 7
8 On choisit générlement comme nouvelle vrile un terme qui prit gênnt dns l intégrle. Ici on pose t =. Cel revient à choisir l fonction réciproque ϕ 1 () =, de sorte que l fonction ϕ s otient en clculnt en fonction de t, c est à dire = ϕ (t) = t ϕ (t) = t On pplique l formule de chngement de vrile, et cel donne 4 e t t dt = [ (t 1) e t] = e + (on pssé sous silence ici l otention de l primitive de te t, c est à dire (t 1) e t ). On risonne souvent sns epliciter ϕ ou ϕ 1. Pr eemple soit l intégrle 1 1 d cette intégrle donne l surfce du qurt de disque de ryon 1 puisque l coure représenttive de l fonction intégrée est celle d un qurt de cercle. On pose = sin (t) et on choisit donc t comme nouvelle vrile. On clcule ensuite l dérivée vec une nottion de physicien et on écrit d = cos (t) = d = cos (t) dt dt On remplce ensuite dns l intégrle en éliminnt toute référence à =1 = 1 sin (t) cos (t) dt = t=π/ t= cos (t) dt On vérifie que le chngement de vrile est strictement monotone sur l intervlle ouvert (l dérivée cos (t) ne s nnule ps). Pour les ornes, le risonnement à tenir est qund =, on t = qund = 1, on t = π/. On utilise mintennt l formule de trigonométrie ien connue cos (t) = cos (t) 1, d où / ( ) [ ] π/ 1 cos (t) t sin (t) + dt = + = π 4 4 8
Synthèse de cours (Terminale S) Calcul intégral
Synthèse de cours (Terminle S) Clcul intégrl Intégrle d une onction continue positive sur un intervlle [;] Dns cette première prtie, on considère une onction continue positive sur un intervlle [ ; ] (
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mthémtiques nnée 2009-2010 Chpitre 2 Le prolème de l unicité des solutions 1 Le prolème et quelques réponses : 1.1 Un exemple Montrer que l éqution différentielle :
Plus en détailSéquence 8. Probabilité : lois à densité. Sommaire
Séquence 8 Proilité : lois à densité Sommire. Prérequis 2. Lois de proilité à densité sur un intervlle 3. Lois uniformes 4. Lois exponentielles 5. Synthèse de l séquence Dns cette séquence, on introduit
Plus en détailThéorème de Poincaré - Formule de Green-Riemann
Chpitre 11 Théorème de Poincré - Formule de Green-Riemnn Ce chpitre s inscrit dns l continuité du précédent. On vu à l proposition 1.16 que les formes différentielles sont bien plus grébles à mnipuler
Plus en détailTout ce qu il faut savoir en math
Tout ce qu il fut svoir en mth 1 Pourcentge Prendre un pourcentge t % d un quntité : t Clculer le pourcentge d une quntité pr rpport à une quntité b : Le coefficient multiplicteur CM pour une ugmenttion
Plus en détailCorrection de l épreuve CCP 2001 PSI Maths 2 PREMIÈRE PARTIE ) (
Correction de l épreuve CCP PSI Mths PREMIÈRE PARTIE I- Soit t u voisinge de, t Alors ϕt t s = ϕt ρt s ρs Pr hypothèse, l fonction ϕt ϕt est lorsque t, il en est donc de même de ρt s ρt s ρs cr ρ s est
Plus en détailLICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE. Unité d enseignement LCMA 4U11 ANALYSE 3. Françoise GEANDIER
LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE Unité d enseignement LCMA 4U ANALYSE 3 Frnçoise GEANDIER Université Henri Poincré Nncy I Déprtement de Mthémtiques . Tble des mtières I Séries numériques. Séries
Plus en détailL'algèbre de BOOLE ou algèbre logique est l'algèbre définie pour des variables ne pouvant prendre que deux états.
ciences Industrielles ystèmes comintoires Ppnicol Roert Lycée Jcques Amyot I - YTEME COMBINATOIRE A. Algère de Boole. Vriles logiques: Un signl réel est une grndeur physique en générl continue, on ssocie
Plus en détailSTI2D Logique binaire SIN. L' Algèbre de BOOLE
L' Algère de BOOLE L'lgère de Boole est l prtie des mthémtiques, de l logique et de l'électronique qui s'intéresse ux opértions et ux fonctions sur les vriles logiques. Le nom provient de George Boole.
