Documents pour l étudiant : Chapitre III : continuité

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1 1 UNIVERSITÉ DE CERGY Année U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Gestion MATH101 : Pratique des Fonctions numériques Documents pour l étudiant : Chapitre III : continuité Notations : On reprend dans ce chapitre les notations du chapitre précédent : si x 0 est un nombre réel, on notera I x0 un voisinage de x 0 (i.e. un intervalle ouvert contenant x 0 ), et I x 0 = I x0 {x 0 }. Si x 0 = +, alors I x0 désigne un intervalle ouvert du type ]γ; + [ et si x 0 =, I x0 =] ; γ[. 1 Définitions Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I et x 0 un réel appartenant à I. Théorème 1. Si x 0 est un réel de I et si f admet une limite en x 0, alors cette limite est nécessairement f(x 0 ). Preuve : Soit lim f(x) = l. x x0 ε > 0, α > 0, x I ( x x 0 α f(x) l ε). Donc en particulier pour x = x 0 : ε > 0, f(x 0 ) l ε, ce qui implique f(x 0 ) = l Définition 1. Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I et x 0 un réel appartenant à I. f est dite continue en x 0 si elle admet une limite en x 0. Ce qui signifie que si x est proche de x 0 alors f(x) reste proche de f(x 0 ). Figure 1 Fonction continue / discontinue en x 0

2 2 Cas de discontinuité : 1. La fonction «partie entière (» est discontinue en 0. En effet, elle n a pas de limite en La fonction f : x sin si x 0 et f(0) = 0. f n a pas de limite en 0 x) ( 1 Figure 2 Courbe de f : x sin x) 3. La fonction δ définie sur R par δ(x) = 0 si x 0 et δ(0) = 1. Définition 2. Si I est un intervalle ouvert, on dit que f est continue sur I si elle est continue en tout réel de I. On peut introduire les notions de continuité à gauche et à droite d un réel : Définition 3. Soient x 0 R et f une fonction définie sur un intervalle I x0. f est dite continue à droite (respectivement continue à gauche) en x 0 si x x0 lim f(x) = f(x 0 ) (respect. x x0 lim f(x) = f(x 0 )). x>x 0 x<x 0 Avec ces définitions on a le Théorème 2. f est continue en x 0 si et seulement si f est continue à droite et à gauche en x 0. Définition 4. Si f est définie sur I = [a, b], dire que f est continue sur I signifie qu elle est continue en tout réel de ]a, b[ et que f est continue à droite en a et à gauche en b. Exercice 1. Les fonctions suivantes sont-elles continues en x 0? 1. Soit f définie sur R par f(x) = x 1 si x < 0 et f(x) = x 2 si x 0. (x 0 = 0) 2. f est définie sur R par f(x) = x 2 + 2x + 3 si x 1 et f(x) = 5e x 1 si x > 0. (x 0 = 0). Théorème 3. On admet que les fonctions suivantes sont continues 1. Les fonctions polynômes sont continues sur R. 2. La fonction «valeur absolue» est continue sur R. 3. La fonction «racine carrée» est continue sur R +.

3 3 4. Les fonctions rationnelles sont continues sur leur ensemble de définition. 5. La fonction «logarithme népérien» est continue sur R Les fonctions exponentielles de base a > 0 sont continues sur R. 7. Les fonctions puissances sont continues sur R +. Contre-exemple : La fonction «partie entière» est discontinue en tout entier de Z, et continue en tout réel non entier. 2 Prolongement par continuité Définition 5. Soit f une fonction continue sur un intervalle Ix 0, non définie en x 0 et admettant une limite réelle l en x 0. On définit alors la fonction f sur I x0 par f(x) = f(x) si x x 0 et f(x 0 ) = l. f est alors définie et continue sur I x0. On dit que f est le prolongement par continuité de f en x 0. Exercices Soit f la fonction définie sur R par f(x) = e 1 x 2. Montrez que l on peut prolonger f en Soit g la fonction définie sur R {1} par g(x) = ln(x2 ). g est-elle prolongeable par continuité x 1 en 1? en 0? 3 Opérations sur les fonctions continues Les théorèmes suivants sont admis : Théorème 4. Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle I et λ un réel. Si f et g sont continues en x 0 I, alors f + g, λf, f.g et f sont continues en x 0. Si f et g sont continues sur I, alors f + g, λf, f.g et f sont continues sur I Théorème 5. Soit f une fonction définie sur un intervalle I et x 0 I. Si f est continue en x 0 et f(x 0 ) 0, alors 1 f est continue en x 0. Si f est continue sur I et pour tout x I, f(x) 0 alors 1 f est continue sur I. Théorème 6. Si f est continue en x 0 I et strictement positive en x 0, alors pour tout α R, f α est continue en x 0 Si f est continue sur I et strictement positive sur I, alors pour tout α R, f α est continue sur I

