Probabilités. est la i ième valeur possible. L ensemble des issues auxquelles on associe la même valeur x

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1 Probabltés A) Varable aléatore et lo de probablté Varable aléatore Défto : O cosdère l'esemble des ssues d'ue expérece aléatore Défr ue varable aléatore X sur cet esemble, c est assocer u ombre à chaque ssue de l'expérece aléatore Cette varable aléatore est dscrète lorsqu'elle pred u ombre f de valeurs : x,, x,, x où x est la ème valeur possble L esemble des ssues auxquelles o assoce la même valeur x, de la varable aléatore X est l évéemet oté X Remarques : E gééral, les varables aléatores sot otées par des lettres majuscules L esemble des valeurs d ue varable aléatore est f quad l'esemble E est f S X est le om de la varable aléatore o otera {X = a} l'esemble des résultats de E qu P X a la probablté d'u tel esemble ot pour mages a et Exemple : O lace u dé équlbré dot les faces sot umérotées de à S o obtet u uméro etre et 4 o gage u ombre d'euros correspodat au uméro sort s o obtet les uméros 5 ou, o perd deux euros O déft as ue varable aléatore G qu à chaque résultat assoce le ga obteu Das ces codtos G peut predre les valeurs,,,, 4 O obtet doc pour la varable aléatore G les résultats suvats : P ( G ) P( G ) P( G ) P( G 4) et P ( G ) Exemple : O lace deux dés dot les faces sot umérotées de à et o cosdère la varable aléatore S preat comme valeurs la somme des uméros obteus O ote l'esemble des couples a ; b où a et b sot des ombres de à La somme S des uméros peut predre les valeurs,, 4, 5,, 7, 8, 9, 0,,, comme dqué das le tableau suvat : x Lycée Fraças de DOHA Aée 0 07 ère S M Evao

2 Probablté Lo de probablté Défto : Défr ue lo de probablté P d'ue varable aléatore X, c est assocer à chaque valeur x, de la varable aléatore u ombre postf p, tel que la somme des p, est égale à As : p P X x ) avec 0 p et p p p ( Détermer la lo de probablté de X, c est doer, sous forme d'u tableau, toutes les probabltés des valeurs x Exemple : Le lacer d'u dé symétrque codut à la lo de probablté doée par le tableau suvat : Résultat 4 5 Probablté O a alors obteu la lo de probablté de G qu est récaptulée das le tableau suvat : Valeur prse par G 4 Probablté Exemple : S les dés sot équlbrés, la o de probablté de S est doée par le tableau suvat : Valeur prse par S Probablté Le dagramme bâtos correspodat est alors : 0,8 0, 0,4 0, 0, 0,08 0,0 0,04 0, Valeurs prses par S Lycée Fraças de DOHA Aée 0 07 ère S M Evao

3 B) Espérace, varace et écart-type d ue varable aléatore Espérace Défto : S X est ue varable aléatore réelle preat les valeurs x,, x, x avec les probabltés p, p,, p, o appelle espérace mathématque de la varable aléatore X le ombre oté E (X ) déf par : E( X ) p x px p x Proprété : L espérace d'ue varable aléatore X est la moyee des valeurs x podérées par leurs probabltés Autremet dt, l espérace mathématque permet de calculer la moyee des résultats obteus lorsqu o reprodut u très grad ombre de fos l expérece Remarques : Cette proprété est ue coséquece drecte de la lo des grads ombres Cosdéros ue expérece aléatore caractérsée par u esemble de résultats E e, e,, e et ue lo de probablté p, p,, p défe sur E S o réalse N fos cette expérece aléatore, o obtet les résultats e, e,, e avec des fréqueces d apparto f, f,, f La moyee des résultats sera : x f e f e f e Comme les fréqueces f, f,, f se rapproche des probabltés p, p,, p lorsque N devet grad, la moyee x se rapproche de l espérace mathématques Exemple : O smule avec u tableur 00 lacers de dés et o calcule la somme des deux ombres as défs O obtet les résultats suvats : Résultats La somme de ces résultats est 94 doc la moyee est,94 O peut auss regrouper les résultats detques O obtet alors le tableau suvat : Résultat Fréquece 0,0 0,09 0,0 0, 0,5 0,5 0, 0,07 0,0 0,08 0,0 Das ces codtos la moyee des résultats obteus est : x 0,0 0,0, 94 Par alleurs, la lo de probablté est doée par ce tableau : Valeur prse par S Probablté L espérace mathématque de la lo de probablté est : E ( S) 4 7,94 O remarque doc que x S) Lycée Fraças de DOHA Aée 0 07 ère S M Evao

