Limites et continuité

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1 TD3 Limites et continuité Limites de fonctions Eercice Déterminer les limites suivantes (si elles eistent) : a) lim + ( ln(+ + )) e b) lim + e + e c) lim d) lim [ ] e) lim + (e + e ) f) lim tan 5 sin g) lim cos() h) lim α sin sin α α i) lim ( ) tan ( π ) j) lim tan sin 3 k) lim sin sin l) lim + + m) lim π 3 3 cos() sin() π 3 n) lim + sin + sin. Eercice Déterminer les limites suivantes, si elles eistent (et montrer qu elles n eistent pas le cas échéant) : a) lim cos cos b) lim sin + c) lim + [] [] ( ) d) lim. Eercice 3 Étudier la limite (éventuellement les limites à gauche et à droite) de chacune des epressions suivantes au point considéré : a) (a + ) + a 3 a 3 en a b) 3 + en c) + en 0. Eercice 4 Les fonctions suivantes sont-elles continues ou prolongeables par continuité sur R? a) ep ( ) sin b) c) + d) sin( + ) ln +. Eercice 5 Déterminer si les fonctions suivantes sont prolongeables par continuité en 0 : a) f() = ( + ) /, b) f() = cos( ), c) f() = cos( ).

2 Eercice 6 Soit f : R + R telle que : ˆ il eiste a R tel que lim + ea f() = 0 ˆ il eiste b R tel que e b f() ne tende pas vers 0 quand +. a) Justifier l eistence de λ = sup{c R lim + ec f() = 0}. b) Montrer que ε > 0, lim + e(λ ε) f() = 0. c) Montrer que ε > 0, e (λ+ε) f() n est bornée sur aucun voisinage de +. Eercice 7 Soient f et g deu fonctions de [, ] dans R. On définit pour tout R, la fonction M() = (f(t) + g(t)) sup a) Epliciter M() lorsque f(t) = t et g(t) = t. b) Montrer que M : R R est bien définie. c) Montrer que : h > 0, R, M( + h) M() + h sup g et M( + h) M() + h inf g. d) En déduire que M : R R est continue. Eercice 8 { si Q Soit l application f : R R définie par f() = + si R \ Q. et discontinue en tout point de R. Montrer que f est bijective Eercice 9 a) Montrer que si f et g sont continues de R dans R et coïncident sur Q, alors f = g sur R. b) Soient f, g : R R continues telles que Q, f() < g(). (i) Montrer que f g. (ii) Montrer qu on n a pas nécessairement : R, f() < g(). c) Soit f : R R continue dont la restriction à Q est strictement croissante. Montrer que f est strictement croissante. Eercice 0 On considère la fonction f : a) Montrer que f est bijective. b) Déterminer lim n + f ( n ). ]0, [ R +.

3 Image d un intervalle par une fonction continue Eercice Soient f et g deu fonctions continues sur un intervalle I vérifiant I, f() = g() et f() 0. Montrer que f = g ou f = g. Que dire si les fonctions ne sont pas continues? Eercice Soit f : I R continue. Montrer que si f prend un nombre fini de valeurs, alors f est constante. Eercice 3 Soit f : [a, b] R une fonction continue. a) On suppose que f([a, b]) [a, b]. Montrer qu il eiste c [a, b] tel que f(c) = c. b) Même question lorsqu on suppose que [a, b] f([a, b]). Eercice 4 Soit f : [0, ] R une fonction continue telle que f(0) = f(). Montrer qu il eiste, [0, ] tels que f( ) = f( ) et =. Eercice 5 Un randonneur parcourt 0km en 5h. Montrer qu il eiste un intervalle d une heure pendant lequel il a fait eactement 4km. Il prétend que, sur n importe quel intervalle de deu heures, il a parcouru 0km. Est-ce possible? Eercice 6 Soient I un intervalle de R et f : I R une application continue et injective. On se propose de montrer que f est strictement monotone. a) Première méthode : On considère a, b,, y I avec a < b et < y. On pose pour t [0, ], u(t) = t + ( t)a et v(t) = ty + ( t)b. On pose G(t) = f(u(t)) f(v(t)). (i) Calculer u(0), u(), v(0), v(). Tracer u et v. (ii) Montrer que t [0, ], u(t) < v(t). (iii) En déduire que G ne s annule pas sur [0, ] puis que G(0) et G() ont le même signe. (iv) En déduire que f est monotone sur I. b) Deuième méthode : On suppose que f n est pas monotone. (i) Epliquer pourquoi on peut supposer qu il eiste a < b < c tels que f(a) < f(b) et f(b) > f(c). Faire un dessin. (ii) Conclure. Eercice 7 Soit f : [0, ] [0, ] vérifiant f(0) = 0, f() =, et pour tout [0, ], f f() =. Déterminer f. 3

4 Eercice 8 Soit f une fonction périodique sur R. a) Montrer que f ne peut pas tendre vers ± quand +. b) Montrer que si f admet une limite en +, alors f est constante. c) On suppose f continue. Montrer que f est bornée sur R et atteint ses bornes. Eercice 9 On considère, pour une application f : I R les deu assertions : A : I, f() > 0 B : α > 0, I, f() 0. Étudier si A B dans chacun des cas suivants : a) I = [0, ] et f continue sur I b) I = R et f continue sur R c) I =]0, [ et f continue sur I d) I = [0, ]. Eercice 0 Soit f : R R, bornée sur R et g : R R continue sur R. Montrer que g f et f g sont bornées sur R. Eercice Soient f, g : [0, ] R continues telles que [0, ], f() < g(). Montrer qu il eiste m > 0 tel que [0, ], f() + m g(). Eercice Soit f : R R continue. a) Supposons que lim f et lim f soient finies. Montrer que f est bornée sur R. La fonction f atteint-elle + ses bornes? b) Si f : R R admet pour limite + en ±, montrer que f admet un minimum absolu. Eercice 3 Soient a, b R, a < b et f : [a, b] R continue. Montrer que: sup f() = sup f() et ]a,b[ [a,b] inf f() = ]a,b[ inf f(). [a,b] Équations fonctionnelles Eercice 4 Déterminer toutes les fonctions continues sur l intervalle considéré vérifiant les équations fonctionnelles suivantes : a) R, f() = f() b) R, f() = f() 4

5 c) R, f( ) = f() (utiliser les suites ( n ) n N et ( n ) n N ) d) [0, ], f( ) f() et f(0) = f() (utiliser les suites ( n ) n N et ( n ) n N ) e) R, f( + ) = f() (étudier la suite définie par u 0 = et u n+ = un+ ). Eercice 5 Déterminer toutes les fonctions continues sur R vérifiant les équations fonctionnelles suivantes : a), y R, f( + y) = f() + f(y) b), y R, f( + y) = f()f(y). ( ) + y c), y R, f = f()f(y). 5