Pierre BOUTELOUP. Les paragraphes I, II, et III sont très largement indépendants. I INTERACTION ÉLECTRIQUE DE DEUX ATOMES D HÉLIUM

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1 Pierre BOUTELOUP Les paragraphes I, II, et III sont très largement indépendants. I INTERACTION ÉLECTRIQUE DE DEUX ATOMES D HÉLIUM Lorsque un atome est soumis à un champ électrique, les fonctions d ondes électroniques se déforment, donc la position moyenne de l électron se déplace. On modélise cela pour l atome d Hélium, en s inspirant du modèle de Thomson de l atome, de la manière suivante : le noyau contenant deux charges positives et un des électrons sont modélisés par une sphère de rayon R rayon de l atome contenant la densité volumique de charge uniforme ρ, telle que la charge totale soit q = +e = +1, C. Le deuxième électron de masse m, de charge e, se promène librement en étant soumis au champ électrique de la sphère chargée en volume. 1- Calculer le champ électrique produit par la boule pleine chargée avec ρ à la distance r du centre de la boule pour r R. - Calculer le potentiel électrostatique créé par cette boule (ρ, R), V(r), pour toutes les valeurs de r de 0 à + en prenant comme convention que le potentiel est nul à l infini. On exprimera V(r) en fonction de la charge totale q > 0 de la boule. 3- Calculer l énergie de première ionisation I de l atome d hélium. Application numérique : on donne ε 0 = 8, F.m 1. On rappelle que 1eV = 1, J. On donne R = 0, mètres = 0,103nm. Calculer numériquement l énergie de première ionisation de l atome d Hélium. En réalité, elle vaut 4,6eV. Conclusion sur le modèle? 4- Lorsque l atome est soumis à un champ électrique extérieur E e, l électron se place à la distancer du centre de la boule. L atome prend alors un moment dipolairep = αe e proportionnel au champ électrique extérieur appliqué. Calculer la polarisabilité α en fonction de R. On ne fera pas l application numérique. 5- Lorsque l atome est seul, l électron peut effectuer des oscillations harmoniques autour de centre de l atome. Calculer, en prenant comme référence une énergie potentielle nulle au centre, l énergie potentielle électrostatique de l électron à la distance r du centre de la boule, en fonction de ε 0, R, q. 6- On considère deux atomes d hélium. Le premier est en O 1, le deuxième est en O à la distance d du premier. On prend comme axe des z la droite orientée 1. helium 1

2 O 1 O. La distance d est supposée très grande devant les élongations r 1 et r des électrons respectifs des deux atomes, respectivement par rapport à O 1 et O. On complète avec des axes x et y de façon à avoir un repère orthonormé direct ( e x, e y, e z ). Les déplacements r 1 et r sont repérés respectivement avec les coordonnées (x 1, y 1, z 1 ) d origine O 1 et x, y, z d origine O. En plus des deux énergie potentielles électrostatiques propres dont la formule a été calculée à la question 5, les deux électrons ont une énergie potentielle d interaction électrostatique due à l interaction des deux dipôles électrostatiques créés lorsque r 1 et r ne sont pas nuls, dipôles qui sont sur l axe des z à la distance d l un de l autre. On donne, pour le champ électrique créé par le dipôle numéro 1 au niveau du dipôle numéro : E 1 = 1 [ 3 4πε 0 d 3 ( P1 e z ) ez P 1 ] Calculer en fonction de x 1, y 1, z 1 et x, y, z l énergie potentielle électrostatique totale des deux atomes. On mettra q 4πε 0 en facteur. 7- On fait les changements de variables : x + = 1 (x 1 + x ) y + = 1 (y 1 + y ) z + = 1 (z 1 + z ) x = 1 (x 1 x ) y = 1 (y 1 y ) z = 1 (z 1 z ) ν 0 étant la fréquence d oscillation de l électron d un atome seul, montrer qu on arrive à 6 oscillateurs découplés de fréquences : ν ± x = ν ± y = ν 0 1 ± R3 d ν 3 0 [1 ± R3 d 1 R 6 ] 3 8 d 6 ν z ± = ν 0 1 ± R3 d 3 ν 0 [1 ± R3 d Un oscillateur harmonique de fréquence ν possède l énergie minimale hν. En déduire que deux atomes d hélium présentent l énergie potentielle mutuelle d attraction : E P = 3 Iα 4 (4πε 0 ) d 6 en identifiant hν 0 à l énergie de première ionisation de l atome et α étant la polarisabilité calculée à la question 4. R 6 d 6 ]

3 9- Application numérique : calculer le coefficient numérique multiplicatif de 1 de façon à connaître complètement l énergie potentielle d interaction en fonction de d. On prend I = 4,6eV. α est donné par l expérience et pris ici égal d6 à : α =, SI. L énergie est mesurée en Joules II ÉTUDE DE L ÉNERGIE INTERNE DE L HÉLIUM À 0 K Ici, r, R, m, et d n ont pas la même signification que dans la partie I. m est ici la masse d un atome d hélium. Une bonne unité au niveau atomique est l Angström de symbole : A qui vaut m. Pour faire intervenir la répulsion à très petite distance de deux atomes, il faut ajouter un terme répulsif dans l énergie. Des ajustements avec la déviation à un gaz parfait permettent de trouver ce terme d une manière phénoménologique. On arrive, pour l énergie potentielle d interaction entre deux atomes d hélium, à : ( ) 447 1,59 E P = J r1 r 6 la distance r des deux atomes étant mesurée en Angström. 10- L hélium solide cristallise dans un réseau hexagonal compact, mais les calculs sont équivalents et plus simples avec le réseau cubique à faces centrées où il y a 4 atomes dans la maille cubique de volume a 3. La distance de deux atomes vaut r = a. Un atome a 1 voisins, mais une liaison comptant pour deux atomes, il lui correspond 6 liaisons. N étant le nombre total d atomes dans le volume considéré, on en déduit : r = 1 3 4V N En déduire l énergie pour une liaison, en fonction du volume V. On demande ensuite l énergie potentielle E solide molaire en fonction de V. N est donc ici égal au nombre d Avogadro : N = 6, L énergie sera exprimée en Joules, et le volume en cm 3. On demande la valeur numérique précise, avec ces unités, des coefficients de 1 1 et de V 4 V. 11- L analyse de la diffraction des rayons X montre que l hélium liquide, à un instant donné, a la même structure que ci-dessus, mais un site sur deux uniquement est occupé. C est ce qui fait que les atomes peuvent facilement sauter d un site à l autre, donc que l hélium soit liquide. On obtient cette fois-ci : r = 1 3 V N 3

