Les jeux de Nim sont des jeux de stratégie pure, à deux joueurs, où le hasard n intervient

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2 PRÉSENTATION Les jeux de Nim sont des jeux de stratégie pure, à deux joueurs, où le hasard n intervient pas. La principale caractéristique de ce jeu est qu il est toujours possible de déterminer une stratégie gagnante, soit pour le joueur qui commence la partie, soit pour celui qui joue en second. Ces jeux, dont il existe d'innombrables variantes, se jouent avec des billes, des jetons, des allumettes, etc. Il s'agit de prendre, de déplacer ou de poser un certain nombre d'objets ; selon les variantes, le dernier à jouer gagne ou perd. Il y a forcément un gagnant et donc un perdant.

3 HISTORIQUE Les origines des jeux de Nim remontent très loin dans le temps, si bien qu'il est impossible d'indiquer avec certitude leur provenance. Ils sont signalés en Chine sous le nom de fan-tan et connus en Afrique sous le nom de tiouk-tiouk. Ils apparaitront en Europe dès le XVIe siècle. Le nom qu ils portent actuellement leur a été donné par le mathématicien américain issu de Harvard, Charles Léonard Bouton, qui trouva l algorithme permettant de gagner à coup sûr et qui publia en 1901 un article dans The Annals of Mathematics intitulé «Nim, a game with a complete mathematical theory». Pour la première fois, ce jeu combinatoire impartial, c'est-à-dire où le hasard n'intervient pas et où les mouvements possibles sont les mêmes pour les deux joueurs, était résolu. Cependant, nous ne savons pas si Nim provient de l allemand Nimm qui signifie prendre, ou si c est une astuce graphique puisqu en retournant NIM, on obtient le mot anglais WIN qui signifie gagner.

4 DIFFÉRENTS TYPES NORMALE Les règles sont les suivantes : Un certain nombre de lignes d allumettes sont disposées devant les joueurs et comportent un nombre aléatoire d allumettes. Les joueurs jouent à tour de rôle et prennent autant d allumettes qu ils veulent dans une ligne (mais au moins une). Celui qui prend la dernière allumette a gagné. VARIANTE MISÈRE Les règles sont identiques, on y convient uniquement que le joueur qui prend la dernière allumette perd. N.B.: Le jeu peut aussi bien se jouer en disposant les allumettes en ligne qu en pyramide.

5 JEU DE NIM À UN SEUL TAS La forme «normale» du jeu consiste à disposer sur la table un nombre quelconque d allumettes. Tour à tour, les joueurs A et B peuvent retirer 1 à 3 allumettes. Supposons que le joueur A connaisse la stratégie gagnante : On peut démontrer que lorsque le joueur A laisse sur la table un jeu contenant 4 allumettes à son adversaire B, celui-ci ne peut en prendre qu 1, 2 ou 3, laissant forcément à A la possibilité de gagner. Une fois ce principe compris, il est toujours possible de ramener la situation laissée par l adversaire B, à une situation gagnante pour le joueur A (Tout en supposant que B ne connait pas la stratégie). On peut donc établir que pour gagner il faut que A laisse à B un nombre d allumettes qui équivaut à un multiple de 4. La variante misère où le perdant est celui qui prend la dernière allumette consiste quant à elle, à laisser un multiple de sur la table. Comme précédemment, on peut démontrer que cette situation est perdante pour le joueur B et qu on peut amener la situation de départ à cette situation gagnante.

6 Dans cette première situation vous perdez d office puisque vous êtes obligé de prendre l allumette. Dans cette 2 ème situation, vous perdez, car A va toujours ramener B dans la situation 1 : si B prend 1 allumette, A en prend 3; si B prend 2 allumettes, A en prend 2; si B prend 3 allumettes, A en prend 1. De même pour cette situation, A pourra ramener B à la situation 2 et par après à nouveau le ramener à la situation 1.

