Autour des polynômes

Transcription

1 utour des polynômes Introduction Nous nous limiterons au polynômes à une indéterminée X, construits sur les réels IR ou les complees C. Un polynôme P est défini par : k=n P X = a 0 + a X + a 2 X a n X n = a k X k oùles a k sont les coefficients réels ou complees du polynôme P. Le degré d un polynôme est n si a n est non nul et on note d P = n. On peut calculer le polynôme dérivé de P noté P k=0 P X = a + 2a 2 X na n X n Un nombre r réel ou complee est une racine du polynôme P si et seulement si ssi P r = 0 Il eiste alors un polynôme Q unique de degré égal au degré de P moins, tel que P X = X r Q X S il eiste un polynôme Q 2 de degré égal au degré de P moins 2, tel que P X = X r 2 Q 2 X avec Q 2 r 0 alors on dit que r est une racine double du polynôme P. Plus généralement s il eiste un polynôme Q m avec d Q = d P m, tel que P X = X r m Q m X avec Q m r 0 on dit que r est une racine multiple d ordre m du polynôme P. Théorème Le nombre r est une racine multiple d ordre m du polynôme P ssi P r = P r = P r =... = P m r = 0 et P m r 0 où P q désigne la dérivée d ordre q du polynôme P. Théorème 2 Un polynôme à coefficients complees de degré n positif, peut se mettre de façon unique sous la forme P X = a n X r m X r 2 m 2 X r 3 m 3... X r k m k avec d P = m + m 2 + m m k et r i C r, r 2,..., r k étant des racines distinctes de multiplicité respective m, m 2,..., m k. Théorème 3 Tout polynôme à coefficients complees de degré n, possède donc eactement n racines dans C, chaque racine étant comptée avec son ordre de multiplicité. Nelly POINT Version

2 Remarque Si un polynôme est à coefficients réels, il peut y avoir des racines complees mais, si r est racine multiple d ordre m, alors le nombre complee conjugué r est aussi racine multiple d ordre m du polynôme P, si r = α + iβ alors r est r = α iβ où α et β sont des réels appelés respectivement partie réelle et partie imaginaire de r. Relation entre coefficients et racines dans le cas du trinôme: Cas d P = 2, et P X = a 0 + a X + a 2 X 2, alors il eiste r, r 2 C tels que a 0 + a X + a 2 X 2 = a 2 X r X r 2 = a 2 X 2 r + r 2 X + r r 2 On en déduit en identifiant les relations entre coefficients et racines somme des racines = r + r 2 = a a 2 produit des racines = r r 2 = a 0 a 2 Relation entre coefficients et racines dans le cas général Cas d P = n > 2 et P X = a 0 + a X + a 2 X a n X n. On a 2 Identités remarquables r + r r n = a n a n ri r j = + a n 2 a n ri r j r k = a n 3 a n r r 2... r n = n a 0 a n Elles sont utiles pour développer ou au contraire factoriser les polynômes. On rappelle seulement ici les puissances de X a X a 2 = X 2 2aX + a 2 X a 3 = X 3 3aX 2 + 3a 2 X a 3 X a 4 = X 4 4aX 3 + 6a 2 X 2 4a 3 X + a 4 etc cf triangle de Pascal X a n = X n C nax n + C 2 na 2 X n k C k na k X n k n a n avec C k n = n! k!n k! qui est le nombre de combinaisons de k objets choisis parmi n. Il peut être utile de trouver les racines n ième du nombre complee pour factoriser le polynôme X n X n = X r 0 X r X r 2 X r 3...X r n avec r k = e i2πk/n où k = 0,, 2,..., n, Les r k sont les n racines n ièmes de l unité. On remarque que r 0 = est racine de X n pour tout n. On a l identité remarquable Nelly POINT 2 Version