Plus en détailCOURS D ANALYSE. Licence d Informatique, première. Laurent Michel
COURS D ANALYSE Licence d Informtique, première nnée Lurent Michel Printemps 2010 2 Tble des mtières 1 Éléments de logique 5 1.1 Fbriquer des énoncés........................ 5 1.1.1 Enoncés élémentires.....................
Plus en détailChapitre VI Contraintes holonomiques
55 Chpitre VI Contrintes holonomiques Les contrintes isopérimétriques vues u chpitre précéent ne sont qu un eemple prticulier e contrintes sur les fonctions y e notre espce e fonctions missibles. Dns ce
Plus en détailUniversité Paris-Dauphine DUMI2E. UFR Mathématiques de la décision. Notes de cours. Analyse 2. Filippo SANTAMBROGIO
Université Pris-Duphine DUMI2E UFR Mthémtiques de l décision Notes de cours Anlyse 2 Filippo SANTAMBROGIO Année 2008 2 Tble des mtières 1 Optimistion de fonctions continues et dérivbles 5 1.1 Continuité........................................
Plus en détailsemestre 3 des Licences MISM annnée universitaire 2004-2005
MATHÉMATIQUES 3 semestre 3 des Licences MISM nnnée universitire 24-25 Driss BOULARAS 2 Tble des mtières Rppels 5. Ensembles et opértions sur les ensembles.................. 5.. Prties d un ensemble.........................
Plus en détailTechniques d analyse de circuits
Chpitre 3 Tehniques d nlyse de iruits Ce hpitre présente différentes méthodes d nlyse de iruits. Ces méthodes permettent de simplifier l nlyse de iruits ontennt plusieurs éléments. Bien qu on peut résoudre
Plus en détailChapitre 11 : L inductance
Chpitre : inductnce Exercices E. On donne A πr 4π 4 metn N 8 spires/m. () Selon l exemple., µ n A 4π 7 (8) 4π 4 (,5) 5 µh (b) À prtir de l éqution.4, on trouve ξ ξ 4 3 5 6 6,3 A/s E. On donne A πr,5π 4
Plus en détailCours d Analyse IV Suites et Séries de fonctions
Université Clude Bernrd, Lyon I Licence Sciences, Technologies & Snté 43, boulevrd 11 novembre 1918 Spécilité Mthémtiques 69622 Villeurbnne cedex, Frnce L. Pujo-Menjouet pujo@mth.univ-lyon1.fr Cours d
Plus en détailLANGAGES - GRAMMAIRES - AUTOMATES
LANGAGES - GRAMMAIRES - AUTOMATES Mrie-Pule Muller Version du 14 juillet 2005 Ce cours présente et met en oeuvre quelques méthodes mthémtiques pour l informtique théorique. Ces notions de bse pourront
Plus en détailANALYSE NUMERIQUE NON-LINEAIRE
Université de Metz Licence de Mthémtiques - 3ème nnée 1er semestre ANALYSE NUMERIQUE NON-LINEAIRE pr Rlph Chill Lbortoire de Mthémtiques et Applictions de Metz Année 010/11 1 Tble des mtières Chpitre
Plus en détail3- Les taux d'intérêt
3- Les tux d'intérêt Mishkin (2007), Monnie, Bnque et mrchés finnciers, Person Eduction, ch. 4 et 6 Vernimmen (2005), Finnce d'entreprise, Dlloz, ch. 20 à 22 1- Mesurer les tux d'intérêt comprer les différents
Plus en détailLITE-FLOOR. Dalles de sol et marches d escalier. Information technique
