B = (R 2 + (x x c ) 2 )

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1 PHYSQ 126: Champ magnétique induit 1 CHAMP MAGNÉTIQUE INDUIT 1 But Cette expérience 1 a pour but d étudier le champ magnétique créé par un courant électrique, tel que décrit par la loi de Biot-Savart 2. Vous avez vu qu un courant électrique qui passe dans un fil conducteur génère un champ magnétique dans le voisinage de ce conducteur. Cette expérience porte sur deux types de conducteurs enroulés : les bobines de Helmholtz et le solénoïde. La première partie concerne la relation entre le champ magnétique et le courant pour des bobines de Helmholtz. La seconde partie porte sur la relation entre le champ magnétique et la position pour des bobines de Helmholtz et pour un solénoïde. On demande un calcul d erreur seulement pour la première partie (section 3.1, ci-dessous). 2 Théorie 2.1 Bobines de Helmholtz Considérez la bobine représentée à la Figure 1, ci-dessous. En un point situé sur l axe central de la bobine, l intégrale de la loi de Biot-Savart (voir l annexe à la fin) montre que le champ magnétique B est parallèle à l axe central et sa grandeur est 1 2 B = µ 0NR 2 I. (1) (R 2 + (x x c ) 2 ) 3/2 Le symbole N représente le nombre d enroulements, R est le rayon de la bobine, I le courant dans la bobine, x la position où l on calcule B, et x c la position du centre de la bobine. Si une seconde bobine, semblable à la première, est placée parallèment à la première, le long du même axe (voir Figure 2, ci-dessous) et qu une distance R (égale au rayon de chaque bobine) sépare les deux bobines, on appelle cette paire bobines de Helmholtz. À la question 1 de la section 5, vous montrerez à l aide de l équation (1) que le champ magnétique le long de l axe et à mi-chemin entre ces bobines est donné par B H = µ 0 NI R. (2) 1 Traduction et adaptation de: Experiment 18 - Magnetic Fields, Physics Laboratory Manual- Phys 124/126, Department of Physics, University of Alberta. 2 La loi de Biot-Savart, décrite dans l annexe, n est utilisée que dans cette expérience; vous n avez pas besoin de la connaître pour le cours. C est cette loi qu il faut utiliser pour obtenir les expressions du champ magnétique que nous avons vues pour les boucles, les solénoïdes, etc.

2 PHYSQ 126: Champ magnétique induit Champ magnétique le long de l axe central d un solénoïde Un solénoïde est un autre système qui peut générer un champ magnétique. Pour un point P le long de l axe central du solénoïde (Figure 3), le champ magnétique est parallèle à l axe central et sa grandeur est donnée par B = 1 2 µ 0n(cos β 2 cos β 1 ), (3) où n = N/L est le nombre de tours par unité de longueur de la bobine et β 1, β 2 sont les angles indiqués à la Figure 3. Ces angles β 1 et β 2 sont compris entre 0 et 180, et on a toujours β 1 β 2. Si x est la position de la sonde, x c la position du centre du solénoïde, L la longueur du solénoïde et R son rayon (voir Figure 3), alors on peut écrire l équation (3) sous la forme B = µ 0NI 2L (x x c ) + L/2 ((x x c ) + L/2) 2 + R 2 (x x c ) L/2 ((x x c ) L/2) 2 + R 2 (4) Si le point P est situé vers le milieu d un solénoïde tel que L R, c.-à-d. loin des extrémités, alors β et β 2 0. En substituant ces angles dans l équation (3), on vous demande de montrer à la question 2 de la section 5 que la grandeur du champ B à l intérieur d un long solénoïde est 3 Manipulations B = µ 0 ni. (5) 3.1 Partie I : Champ B en fonction de I dans des bobines de Helmholtz 1. Chaque bobine a le même nombre d enroulements N. Le but de la partie I est de déterminer la valeur de N en mesurant B H en fonction de I et en linéarisant l équation (2); la pente nous permettra de calculer N et de le comparer avec la valeur donnée par le fabricant (voir question 3 de la section 5).

