CH V Statistique II : Caractéristiques de position et de dispersion

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1 CH V Statstque II : Caractérstques de poston et de dsperson I) Les caractérstques de poston : Les caractérstques de poston sont des données mportantes pour l étude des séres statstques. 1) Le mode d une sére statstque : Le mode est la valeur de la varable (ou de la classe) correspondant au plus grand effectf ou à la plus grande fréquence. a) Recherche du mode lorsque la varable est dscrète : L étude statstque porte sur le populaton des frères et des sœurs nscrts dans un L.P. Nombre de frères et Nombre d élèves sœurs n Aucun Plus de Pour trouver le mode, l sufft de repérer la varable qu a le plus grand effectf. Ic le mode de la sére est 1. b) Recherche du mode lorsque la varable est contnue : L étude statstque porte sur le montant des achats effectués par 150 clents dans une boulangere. Montant des achats en Nombre de clents n ]0 ; ] 3 ] ; 4] 3 ]4 ; 6] 38 ]6 ; 8] 19 ]8 ; 10] 4 ]10 ; 1] 8 ]1 ; 14] Cours CH V Statstque II Caractérstques de poston et de dsperson Page 1 / 9

2 On repère la classe qu est affectée du plus grand effectf. Ic la classe modale de la sére est ]4 ; 6]. ) La médane d une sére statstque : La médane d une sére statstque ordonnée est la valeur de la varable telle qu l y at dans cette sére autant de valeurs nféreures que de valeurs supéreures. a) Recherche de la médane lorsque la varable est dscrète : L étude statstque porte sur le prx de vente d un même artcle dans 9 magasns dfférents On ordonne les N valeurs de cette sére de façon crossante ou décrossante, s N est mpar, la médane est la valeur qu occupe le rang central. Rangement : La médane c est donc 105. S N est par, la médane est égale à la moyenne entre la valeur de rang N et celle de rang N + 1. S l y a 10 magasns par exemple La médane serat = 106. b) Recherche de la médane lorsque la varable est contnue : L étude statstque porte sur l ancenneté du personnel d une banque. Nombre d années Nombre d employés ]0 ; 3] ]3 ; 6] ]6 ; 9] ]9 ; 1] ]1 ; 15] On détermne d abord la sére cumulée des effectfs crossants. Cours CH V Statstque II Caractérstques de poston et de dsperson Page / 9

3 Nombre d années Nombre d employés Effectfs cumulés crossants ]0 ; 3] ]3 ; 6] ]6 ; 9] ]9 ; 1] ]1 ; 15] = = = = 40 L effectf total étant 40, la médane se stue au rang 0 = 40. On détermne de ce fat la classe médane comme étant ]3 ; 6]. En supposant que les 1 valeurs sont régulèrement répartes dans celle-c, la classe ayant comme ampltude 6 3 = 3. Chaque valeur serat à une dstance de la précédente égale à = = ans Médane 6 ans 6 3 = 3 Médane = 3 ans x 3 = 4,8 ans sot 4 ans + 0,8 x 1 = 4 ans et 9,6 mos sot 4 ans 9 mos et 0,6 x 30 jours sot 4 ans 9 mos et 18 jours. c) Recherche graphque de la médane : L étude statstque porte le pods des sachets de bonbons achetés dans un magasn lbre servce. Pods des sachets en g Nombres de sachets ]0 ; 50] 0 ]50 ; 100] 70 ]100 ; 150] 140 ]150 ; 00] 70 ]00 ; 50] 60 ]50 ; 300] 30 ]300 ; 350] E.C.C. E.C.D. Cours CH V Statstque II Caractérstques de poston et de dsperson Page 3 / 9

4 On trace les polygones des effectfs cumulés crossants et décrossants. - Pour tracer le polygone des effectfs cumulés crossants, on reporte les ponts ayant pour abscsse la borne supéreure de la classe et pour ordonnée l'effectf cumulé crossant. - Pour tracer le polygone des effectfs cumulés décrossants, on reporte les ponts ayant pour abscsse la borne nféreure de la classe et pour ordonnée l'effectf cumulé décrossant. sachets g L ntersecton des deux courbes défn un pont dont l abscsse correspond à la médane. En traçant une seule courbe, l est également possble d obtenr la médane en traçant une drote horzontale correspondant à 50 % de l effectf total. L ntersecton de cette drote et de l une des deux courbes précédentes défn le même pont dont l abscsse correspond à la médane. On obtendra les mêmes résultats en traçant les polygones des fréquences cumulées crossantes et décrossantes. Interprétaton de la médane : La moté des sachets de bonbons pèse mons de 140 g, et l autre moté pèse plus de 140 g. Cours CH V Statstque II Caractérstques de poston et de dsperson Page 4 / 9

