Aspects rigoureux de la mécanique statistique à l équilibre

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1 Aspects rgoureux de la mécanque statstque à l équlbre Jéréme Boutter et Gulhem Semerjan Examen du 6 jun 2013 Le sujet est formé de deux partes ndépendantes. Vous rédgerez leurs solutons sur deux copes séparées. Les notes de cours et de TD sont autorsées, à l excluson de tout autre document. 1 Les zéros de Lee et Yang Il est parfos nstructf d étendre le domane de varaton des paramètres d un problème de leurs valeurs physques,.e. réelles, à tout le plan complexe, et d étuder ans leurs proprétés d analytcté. Consdérons par exemple un modèle ferromagnétque et le champ magnétque h comme paramètre. Par défnton la foncton de partton Z du modèle n est jamas nulle quand h R, car c est une somme de termes postfs ; en 1952 Lee et Yang ont étudé les ponts d annulaton de Z(h) en consdérant h C et ont découvert que ces zéros correspondaent nécessarement à des valeurs purement magnares du champ magnétque. Dans cet exercce on va démontrer ce résultat et présenter une de ses applcatons. 1.1 Le théorème de Lee et Yang pour un graphe fn On consdère un graphe G = (V, E),.e. un ensemble fn V de sommets et un ensemble de lens e E relant chacun deux sommets de V dstncts, notés e et j e. Chaque len est mun d une constante de couplage J e réelle (mas pour l nstant de sgne arbtrare). On place un spn d Isng σ { 1, +1} sur chaque sommet, leur confguraton collectve est notée σ = {σ, V } { 1, +1} V. Ils subssent l effet de champ magnétques h a pror complexes et dfférents pour chaque ste, et les nteractons selon les lens du graphe. L énerge d une confguraton est donc H(σ) = e E J e σ e σ je V h σ. (1) Chaque fos que cela sera possble sans ambguïté on numérotera les sommets par des enters,.e. on supposera V = {1,..., V }. 1. Ecrre la foncton de partton ẐG(h 1,..., h V ) du modèle en contact avec un thermostat de température nverse β. On notera Z G (h) = ẐG(h,..., h) sa valeur quand les champs magnétques sont tous égaux à h. 2. Mettre la foncton de partton sous la forme Ẑ G (h 1,..., h V ) = e V βh + e EβJ e PG (z 1,..., z V ), (2) où z = e 2βh. Ic et dans toute la sute les z et z désgnent des varables complexes. Comme P G est un polynôme de degré 1 dans chacune de ses varables on peut l écrre P G (z 1,..., z V ) = c G,U z, (3) U V U 1

2 où la somme porte sur les 2 V partes de V. Exprmer les coeffcents c G,U en termes des τ e = e 2βJe, et nterpréter. Comme c-dessus on notera P G (z) = P G (z,..., z) le polynôme obtenu quand tous les champs magnétques sont égaux. 3. Que vaut P G (z 1,..., z V ) lorsque E =,.e. pour un système de spns ndépendants? Quelles sont alors les racnes de P G (z)? Pour quelle valeur du champ magnétque h la foncton de partton Z(h) s annule-t-elle? 4. Consdérons mantenant V = {1, 2} et un graphe G fat d un seul len entre les deux sommets, avec un couplage J. Exprmer alors P G (z 1, z 2 ) et P G (z) (on notera τ = e 2βJ ). Quelles sont les racnes de P G (z), et les valeurs du champ magnétque assocé? On dstnguera les cas J 0 et J < 0. Montrer que s J 0, z 1 < 1 et z 2 < 1 P G (z 1, z 2 ) 0. (4) Indcaton : on pourra étuder les proprétés de l homographe z 1+τz τ+z, en partculer l mage du cercle unté par cette applcaton. 5. Supposons qu un graphe G = (V, E) pusse se décomposer en deux graphes dsjonts G 1 = (V 1, E 1 ) et G 2 = (V 2, E 2 ),.e. V est l unon dsjonte de V 1 et V 2, les lens de E 1 (resp. E 2 ) ne sont adjacents qu à des sommets de V 1 (resp. V 2 ), et E = E 1 E 2. Exprmer P G à l ade de P G1 et P G2. 6. On défnt mantenant une opératon de contracton sur les graphes, schématsé ans sur un exemple : j La défnton formelle de la contracton est la suvante : pour un graphe G = (V, E) arbtrare sur V sommets et j deux sommets dstncts non lés dans E on note G (,j) le graphe sur les V 1 sommets V \ j obtenu en dentfant le sommet j au sommet (.e. j est remplacé par dans toutes les arêtes de E). Il peut arrver dans certans cas partculers que cette opératon de contracton conduse à des arêtes multples dans le graphe contracté, par exemple : J1 J1 J2 j J2 Par conventon on remplace alors les arêtes multples par une unque arête portant la somme des couplages. Isolons la dépendance en z, z j du polynôme P G d un graphe G arbtrare : P G (z, z j, z ) = A(z ) + B(z )z + C(z )z j + D(z )z z j, (5) où A, B, C et D sont des polynômes de degré 1 dans les z = {z k, k V \, j}. Que vaut le polynôme P G (,j)(z, z ) obtenu après contracton? 7. Supposons que a, b, c, d soent quatre nombres complexes tels que z 1 < 1 et z 2 < 1 a + bz 1 + cz 2 + dz 1 z 2 0. (6) Js Montrer qu alors z < 1 a + dz 0. (7) 2

