CCP PSI 1 un corrigé.

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1 CCP PSI n corrigé. I. Qelqes eemples de calcls de longers I.. Si f : [, ], le graphe de f es le segmen d origine (, ) e d eremié (, ) e sa longer es. C es cohéren avec I.. On a ici + sh () d = d = ch() d = I.3.. On a f () = e donc + (f ()) =. Ainsi, / d d = [arcsin()]/ = π 4 ch() d = sh() I.3.. Comme + f() =, la corbe de f es n hiième d cercle nié e sa longer es π 8 = π 4. I.4. On a cee fois + 4 d Une inégraion par parie donne [ ] 4 + = 5 L(f) + = 5 L(f) d d + 4 d + On pe bien sûr reconnaîre la dérivée de argsh e conclre en ces ermes. Je préfère iliser ne forme logarihmiqe. ln( + + ) se dérive en e on a finalemen + o encore 5 + II. Un calcl approché de longer [ ln( + ] + ) ln( + 5) II.. On a f () = e donc + (f ()) = 4 +. Ainsi 4 / 4 + d

2 II.. Le changemen de variable = / (de classe C sr le segmen [/, ]) donne + 4 d = + (f ()) d qi correspond à la longer d graphe de f sr [, ]. II.. Le cors indiqe qe ], [, ( + ) α = + b n n avec b n = n= α(α )... (α n + ) n! II.. En pariclier, dans le cas α = /, on a Monrons par récrrence qe b = e b n+ = b n n n + n N, b n = ( ) n (n)! (n ) n (n!) - Iniialisaion : la formle es immédiaemen vraie si n =. - Hérédié : soi n el qe la formle soi vraie a rangs, dos, n. On a alors b n+ = ( ) n (n)! (n ) (n ) n (n!) (n + ) = ( ) n (n)! n+ (n + )(n!) = ( ) n (n)!(n + )(n + ) (n + )(n + ) n+ (n + )(n!) = ( ) n (n + )! (n + ) n+ ((n + )!) ce qi prove le résla a rang n +. En sbsian 4 à e en divisan par, on a alors ], [, + 4 = + + ( ) n (n)! (n ) n (n!) 4n n= II..3 Les a n son > e a n+ = n ], ] a n n + e donc < a n+ a n. La sie (a n ) es ainsi décroissane. Comme n! πn ( ) n n, e on a 4πn(n/e) n a n (n ) n πn(n/e) n πn 3/ II..4 Por l insan, on a / d + / n= ( ) n a n 4n d

3 On ve inerverir la somme infinie e l inégrale. On pe, par eemple, iliser le héorème de convergence normale sr n segmen. On pose f n : ( ) n a n 4n ; c es le erme général d ne série de foncions conines sr [/, ]. De pls e donc [/, ], f n () a n f n,[/,] a n Or, (a n ) es ne série absolmen convergene (avec l éqivalen rové e les séries de Riemann). Ainsi, (f n ) converge normalemen (e donc niformémen) sr le SEGMENT [/, ]. L inerversion es licie e donne c es à dire + + n= n= ( ) n a n a n ( ) n 4n / 4n d ( ) 4n II..5 En enan compe d comme erme de la série, la calclarice donne avec les ermes por n =..4 L(f) L errer commise en approchan par les cinq premiers ermes es (on pe décoper car les de séries convergen) = ( ) n a + n 4n ( ) n a n (4n ) 4n ( ) n a n 4n + ( ) n a n (4n ) 4n a n 4n e a n éan les ermes généra de sies posiives décroissanes, on pe appliqer (4n ) 4n la règle spéciale (majoraion d rese) por obenir a a a 5 9 = III. Longer d graphe des foncions pissances III.. Comme en I. e I.4, on a III.. Voici qelqes graphes λ = e λ = ln( + 5) 3

4 On pe penser qe (λ n ) converge (en croissan) vers. III.. En écrivan qe n n = n n e en ilisan a b = λ n n n d = d + n n + n n a b a+ b on obien direcemen III.. La foncion f n dans l inégrale définissan µ n es infériere à (le dénominaer es pls grand qe ) e donc µ n. S il y avai égalié on arai ( f n) =. Comme f n es posiive, conine e non nlle, ceci es impossible. Ainsi µ n <. De pls n n d = e donc n N, λ n < III..3 Uilisons le héorème de convergence dominée por édier (µ n ). - f n : +n n +n n es conine sr [, ] e (f n) converge simplemen vers sr [, [ (car [, [, n n qand n + ). - La limie simple es conine sr [, [. - n N, [, [, f n () e le majoran es inégrable sr [, [ (conin sr le segmen). Le héorème s appliqe e donne lim µ n = n + III..4 Il vien alors immédiaemen (λ n = + µ n ) lim λ n = n + d = III.3. En écrivan qe f () = (f () (foncion croissane e donc à dérivée posiive) on a de même L(f) f () = 4 d + (f ()) + f ()

