Espaces vectoriels normés ; espaces de Banach

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1 Chpitre 7 Espces vectoriels normés ; espces de Bnch Un espce vectoriel normé complet est ppelé un espce de Bnch On note K pour R ou C 71 Exemples d espces vectoriels normés 711 Normes sur K n Sur K n, on connît les normes clssiques, définies pour x = x 1,,x n ) pr : )1 n x = mx x n i, x 1 = x i, x 2 = x i i n Pour p > 1 on pose : n x p = x i p p Remrque 711 Hbituellement p est entier, mis ce n est ps obligtoire Proposition 712 p définit une norme sur K n L inéglité tringulire est conséquence de l dernière des inéglités de convexité qui suivent Toutes les normes sur K n sont équivlentes ; pour toutes les normes on obtient un espce de Bnch 712 Inéglités de convexité Lemme 713 Pour > 0, b > 0, α > 0, β > 0 vec α + β = 1, on : α + βb α b β 26

2 Démonstrtion L fonction logrithme est concve, donc : lnα + βb) α ln + β ln b = ln α b β ) Lemme 714 Pour x 0, y 0, p > 1, q > 1 vec 1 p + 1 q = 1, on : xy 1 p xp + 1 q xq Démonstrtion Le cs x = 0 ou y = 0 est clir Pour x > 0 et y > 0, on pplique le lemme précédent à : = x p, b = x q, α = 1 p, β = 1 q Théorème 715 Inéglité de Hölder) Soient p > 1, q > 1 vec p q i 0 et b i 0, 1 i n, on : = 1 Pour n n i b i p i p n b q i )1 q Démonstrtion On pose : A = n p i p b q i, B = n )1 q Pour chque i, on pplique le lemme précédent à x = i, y = b i, puis on dditionne : A B n i b i A B 1 p n p i A p + 1 q n b q i B q = 1 ; donc : n n i b i AB = p i p n b q i )1 q Théorème 716 Inéglité de Minkowsky) Soit p 1 Pour i 0 et b i 0, 1 i n, on : n i + b i ) p p n p p n i + b p p i 27

3 Démonstrtion Le cs p = 1 est connu : c est l inéglité tringulire pour l norme 1 Pour p > 1, on pose : q = p, de fçon à voir : = 1 On pplique lors p 1 p q l inéglité de Hölder d une prt ux i et i +b i ) p 1, d utre prt ux b i et i +b i ) p 1 ; puis on dditionne n i + b i ) p n )1 p p n i i + b i ) p 1)q q n )1 + b p p n i i + b i ) p 1)q q n p p n i + b p p n ) 1 1 i i + b i ) p p D où l conclusion : n 1 1 i + b i ) p p ) n = i + b i ) p p n p i p n + b p p i Corollire 717 Soit p 1 Pour x = x 1,,x n ) K n et y = y 1,,y n ) K n, on : n x i + y i p p n x i p p n + y i p p Démonstrtion Cel résulte de : x i + y i x i + y i pour tout i, et de l inéglité de Minkowsky 713 Normes sur les espces de suites On note l K) le K-espce vectoriel formé des suites bornées à vleurs dns K L espce l K) est un espce de Bnch vec l norme définie pr : u = sup u n On note l 1 K) le K-espce vectoriel formé des suites u pour lesquelles l série u n converge Proposition 718 L espce l 1 K) est un espce de Bnch vec l norme définie pr : u 1 = u n Démonstrtion Soit X m ) m 0 une suite de Cuchy dns l 1 K) Pour chque m, X m est une suite dont le terme d indice n est noté X m n Toute suite u de l 1 K) est bornée, et : u u 1 L suite X m ) m 0 est donc ussi une suite de Cuchy dns l K) Elle converge dns l K) vers une suite u Il reste à voir que : 28