LITE-FLOOR Dlles de sol et mrches d esclier Informtion technique Recommndtions pour le clcul et l pose de LITE-FLOOR Générlités Cette rochure reprend les règles de se à respecter pour grntir l rélistion
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détailTurbine hydraulique Girard simplifiée pour faibles et très faibles puissances
Turbine hydrulique Girrd simplifiée pour fibles et très fibles puissnces Prof. Ing. Zoltàn Hosszuréty, DrSc. Professeur à l'université technique de Kosice Les sites hydruliques disposnt de fibles débits
Plus en détailNotes de révision : Automates et langages
Préprtion à l grégtion de mthémtiques 2011 2012 Notes de révision : Automtes et lngges Benjmin MONMEGE et Sylvin SCHMITZ LSV, ENS Cchn & CNRS Version du 24 octore 2011 (r66m) CC Cretive Commons y-nc-s
Plus en détailChapitre 1 : Fonctions analytiques - introduction
2e semestre 2/ UE 4 U : Abrégé de cours Anlyse 3: fonctions nlytiques Les notes suivntes, disponibles à l dresse http://www.iecn.u-nncy.fr/ bertrm/, contiennent les définitions et les résultts principux
Plus en détailIntégrale et primitives
Chpitre 5 Intégrle et primitives 5. Ojetif On herhe dns e hpitre à onstruire l opérteur réiproue de l opérteur de dérivtion. Les deux uestions suivntes sont lors nturelles. Question : Soit f une pplition
Plus en détailChapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle
Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette
Plus en détailANALYSE : FONCTIONS D UNE VARIABLE RÉELLE
Jen-Pierre Dedieu, Jen-Pierre Rymond ANALYSE : FONCTIONS D UNE VARIABLE RÉELLE Institut de Mthémtiques Université Pul Sbtier 31062 Toulouse cedex 09 jen-pierre.dedieu@mth.univ-toulouse.fr jen-pierre.rymond@mth.univ-toulouse.fr
Plus en détailLicence M.A.S.S. Cours d Analyse S4
Université Pris I, Pnthéon - Sorbonne Licence MASS Cours d Anlyse S4 Jen-Mrc Brdet (Université Pris 1, SAMM) UFR 27 et Equipe SAMM (Sttistique, Anlyse et Modélistion Multidisiplinire) Université Pnthéon-Sorbonne,
Plus en détailInfluence du milieu d étude sur l activité (suite) Inhibition et activation
Influence du milieu d étude sur l ctivité (suite) Inhibition et ctivtion Influence de l tempérture Influence du ph 1 Influence de l tempérture Si on chuffe une préprtion enzymtique, l ctivité ugmente jusqu
Plus en détailAUTOUR D UN MÉMOIRE INÉDIT : LA CONTRIBUTION D HERMITE AU DÉVELOPPEMENT DE LA THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. Bruno BELHOSTE (*)
Revue d histoire des mthémtiques, 2 (1996), p. 1 66. AUTOUR D UN MÉMOIRE INÉDIT : LA CONTRIBUTION D HERMITE AU DÉVELOPPEMENT DE LA THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES Bruno BELHOSTE (*) RÉSUMÉ. Dns cet rticle,
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours.