3 PHYSQ 126: Champ magnétique induit 3 2. Placez les deux bobines en position parallèle et séparées d une distance égale au rayon des bobines R. Pour ce faire, assurez-vous que les bobines soient bien au centre des rectangles blancs dessinés sur la base métallique. 3. Il y a deux types de bobines que vous pouvez utiliser pour cette expérience: 200 enroulements et 500 enroulements. Bobine avec 200 enroulements (Figure 4, ci-dessous). On trouve sur chaque bobine trois prises de courants: deux blanches et une noire. Branchez ensemble les prises blanches externes respectives des deux bobines par un fil conducteur. Branchez ensuite la source de courant à la prise blanche interne de chacune des bobines, c.-à-d. branchez le + à une bobine et le à la seconde bobine. La prise noire n est pas utilisée. Bobine avec 500 enroulements (non illustrée). Chaque bobine compte deux prises de courants, une blanche et une noire. Branchez ensemble les prises blanches des deux bobines par un fil conducteur. Branchez ensuite la source de courant à la prise noire de chaque bobine, c.-à-d. branchez le + à une bobine et le à l autre bobine. 4. Avant d allumer la source de courant, assurez-vous que les deux boutons du voltage soient en position du voltage le plus élevé, c est-à-dire tournés vers la droite (ces boutons sont situés sur le côté droit de l appareil, #3 et #4 à la Figure 5, ci-dessous). Vérifiez aussi que l appareil soit ajusté à la petite échelle du courant en vous assurant que le bouton #14 soit à la position enfoncée. 5. Branchez la source de courant et appuyez sur le commutateur vert (#13 à la Figure 5) pour mettre l appareil en marche. Vérifiez que l affichage soit au mode AMPS (#12 à la Figure 5). 6. Ajustez le courant I à environ A en utilisant les boutons pour le courant qui sont situés sur le côté gauche de l appareil (#5 pour les grands ajustements et #6 pour les petits).

4 PHYSQ 126: Champ magnétique induit 4 7. Branchez le dispositif bleu Pasport au détecteur de champ magnétique qui est un autre dispositif bleu (Figure 6, ci-dessous). Placez l extrémité de la sonde de Hall au centre des bobines aussi précisément que possible. 8. L image illustrée à la Figure 7 apparaîtra à l ordinateur (elle sera plus claire qu ici!). Cliquez sur l icône EZscreen et l image illustrée à la Figure 8 apparaîtra. Cliquez sur l icône en bas à droite jusqu à ce que les unités qui apparaissent dans la fenêtre en bas à gauche soient des mt.

5 PHYSQ 126: Champ magnétique induit 5 9. Cliquez sur la flèche en haut à gauche de l écran de la Figure 8. La mesure de l intensité du champ magnétique B H apparaîtra dans la fenêtre en bas à gauche. Si la valeur de B H est négative, inversez les fils branchés à la source de courant. Prenez en note B H ± B H ainsi que la mesure du courant I ± I. Cliquez de nouveau sur la flèche en haut à gauche pour arrêter de mesurer B H. 10. Bobines avec 200 enroulements. Faites varier le courant I par sauts de A jusqu à A. Bobines avec 500 enroulements. Faites varier le courant I par sauts de A jusqu à A. Peut importe le type de bobines, prenez les mesures du courant I ± I et du champ magnétique B H ± B H à chaque fois. Gardez votre montage des bobines de Helmholtz, car vous l utiliserez à la partie II de ce laboratoire. 3.2 Partie II.A: Champ B en fonction de x pour des bobines de Helmholtz 1. Placez la base du support de la sonde de Hall sur un banc optique. Ajustez la sonde de sorte que son axe corresponde à l axe central des bobines. 2. Ajustez la source de courant à A. Notez la mesure du champ magnétique et sa position à une distance de 5.0 cm à l extérieur d une bobine. 3. Ensuite, déplacez la sonde vers les bobines et, par sauts de 1.0 cm, répétez les mesures jusqu à ce que la position soit 5.0 cm à l extérieur de l autre bobine, tout en notant à chaque saut la valeur du champ magnétique et la position. Un exemple est décrit au tableau ci-dessous pour expliquer les différentes positions des mesures du champ magnétique. Position (cm) Signification 30.0 Première mesure du champ magnétique (à 5.0 cm de la première bobine) 35.0 Début de la première bobine 40.0 Centre des deux bobines 45.0 Fin de la deuxième bobine 50.0 Dernière mesure du champ magnétique (à 5.0 cm de la deuxième bobine)