4 Varace et écart-type Défto : Sot X est ue varable aléatore réelle preat les valeurs x, p, p,, p, o appelle : Varace de la varable aléatore X le réel postf oté V (X ) déf par : ) V ( X ) p x X ) p x X ) p x X ) ) V ( X ) p x p x p x E( X ), x, x avec les probabltés Ecart type de la varable aléatore X est le réel postf oté (X ) déf par : ( X ) V ( X ) Proprétés de l espérace et de la varace Proprétés : Sot a et b deux réels quelcoques La varable aléatore Y dot la lo de probablté est doée par le tableau suvat, est otée Y ax b : Valeur de Y ax b ax b ax b Probablté p p p O a : E( Y) ax b) ae( X ) b et V( Y) V( ax b) a V( X ) Démostratos : E Y) ax b) p ax b p ax b p ax b ( ap x p b ap x p b ap a x p b p x p x p x p p p b ae( X ) b ae( X ) b V ( Y ) V ( ax b) p ax b ax b) p ax b ax b) p ax b ae( X ) b p ax b ae( X ) b a p x X ) a p x X ) a p x X ) a V ( X ) Exercce : La varable aléatore X sut la lo de probablté c-cotre : ) Détermer la valeur de ) Calculer l espérace de X ) Calculer la varace pus l écart-type de X 4) Sot Y la varable aléatore telle que : X Y Détermer E Y et Y Exercce : U sac cotet 4 cartos umérotés,, et 4 O tre au hasard successvemet et sas remse deux cartos das ce sac ) Doer ue représetato de la stuato (arbre ou tableau) ) Détermer la lo de probablté de la varable aléatore X qu assoce à chaque trage la somme des valeurs scrtes sur les deux cartos trés ) Détermer P ( X 4) et terpréter ce ombre V Lycée Fraças de DOHA Aée 0 07 ère S M Evao

5 Exercce : Lvraso de lvres Ue socété basée e Frace ved des lvres professoels par Iteret Elle lvre ses clets das toute l Europe Ue étude effectuée e 00 a perms d établr le tableau suvat : U clet état chos au hasard parm les 5000, o cosdère les évéemets suvats : F : «le clet reteu est fraças» L : «le clet reteu a eu u problème de lvraso» ) Calculer la probablté de l évéemet F ) Calculer la probablté de l évéemet F ) Calculer la probablté de l évéemet F L 4) Calculer la probablté de l évéemet F L 5) Calculer la probablté de l évèemet «le clet reteu est u clet étrager ayat eu aucu problème de lvraso» ) O chost u clet au hasard parm ceux ayat eu u problème de lvraso Calculer la probablté que ce clet sot fraças (arrode au cetème) Exercce 4 : O lace deux dés symétrques dot les faces sot umérotées ; ; ; ; et O appelle S la varable aléatore qu doe la somme des pots obteus ) Idquer les valeurs prses par la varable ) Détermer la lo de probablté de S ) Calculer E (S) et terpréter ce résultat 4) Calculer la varace V (S) et (S) Exercce 5 : Ue lotere est formée d'ue flèche et d'u dsque coteat secteurs L agle du secteur bleu vaut 90, les agles des deux autres secteurs valet 5 O toure la roue O gage 0 euros s la flèche se trouve e face du secteur bleu, o perd euros s la flèche se trouve e face du secteur vert et re s la flèche se trouve e face du secteur rouge ) Les probabltés d'arrver devat u secteur état proportoelles à l'agle, doer la lo de probablté de la varable aléatore G qu doe le ga algébrque du joueur ) Calculer l'espérace de G ) Quelle dot être la mse pour que le jeu sot équtable? Lycée Fraças de DOHA Aée 0 07 ère S M Evao