7 JEU DE NIM CLASSIQUE Le jeu de Nim se joue avec plusieurs tas composés chacun de plusieurs allumettes disposées en pyramide ou en ligne. Chaque joueur, à tour de rôle, peut enlever autant d allumettes qu'il le souhaite, mais dans un seul tas à la fois. Le gagnant est celui qui parvient à retirer la dernière allumette. Dans la version «misère», celui qui prend la dernière allumette a perdu. Intéressons-nous maintenant à la stratégie gagnante : Découverte par Charles Bouton, celui-ci démontre qu un joueur dans une position favorable possédait toujours un coup qui lui permettait de gagner, alors que le joueur en situation défavorable, peut importe le coup qu il jouait, ne pouvait se retrouver dans une situation gagnante. Pour bien comprendre le théorème de Bouton, il est nécessaire de comprendre l écriture en base 2 puisqu il repose en grande partie dessus.

8 LE SYSTÈME BINAIRE Ecrire un nombre en base deux, c est-à-dire en binaire, revient à le décomposer en une somme de puissances de 2 : 1, 2, 4, 8, 16, 32,... Exemples : 12 = ce qui donne 1x x x x2 0 = = ce qui donne 1x x x x x2 0 = 10011

9 LA NIM ADDITION Pour exposer rigoureusement sa théorie, Bouton introduit la notion de safe combination. Pour déterminer si une position de Nim est une «combinaison sûre», on écrit tout d abord en binaire les nombres correspondant au nombre d allumettes dans chaque pile. La Nim-somme ou addition consiste à disposer les chiffres binaires comme on le fait quand on pose une addition classique, puis à additionner en colonnes, sans tenir compte des retenues ; si le nombre de 1 par colonne est pair, les trois tas forment alors une safe combination. ( le résultat de la somme des colonnes vaut 0).

10 POSITION GAGNANTE 1) 2) Ecriture des nombres en binaire 3) Nim-addition (10) (9) 10 = 1x x x x2 0 = = 1x x x x2 0 = (3) 3 = 1x x2 0 = 11 = Astuce : Pour vous faciliter la tâche, pensez les nombres en les séparant en paquets ayant chacun un nombre d allumettes qui est une puissance de 2. Cela revient à les écrire en numération binaire. Faites ce travail de tête ou déplacez légèrement les allumettes pour matérialiser ces décompositions.

11 POSITION PERDANTE 1) 2) Ecriture des nombres en binaire 3) Nim-addition (8) (4) (3) 8 = 1x x x x2 0 = = 1x x x2 0 = = 1x x2 0 = =

12 LE THÉORÈME DE BOUTON 1) Si le joueur A laisse une safe combination sur la table, B ne peut laisser une safe combination après avoir joué; à partir d une situation nulle, quoi que vous jouiez, vous créez une situation non nulle. 2) Si A laisse une safe combination sur la table, et que B diminue une des piles, A pourra toujours diminuer une des deux autres piles et laisser une safe combination ; à partir d une situation non nulle, il existe toujours au moins une façon de jouer qui mène à une situation nulle. Il en résulte qu une fois tombé dans une situation nulle, un joueur n en sort jamais si son adversaire fait ce qu il faut, et cela jusqu à ce qu il se trouve dans la situation nulle de la fin de partie qui signifie qu il a perdu.

13 Bouton prouve rigoureusement ces deux théorèmes en remarquant que le passage d une configuration à une autre entrai ne nécessairement une modification du nombre de 1 dans la Nim-somme et qu ainsi on ne peut obtenir deux safe combinations consécutives. Celui pour qui ces résultats sont connus et qui est capable d effectuer quelques conversions simples en binaire ne peut que remporter systématiquement la partie face à un novice! Il est donc évident que, si les joueurs savent bien jouer, l issue de la partie est en fait simplement déterminée par la position initiale. D où l intérêt pour les positions possibles d un jeu de ce type, qui permettent de construire des stratégies gagnantes. N.B.: Une stratégie est dite gagnante pour un joueur J si, quelle que soit la façon dont joue l autre joueur, c est le joueur J qui gagne lorsqu il joue selon cette stratégie.

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