QCM SYSTEMES LINEAIRES

Transcription

1 QCM SYSTEMES LINEAIRES ) Voici quelques réonses de systèmes à une entrée en échelon et en rame : Le système A ossède un gain égal à Le système B ossède un gain suérieur à Le système C ossède un gain suérieur à Le système D ossède un gain égal à ) Erreur statique mesurée sur un essai échelon: ε s ( limt + ( s( e( ) ε s ( lim ( e( s( ) ε s ( lim ( e( s( ) ε s ( lim ( E( S( ) ε s ( lim E( S( f) ε s ( lim ( S( E( ) g) Pour un échelon e(a.u( : ε ( A s f) g) 3) Erreur statique dans le cas d une réonse à un échelon unitaire : Pour un système du nd ordre ε s ( Pour un système du er ordre ε ( Pour un système du er ordre ε s ( Pour un er ordre comme our un nd ordre ε s ( lorsque ε ( lim H ( s s 4) Transformation de Lalace, on donne l équation réelle suivante : 6 y ( y ( + y( avec : y ( ) et y (). En assant cette équation dans le domaine de Lalace on obtient : Y ( 6 ² Y ( 6 ² + 6 Y ( 6 ² + Auxerre 8//6 Page sur 6

2 5) La réonse d un er ordre à la rame e( t u( est égale à : t s( ( e e ) s( ( t + e ) s( ( e ) 6) Fonction transfert : on donne la fonction transfert suivante : le système est du er ordre Le gain statique est de 8 le gain statique est de 8 la constante de tems est égale à :.5 8 H ( 7) La fonction transfert H( de la question récédente est sollicité ar une rame du tye : e( t u(, our les conditions de Heavyside, la réonse symbolique S( est égale à : 8 4 S( ; S( 3 ( ) ; ² ² ; S( ; S( 3 ( ² + 8) On donne ci-dessous la réonse d un système à un échelon unitaire. Le régime est seudo oscillatoire Ce n est as la réonse d un er ordre Si le système est un second ordre alors le coefficient d amortissement est suérieur ou égal à Le gain statique du système est suérieur à Auxerre 8//6 Page sur 6

3 9) On donne ci-dessous la réonse d un système à un échelon unitaire : Le régime est seudo oscillatoire Ce n est as une réonse d un er ordre Si le système est un second ordre alors le coefficient d amortissement est suérieur ou égal à Le gain statique du système est suérieur à ) La réonse d un système du second ordre est d autant lus raide que : Le coefficient d amortissement est faible Le gain est imortant Le coefficient d amortissement est égal à.7 La ulsation rore ω n est grande 4 ) Soit la fonction transfert suivante : H (. On sollicite ce système ar un échelon unitaire ² Courbe A e(.u( e(.u( Courbe B tems (s) tems (s) e(.u(. e(.u( Courbe C. Courbe D tems (s) La courbe A corresond à la réonse attendue La courbe B corresond à la réonse attendue La courbe C corresond à la réonse attendue La courbe D corresond à la réonse attendue tems (s) Auxerre 8//6 Page 3 sur 6

4 ) La fonction transfert d un système intégrateur eut se mettre sous la forme : kv H ( La fonction transfert H ( ( + eut-être considérée comme un second ordre La réonse d un second ordre avec a> à un échelon d amlitude A est de la forme : s ( A + e e La réonse d un second ordre avec a à un échelon d amlitude A est de la forme : t s( A e e La réonse d un second ordre avec a< à un échelon d amlitude A est de la forme : a ω n t a s( A e sin ω a t n + ϕ 3) Une structure en boucle fermée est définie ci-dessous : E( S( FTBF FTBF( ( 4 + ( +. + FTBF ( ( +. 4) La structure ci-dessous est équivalente à la récédente : E( ( +. S( La FTBO de la structure de la question 3) est égale à : FTBO( + ( +. Auxerre 8//6 Page 4 sur 6

5 5) On modélise ar le schéma bloc suivant un moteur à courant continu à aimant ermanent : Cr( U( + - H( T + - H ( Ω( e Le bloc dont la fonction transfert est H ( est aelé bloc «Elec.» H ( J + f H ( R + L La réonse du système à un échelon de tension est seudo-ériodique quelles que soient les valeurs réelles de R, J, L et f 6) Les valeurs numériques des constantes suivantes sont comatibles our le moteur décrit ar le schéma de la question récédente : T 4.8 mn.m et e.55 V/ tr/min L unité du aramètre J aaraissant à la question récédente est le g m La valeur de J ne déend que de l inertie du rotor du moteur 7) diagrammes de Bode : π Pour un remier ordre la ulsation de couure se roduit our ω c La courbe de gain our un remier ordre asse ar un oint dont les coordonnées sont :, log 3 Pour un remier ordre de tye asse bas l asymtote oblique ossède une ente de -4 db/dec Pour un remier ordre la courbe de hase à our équation : φ( ω) arctan ( ω) Pour un remier ordre, il eut se roduire une résonance d amlitude our certaines valeurs de 8) diagrammes de Bode : Pour un deuxième ordre la ulsation de couure se roduit our ω c ωn Tout comme our un remier ordre de tye asse bas l asymtote horizontale d un second ordre à our équation : G(dB) log L amlitude maximum du diagramme de hase d un second ordre ne déasse as 9 Pour les systèmes du second ordre lorsque le coefficient d amortissement est inférieur à il se roduit une résonance d amlitude Auxerre 8//6 Page 5 sur 6

6 9) [db] Amlitude -5 [ ] Phase Ces diagrammes corresondent à un filtre asse bas d ordre Le diagramme de gain fait aaraître une résonance De manière générale, lorsqu il se roduit une résonance, elle a lieu our une ulsation égale à la ulsation de couure De manière générale, lus le coefficient d amortissement est etit lus l amlitude de la résonance est élevée ) On donne le système asservi suivant : avec H ( et C ( C + La FTBO est égale à : FTBO( c c + + Le gain de FTBO(jω) est égal à : c G( db) log log + ω Le gain de FTBO(jω) est égal à : G c ( db) log + log log + j ω La hase de FTBO(jω) est égale à : φ( ω) arctan ω ( ) Auxerre 8//6 Page 6 sur 6