IV Classification des isométries vectorielles en dimension 3 9 IV.A Isométries positives... 9 IV.B Isométries négatives... 9

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1 Espaces euclidiens I Groupe orthogonal 1 I.A Matrices orthogonales I.B Groupe des matrices orthogonales I.C Automorphisme orthogonal I.D Groupe orthogonal I.E Espace euclidien orienté I.F Valeurs propres d un automorphisme orthogonal II Endomorphismes symétriques 4 II.A Définition II.B Matrice dans une base orthonormée II.C Réduction d un endomorphisme symétrique ; théorème spectral III Classification des isométries vectorielles en dimension 2 5 III.A Etude matricielle III.B Etude des isométries négatives III.C Etude des isométries positives : les rotations III.DCosinus, sinus et angle d une rotation III.E Détermination d une rotation par un vecteur et son image III.F Angle de deux vecteurs non nuls dans un espace orienté de dimension III.GCosinus et sinus de l angle de deux vecteurs non nuls (espace orienté) III.H En dimension 2, les réflexions engendrent O(E) IV Classification des isométries vectorielles en dimension 3 9 IV.A Isométries positives IV.B Isométries négatives V Formes quadratiques 10 V.A Forme bilinéaire symétrique V.B Expression dans la base orthonormée E V.C Matrice dans la base orthonormée E V.D Changement de base V.E Forme quadratique sur E V.F Expression d une forme quadratique dans une base orthonormée V.G Comment prouver qu une application est une forme quadratique V.H Réduction d une forme quadratique dans une base orthonormée VI Recherche de l équation réduite d une conique dont le centre de symétrie est donné 12 Dans tout le chapitre, E est un espace vectoriel euclidien, c est-à-dire un espace préhilbertien réel de dimension finie. I I.A Groupe orthogonal Matrices orthogonales Définition 1. Une matrice A de M n (R) est dite orthogonale si elle est inversible et si A 1 = t A. Remarque 1 (1). Cela revient à dire que les colonnes de A, ou les lignes de A, forment une base orthonormée de R n muni du produit scalaire canonique. Remarque 2 (2). Une matrice orthogonale peut également être regardée comme la matrice de passage d une base orthonormée de E à une autre base orthonormée de E. 1

2 I.B Groupe des matrices orthogonales Exercice 1 Vérifier que les matrices orthogonales de M n (R) forment un groupe pour la multiplication des matrices (sous-groupe de GL n (R)). [ee201] On note O(n) le groupe des matrices n n orthogonales. I.C Automorphisme orthogonal Théorème 1 (et définition). Soit E euclidien, et soit f L(E). Les assertions suivantes sont équivalentes : 1) f conserve la norme (i.e. x E, f(x) = x ). 2) f conserve le produit scalaire (i.e. x, y E, (f(x) f(y)) = (x y)). 3) L image par f de toute base orthonormée est orthonormée. 4) Il existe une base orthonormée dont l image par f est orthonormée. 5) La matrice de f dans toute base orthonormée est orthogonale. 6) Il existe une base orthonormée dans laquelle la matrice de f est orthogonale. Un endomorphisme qui vérifie ces propriétés est appelé automorphisme orthogonal (ou isométrie vectorielle). Exercice 2 Démontrer ce théorème. [ee202] I.D Groupe orthogonal Exercice 3 Vérifier que les automorphismes orthogonaux de E forment un groupe pour la composition (sous groupe de GL(E)). [ee203] On note O(E) le groupe des automorphismes orthogonaux de E (groupe orthogonal de E). Moyennant le choix d une base orthonormée, ce groupe est isomorphe au groupe O(n). Exercice 4 Soit f O(E). Montrer que det f = 1 ou det f = 1. Donner un exemple pour dim E = 2 pour chacun des deux cas. [ee204] Exercice 5 En envisageant l application ϕ qui à f associe det f, montrer que les isométries de déterminant égal à 1 forment un sous-groupe de O(E). On l appelle groupe spécial orthogonal, ou groupe des isométries positives. [ee205] Exercice 6 Soit f GL(E). Montrer que : f O(E) x, y E, (f(x) y) = (x f 1 (y)) [ee206] Exercice 7 2