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailMagister en : Génie Mécanique
الجمهورية الجزاي رية الديمقراطية الشعبية République Algérienne Démocrtique et Populire وزارة التعليم العالي و البحث العلمي Ministère de l enseignement supérieur et de l recherche scientifique Université
Plus en détailPartie 4 : La monnaie et l'inflation
Prtie 4 : L monnie et l'infltion Enseignnt A. Direr Licence 2, 1er semestre 2008-9 Université Pierre Mendès Frnce Cours de mcroéconomie suite 4.1 Introduction Nous vons vu dns l prtie introductive que
Plus en détailContinuité et dérivabilité d une fonction
DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité
Plus en détailPlanche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé
Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette
Plus en détailModule 2 : Déterminant d une matrice
L Mth Stt Module les déterminnts M Module : Déterminnt d une mtrice Unité : Déterminnt d une mtrice x Soit une mtrice lignes et colonnes (,) c b d Pr définition, son déterminnt est le nombre réel noté
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailDérivation : cours. Dérivation dans R
TS Dérivation dans R Dans tout le capitre, f désigne une fonction définie sur un intervalle I de R (non vide et non réduit à un élément) et à valeurs dans R. Petits rappels de première Téorème-définition
Plus en détailProbabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 août 2015 Enoncés 1 Proailités sur un univers fini Evènements et langage ensemliste A quelle condition sur (a,, c, d) ]0, 1[ 4 existe-t-il une proailité P sur
Plus en détailAlgorithmes sur les mots (séquences)
Introduction Algorithmes sur les mots (séquences) Algorithmes sur les mots (textes, séquences, chines de crctères) Nomreuses pplictions : ses de données iliogrphiques ioinformtique (séquences de iomolécules)
Plus en détailSYSTEME DE TELEPHONIE
YTEME DE TELEPHOIE LE OUVEUTE PTIE MOITEU COULEU Le système de téléphonie comporte un moniteur vec un écrn couleurs de intégré u téléphone. Cette prtie est disponile en lnc, nthrcite et Tech. TLE DE MTIEE
Plus en détailBaccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue
Plus en détailStatuts ASF Association Suisse Feldenkrais
Sttuts ASF Assocition Suisse Feldenkris Contenu Pge I. Nom, siège, ojectif et missions 1 Nom et siège 2 2 Ojectif 2 3 Missions 2 II. Memres 4 Modes d ffilition 3 5 Droits et oligtions des memres 3 6 Adhésion
Plus en détailToyota Assurances Toujours la meilleure solution
Toyot Assurnces Toujours l meilleure solution De quelle ssurnce vez-vous besoin? Vous roulez déjà en Toyot ou vous ttendez s livrison. Votre voiture est neuve ou d occsion. Vous vlez les kilomètres ou
Plus en détailVIBRATIONS COUPLEES AVEC LE VENT
VIBRATIONS OPLEES AVE LE VENT Pscl Hémon Lbortoire d Hydrodynmique, LdHyX Ecole Polytechnique, Pliseu Octobre 00 Vibrtions couplées vec le vent Si vous pense que j i révélé des secrets, je m en ecuse.
Plus en détailO, i, ) ln x. (ln x)2
EXERCICE 5 points Commun à tous les candidats Le plan complee est muni d un repère orthonormal O, i, j Étude d une fonction f On considère la fonction f définie sur l intervalle ]0; + [ par : f = ln On
Plus en détailTOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET
TOUT E QU IL FUT SVOIR POUR LE REVET NUMERIQUE / FONTIONS eci n est qu un rappel de tout ce qu il faut savoir en maths pour le brevet. I- Opérations sur les nombres et les fractions : Les priorités par
Plus en détail- Phénoméne aérospatial non identifié ( 0.V.N.I )
ENQUETE PRELIMINAIRE ANALYSE ET REFEREWCES : Phénoméne érosptil non identifié ( 0VNI ) B8E 25400 DEF/GEND/OE/DOlRENS du 28/9/1992 Nous soussigné : M D L chef J S, OPJ djoint u commndnt de l brigde en résidence
Plus en détailCours Fonctions de deux variables
Cours Fonctions de deux variables par Pierre Veuillez 1 Support théorique 1.1 Représentation Plan et espace : Grâce à un repère cartésien ( ) O, i, j du plan, les couples (x, y) de R 2 peuvent être représenté
Plus en détailLe canal étroit du crédit : une analyse critique des fondements théoriques
Le cnl étroit du crédit : une nlyse critique des fondements théoriques Rfl Kierzenkowski 1 CREFED Université Pris Duphine Alloctire de Recherche Avril 2001 version provisoire Résumé A l suite des trvux
Plus en détailDéveloppements limités, équivalents et calculs de limites
Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(
Plus en détailGuide des bonnes pratiques
Livret 3 MINISTÈRE DE LA RÉFORME DE L'ÉTAT, DE LA DÉCENTRALISATION ET DE LA FONCTION PUBLIQUE 3 Guide des bonnes prtiques OUTILS DE LA GRH Guide des bonnes prtiques Tble des mtières 1. Introduction p.