5 Or, f () = f() f() = e donc L(f) S il y avai égalié, on arai l inégrale de = g() qi serai nlle sr [, ] +(f ()) +f () e comme g es posiive e conine, cela signifierai qe g es nlle c es à dire qe f es nlle o encore qe f es consane ce qi n es pas le cas (f() f()). On a donc IV. Un résla inaend L(f) < IV.. sin() es conine sr ], ] e end vers en. Elle es donc prolongeable en ne foncion conine sr le segmen [, ] e f eise (inégrale classiqe). IV.. On opère ne inégraion par parie en primiivan sin en cos e en dérivan en. On obien direcemen sin() d = cos() cos() cos() d On a cos() = O(/ ) a voisinage de +. C es donc (comparaison à Riemann) ne foncion inégrable a voisinage de +. L inégrale d membre de droie adme donc a foriori ne limie qand + (inégrabilié enraîne eisence d inégrale). De pls, cos()/ qand + (car cos es bornée). Finalemen, on a l eisence de IV..3 On a de même + sin() cos() d = lim + d = sin() ( cos() d = cos() cos() ) sin() sin() + d d sin() = O(/ ) a voisinage de +. C es donc (comparaison à Riemann) ne foncion inégrable a voisinage de +. Comme à la qesion précédene, on a l eisence de cos() d = sin() + sin() d IV..4 On a sin () = cos() e donc sin () d = ln() cos() d e cee qanié end vers + qand +. Ainsi, l inégrale généralisée divergene. Comme sin (), ceci revien à dire qe sin () sin sin e donc sin() sin () d es n es pas inégrable sr [, [. Or, n es pas inégrable non pls sr [, + [. E comme cee foncion es posiive, ceci revien à dire qe l inégrale généralisée sin() d diverge. IV.. / es de classe C sr [, ] por >. On pe donc poser le changemen de variable = /. Il indiqe qe f() = ( ) sin 5 d = / sin() d

6 Avec les qesions précédene, f es prolongeable par coninié en en posan f() = sin() d IV.. g es conine sr ], ], ], ] es n inervalle qi conien. Par héorème fondamenal, f : g() d es ne primiive de g sr ], ]. Comme g es de classe C sr ], ], f, e donc f, l es assi. On a v (o imposé par choi de f()) la coninié en. IV..3 Le même calcl qe pls ha donne g() d = / sin() d On a v qe l inégrale de sin() n eise pas sr [, + [. Comme cee foncion es posiive, son inégrale enre e a end vers + qand a +. Ainsi lim + g() d = + IV.3. Por ], ], on a f () = g() e donc + (f ()) = + sin ( ). Ainsi ], ], λ() = + ( ) sin d On en dédi qe e par comparaison ], ], λ() lim λ() = + + g() d Ceci signifie qe la corbe représenaive de la foncion f conine sr le segmen es [, ] es infinie. V. Coninié de la foncion longer V.. L applicaion es posiive. Son homogénéié décole de celle de. e de celle d modle (on a λf = λ. f ). L inégalié rianglaire décole de la même propriéé por.. Enfin, si f = alors f() = f =. f es donc nlle e f es consane. Comme f() =, f es nlle. On a donc assi l aiome de séparaion e. es ne norme sr E. V.. Soi f E. On a [, ], f() = f() + f () d f() + f () d f() + ( ) f f En passan à la borne spériere sr, on en dédi qe f f V..3 Prenons les foncions p n : n de la parie III (elles son dans E ). On a p n = e p n = n. Le qoien p n / p n n éan pas borné, les normes. e. ne son pas éqivalenes sr E. V.. On a immédiaemen f n n qand n +. (f n ) es donc niformémen convergene sr [, ] vers la foncion nlle. 6

7 V.. La définiion donne I n = Le changemen de variable = nπ donne alors On a alors immédiaemen I n nπ I n = nπ nπ + nπ cos (nπ) d nπ cos éan π périodiqe, on a finalemen + nπ cos () d nπ cos () d = n nπ I n n Comme π 4 on pe assi écrire qe π cos() d = n cos() d I n n π V..3 Comme f n f, la coninié de L a sens de. enraînerai L(f n ) L() =. Comme on a L(f n ) qi es de limie infinie qand n + on pe conclre qe L n es pas conine a sens de.. V..4 Soien f, g E. On a L(f) L(g) = ( + (f ) + (g ) ) (f ) (g ) + (f ) + + (g ) f g. f + g f g f + g f g f + g f g ( f + g ) Soi (f n ) ne sie d élémens de E qi converge vers f a sens de.. On a donc f n f. Par seconde forme de l inégalié rianglaires, on en dédi qe f n f. L inégalié L(f n ) L(f) ( f + f n ) f n f monre alors qe L(f n ) L(f). L es conine a sens de.. 7