GENERALITES SUR LES FONCTIONS

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1 GENERALITES SUR LES FNCTINS Rappels ) Vocabulaire Définir une fonction f, c est donner un procédé qui à chaque nombre associe au plus un nombre noté f(). n écrit : f : f() (on lit : «f est la fonction qui à associe f de») est la variable. Si f() est le nombre, on dit que est l image de. n dit aussi que est un antécédent de par f. Pour une epression f() donnée, on appelle ensemble de définition, l ensemble D des valeurs de pour lesquelles on calcule cette epression. Un réel de l ensemble de définition a toujours une et une seule image. Un réel peut voir zéro, un ou plusieurs antécédents. Eemples : D f = R f() = ² 2 5 L image de 7 par f est f(7) = 7² = = a deu antécédents : - 3 et 5 (car f (- 3) = f(5) = 0) 2 est un antécédent de 5. g() = Domaine de définition : il faut que ; D g = R { 4 3 }. g(0) = - 7 4, 0 a pour image ) Représentation graphique Un repère étant choisi, on appelle représentation graphique d une fonction f, l ensemble des points M de coordonnées ( ; ) lorsque prend toutes les valeurs de D f et que = f(). n dit aussi courbe représentative de la fonction f. n dit que la courbe a pour équation = f(). /8

2 Méthode : n calcule des images en nombre suffisant, à l aide de la calculatrice et on présente les résultats dans un tableau de valeurs. Eemple : Tracer la représentation graphique de la fonction f, qui à associe +² sur [ -2 ; 3 ] f() 0,2 0,5 0,5 0,2 0, 2 Lecture graphique d images et d antécédents : 0 Eemples : ) Sens de variations f est une fonction définie sur un intervalle I. Dire que f est croissante sur I signifie que pour tous réels et 2 de I : Si 2 alors f( ) f( 2 ). (Une fonction croissante conserve l ordre.) Dire que f est décroissante sur I signifie que pour tous réels et 2 de I : Si 2 alors f( ) f( 2 ). (Une fonction décroissante change l ordre.) Dire que f est constante sur I signifie que pour tous réels et 2 de I, on a f( ) = f( 2 ). Une fonction monotone sur I est une fonction soit croissante sur I, soit décroissante sur I. 2/8

3 4) Etremum La fonction f admet un maimum f(a) en a sur l intervalle I lorsque, pour tout de I, f() f(a). La fonction f admet un minimum f(b) en b sur l intervalle I lorsque, pour tout de I, f() f(b). 5) Tableau de variations Etudier les variations d une fonction signifie : trouver les intervalles sur chacun desquels la fonction est monotone. Les résultats sont représentés dans un tableau de variations. Des flèches schématisent la croissance, la décroissance ou la constance de la fonction. Eemple : Donner le tableau de variations d une fonction f définie sur [ -8 ; 4 ] dont voici une représentation graphique. La fonction f est décroissante sur [ -8 ; -5 ], croissante sur [ -5 ; 2 ] et décroissante sur [ 2 ; 4 ]. Sur la première ligne du tableau, on note les bornes des intervalles où la fonction est monotone f() -2 0 La fonction f admet un minimum en 5 (minimum égal à 2) et un maimum en 2 (maimum égal à 6). 3/8

4 2 Fonctions de référence et variations Courbe représentative Tableau de variations rdre induit f() = ² f = R f ( ) Deu cas : Si a < b 0 alors a² b² Si 0 a < b alors a² b² f() = 3 Pour a et b quelconques, f = R f ( ) si a < b alors a 3 b 3 Deu cas : f() = Si a < b 0 alors a b f = R* f ( ) Si 0 a < b alors a b f( ) = Pour a et b positifs : f = R + f ( ) Si 0 a < b alors a b Deu cas : f ( ) = Si a < b 0 alors a b f = R f ( ) Si 0 a < b alors a b 4/8

5 3 Fonctions associées f étant une fonction représentée par la courbe C f dans un repère (, même repère la courbe C h représentant la fonction : ), comment représenter dans le f() + k où k est un réel donné? C h est l image de la courbe C f par la translation de vecteur k. Remarque : n note cette fonction f+k. Les fonctions f et f + k ont le même sens de variation. Si f admet un maimum (resp. un minimum) en 0, alors h admet un maimum (resp. un minimum) en 0. f( + k) où k est un réel donné? C h est l image de la courbe C f par la translation de vecteur - k Remarque : Si f admet un maimum (resp. un minimum) en 0, alors h admet un maimum (resp. un minimum) en 0 -k. k f() où k est un réel donné? n obtient l ordonnée du point A de C h en multipliant l ordonnée du point A de C f par k. Remarque : n note cette fonction kf. Si k > 0, alors la fonction kf a le même sens de variation que la fonction f. Si k < 0, alors la fonction kf a le sens de variation contraire de la fonction f. Cas particulier k = -. - f() C h est la courbe smétrique de la courbe C f par rapport à l ae des abscisses. 5/8

6 f()? Pour représenter f, on conserve la partie de C f qui est au-dessus de l ae des abscisses et on complète par le smétrique de la partie qui est audessous de cet ae. Remarque : n note cette fonction f. 4 pérations sur les fonctions ) Somme de deu fonctions Soit f et g deu fonctions définies sur un même intervalle I de R. La fonction f + g est la fonction définie sur I par : f() + g(). La fonction f - g est la fonction définie sur I par : f() g(). Sens de variation : Si deu fonctions ont le même sens de variation sur un intervalle I alors la fonction f + g garde ce sens de variation. Dém : 2) Produit. Le produit de deu fonctions f et g est la fonction f()g(). Elle est notée fg. 3) Inverse et quotient. L inverse d une fonction f est la fonction f f () avec f() 0. f f () Le quotient de deu fonctions f et g est la fonction avec g() 0. g g() 6/8

7 5 Fonctions composées Eemple Soit f la fonction définie sur [ 2 ; + [ par f() = 2 Pour calculer f() avec 2, nous calculons d abord X = + 2, puis la racine carrée de X : f() = X Avec X = + 2. Distinguer ainsi les étapes du calcul de f() conduit à la décomposition suivante de la fonction f. g 2 X h X f +2 n dit que f est la composée de g suivie de h. Remarque : f() = h(x) avec X = g() donc f() = h(g()) Eemple : Soit g() = 5 h() = 3 2 Caractériser la fonction f, composée de g suivie de h. g 2 X h 3 X - 2 f n a donc, f() = 2 = /8

8 Sens de variation des fonctions composées En se plaçant sur un intervalle I où la fonction composée eiste : Si les deu fonctions ont même sens de variation, alors leur composée est croissante sur I. Si les deu fonctions ont des sens de variation contraires, alors leur composée est décroissante sur I. Eemple : Soit la fonction f définie sur R \ {2} par f() = 2 f est la composée de la fonction g suivie de la fonction h où : g() = - 2 h() = Sur ] 2, + [ la fonction affine g est croissante et à valeurs dans ] 0, + [. Sur ] 0, + [ la fonction inverse h est décroissante Donc par composée la fonction f est décroissante sur ] 2, + [. De même, sur ]- ; 2 [ la fonction g est croissante et à valeurs dans ]- ; 0 [. Sur ]- ; 0 [ la fonction inverse h est décroissante donc par composée la fonction f est décroissante sur ]- ; 2 [. 8/8