4 4 Théorème 7. Soit f une fonction définie sur un intervalle I et g une fonction définie sur un intervalle J tels que pour tout x I, f(x) J (f(i) J). Si f est continue en x 0 I et g est continue en y 0 = f(x 0 ) alors, la fonction composée g f est continue en x 0. Si f est continue sur I et g est continue sur J, alors g f est continue sur I. Exercice 3. Justifiez que la fonction f : f(x) = x 2 + 2x + 3 est continue sur [ 1; 3]. 4 Propriétés des fonctions continues sur un intervalle 4.1 Théorème des valeurs intermédiaires et applications On admet le Théorème 8. Soit f une fonction continue sur un intervalle I = [a, b]. Soit β un réel compris entre f(a) et f(b). Il existe au moins un réel α [a, b] tel que f(α) = β. Une autre formulation du théorème précédent est : L image d un intervalle par une fonction continue est un intervalle Figure 3 Théorème des valeurs intermédiaires

5 4.2 Extrema d une fonction 5 Cas particulier : β = 0 Théorème 9. Soit f une fonction continue sur un intervalle I = [a, b] telle que f(a).f(b) < 0, alors Il existe au moins un réel α [a, b] tel que f(α) = 0. Cas Particulier : Cas d une fonction strictement monotone : Théorème 10. Soit f une fonction continue sur un intervalle I = [a, b] et strictement monotone sur [a, b]. Soit β un réel compris entre f(a) et f(b). Il existe exactement un réel α [a, b] tel que f(α) = β. Rappels : Théorème 11. Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. 1. Si x I, f (x) > 0 (respectivement f (x) < 0) alors f est strictement croissante sur I (respect. décroissante sur I) 2. Si x I, f (x) 0 (respectivement f (x) 0) et f s annule en des réels isolés (i.e. qui peuvent être séparés par des intervalles non vides), alors f est strictement croissante sur I (respect. décroissante sur I) 4.2 Extrema d une fonction Les théorèmes suivants sont des conséquences du théorème des valeurs intermédiaires, et seront admis : Théorème 12. Soit f une fonction continue sur un intervalle I = [a, b], alors f est bornée et atteint ses bornes. Théorème 13. L image d un intervalle fermé borné [a, b] par une fonction continue f est un intervalle fermé borné [m, M], où m (respectivement M) est le minimum (respect. maximum) de f sur [a, b]

6 4.2 Extrema d une fonction 6 MATH101 : Pratique des Fonctions numériques Documents pour l étudiant : Chapitre IV : Dérivabilité 1 Dérivabilité d une fonction en un réel x 0 Rappels : Il est très vivement conseillé de revoir les rappels sur la dérivation faits dans le chapitre I! Définition 6. Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I et x 0 un réel appartenant à I. f est dite dérivable en x 0 si f (x,x0 ) = f(x) f(x 0) admet une limite réelle (= finie) l x x 0 lorsque x tend vers x 0. Dans ce cas, cette limite est notée f (x 0 ) et est appelée nombre dérivé de f en x 0 Remarque : f (x,x0 ) représente le coefficient directeur de la sécante (MM 0 ) où M(x, f(x)) et M 0 (x 0, f(x 0 )). Dire que f (x,x0 ) possède une limite quand x tend vers x 0 revient à dire que la courbe représentative de f possède au point M 0 une tangente de coefficient directeur f (x 0 ). (tangente non verticale) Ainsi, lorsque f est dérivable en x 0 l équation de la tangente à C f est y = f (x 0 )(x x 0 )+f(x 0 ) (remarquer que cette droite a pour coefficient directeur f (x 0 ) et passe par M 0 ). Exemples Soit f : f(x) = x 2. Pour x 0 = 1, on a f (x,1) = x2 1 = x + 1 donc lim x 1 f (x,1) = 2. x 1 f est dérivable en 1 et f (1) = 2. La tangente à C f au point A(1, 1) a pour équation : y = 2(x 1) + 1 soit : y = 2x + 1 x 1 2. Soit f : f(x) = x 1. Pour x 0 = 1, on a f (x,1) = = 1 si x > 1 et 1 si x < 1. x 1 Donc f (x,1) ne possède pas de limite en x 0 = 1 et f n est pas dérivable en 1. Remarque : Avec le changement de variable x 0 = x + h, on a l énoncé suivant : f est dérivable en x 0 si et seulement si f(x 0 + h) f(x 0 ) admet une limite finie lorsque h tend vers zéro. h Application à la détermination de limites : Théorème 14. lim x 1 ln x x 1 = 1 lim e x 1 x 0 x = 1 lim x x 1 x = 1 2 α 0, lim x 0 (1 + x) α 1 x = α