Plus en détailComparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10
PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?
Plus en détailChapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme
Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet
Plus en détailAvant d utiliser l appareil, lisez ce Guide de référence rapide pour connaître la procédure de configuration et d installation.
Guide de référence rpide Commencer Avnt d utiliser l ppreil, lisez ce Guide de référence rpide pour connître l procédure de configurtion et d instlltion. NE rccordez PAS le câle d interfce mintennt. 1
Plus en détailThèse Présentée Pour obtenir le diplôme de doctorat en sciences En génie civil Option : structure
République Algérienne Démocrtique et Populire Ministère de l enseignement supérieur et de l recherche scientifique Université Mentouri de Constntine Fculté des sciences et sciences de l ingénieur Déprtement
Plus en détailGuide d'utilisation Easy Interactive Tools Ver. 2
Guide d'utilistion Esy Interctive Tools Ver. 2 Guide d'utilistion Esy Interctive Tools Ver.2 Présenttion de Esy Interctive Tools 3 Crctéristiques Fonction de dessin Vous pouvez utiliser Esy Interctive
Plus en détailChapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque
Universités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Analyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque 1 Fonctions intégrables Définition 1 Soit I R un intervalle et soit f : I R + une fonction
Plus en détailCompte rendu de la validation d'un observateur cascade pour la MAS sans capteurs mécaniques sur la plate-forme d'essai de l'irccyn
Compte rendu de l vlidtion d'un oservteur cscde pour l MAS sns cpteurs mécniques sur l plte-forme d'essi de l'irccyn Mlek GHANES, Alin GLUMINEAU et Roert BOISLIVEAU Le 1 vril IRCCyN: Institut de Recherche
Plus en détailContinuité en un point
DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à
Plus en détailChp. 4. Minimisation d une fonction d une variable
Chp. 4. Minimisation d une fonction d une variable Avertissement! Dans tout ce chapître, I désigne un intervalle de IR. 4.1 Fonctions convexes d une variable Définition 9 Une fonction ϕ, partout définie
Plus en détailComplément d information concernant la fiche de concordance
Sommaire SAMEDI 0 DÉCEMBRE 20 Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui : La fiche de concordance pour le DAEU ; Page 2 Un rappel de cours
Plus en détail/HVV\VWqPHVFRPELQDWRLUHV
/HVV\VWqPHVFRPELQDWRLUHV I. Définition On ppelle système combintoire tout système numérique dont les sorties sont exclusivement définies à prtir des vribles d entrée (Figure ). = f(x, x 2,,, x n ) x x
Plus en détailCCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé
CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P
Plus en détailAnnexe II. Les trois lois de Kepler
Annexe II es tois lois de Keple écnique & 4 èe - Annexe II es tois lois de Keple Johnnes Keple (57-6), pulie en 596 son peie ouge, ysteiu Cosogphicu Teize nnées plus td, en 69, il pulie Astonoi No, dns
Plus en détailINSTALLATION DE DETECTION INCENDIE
reglement > > instlltion E ETECTON NCENE NSTALLATON E ETECTON NCENE Une instlltion de détection incendie pour objectif de déceler et signler, le plus tôt possible, d une mnière fible, l nissnce d un incendie,
Plus en détailINTRODUCTION. 1 k 2. k=1
Capes externe de mathématiques : session 7 Première composition INTRODUCTION L objet du problème est l étude de la suite (s n n définie par : n, s n = Dans une première partie, nous nous attacherons à
Plus en détailCalcul intégral élémentaire en plusieurs variables
Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables PC*2 2 septembre 2009 Avant-propos À part le théorème de Fubini qui sera démontré dans le cours sur les intégrales à paramètres et qui ne semble pas explicitement
Plus en détailExo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs
Eo7 Limites de fonctions Théorie Eercice Montrer que toute fonction périodique et non constante n admet pas de ite en + Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une ite finie en + Indication
Plus en détailDéveloppements limités usuels en 0
Développements limités usuels en 0 e x sh x ch x sin x cos x = + x! + x! + + xn n! + O ( x n+) = x + x3 3! + + xn+ (n + )! + O ( x n+3) = + x! + x4 4! + + xn (n)! + O ( x n+) = x x3 3! + + ( )n xn+ (n
Plus en détailRégression multiple : principes et exemples d application. Dominique Laffly UMR 5 603 CNRS Université de Pau et des Pays de l Adour Octobre 2006
Régression multiple : principes et eemples d ppliction Dominique Lffly UMR 5 603 CNRS Université de Pu et des Pys de l Adour Octobre 006 Destiné à de futurs thémticiens, notmment géogrphes, le présent
Plus en détailSOCIÉTÉ LINNÉENNE DE LYO N FONDEE EN 182 2
39 nnée N 6 Juin 197 0 BULLETIN MENSUE L DE LA SOCIÉTÉ LINNÉENNE DE LYO N FONDEE EN 182 2 RECONNUE D'UTILITE PUBLIQUE PAR DECRET DU 9 AOUT 193 7 des SOCIETES BOTANIQUE DE LYON, D'ANTHROPOLOGIE ET DE BIOLOGIE
Plus en détailRadioCommunications CDMA
Conservtoire tionl es Arts et Métiers Cours u Conservtoire tionl es Arts et Métiers RioCommunitions CDMA (Version 7) Mihel Terré terre@nmfr Eletronique C4 / Conservtoire tionl es Arts et Métiers Les performnes
Plus en détailModification simultanée de plusieurs caractéristiques d un bien hédonique : une nouvelle méthode de calcul de la variation de bien-être des ménages
Modifiction simultnée de plusieurs crctéristiques d un bien hédonique : une nouvelle méthode de clcul de l vrition de bien-être des ménges Trvers Muriel * Version provisoire Résumé : De nombreuses situtions
Plus en détailSommaire. 6. Tableau récapitulatif... 10. Sophos NAC intégré Vs. NAC Advanced - 17 Février 2009 2
Sommire 1. A propos de Sophos... 3 2. Comprtif des solutions Sophos NAC... 4 3. Sophos NAC pour Endpoint Security nd Control 8.0... 4 3.1. Administrtion et déploiement... 4 3.2. Gestion des politiques
Plus en détailImage d un intervalle par une fonction continue
DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction
Plus en détailIntroduction à la modélisation et à la vérication p. 1/8
Introduction à l modélistion et à l vériction Appliction ux systèmes temporisés Ptrici Bouyer LSV CNRS & ENS de Cchn Introduction à l modélistion et à l vériction p. 1/8 Modélistion & Vériction Introduction
Plus en détailFonctions de deux variables. Mai 2011
Fonctions de deux variables Dédou Mai 2011 D une à deux variables Les fonctions modèlisent de l information dépendant d un paramètre. On a aussi besoin de modéliser de l information dépendant de plusieurs
Plus en détailFonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre
IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables
Plus en détailDéveloppements limités. Notion de développement limité
MT12 - ch2 Page 1/8 Développements limités Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R non vide et non réduit à un point. I Notion de développement limité Dans tout ce paragraphe, a désigne un
Plus en détailBaccalauréat S Asie 19 juin 2014 Corrigé
Bcclurét S Asie 9 jui 24 Corrigé A. P. M. E. P. Exercice Commu à tous les cdidts 4 poits Questio - c. O peut élimier rpidemet les réposes. et d. cr les vecteurs directeurs des droites proposées e sot ps
Plus en détailPROBLEME(12) Première partie : Peinture des murs et du plafond.