3 On considère un espace vectoriel euclidien E de dimension n, et une base orthonormée E = (e 1, e 2,..., e n ). Soient f une isométrie de E et A = Mat E f. On note a ij le terme de la ligne i, colonne j. 1. Trouver un vecteur x de E tel que i,j a ij = (f(x) x). 2. Montrer que i,j a ij n. [ee207] I.E Espace euclidien orienté Soit E euclidien. On choisit une base orthonormée de référence E = (e 1, e 2,..., e n ). Pour toute autre base orthonormée E, on a det E E = ±1. Si det E E = 1, E est dite directe. Sinon, elle est dite rétrograde. Le choix d une base orthonormée E oriente l espace. Tout changement de base est, sauf mention contraire, direct. Exercice 8 Soit E euclidien de dimension 3, orienté, de base orthonormée B = (e 1, e 2, e 3 ). Examiner les bases obtenues par permutation de (e 1, e 2, e 3 ). [ee208] I.F Valeurs propres d un automorphisme orthogonal Théorème 2. Si f O(E), on a Spec f { 1, 1 }. Démonstration. Si x 0 est tel que f(x) = λx, on a : x = f(x) = λx = λ x Exercice 9 Donner des exemples où Spec f =, Spec f = { 1, 1 }, Spec f = { 1 }, Spec f = { 1 }. [ee209] Exercice 10 Montrer que si la dimension de E est impaire, alors Spec f. [ee210] Exercice 11 Montrer que si f est une isométrie négative, alors 1 Spec f. [ee211] Exercice 12 On suppose Spec f = { 1, 1 }. Montrer que E 1 et E 1 sont orthogonaux. [ee212] Exercice 13 Soit f O(E), diagonalisable. Montrer que f est une symétrie orthogonale (éventuellement id E ou id E ). [ee213] 3

4 II II.A Endomorphismes symétriques Définition Définition 2. Soit E euclidien, et soit f L(E) ; f est dit symétrique si : x, y E, (f(x) y) = (x f(y)) On note L s (E) le sous espace-vectoriel de L(E) constitué par les endomorphismes symétriques. Exercice 14 Vérifier qu il s agit bien d un sous-espace vectoriel. [ee214] Exercice 15 Soit f un projecteur orthogonal. Montrer que f est un endomorphisme symétrique. [ee215] Exercice 16 Soit f un endomorphisme symétrique tel que f f = f. Montrer que f est un projecteur orthogonal. (indication : montrer que si x Ker f et y Im f, on a (x y) = 0). [ee216] II.B Matrice dans une base orthonormée Théorème 3. Soit E un espace euclidien, et soit f L(E) : f est symétrique La matrice de f dans une/toute base orthonormée est symétrique. Démonstration. (= ) : soit E = (e 1,..., e n) une base orthonormée de E, et soit A = (a ij ) la matrice de f dans la base E. Le terme a ij de la ligne i, colonne j, est la i ème coordonnée de f(e j ) dans la base E ; c est donc (e i f(e j )). Mais d après la définition d un endomorphisme symétrique, on a (e i f(e j )) = (f(e i ) e j ), c est-à-dire (e j f(e i )), ce qui n est autre que a ji. On a donc établi que quels que soient i et j, on a a ij = a ji ; la matrice A est symétrique. ( =) : soit maintenant f un endomorphisme de E, dont la matrice A par rapport à une certaine base orthonormée E = (e 1,..., e n) est symétrique. Soient x et y deux vecteurs de E, de matrices-colonnes respectives X et Y relativement à la base E. On a : (f(x) y) = t (AX)Y = t X t AY = t XAY = (x f(y)) ce qui prouve bien que f est un endomorphisme symétrique. Remarque 3. Il faut remarquer que la formule ci-dessus n est pas homogène, puisqu elle fait intervenir des nombres, tels que (f(x) y), et des matrices telles que t (AX)Y. Mais il s agit de matrices 1 1 qu on identifie à des nombres. Exercice 17 Si E est de dimension n, quelle est la dimension de L s (E)? [ee217] II.C Réduction d un endomorphisme symétrique ; théorème spectral Exercice 18 Soient λ et µ deux valeurs propres distinctes d un endomorphisme symétrique. Montrer que E λ est orthogonal à E µ. [ee218] 4