6 Exercce : restaurat U pett restaurat propose à so meu tros plats et deux desserts Voc la descrpto de so meu : Chaque clet retrat das les restaurats pred exactemet u plat et u dessert ) E preat u clet au hasard à la sorte du restaurat, précser quel peut être le motat de sa facture ) O supposat que toutes les combasos plat dessert ot la même probablté d être choses par u clet O ote X la varable aléatore doat le motat de l addto de chaque clet (o suppose les otes dvduelles) a) Combe de combaso peut-o créer à partr de ce meu? b) Quelles sot les valeurs prses par X? c) Motrer que P X 0 d) Compléter le tableau c-dessous : Motat k de la facture P x k e) Détermer l espérace de la varable aléatore X Iterpréter le résultat f) Détermer l écart type de la varable aléatore X Iterpréter le résultat Exercce 7 : domos Das u jeu de domo, chaque domo est partagé e deux partes, chacue portat u uméro de 0 à représeté par des pots U double est u domo dot les deux partes portet le même uméro ) Prouver que le ombre de domos est 8 ) U joueur tre au hasard u domo d u jeu a) Quelle est la probablté d obter u double? b) Quelle est la probablté d obter u domo dot la somme des deux uméros sot dvsble par? ) X est la varable aléatore preat la valeur lorsque le joueur obtet u domo o double, et la valeur lorsqu l obtet le double «et» a) Quelle est la lo de probablté de X? X X b) Calculer E et Exercce 8 : Lycée Fraças de DOHA Aée 0 07 Calculer, das chacu des cas suvats, E X et X ) E X et V X 4 ) E X et X ) E X 4 et V X 8 V ère S M Evao

7 Exercce 9 : O fabrque u gros cube e agglomérat 7 petts cubes comme le motre la fgure c-dessous O pet e rouge toutes les faces du gros cube, pus o sépare de ouveau 7 petts qu ot doc certaes de leurs faces petes e rouge O tre au hasard u pett cube et o appelle X la varable aléatore égale au ombre de faces petes e rouge sur le pett cube tré ) Quelles sot les valeurs possbles de la varable aléatore X? ) Détermer la lo de probablté de X ) Calculer E (X ) Exercce 0 : avgato au près Sur u pla d eau, u voler avgue au près, c est-à-dre, que sa drecto est au plus près de celle du vet ; c, à 45 de celle du vet (deux drectos possbles) Pour vrer de bord (chager de drecto) l dot avor parcouru u ombre eter de mlles autques ( mlle autque = 85 mètres evro) E supposat que la drecto du vet reste fxe o peut représeter les déplacemets du voler sur le quadrllage de la carte c-dessous (chaque carré mesure mlle autque de côté) : Le voler part de A, parcourt 4 mlles autques et, après chaque mlle parcouru, l a ue chace sur deux de vrer de bord Au départ, l a ue chace sur deux de partr vers le Nord ) A l ade d u arbre, représeter les déplacemets possbles du voler ) Que peut-t-o dre de ces pots correspodats aux postos fales du voler? ) Sot X la varable aléatore comptablsat le ombre de déplacemets vers l est a) Quelles sot les valeurs prses par X? b) Détermer la lo de probablté de X c) Quelle est la posto fale la plus probable? d) Calculer l espérace de X Iterpréter ce résultat Lycée Fraças de DOHA ère S Aée 0 07 M Evao

8 Exercce : Prx du posso U chaluter se red sur sa zoe de pêche La probablté qu u bac de possos sot sur cette zoe est de 0,7 Le chaluter est équpé d u soar pour détecter la présece d u bac de possos S u bac est préset, le soar dque la présece du bac das 80% des cas S l y a pas de bac de possos das la zoe de pêche, le soar dque éamos la présece d u bac das 5% des cas O ote : B l évèemet : «Il y a u bac de possos sur zoe» S l évèemet : «Le soar dque l exstece d u bac de possos» ) Compléter l arbre podéré suvat : ) Détermer la probablté qu l y at u bac de possos sur la zoe et que le soar le détecte ) Motrer que la probablté que le soar dque la présece d u bac de possos (réel ou fctf) est P S 0, 575 4) Lors d ue sorte e mer, le pêcheur est toujours das l ue des tros stuatos suvates : Stuato : u bac de possos est préset sur la zoe et le soar le détecte Le flet est lacé et la pêche est fructueuse Das ce cas le pêcheur gage 000 Stuato : l y a pas de bac de possos sur zoe mas le soar e sgale u Le flet est lacé pour re Das ce cas le pêcheur perd 500 Stuato : le soar e détecte aucu bac de posso (qu l y e at ou pas) Le flet est pas lacé et le bateau retre au port à vde Das ce cas le pêcheur perd 00 O ote X la varable aléatore doat le «ga» réalsé lors d ue sorte e mer a) Compléter le tableau suvat doat la lo de probablté : x P X x ) ( b) Ce chaluter effectue de très ombreuses sortes e mer Quel ga moye par sorte le pêcheur peut-l espérer? c) Les augmetatos du prx du gasol et du prx du posso fot que la ouvelle varable aléatore doat le ga estmé pour ue sorte e mer est : Y, X 50 Quel ga moye par sorte peut-l mateat espérer? Lycée Fraças de DOHA Aée 0 07 ère S M Evao