4 ) L limite u est dns l 1 K); b) l suite X m ) m 0 converge vers u dns l 1 K) Pour ǫ > 0, il existe M ǫ tel que : m M ǫ, m M ǫ, X m n X m n ǫ Pour prouver ), on peut ppliquer à ǫ = 1; on note M 1 = M m M 1 Xn m Xn M 1 Pour N fixé : N m M ǫ, Xn m Xn M 1 En pssnt à l limite qund m tend vers + : donc : N u n Xn M 1, N N u n 1 + Xn M 1 + X M 1 Ce qui prouve l convergence de l série : N u n, c est à dire ) Pour prouver b) on reprend le critère de Cuchy : m M ǫ, m M ǫ, Xn m Xn m ǫ Pour N fixé : m M ǫ, m M ǫ, N On psse à l limite qund m tend vers l infini : m M ǫ N X m n X m n ǫ X m n u n ǫ L mjortion précédente vut pour tout N, donc : m M ǫ Xn m u n ǫ On prouvé b) : ǫ > 0, M ǫ, m M ǫ, X m u 1 ǫ 29

5 Pour p > 1, on note l p K) le K-espce vectoriel formé des suites u pour lesquelles l série u n p converge Proposition 719 L espce l p K) est un espce de Bnch vec l norme définie pr : u p = u n p p Exercice 7110 Démontrer l proposition Normes sur les espces de fonctions On connît déjà l espce des fonctions bornées sur un ensemble I pr exemple un intervlle) : BI, K), ) est un espce de Bnch On note C[, b], K) l espce des fonctions continues sur l intervlle [, b], à vleurs dns K : C[, b], K), ) est un espce de Bnch ; c est un sous-espce fermé de B[, b], K) Pour p 1, et f C[, b], K), on pose : Ç b f p = å 1 fx) p p dx Proposition 7111 C[, b], K), p ) est un espce vectoriel normé Remrque 7112 Ce n est ps un espce de Bnch : voir l exercice 7113 Démonstrtion L fonction f étnt continue, f p l est ussi et donc On bien : Pour λ K, b fx) p dx = 0 x [, b] fx) = 0) f p = 0 f est nulle) Ç b λf p = å 1 å 1 λfx) p p b dx = Ç λ p fx) p p dx = λ f p Pour toute fonction h continue, l intégrle sur un intervlle fermé [, b] est l limite des sommes de Riemnn : Ç b b n hx)dx = lim h + k b å n + n n k=1 30

6 Pour f et g dns C[, b], K), l inéglité de Minkowski nous donne, pour tout n : n f + g) + kb k=1 n ) p p n f + kb k=1 n ) p p n + g + kb k=1 n ) p p En multiplint pr Ä ä 1 b p, puis en prennt l limite des sommes de Riemnn, on obtient n l inéglité souhitée : Ç b å 1 Ç å 1 f + g)x) p p b Ç å 1 dx fx) p p b dx + gx) p p dx Exercice 7113 Démontrer que l suite de fonction f n ) définie sur [ 1, 1] pr : fx) = 1 si x [ 1, 1], n fx) = nx si x [ 1, 1], n n fx) = 1 si x [ 1, 1] n est de Cuchy mis ne converge ps dns C[, b], K), 1 ) 72 Linérité et continuité On note LE,F) l espce vectoriel des pplictions linéires continues entre les K- espces vectoriels normés E, E ) et F, F ) Rppel : Une ppliction linéire est continue si et seulement si elle est bornée sur l boule unité Pour f LE,F), on pose : Nf) = sup fx) F x E =1 Proposition 721 ) N est une norme sur l espce vectoriel LE,F) b) Pour tout x E, on : fx) F Nf) x E c) Pour f LE,F), g LF, G), on : Ng f) Nf) Ng) Démonstrtion b) Pour x 0 E, on pose x 0 = 1 x E On x 0 E = 1, donc : fx 0 ) F Nf), d où : fx) = x E fx 0 ) F x E Nf) ) Montons l inéglité tringulire les deux utres points de l définition de l norme sont immédits) Soient f et g dns LE,F) Pour tout x B f 0 E, 1), on : f + g)x) F fx) F + gx) F Nf) + Ng) 31