5 On admettra les deux théorèmes suivants, le deuxième étant l interprétation matricielle du premier : Théorème 4. Soient E un espace euclidien et f un endomorphisme symétrique de E. Alors f est diagonalisable, et il existe une base orthonormée de vecteurs propres. (en particulier, les valeurs propres de f sont toutes réelles, i.e. P f est scindé dans R) Théorème 5. Soit A une matrice symétrique réelle. Il existe une matrice orthogonale P telle que la matrice P 1 AP soit diagonale. (remarque : P 1 AP = t P AP ) Exercice 19 Trouver une telle matrice pour A = , puis pour B = [ee219] Exercice 20 Démontrer le théorème spectral si E est un espace vectoriel euclidien de dimension 2. [ee220] Exercice 21 On va établir dans cet exercice une partie du théorème spectral : si A est une matrice symétrique réelle, toutes les valeurs propres de A sont réelles. On considère donc une matrice A M n (R), symétrique. Soit λ une valeur propre de A, a priori complexe, et soit X = x 1. x n 1. Montrer qu on a : AX = λx. M n,1 (C), non nul, tel que AX = λx. 2. Montrer que : t XAX = t XAX, et exprimer chacune de ces deux matrices en fonction de λ et de x 1,..., x n. 3. En déduire que λ = λ, et conclure. [ee221] III Classification des isométries vectorielles en dimension 2 III.A Etude matricielle On considère un espace vectoriel euclidien E, rapporté à une base orthonormée E = (e 1, e 2 ). a c On cherche un endomorphisme f de matrice A =, avec A O(2), c est-à-dire : b d a 2 + b 2 = 1, c 2 + d 2 = 1, ac + bd = 0 On sait que det A = ±1. On exprime c et d en fonction de a et b en résolvant : 5

6 si det A = 1 : D où : si det A = 1 : { ac + bd = 0 a b On trouve A = bc + ad = 1 b a { ( ac + bd = 0 a b On trouve A = bc + ad = 1 b a ) Théorème 6. Soit E un espace euclidien de dimension 2 rapporté à une base orthonormée E = (e 1, e 2 ). a b Mat E (f) = avec a f O(E) b a 2 + b 2 = 1 a b ou Mat E (f) = avec a b a 2 + b 2 = 1 III.B Etude des isométries négatives Soit E un espace euclidien de dimension 2 rapporté à une base orthonormée E = (e 1, e 2 ). Soit f L(E) tel que : a b Mat E (f) = avec a 2 + b 2 = 1 b a On a Spec f = { 1, 1 } ; si b = 0, alors a = 1 ou a = 1, et l étude est immédiate. Sinon : E 1 = Vect(be 1 + (1 a)e 2 ) et E 1 = Vect( be 1 + (1 + a)e 2 ) et f est une symétrie orthogonale par rapport à la droite vectorielle E 1. Théorème 7. Dans un espace vectoriel euclidien de dimension 2, les isométries négatives sont les symétries orthogonales par rapport à une droite vectorielle (réflexions). Exercice 22 Préciser les éléments de f si Mat E (f) = A = 1 5 ( ). [ee222] Remarque 4. De façon générale, dans un espace euclidien E, une symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan s appelle une réflexion. C est donc une symétrie orthogonale par rapport à une droite en dimension 2, par rapport à un plan en dimension 3, par rapport à un sous espace vectoriel de dimension n 1 (hyperplan) en dimension n. Exercice 23 Soit E un espace euclidien, et soient x et y deux vecteurs distincts de E, de même norme non nulle. Montrer qu il existe une unique réflexion f telle que f(x) = y (en fait, elle échange x et y). [ee223] III.C Etude des isométries positives : les rotations Soit E un espace euclidien de dimension 2 rapporté à une base orthonormée E = (e 1, e 2 ). Soit f L(E) tel que : a b Mat E (f) = avec a 2 + b 2 = 1 b a Exercice 24 6