3 8. On dt qu un graphe G = (V, E) vérfe la proprété de Lee-Yang s son polynôme assocé est tel que z 1 < 1 et z 2 < 1 et... et z V < 1 P G (z 1,..., z V ) 0. (8) Montrer que s un graphe vérfe la proprété de Lee-Yang alors le graphe obtenue par contracton de deux sommets la vérfe auss. 9. En dédure que la proprété de Lee-Yang est vérfée pour n mporte quel graphe G = (V, E) dont tous les couplages sont ferromagnétques (.e. J e 0 e E). Indcaton : on pourra construre un graphe G pour lequel la proprété est faclement vérfée et qu conduse à G par une sére de contractons. 10. En utlsant la proprété de symétre Z G (h) = Z G ( h) et ses conséquences sur le polynôme P G (z) termner la preuve du théorème de Lee et Yang : Pour tout graphe G dont les couplages sont ferromagnétques, Z G (h) = 0 h R. 1.2 Analytcté de l énerge lbre On consdère mantenant le modèle d Isng avec nteractons à plus proches vosns sur le réseau Z d, défn par l nteracton hσ x s X = {x} φ X (σ) = Jσ x σ y s X = {x, y} avec dst (x, y) = 1, (9) 0 snon avec J une constante de couplage réelle postve. On note f(β, h) la lmte thermodynamque de l énerge lbre par spn de ce modèle, dont l exstence a été démontrée en cours pour h R. On rappelle que f = lm Λ f Λ, f Λ = 1 β 1 Λ ln Z Λ, (10) où Λ est une parte fne de Z d, Z Λ la foncton de partton du modèle avec condtons aux bords lbres dans Λ, et la lmte Λ est prse au sens de Van Hove. 11. Proposer une ébauche de preuve, sans trop de détals, de l affrmaton suvante : f est une foncton analytque de h sur C \ R. 12. En dédure que la foncton h R f(β, h) ne peut être sngulère qu en h = 0. Montrer que les dérvées à gauche et à drote en 0 de cette foncton sont toujours ben défnes. Explquer qualtatvement dans quelles condtons ces deux dérvées peuvent être dfférents, et nterpréter alors leurs valeurs. 13. Reler qualtatvement cette éventuelle sngularté au comportement, dans la lmte thermodynamque, du leu des zéros de Lee et Yang. 14. On rappelle le résultat du TD 1 pour ce modèle en dmenson d = 1 : la foncton de partton d une chaîne de N spns avec des condtons aux bords pérodques s écrt Z N (β, h) = λ + (β, h) N + λ (β, h) N, avec λ ± les racnes de λ 2 x(y + y 1 )λ + (x 2 x 2 ) = 0, où x = e βj et y = e βh. Commenter votre réponse à la queston précédente au vu de cette expresson. 3