PROBLEME(12) Une entreprise doit rénover un local. Ce local a la forme d'un parallélépipède rectangle. La longueur est 6,40m, la largeur est 5,20m et la hauteur est 2,80m. Il comporte une porte de 2m de
Plus en détailCommun à tous les candidats
EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle
Plus en détailI. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détailFIG. 1 Module de stockage en position horizontale ; positionnement des jauges de déformation.
Anlyse thermo-mécnique dun prototype de stockge hybride (solide-gzeux) dhydrogène D. CHAPELLE, O. GILLIA b, M. FELDIC. Institut FEMTO ST, UMR 6174, Déprt. Mécnique Appliquée, 24 rue de l Epitphe, 25000
Plus en détailGuide de l'utilisateur
Guide de l'utilisteur Symboles Utilisés Dns ce Guide Indictions de sécurité L documenttion et le projecteur utilisent des symboles grphiques qui indiquent comment utiliser l ppreil en toute sécurité. Veillez
Plus en détailExercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques.
14-3- 214 J.F.C. p. 1 I Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. Exercice 1 Densité de probabilité. F { ln x si x ], 1] UN OVNI... On pose x R,
Plus en détailAC AB. A B C x 1. x + 1. d où. Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : x =
LE NOMBRE D OR Présentation et calcul du nombre d or Euclide avait trouvé un moyen de partager en deu un segment selon en «etrême et moyenne raison» Soit un segment [AB]. Le partage d Euclide consiste
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détailManSafe. pour les Utilitiés. La Protection antichute pour les Industries de l'energie. Français. TowerLatch LadderLatch
MnSfe pour les Utilitiés L Protection ntichute pour les Industries de l'energie Frnçis TowerLtch LdderLtch Les questions de protection nti-chute Les chutes de huteur sont l cuse de mortlité l plus importnte
Plus en détail1. 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 2. 2.1.
T/TR 01-01 Pge 3 r+ 1. EQUIPMENT CONCERNE L interconnexion numerique interntionl pour le service visiophonique et de visioconf&ence necessite l stndrdistion des principux prmttres num&iques tels que d~it,
Plus en détailSciences Industrielles Précision des systèmes asservis Papanicola Robert Lycée Jacques Amyot
Scence Indutrelle Précon de ytème erv Pncol Robert Lycée Jcque Amyot I - PRECISION DES SYSTEMES ASSERVIS A. Poton du roblème 1. Préentton On vu que le rôle d un ytème erv et de fre uvre à l orte (t) une
Plus en détailI - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES
I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailINSTRUCTIONS POUR L INSTALLATION ET LE FONCTIONNEMENT DES SERRURES À POIGNÉE BÉQUILLE
INSTRUCTIONS POUR L INSTALLATION ET LE FONCTIONNEMENT DES SERRURES À POIGNÉE BÉQUILLE POUR LES SERRURES D ENTRÉE À CLÉ EXTÉRIEURES VERROUILLABLES, À POIGNÉE DE BRINKS HOME SECURITY. POUR LES PORTES DE
Plus en détailDérivation : Résumé de cours et méthodes
Dérivation : Résumé de cours et métodes Nombre dérivé - Fonction dérivée : DÉFINITION (a + ) (a) Etant donné est une onction déinie sur un intervalle I contenant le réel a, est dérivable en a si tend vers
Plus en détailLa spirale de Théodore bis, et la suite «somme=produit».
Etde d e vrite de l spirle de Théodore, dot issce à e site dot les sommes prtielles sot égles x prodits prtiels. Mots clés : spirle de Théodore, théorème de Pythgore, site, série, polyôme. L spirle de
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Plus en détailConstruction de la bissectrice d un angle
onstruction de la bissectrice d un angle 1. Trace un angle. 1. 2. Trace un angle cercle. de centre (le sommet de l angle) et de rayon quelconque. 1. 2. 3. Trace Le cercle un angle cercle coupe. de la demi-droite
Plus en détail