3 X n = X X n + X n 2 + X n utilisée le plus souvent pour calculer la somme partielle d une série géométrique : 3 Divisions des polynômes + X X n 3 + X n 2 + X n = Xn X Il y a deu sortes de division d un polynôme par un autre: - la division euclidienne ou suivant les puissances décroissantes - la division suivant les puissances croissantes. Division euclidienne. On dit que le polynôme Q est le quotient du polynôme P par le diviseur D, avec un reste R ssi P X = DXQX + RX avec d R < d D ou bien R = 0. Le résultat est unique. On dit que P est un multiple de D ou D divise P si R = 0. Division selon les puissances croissantes. On dit que le polynôme Q m est le quotient du polynôme P par le diviseur D à l ordre m m N ssi P X = DXQ m X + X m R m X avec d Q m < m ou Q m = 0 Cette notion de division est bien moins utile que la division euclidienne, et l ordre m peut être fié arbitrairement. 4 Fractions rationnelles Une fraction rationnelle est le quotient d un polynôme P par un polynôme Q. P est appelé le numérateur et Q le dénominateur. Si P et Q n ont pas de racines communes, la fraction rationnelle P Q est dite irréductible. Les racines a i du dénominateur Q sont les pôles de la fraction rationnelle. La partie entière de la fraction rationnelle est le quotient de P par Q dans la division euclidienne i.e. selon les puissances décroissantes. Pour pouvoir calculer les primitives d une fraction rationnelle, il faut la décomposer en une somme de fonctions simples dont on sait calculer les primitives. Cette méthode, que l on appelle décomposition en éléments simples, est un outil indispensable pour le calcul des intégrales. C est également utile pour calculer une fonction dont la transformée de Laplace est une fraction rationnelle utilisation fréquente en automatisme. Théorème 4 Une fraction rationnelle irréductible est la somme de sa partie entière et des parties principales relatives à ses pôles. En notant n i la multipicité du pôle a i C, on a : P Q E a a i a i a i ni a i n i i Les coefficients j sont des nombres réels ou complees. Cette décomposition est unique. Nelly POINT 3 Version

4 Si Q est à coefficients réels alors ses racines complees sont 2 à 2 conjuguées. Plus précisément, si α i est racine non réelle multiple d ordre m i, alors α i est aussi racine multiple d ordre m i. De plus, on peut noter grâce au relations entre coefficients et racines que α i α i = 2 α i + α i + α i α i = 2 p i + q i avec p i et q i réels Théorème 5 Une fraction rationnelle irréductible à coefficients réels peut être décomposée en éléments ne comportant que des coefficients réels. En notant m i la multiplicité des pôles complees conjugués α i et α i, on a : P Q E + + a i pôles réels pôles non réels a i ni a i n i M + N 2 + p i + q i + M 2 + N p i + q i M m i + N mi 2 + p i + q i m i où les coefficients j, a i,..., M j, N j,..., p i, q i,...sont des nombres réels. L intérêt pratique de cette décomposition sur les réels est d éviter, lors de l intégration d une fraction rationnelle, d être amené à parler de logarithme de la quantité complee α i. Le calcul pratique des coefficients littérau j,..., M j, N j, est basé sur l utilisation de l identité entre les deu epressions. On peut donc remplacer la variable par n importe quelle valeur, il y a toujours égalité entre les epressions à gauche et à droite du signe égal. Pour calculer ni on multiplie par a i n i puis on fait tendre vers a i. méthode classique. Si E = 0, on peut multiplier par puis faire tendre vers. On peut aussi utiliser la parité ou donner des valeurs particulières à autres que les valeurs des pôles. Si l ordre d un pôle réel est supérieur à 3, on peut faire un changement de variable a i = X puis faire une division suivant les puissances croissantes. 5 pproimation locale d une fonction par un polynôme Si une fonction f admet des dérivées jusqu à l ordre n au voisinage d un point a et si la dérivée n ième est continue en a, on peut approcher localement en a la fonction f par un polynôme P de degré inférieur ou égal à n de sorte que : f = P + a n ε a avec lim h 0 εh = 0 Le polynôme P est défini de façon unique par P = fa + f a! a + f a 2! a 2 + f 3 a 3! a f n a a n n! Cette formule s appelle la formule de Taylor. On a fait un développement limité à l ordre n de la fonction f au voisinage de a. Si f est un polynôme, alors tout développement limité, d ordre égal ou supérieur au degré de f, donne une epression eacte le terme correctif ε est alors réduit à 0. Cette démarche est utile pour analyser le comportement local d une fonction Nelly POINT 4 Version