7 Soit E une autre base orthonormée, avec P ( (E), E ) = P. On a P O(2), donc P est de l une des deux formes suivantes : α β P = β α avec α 2 + β 2 = 1 ou α β P = β α avec α 2 + β 2 = 1 Déterminer Mat E (f) dans chacun des deux cas. a b a b Réponse : dans le premier cas, et dans le deuxième. b a b a [ee224] On voit d après cet exercice que la matrice de f est inchangée lorsque le changement de base est direct, et qu elle est changée en sa transposée lorsque le changement de base est rétrograde. En d autres termes, a est un invariant de la rotation, tandis que b dépend en signe de l orientation. Si l espace E est orienté, c est-à-dire si les seuls changements de base admissibles sont directs, alors a et b sont des invariants de la rotation. III.D Cosinus, sinus et angle d une rotation Définition 3. Soient E une espace vectoriel euclidien orienté de dimension 2, et r une rotation de E. On sait que la matrice de r est indépendante de la base orthonormée directe choisie, et qu elle est de la forme : a b b a a est appelé le cosinus de la rotation r, b le sinus, et l angle de r est par définition l ensemble des nombres θ tels que cos θ = a et sin θ = b. L angle de r est donc un ensemble du type θ 0 + 2πZ. Abusivement, on nommera souvent angle de r un nombre θ tel que cos θ = a et sin θ = b. En principe, on prend θ dans ] π, π]. La rotation r θ d angle θ a donc pour matrice, dans toute base orthonormée directe : cos θ sin θ sin θ cos θ Exercice 25 Soit E euclidien orienté de dimension 2, et soit ( i, j) une base orthonormée directe de E. Soit x = ρ cos α i + ρ sin α j. Déterminer r θ ( x) et représenter x et r θ ( x). [ee224] Exercice 26 Montrer que r θ r θ = r θ+θ et en déduire qu en dimension 2, le groupe spécial orthogonal SO(E) est un groupe commutatif. [ee225] Remarque 5. Si E n est pas orienté, seul le cosinus de la rotation r est défini. On convient alors que l angle de r est l unique θ [0, π] tel que cos θ = a. III.E Détermination d une rotation par un vecteur et son image Théorème 8. Soit E un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 2. Soient x et y deux vecteurs de même norme non nulle : Il existe une et une seule rotation r telle que r(x) = y. 7