4 2 Des marches auto-évtantes et des pavages Cette parte est consttuée de deux problèmes ndépendants. Fates des dessns! 2.1 Constante de connectvté du réseau 3-12 Fgure 1 Le réseau «3-12». Le pont nor ndque l orgne, d où partent les marches auto-évtantes. On consdère le réseau «3-12», ans nommé car l pave le plan par des trangles et des dodécagones régulers. Le but est de détermner la constante de connectvté de ce réseau. Pour smplfer, on consdère des marches auto-évtantes partant et termnant au mleu des arêtes ncdentes à deux dodécagones, cf fgure 1. On note C n le nombre de marches auto-évtantes de longueur n, partant de l orgne vers le haut. (La dem-arête ntale et la dem-arête fnale sont chacune comptées comme ayant longueur 1/2.) 1. Justfer qu l exste Λ tel que C 1/n n Λ pour n. 2. On consdère une marche auto-évtante de longueur n sur le réseau Montrer que, en contractant les trangles, on obtent une marche auto-évtante sur le réseau hexagonal dont la longueur est comprse entre n/3 et n/2. 3. Récproquement, comben une marche sur le réseau hexagonal a-t-elle d antécédents d une longueur donnée? 4. On note c n le nombre de marches auto-évtantes de longueur n sur le réseau hexagonal, comme dans le cours. Montrer que les séres génératrces χ(z) = n=0 C nz n et χ(z) = n=0 c nz n sont relées par χ(z) = χ(z 2 + z 3 ). 5. En dédure une équaton algébrque détermnant Λ. 2.2 Pavages par domnos du damant aztèque On se place dans le plan R 2. Le damant aztèque de talle n est défn comme l unon de tous les carrés de côté 1 dont les quatre cons ont des coordonnées entères (x, y) satsfasant x + y n + 1. À ttre d exemple la fgure 2(a) montre le damant aztèque de talle 4. Le but est de compter le nombre de pavages par domnos (rectangles 2 1 ou 1 2) du damant aztèque de talle n. 1. Représenter la confguraton de chemns non-ntersectants assocée au pavage de la fgure 2(b). (Suvre la conventon vue en cours, rappelée sur la fgure 2(c).) 2. Sur quel graphe sont tracés les chemns pour un damant aztèque de talle n générale? Quels sont les types de pas 1 possbles? On appelle chemn de Schröder un chemn consttué de tels pas. 1. Par pas on entend la dfférence de coordonnées entre deux sommets vstés consécutvement. 4

5 (0,0) (a) (b) (c) Fgure 2 (a) Le damant aztèque de talle 4. Par conventon sont colorés en nor tous les carrés des bords nféreur gauche et supéreur drot. (b) Un pavage du damant aztèque de talle 4. (c) Rappel de la conventon du cours. Donner les coordonnées des ponts de départ et d arrvée des chemns pour un damant aztèque de talle n générale. (On orentera les chemns de la gauche vers la drote.) 3. Montrer que les pavages du damant aztèque de talle n sont en bjecton avec les confguratons de n chemns de Schröder non-ntersectants partant des ponts ( 2 + 1, 0), 1 n, menant aux ponts (2j 1, 0), 1 j n, et qu sont postfs, c est-à-dre qu ne passent par aucun sommet d ordonnée strctement négatve. (Indcaton : comme au TD 5, trouver un prolongement judceux des chemns.) 4. On note r n le nombre de chemns de Schröder postfs partant de (0, 0) et menant à (2n, 0). Montrer que le nombre de pavages du damant aztèque de talle n est égal à A n = det 1,j n r +j Montrer que r n satsfat la relaton de récurrence { 1 s n = 0, r n = r n 1 + n 1 k=0 r kr n 1 k s n 1. (Indcaton : consdérer une décomposton des chemns au premer passage par un sommet de la forme (l, 0) avec l > 0.) 6. Dédure que la sére génératrce r(z) = n=0 r nz n satsfat r(z) = 1 + z r(z)(r(z) + 1). (On suppose z nféreur au convergence de r(z). Pourquo celu-c est-l non-nul?) 7. On note s n le nombre de chemns de Schröder postfs partant de (0, 0), menant à (2n, 0) et ne vstant jamas consécutvement deux sommets d ordonnée nulle (c est-à-dre ne fasant jamas de pas horzontal en partant d un sommet d ordonnée nulle). Montrer que s n satsfat la relaton de récurrence { 1 s n = 0, s n = n 1 k=0 r ks n 1 k s n 1. 5

6 8. Exprmer la sére génératrce s(z) = n=0 s nz n en foncton de r(z), et en dédure que s n = r n 2 pour n Montrer que det s +j 1 = det r +j 1 1,j n 1,j n 1 en exhbant une bjecton entre les confguratons de chemns non-ntersectants comptées respectvement par chacun de ces détermnants. 10. Dédure des questons précédentes une relaton de récurrence pour A n et la résoudre. 11. Comparer le résultat obtenu au nombre de pavages d un rectangle M N, vu en cours : que remarque-t-on? 6