5 pour lever une indétermination dans le cas de la recherche d une limite et alors souvent il suffit de trouver le premier terme non nul du développement pour chercher une tangente en a alors l ordre suffit en analyse numérique pour faire des calculs approchés etc... Comme le calcul des dérivées successives est souvent fastidieu, on commence par faire un changement de variable en posant u = a, et on étudie alors le développement limité au voisinage de 0 de la fonction F u = fa + u. Pour ce faire, on utilise les développements limités en zéro dits développements limités de MacLaurin des fonctions usuelles et que l on trouve dans les formulaires. Pour trouver une asymptote éventuelle quand f tend vers une limite finie, on pose v = et on développe vf v au voisinage de v = 0 avec F v = f v. 6 Eercices. Trouver une racine évidente du polynôme P = Préciser la multiplicité de cette racine. En déduire les autres racines de P On a P = 0, donc est racine. Le polynôme dérivé est P = , on a aussi P = 0, et P = mais P = 8 0. Donc est racine double et P est divisible par 2. On a P = Les 2 autres racines r et r 2 de P doivent donc vérifier r + r 2 = 7 et r r 2 = 0 donc ces 2 racines sont 2 et Montrer que le polynôme P = admet comme racine triple. En déduire les autres racines de P et écrire P sous forme de produit. P = Calculer le quotient et le reste des divisions euclidiennes suivantes : par par par + i 5 par = = = + i 2 + i 2 i i 5 = Relations entre coefficients et racines Trouver λ pour que l une des racines de λ soit le double d une autre. λ = ±6. Nelly POINT 5 Version

6 5. Décomposition des fractions rationnelles en éléments simples R = R3 = R2 = R4 = a La partie entière de R est nulle car d numérateur< d dénominateur, les pôles sont 2 et 3 et ils sont simples. La décomposition est donc de la forme R 2 + B 3 On calcule la constante en multipliant la relation ci-dessus par 2, 2R = + 2 B 3 Comme cette égalité est valable pour tout c est une identité en, on fait tendre vers 2, le dernier terme en B tend vers 0, et on obtient ainsi la valeur de la constante en passant à la limite dans le terme en R après avoir simplifié : 3 = lim 2 R = lim = lim = 5 = 5. De même pour calculer B, on multiplie par 3 puis on fait tendre vers 3, on obtient 3 B = lim 3 R = lim = lim = 8. b La partie entière de R2 est nulle. Le dénominateur se factorise en + 2. Le pôle est double. La décomposition est de la forme R2 On calcule comme ci-dessus car + R2 + + B B + C 2 2 C et donc on annule le dernier terme en faisant tendre vers -, d où = lim + R = lim + = lim = 7 4 On ne peut pas appliquer la même méthode au calcul de B. Car si on multiplie simplement par R2 + + B + C en faisant tendre vers, les deu membres de l identité tendent vers l infini, ce qui ne sert à rien. On adapte l idée précédente en multipliant par 2 puique est pôle double. On a + B + C 2 R2 2 + En faisant tendre vers, on obtient la valeur, non pas de B, mais de C C = lim 2 R2 = lim 2 = lim Il reste à touver B. L identité 2 est valable pour tout. Une valeur particulière menant à des calculs très simples, est l infini. Mais on commence par multiplier les deu membres de 2 par puis alors seulement on fait tendre vers sinon, avant, on trouve 0 = B = 3 2. C 2 = 0 = + B + 0 et donc = Nelly POINT 6 Version