8 Démonstration. Soit E = (e 1, e 2 ) une base orthonormée de ( E. Notons ) x 1 et x 2 les coordonnées de x, et y 1 et y 2 les a b coordonnées de y. On cherche la rotation r par sa matrice dans la base E. Et on vérifie sans difficulté b a qu une et une seule matrice convient, donnée par : a = x 1y 1 + x 2 y 2 x x2 2 et b = x 1y 2 x 2 y 1 x x2 2 III.F Angle de deux vecteurs non nuls dans un espace orienté de dimension 2 Définition 4. Soient x et y deux vecteurs non nuls de( E, ) euclidien orienté de dimension 2. L angle de x et y est x l angle de l unique rotation r telle que r x = y y. On note (x, y) cet angle. A priori, c est un ensemble du type θ 0 + 2πZ, mais il n est pas choquant par exemple d écrire (x, y) = π 3 (modulo 2π), ou à la rigueur : (x, y) = π 3, en sachant bien sûr que (x, y) = 7π 3 ou (x, y) = 5π 3, etc., seraient également vraies. Exercice 27 Déterminer (x, x), (x, x) ; comparer (x, y) et (y, x) ; établir la relation de Chasles : (x, y) + (y, z) = (x, z) [ee226] Exercice 28 Montrer que α + β + γ = π (modulo 2π). [ee227] #1 Exercice 29 Montrer qu une rotation conserve les angles, et qu une symétrie par rapport à une droite vectorielle (i.e. une réflexion) les change en leur opposé. Il s agit donc de prouver que si x et y sont deux vecteurs non nuls, et r et s respectivement une rotation et une réflexion, alors : (r(x), r(y)) = (x, y) et (s(x), s(y)) = (x, y) [ee228] 8

9 III.G Cosinus et sinus de l angle de deux vecteurs non nuls (espace orienté) Définition 5. Le cosinus et le sinus de (x, y) sont le cosinus et le sinus de l unique rotation qui transforme y y. x x en Exercice 30 Vérifier que le nombre det(x, y) est indépendant de la base orthonormée directe choisie, et qu on a : cos (x, y) = (x y) x y et sin (x, y) = det(x,y) x y [ee229] III.H En dimension 2, les réflexions engendrent O(E) Plus précisément, toute rotation est la composée de deux réflexions, dont l une est arbitraire. Exercice 31 Démontrer cela. [ee230] IV Classification des isométries vectorielles en dimension 3 Dans ce paragraphe, E est un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3. IV.A Isométries positives Exercice 32 Soit f SO(E). Montrer que f admet 1 comme valeur propre. [ee231] Soit w un vecteur unitaire appartenant à E 1, et soit la droite vectorielle engendrée par w. Il est clair que est stable par f, et que f induit sur une isométrie positive, c est-à-dire une rotation. Soit (u, v) une base de telle que (u, v, w) soit directe. La matrice de f dans (u, v, w) est de la forme : cos θ sin θ 0 sin θ cos θ f est la rotation d axe et d angle θ. Parmi les rotations, il y a l identité (θ = 0), et les demi-tours (θ = π). IV.B Isométries négatives Soit f une isométrie négative, c est-à-dire de déterminant 1. f admet 1 comme valeur propre (voir l exercice 11). Soit w un vecteur unitaire appartenant à E 1, et soit la droite vectorielle engendrée par w. Il est clair que est stable par f, et que f induit sur une isométrie positive (une rotation). Soit (u, v) une base de telle que (u, v, w) soit directe. La matrice de f dans (u, v, w) est de la forme : cos θ sin θ 0 sin θ cos θ Si θ = 0, la matrice de f est diag(1, 1, 1), et f est la réflexion par rapport au plan. Si θ = π, on a f = id E. Dans les autres cas, f est appelée isométrie vectorielle gauche. 9