7 Donc : c) Pour x B f 0 E, 1), on : Nf + g) = sup f + g)x) F Nf) + Ng) x E =1 gfx) G Ng) fx) F Ng) Nf) Proposition 722 Lorsque F est un espce de Bnch, l espce LE,F), N) est un espce de Bnch Remrque 723 En prticulier LE, K), N) est un espce de Bnch, ppelé le dul topologique de K et souvent noté E Théorème 724 Continuité des pplictions bilinéires) Soit f : E F G une ppliction bilinéire entre espces vectoriels normés On met sur E F l norme produit : x, y) = mx x E, y F ) Il y équivlence entre : ) f est continue en 0 E, 0 F ) b) f est bornée sur B f 0 E, 1) B f 0 F, 1) c) f est uniformément continue sur B f O E, R) B f 0 F, R) pour tout R > 0 d) f est continue Démonstrtion d) )! ) b) L continuité en 0 E, 0 F ) ssure l existence de α > 0 tel que : En utilisnt l linérité : x, y) E, x, y) α fx, y) G 1 x, y) E, x, y) 1 fx, y) G 1 α Ce qui prouve b) : x, y) 1) x, y) B f 0 E, 1) B f 0 F, 1) b) c) Supposons que fx, y) G M pour tout x, y) B f 0 E, 1) B f 0 F, 1) On déduit le lemme suivnt l preuve est nlogue à celle de 721 b) ) : Lemme 725 x E, y F, fx, y) G M x E y F Pour x, y) et x, y ) = x + h, y + k) dns B f O E, R) B f 0 F, R), on : fx, y ) fx, y) G fx, y ) fx, y ) G + fx, y ) fx, y) G = fh, y ) G + fx, MR h E + MR k F 2MR h, k) c) d) L continuité sur B f O E, R) B f 0 F, R) vec R = 2 x, y) entrîne l continuité en x, y) 32

8 Proposition 726 Soit E, E ) un espce vectoriel normé sur K ) L norme est une ppliction 1-lipschitzienne de E dns K b) L ddition est une ppliction linéire continue de E E dns E c) L multipliction externe est une ppliction bilinéire continue de K E dns E Exercice 727 Démontrer l proposition précédente On vu qu un espce métrique X, d) dmet une complétion, c est à dire qu il existe un espce métrique complet X, d) et une ppliction isométrique g : X X, d imge dense De plus deux complétions sont cnoniquement isométriques : X est ppelé le complété de X L construction s pplique ux espces vectoriels normés Théorème 728 Le complété d un espce vectoriel normé est un espce de Bnch Démonstrtion On v seulement donner les étpes de l preuve On sit déjà que le complété Ẽ, d) est un espce métrique complet qui contient l imge de) E comme sous-espce dense On montre : que l ddition se prolonge à Ẽ Ẽ uniforme continuité); que l multipliction externe se prolonge à K Ẽ uniforme continuité sur les produits de boule fermées) que ces prolongements vérifient les xiomes de l définition d espce vectoriel utilistion de l continuité) que l norme se prolonge à Ẽ uniforme continuité), et que l distnce d est ssociée à ce prolongement Exemple 729 Pour p 1, le complété de C[, b], K),, p ) est un espce de Bnch noté L p [, b], K) Exemple 7210 On obtient ussi un espce de Bnch L p R, K), en complétnt l espce C c [, b], K) des fonctions continues à support compct à vleurs dns K, muni de l norme p 73 Notion d lgèbre normée Une lgèbre sur K est un espce vectoriel A muni d un produit, c est à dire une ppliction de A A dns A qui est bilinéire Les exemples de bses sont les lgèbres de polynômes, les lgèbres de mtrices et les lgèbres d endomorphismes Une norme d lgèbre sur une lgèbre A est une norme N sur A telle que : u A, v A, Nuv) Nu)Nv) On dit lors que A est une lgère normée L espce vectoriel d endomorphismes continus : LE,E), noté simplement LE) est une lgèbre normée vec l norme N étudiée plus hut Une lgèbre de Bnch est une lgèbre normée complète, pr exemple LE) lorsque E lui-même est un espce de Bnch 33