9 Exercce : club de atato U club de atato propose à ses adhérets tros types d actvtés : la compétto C, le losr L et l aquagym A Chaque adhéret e peut pratquer qu ue seule de ces actvtés Voc la répartto des adhérets suvat l actvté chose : L 0 % A : 0 % et C : 50 % L adhéso à la secto L ou à la secto A coûte 0 tads que l adhéso à la secto C revet à 00 pour l aée E outre, le club orgase chaque aée ue jourée de recotre, otée R, pour laquelle ue partcpato de x euros ( 0 x 40 ) par partcpat est demadée U ters des adhérets de L, u quart de ceux de A et la moté de ceux de C partcpet ) Compléter le tableau suvat e scrvat les pourcetages qu coveet ) O terroge au hasard u membre du club O appelle S la varable aléatore qu à chaque adhéret assoce le motat auel à verser au club (cotsato plus partcpato évetuelle à la recotre) a) Quelles sot les valeurs prses par S? b) Idquer la lo de probablté de S e focto de x c) Calculer E(S) e focto de x d) A quel prx le drecteur du club dot-l fxer la partcpato à la jourée de recotre s l veut que le coût moye par adhéret e dépasse pas 90 Exercce : Lo géométrque troquée U jeu de hasard cosste à trodure ue blle das le tube d ue mache Cette mache possède tros portes P, P et P qu fermet ou ouvret les accès aux quatre sortes possble S, S, S et S 4 U système électroque postoe de faço aléatore ces tros portes e posto "ouvertes" ou "fermée" dépedammet les ues des autres Pour jouer, o dot mser 7 S la blle sort e S, o e reçot re, so, s elle sort par S, o reçot 5, par S, o reçot 0 et par S 4, o reçot 0 X est la varable aléatore qu à chaque parte assoce le ga algébrque du joueur ) Représeter la stuato par u arbre podéré ) Détermer la lo de probablté de X ) Calculer E X 4) Commet modfer le motat de la mse pour que ce jeu sot équtable? Lycée Fraças de DOHA ère S Aée 0 07 M Evao

10 Exercce 4 : Ue use fabrque u artcle e grade quatté et décde de fare ue étude af de détermer quelle proporto de ces derers est pas coforme aux attetes Pour ce fare est prélève 000 artcles au hasard et costate que : 80 des artcles fabrqués ot uquemet u défaut d assemblage 0 des artcles fabrqués ot uquemet u défaut de dmeso 0 des artcles fabrqués ot les deux défauts O chost au hasard u artcle et o ote : A l évèemet : «U artcle prélevé au hasard présete u défaut d assemblage» D l évèemet : «U artcle prélevé au hasard présete u défaut de dmeso» A et D les évèemets cotrares de A et D ) Doer les probabltés P A et P D ) Doer la probablté de PA D ) Fare ue phrase pour décrre l évèemet A D Calculer sa probablté 4) Desser et compléter le dagramme de Ve assocé à cette stuato 5) Fare ue phrase pour décrre l évèemet A D Calculer sa probablté ) Le coût de producto d'u artcle est de 0 Les réparatos écessares sot alors de 5 pour le seul défaut A, 0 pour le défaut D et de 0 pour les deux défauts A et D X est la varable aléatore doat le coût de producto d u artcle a) Doer la lo de probablté de X b) La producto état très mportate, quel coût moye par artcle peut-o espérer? c) L augmetato des prx de la matère premère et la basse de la TVA fot que la ouvelle varable aléatore doat le coût de producto d u artcle est doée par la formule : Y, X 9 Quel ga moye par sorte peut-l mateat espérer? Exercce 5 : e focto de Ue ure cotet jetos 5 jetos rouges et 5 jetos ors, umérotés de à U joueur tre au hasard, successvemet et sas remse, deux jetos de l'ure ) Sot l'esemble de tous les trages Détermer le ombre de trages possbles ) O ote p la probablté de l'évéemet : A : «les deux jetos sot de couleurs dfféretes» 0 50 Motrer que p ) Le joueur gage euros s'l réalse A et perd euro das le cas cotrare O ote X le ga algébrque du joueur 50 a) Doer la lo de probablté de et vérfer que EX b) Détermer la composto de l'ure pour que le jeu sot équtable Coclure Lycée Fraças de DOHA Aée 0 07 ère S M Evao