10 Exercice 33 Dans le cas où f est une réflexion, exprimer f(x) en fonction de x et de w. Si E est rapporté à une base orthonormée E = (e 1, e 2, e 3 ), former la matrice de la réflexion par rapport au plan d équation x 1 3x 2 + 2x 3 = 0. [ee232] Exercice 34 Montrer que les réflexions engendrent O(E) ; plus précisément, vérifier que toute isométrie en dimension 3 est composée d une, deux ou trois réflexions. [ee233] V Formes quadratiques Dans ce paragraphe, E est un espace vectoriel euclidien de dimension n, rapporté à une base orthonormée E = (e 1,..., e n ). V.A Forme bilinéaire symétrique Définition 6. Une forme bilinéaire symétrique est une application b de E E dans R telle que : x E, b(x,. ) est linéaire, et y E, b(., y) est linéaire. x, y E, b(x, y) = b(y, x). V.B Expression dans la base orthonormée E n n Si x = x i e i et y = y i e i, on a : i=1 i=1 b(x, y) = i,j n x i y j b(e i, e j ) = x i y i b(e i, e i ) + (x i y j + x j y i )b(e i, e j ) i=1 i<j V.C Matrice dans la base orthonormée E Posons pour tout couple (i, j) de { 1, 2,..., n } { 1, 2,..., n } : b(e i, e j ) = b ij. La matrice de b dans la base orthonormée E est par définition la matrice symétrique B = (b ij ) 1 i,j n. Alors, si X et Y désignent les matrices-colonnes de x et y dans la base E, on a : b(x, y) = t XBY = t Y BX Exercice 35 Démontrer cela. [ee234] Exercice 36 Si E = R 3, on pose : b(x, y) = x 1 y 1 2x 1 y 2 + x 1 y 3 x 2 y 2 2x 2 y 1 + 3x 2 y 3 + 3x 3 y 2 + 2x 3 y 3 + x 3 y 1 Mettre b(x, y) sous la forme : ( x 1 x 2 x 3 ) B y 1 y 2, où B est la matrice symétrique de la forme y 3 bilinéaire symétrique b. [ee235] 10

11 V.D Changement de base Lorsqu on écrit : b(x, y) = t XBY, il faut bien voir que b, x, y sont intrinsèques, mais que B, X, Y dépendent de la base E. Soit E une autre base orthonormée : P = P ass(e, E ) est une matrice orthogonale, et si X et Y sont les matrices-colonnes de x et y dans la base E, on a : Alors : On conclut : X = P 1 X = t P X et Y = P 1 Y = t P Y b(x, y) = t XBY = t X t P BP Y = t X ( t P BP )Y La matrice de b dans la base E est : B = t P BP V.E Forme quadratique sur E Définition 7. Soit b une forme bilinéaire symétrique sur E. On appelle forme quadratique associée à b l application : b s appelle la forme polaire de q. q : E R x b(x, x) Remarque 6. si b est un produit scalaire, q est le carré de la norme. V.F Expression d une forme quadratique dans une base orthonormée Soit E = (e 1,..., e n ) une base orthonormée de E. On note B = (b ij ) la matrice symétrique de la forme bilinéaire b, relativement à la base E. Soit x un vecteur de E, de matrice-colonne X. On a : n q(x) = t XBX = b ii x 2 i + 2 b ij x i x j i=1 i<j On voit que q(x) est un polynôme homogène de degré 2, par rapport aux coordonnées de x. a d e Exemple 1 (dans R 3 ). B = d b f. e f c V.G b(x, y) = ax 1 y 1 + bx 2 y 2 + cx 3 y 3 + d(x 1 y 2 + x 2 y 1 ) + e(x 1 y 3 + x 3 y 1 ) + f(x 2 y 3 + x 3 y 2 ) q(x) = ax bx cx dx 1 x 2 + 2ex 1 x 3 + 2fx 2 x 3 Comment prouver qu une application est une forme quadratique L idée est de faire apparaître la forme polaire, et de constater qu on a bien une forme bilinéaire symétrique : Si q(x) est donnée sous la forme t XBX, où B est une matrice symétrique, il est immédiat que q est une forme quadratique de forme polaire définie par b(x, y) = t XBY. Si q(x) est donnée comme un polynôme homogène de degré 2 par rapport aux coordonnées de x, on retrouve la forme polaire b(x, y) par l opération suivante : x 2 i x i y i et x i x j 1 2 (x iy j + x j y i ) Il est ainsi établi qu un polynôme homogène de degré 2 par rapport aux coordonnées de x définit une forme quadratique sur E. Par ailleurs, on peut remarquer que : b(x, y) = 1 [ ] q(x + y) q(x) q(y) = 1 [ ] q(x + y) q(x y)