6 3.3 Partie II.B: Champ B en fonction de x pour un solénoïde PHYSQ 126: Champ magnétique induit 6 1. Répétez les trois étapes la section 3.2 en remplaçant les bobines de Helmholtz par un solénoïde. 2. Vous pouvez modifier la longueur des sauts et la position de départ par rapport à l extrémité du solénoïde. 3. Mesurez les valeurs de L, R et I qui apparaissent dans l équation (4). 4 Analyse des résultats 4.1 Partie I : B en fonction de I À partir des résultats obtenus dans la section 3.1, tracez le graphique de B H en fonction de I. Avec l équation (2), déduisez-en la valeur du nombre d enroulements N ± N, en prenant le rayon des bobines indiqué sur celles-ci. Comparez votre valeur expérimentale de N à la valeur théorique du fabricant, indiquée sur les bobines. 4.2 Partie II.A : B en fonction de x pour les bobines de Helmholtz 1. Tracez le graphique du champ magnétique en fonction de la position sur l axe central des bobines. Sur votre graphique, identifiez aussi la position des bobines. 2. Facultatif: tracez la courbe théorique en utilisant votre réponse à la question 4 de la section 5, et comparez-la à votre graphique expérimental. 4.3 Partie II.B : B en fonction de x pour le solénoïde 1. Tracez le graphique du champ magnétique en fonction de la position sur l axe central du solénoïde. Sur votre graphique, identifiez aussi la position des extrémités du solénoïde. 2. On vous demande ici de tracer la courbe théorique en utilisant l équation (4), avec les valeurs mesurées de L, I et R. Comparez-la à votre graphique expérimental pour en déduire la valeur de N. 5 Questions 1. Montrez comment l équation (2) est obtenue à partir de l équation (1). 2. Montrez comment l équation (5) est obtenue à partir de l équation (3). (N oubliez pas que cos(180 o ) = 1.) 3. Si le courant I est modifié tout en ayant une sonde de Hall au point milieu de bobines de Helmholtz, comment pouvez-vous linéariser l équation (2) à l aide d un graphique? À quoi sont égales la pente et l ordonnée à l origine? 4. À l aide de l équation (1), trouvez une expression analogue à l équation (4) pour le champ magnétique B en fonction de la position x entre deux bobines de Helmholtz qui ont les mêmes N, I et R, et parcourues par le courant dans le même sens, de sorte que B pointe dans le même sens. Votre expression contiendra un x c1 pour une bobine et x c2 pour la seconde bobine.

7 PHYSQ 126: Champ magnétique induit 7 ANNEXE: Loi de Biot-Savart En 1820, Hans Christian Oersted enseignait le cours Électricité, galvanisme et magnétisme à l université de Copenhague. Cherchant à mettre en évidence son hypothèse selon laquelle le magnétisme est une forme cachée de l électricité, il essaya devant ses étudiants de faire passer un courant à travers un fil tendu audessus et à angle droit d une aiguille aimantée. Aucun effet ne fut observé. Après le cours, il recommenca l expérience, mais en mettant cette fois le fil parallèle à l aiguille aimantée. Cette fois-ci l aiguille dévia largement; et quand il inversa le courant, elle dévia dans l autre sens! Il avait démontré expérimentalement qu un courant électrique produit un champ magnétique. La Figure 9 représente une boucle de fil conducteur reposant dans le plan de la page, et par lequel passe un courant I (sens anti-horaire à la Figure 9). Si on décompose ce fil en un très grand nombre de segments infinitésimaux de longueur l, on peut doter ces segments d une nature vectorielle, la direction du vecteur l étant déterminée par le sens du courant électrique I (c.-à-d. à la Figure 9, l pointe vers le haut de la page). La loi de Biot-Savart stipule qu en un point donné de l espace, situé à la position r du segment l (autrement dit, r part de l élément de courant l jusqu au point où on calcule B), la contribution de ce petit segment au champ magnétique B à ce point dans l espace est donnée par B = µ 0 I l sin θ 4π r 2 (6) où θ est l angle entre les vecteurs du segment l et du déplacement r, µ 0 est la constante de la perméabilité du vide ( µ 0 = 4π 10 7 T m/a ). La direction du vecteur B est donnée par la règle de la main droite: initialement avec votre main droite ouverte, alignez vos quatre doigts (sans le pouce) dans la direction du segment l, puis enroulez ces doigts vers le vecteur r. Votre pouce pointe alors dans la direction du vecteur B. (À la Figure 1, votre pouce, et la direction de B, entre dans la page.) À titre d information personnelle, l équation (6) peut être écrite sous la forme vectorielle suivante: B = µ 0 4π I l r r 3. Il est à remarquer que la relation (6) n est valide que pour des segments de longueur infinitésimale l. Pour un conducteur de forme quelconque, et décomposé en une suite de petits éléments de longueurs l 1, l 2,..., l N, contribuant chacun des champs magnétiques B 1,..., B N, le champ magnétique total est obtenu en faisant la somme de ces champs magnétiques, c.-à-d. B = B B N. Autrement dit, dans la limite où chaque l tend vers zéro, et que N tend vers l infini, le champ magnétique total est donné par une intégrale. Nous ne considérerons pas ce type de problème dans ce cours.