7 c La fraction rationnelle R3 est à coefficients réels, et a 2 pôles réels et 2 pôles complees conjugués car = s annule pour = 2 ± i. Comme le degré du numérateur moins celui du dénominateur vaut, il faut calculer la partie entière, qui doit être de degré. En faisant la division euclidienne,. on trouve + 4. La décomposition est donc de la forme = B + + C + D On calcule la constante en multipliant la relation ci-dessus part, R3 = B + + C+D On fait tendre vers, on obtient ainsi la valeur de la constante = lim R3 = lim = lim = 4. De même pour trouver B, on multiplie par +, d où: + R3 = B C+D En faisant tendre vers -, le dernier facteur s annule. En levant l indétermination dans le premier membre on trouve B = lim + R3 = lim = 20. Pour trouver C et D, on peut donner à des valeurs arbitraires autre que les valeurs des pôles. Par eemple pour = 0 on obtient 0 = B + D 5 Pour = 2 on a d où = B 3 + 2C+D = d Comme = , R4 a deu pôles doubles 2 et -2. Le numérateur et le dénominateur ont même degré, sa partie entière est de degré 0 donc c est une constante qui vaut 5 inutile de chercher la valeur du reste de la division euclidien quand on connaît le quotient. La décomposition en éléments simples est donc de la forme: R4 = = B C D Comme 2 est pôle double, on peut calculer la constante C en multipliant 4 part 2 2 et on a : 2 2 R4 = B D C On fait tendre vers 2, on obtient ainsi la valeur de la constante C C = lim 2 2 R4 = lim = lim = 5 2. On calcule de la même façon D : R4 = C + B D 2 2 D = lim R4 = lim = lim = 5 2. Nelly POINT 7 Version

8 Pour trouver et B, on peut donner à deu valeurs arbitraires, à condition que ce ne soient pas des pôles. On peut aussi auparavant remarquer que la fonction R4 est paire donc la décomposition en éléments simples doit vérifier la même relation 2 + B +2 + C + D B +2 + C B 2 + C + D R4 = 5 + R4 = 5 + = 5 D +2 2 Or la décomposition étant unique, on doit avoir = B et C = D. Donc pour déterminer sachant que B = et connaissant C et D, il suffit de faire dans 4 par eemple = 0. On a 40 = d où = et Décomposer en éléments simples sur C les fractions rationnelles suivantes : ; ; ; ; 2 4 ; n! 2... n +2+3 = ; 4 +2 = = = ; 2 4 = 4 4+ n! 2... n = n k=0 i 4 i + n k C k n k i 4+i ; 7. Décomposer en éléments simples sur IR les fractions rationnelles suivantes : ; ; ; 2 4 ; = = = = ; = Recherche de limites dans le cas de formes indéterminées, 0, 0 0,, 00, 0, lim + 27 /3 3 lim ln /4 lim 2 cos limcos 2 Nelly POINT 8 Version

9 a C est une forme. La formule du d.l. du log est ln + = ε avec limε = 0. lim ln+ = 2 ln+ = lim = 2 +2 ε 2 +ε = 2 +ε 2 +ε = ε 2 +ε b C est une forme 0 0. Or + 27 /3 = 27 / /3 = ε. De même + 6 /4 = 6 /4 6 + /4 = ε donc +27 / /4 2 = ε 3 = ε 32 6 ε ε 27 c C est une forme. On prend le log lncos = 2 ln ε = 2 v + v εv avec v = ε. Ce qui donne 2 lim lncos = lim 2 = 0 donc lim cos = e 0 = d Cette fois-ci lim lncos = lim = 2 donc limcos = e 2 = e 9. Rechercher le domaine de définition de la fonction f = sinn sin avec n entier. Peut-on prolonger cette fonction par continuité sur IR? Préciser alors les valeurs de la fonction obtenue. Le domaine de f est l ensemble des tels que sin 0 donc tels que kπ avec k Z. Pour tendant vers kπ en posant v = kπ alors v 0 et sina sin = sinnv+kπ sinv+kπ = sinnv sinv nv v donc en = kπ, la fonction f peut être prolongée et lim kπ f = n évident avec la périodicité. 0. Rechercher l asymptote de la courbe réprésentative de la fonction f = 2e Si la courbe a une asymptote, cela signifie que ou encore f = a + b + ε avec lim ε = 0 f = a + b + ε avec lim ε = 0 En posant v =, cela revient à chercher le d.l. à l ordre de vf v où F v = f v = v 2e v. Donc vf v = 2ve v = 2v v + vεv = 3v + vεv 2v 2 εv = 3v + vε 2 v. Donc l équation de la droite asymptote est y = 3 Nelly POINT 9 Version