12 V.H Réduction d une forme quadratique dans une base orthonormée Exercice 37 Soit E euclidien, muni d une base orthonormée E = ( e 1, e 2, e 3 ). Si x = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3, on pose : q( x) = 5x x x 2 3 2x 1 x 2 + 2x 1 x 3 6x 2 x 3 1. Ecrire q( x) sous forme matricielle : q( x) = t XBX. 2. Trouver une base orthonormée E qui diagonalise B. 3. Trouver une matrice orthogonale P telle que t P BP = diag( 2, 3, 6). 4. Exprimer q( x) en fonction des coordonnées x 1, x 2, x 3 de x dans la base E. 5. Ecrire le polynôme quadratique 5x x x 2 3 2x 1 x 2 + 2x 1 x 3 6x 2 x 3 sous la forme d une somme : ε i (α i1 x 1 + α i2 x 2 + α i3 x 3 ) 2 où les ε i sont égaux à ±1. On a ainsi effectué une décomposition en carrés de la forme quadratique q. i [ee236] VI Recherche de l équation réduite d une conique dont le centre de symétrie est donné Une conique est une courbe dont l équation cartésienne dans un/tout repère (O, i, j ) du plan affine euclidien est de la forme ϕ(x, y) = 0, où ϕ est un polynôme à coefficients réels, à deux variables, de degré 2. Il est admis que la forme de cette équation ne dépend pas du repère choisi ; pour la suite, on choisira, sauf mention contraire, un repère orthonormé. Exercice 38 Reconnaître les coniques suivantes, données par leur équation cartésienne relativement à un repère (O, i, j ). 1. x 2 + y 2 = 1 2. x 2 + y 2 2x + 2y 2 = 0 3. x 2 y 2 = 0 4. y = x (x + 1) 2 + (y 3) 2 = 0 6. (x + 1) 2 + (y 3) 2 = 1 7. x y2 4 = 1 8. x 2 y 2 = 1 9. x 2 + 2xy + y 2 2x 2y + 1 = (x y + 2)(x + 2y 3) = 0 [ee237] En dehors des deux derniers cas (pas trop compliqués), il n y a pas de terme en xy dans ces équations. Le programme de TSI demande de trouver, sur des exemples, l équation réduite et les axes d une conique dont le centre de symétrie est donné ; cela exclut bien entendu les paraboles. On va voir un premier exemple où ce centre de symétrie est précisément l origine O du repère ; on comprend facilement que ϕ(x, y) n a pas alors de terme en x ni de terme en y. Dans le deuxième exemple, le centre de symétrie sera indiqué, et une translation du repère, où on prendra ce centre de symétrie comme nouvelle origine, ramènera à une étude analogue à celle du premier exemple. Exercice 39 12

13 Soit (O, i, j ) un repère orthonormé, et soit Γ la conique dont une équation est, dans ce repère : 5x xy + 3y 2 = 1 1. On remarque que cette équation peut s écrire : (2x) 2 + (x + 3y) 2 = 1. Trouver un nouveau repère (O, i, j ) dans lequel on aurait x = 2x et y = x + 3y. Quelle est l équation de Γ dans ce nouveau repère. Γ est-elle un cercle? Représenter sur un même dessin les repères (O, i, j ), (O, i, j ), et la conique Γ. 2. Ecrire l équation de Γ sous forme matricielle : x x y B = 1 y et trouver une matrice orthogonale P et une matrice diagonale D telles que : D = t P BP. 3. En déduire un repère orthonormé dans lequel l équation de Γ est réduite, i.e. de la forme : x 2 a + y2 2 b = 1. 2 [ee238] Exercice 40 Soit (O, i, j ) un repère orthonormé, et soit Γ la conique dont une équation est, dans ce repère : x 2 + 6xy + y 2 + 4x = 0 1. Montrer que le point A de coordonnées 1 4 et 3 4 est centre de symétrie de Γ. 2. Trouver un repère orthonormé d origine A dans lequel l équation de Γ est réduite. [ee239] 13