4 Un atome n a plus que 6 voisins. On a encore r = a. Calculer avec les mêmes consignes qu à la question précédente l énergie molaire du liquide : E liquide. 1- Dans la suite, l atome d hélium est assimilé à une sphère dure de diamètre d. À cause de l inégalité de Heisenberg spatiale, même au froid absolu, les atomes sont animés d une agitation incessante, donc l hélium possède une énergie cinétique interne. On s intéresse d abord au cas le plus compact de l hélium solide. On a r d, c est à dire r d d. On a donc une particule piégée dans une sphère creuse de rayon R sc = r d. On donne l équation de Schrödinger à trois dimensions pour des états stationnaires d énergie E : m ψ = Eψ On rappelle le Laplacien en coordonnées sphériques pour une fonction qui ne dépend que de la distance à l origine ρ : = ρ + ρ On cherchera une solution de la forme ψ(ρ) = C sin kρ où C est une constante, ρ et on déterminera l énergie correspondante. On rappelle que = h. On pose π R = 3 V N. En tenant compte du lien entre r et V N de la question 10, exprimer l énergie cinétique d un atome en fonction de h, d, m, R. 13- On s intéresse maintenant au cas du gaz très dilué. Les atomes sont animés d une vitesse très faible, donc la longueur d onde de de Broglie associée est très grande devant la distance r de deux atomes λ r, et r d. On s intéresse à la fonction d onde ψ 0 ( ρ) d un atome. Au voisinage d un autre atome dont le centre est pris momentanément pour origine, l onde se diffuse partiellement en une onde sphérique, de telle sorte que : ( ) ψ( ρ) = ψ 0 + ψ 1 = ψ B eikρ pour ρ λ ρ avec k = π λ. En effet, sur une telle distance, ψ 0 est pratiquement constante. Lors d un choc, le centre de l atome d hélium incident reste à l extérieur de la sphère efficace de rayon d de centre l atome d hélium cible. En déduire que B = d. 14- La formule de Stokes permet d écrire s il y a un atome cible : ρ 4

5 ψ ψ dv = V ese Sed ρ ds V ese signifie : volume extérieur à la sphère efficace. Sed signifie : sphère efficace de rayon d. On néglige le volume intérieur aux sphères efficaces. En déduire, N étant le nombre d atomes dans le volume V que : ψ dv = 4πd Nψ 0 V On suppose que le volume V sur lequel on intègre est petit devant la longueur d onde λ mais grand devant r et d. 15- Avec l approximation : ψ 0 1 ψ dv V V en déduire l énergie d un atome du gaz dilué au froid absolu en fonction de h, d, m, R : On n a pas de théorie pour les états intermédiaires, on utilise donc une formule d interpolation qui redonne les deux cas limites précédents : E cinétique, un atome = h d [ ( ) πm R 1 6 d R + d ( 7 3 π 1 6 En multipliant par le nombre d Avogadro, on aurait l énergie cinétique molaire, mais on ne demande pas de faire ce calcul. Disposant ainsi de l énergie interne totale du liquide et du solide à 0 K, on va pouvoir étudier dans la suite dans quel état l hélium est spontanément le plus stable. III ÉTUDE DE l ÉTAT DE L HÉLIUM À 0 K Sur la première image, nous avons tracé, en fonction du volume exprimé en cm 3, au froid absolu, l énergie potentielle du solide : E solide, l énergie potentielle du liquide : E liquide, et l énergie cinétique due aux mouvements associés à l inégalité de Heisenberg spatiale. Sur la deuxième image, en ajoutant cette énergie cinétique aux énergie potentielles, nous avons tracé l énergie interne du solide et l énergie interne du liquide au froid absolu, en fonction du volume exprimé en cm 3. L énergie est mesurée en Joules. )] 5

6 E solide E liquide Energie cinétique interne Energie potentielle du liquide Energie potentielle du solide Energie interne du solide Energie interne du liquide 16- Quel est l état spontané de l hélium, à faible pression, au froid absolu, solide liquide ou gazeux? Justifier. 17- On trace la tangente commune aux deux courbes d énergie interne du liquide et du solide. Montrer que la pression est la même aux deux points de contact. Montrer que le potentiel chimique est le même aux deux points de contact. Conclusion? 6

7 18- On a ajusté empiriquement le diamètre d de l atome d hélium à, 055 Angström pour retrouver la valeur expérimentale de la pression où l hélium devient solide. Montrer qu on peut retrouver graphiquement la valeur de cette pression à partir de la deuxième image. Donner la valeur de cette pression en bar. 7