7 4.2 Extrema d une fonction 7 Définition 7. Soit f une fonction définie sur I x0. Si le taux d accroissement de f a une limite finie à droite (respectivement à gauche) en x 0, f est dite dérivable à droite (respect. à gauche) de x 0. On note f d(x f(x) f(x 0 ) 0 ) = x x0 lim x>x 0 x x 0 et f g(x f(x) f(x 0 ) 0 ) = x x0 lim. x<x 0 x x 0 REMARQUE IMPORTANTE : Une fonction peut très bien être dérivable à droite et à gauche en x 0 mais ne pas être dérivable en x 0. (Voir la figure 4 ci-dessous : f d(2) = 0 et f g(2) = 4). Figure 4 Point anguleux Autres exemples de fonctions non dérivables en x 0 Figure 5 Point de rebroussement - Tangente verticale Théorème 15. Une fonction f définie sur I x0 est dérivable en x 0 si et seulement si f est dérivable à gauche et à droite de x 0 et f d(x 0 ) = f g(x 0 ). Théorème 16. Soit f une fonction définie sur I x0. Si f est dérivable en x 0 alors f est continue en x 0. La réciproque est fausse! penser à la fonction «valeur absolue» qui est continue, mais non dérivable en zéro.

8 4.2 Extrema d une fonction 8 2 Variations - extrema d une fonction dérivable Théorème 17. Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. 1. Si x I, f (x) 0 alors f est croissante sur I. 2. Si x I, f (x) 0 alors f est décroissante sur I. 3. Si x I, f (x) = 0, alors f est constante sur I. On a un énoncé un peu plus précis : Définition 8. Les réels {x i, i I} sont dits isolés si pour tout indice i de I, il existe un intervalle ouvert I i contenant x i tel que les intervalles { I i, i I} soient disjoints deux à deux. Théorème 18. Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. 1. Si x I, f (x) 0 et f ne s annule qu en des réels isolés, alors f est strictement croissante sur I. 2. Si x I, f (x) 0 et f ne s annule qu en des réels isolés, alors f est strictement décroissante sur I. Exemple 2. f x x 3. x R, f (x) = 3x 2 0 et f ne s annule qu en x = 0, donc f est strictement croissante sur R. Définition 9. Soit f une fonction définie sur D f. 1. On dit que f admet un maximum local en x 0, s il existe un voisinage I x0 tel que x 0 I x0, f(x) f(x 0 ). 2. On dit que f admet un minimum local en x 0, s il existe un voisinage I x0 tel que x 0 I x0, f(x) f(x 0 ). 3. On dit que f admet un extremum en x 0 si f admet un minimum ou un maximum en x 0. Théorème 19. Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I x0, si f admet un extremum en x 0, alors f (x 0 ) = 0. Conséquence graphique : Sous les conditions du théorème, la tangente à C f est horizontale. Remarque : La réciproque du théorème précédent est fausse : par exemple soit f : x x 3, f (0) = 0 mais f n admet pas d extremum en x = 0. Théorème 20. Soit f une fonction définie et dérivable sur I x0, si f (x 0 ) = 0 et si f (x) change de signe en x 0, alors f admet un extremum en x 0. Théorème 21. Soit f une fonction deux fois dérivable sur I x0. 1. Si f (x 0 ) = 0 et f (x 0 ) > 0, alors f admet un minimum en x Si f (x 0 ) = 0 et f (x 0 ) < 0, alors f admet un maximum en x 0. Exercice 4. Soit f définie sur R + par f(x) = (ln x) 3 3 ln x. Calculer f (x) puis déterminer les variations de f sur R +.