5 Exercce N 1 : Le tableau c-dessous donne la répartton des élèves suvant leur durée de trajet. Durée (en mn) Effectf [0 ; 10[ 50 [10 ; 0[ 100 [0 ; 30[ 150 [30 ; 60[ 100 a) Calculer les effectfs cumulés b) Comben d élèves mettent mons de 0 mn pour se rendre au Lycée? c) Tracer le polygone des effectfs cumulés crossants et décrossants. Eff. C mn d) Défnr la médane. Exercce N : Les résultats d une épreuve de BEP blanc ont perms de tracer le polygone des effectfs cumulés décrossants. a) A partr de la courbe des E.C.D., établr le tableau statstque correspondant en ndquant les effectfs et les fréquences (arrondes à 1% prés). b) Quel est le pourcentage d élèves qu ont 8 ou plus de 8? Cours CH V Statstque II Caractérstques de poston et de dsperson Page 5 / 9

6 c) Quel est le pourcentage d élèves qu ont mons de 1? d) Détermner graphquement la médane de cette sére statstque et donner sa sgnfcaton. E.C.D. 140 Note Effectf n Fréquence (%) Note 3) La moyenne d une sére statstque : a) Moyenne smple : Le responsable d un rayon photo veut connaître le prx moyen de 8 apparels. Modèle A B C D E F G H Prx de vente Prx moyen = b) Moyenne pondérée : On veut calculer la moyenne d un contrôle pour 10 élèves. Note Effectf n Produts n Moyenne = Cours CH V Statstque II Caractérstques de poston et de dsperson Page 6 / 9

7 c) Moyenne d une sére à varable contnue : Le CPE d un L.P. a lancé une enquête pour connaître la durée moyenne du trajet d un élève. Durée en mn Nombre d élèves n [0 ; 10[ 1 [10 ; 0[ 60 [0 ; 30[ 156 [30 ; 40[ 11 [40 ; 50[ 4 [50 ; 60[ 0 [60 ; 70[ Produt X.n Durée moyenne du trajet (arrondr au centème) = Exercce N 3 : Le servce de mantenance d une entreprse ndustrelle a relevé la durée de fonctonnement avant nterventon de 80 machnes. Les résultats sont les suvants : Nombre d heures Effectf n Produts n. [0 ; 100[ 4 [100 ; 00[ 3 [00 ; 300[ 30 [300 ; 400[ 17 [400 ; 500[ 6 80 a) Compléter le tableau précédent. b) Calculer la durée moyenne de fonctonnement des machnes avant nterventon du servce de mantenance. II) Les caractérstques de dsperson : Dans une sére statstque, les caractérstques de dsperson sont : - l écart moyen - l écart type Cours CH V Statstque II Caractérstques de poston et de dsperson Page 7 / 9

8 1) L écart moyen : L écart moyen est la moyenne arthmétque des écarts, en valeur absolue, entre les valeurs et la moyenne de la sére. Exemple : Sot la sére statstque regroupant les notes obtenues lors d un BEP blanc par une classe. Les résultats sont regroupés dans le tableau suvant, compléter ce tableau et calculer la moyenne. Notes Effectf n n. [0 ; 4[ 4 [4 ; 8[ 6 [8 ; 1[ 8 [1 ; 16[ 4 [16 ; 0[ 4 x = Pour calculer l écart moyen, l faut rajouter au tableau précédent deux colonnes. Notes Effectf n [0 ; 4[ 4 [4 ; 8[ 6 [8 ; 1[ 8 [1 ; 16[ 4 [16 ; 0[ 4 - x n. - x L écart moyen e = n. N x - x e = Plus un écart moyen est pett (proche de 0), plus les valeurs du caractère sont proche de x. ) L écart type : Pour calculer l écart type σ, l faut d abord calculer la varance V. Cours CH V Statstque II Caractérstques de poston et de dsperson Page 8 / 9

9 A partr de la sére statstque précédente, l convent de compléter le tableau suvant : Notes Effectf n [0 ; 4[ 4 [4 ; 8[ 6 [8 ; 1[ 8 [1 ; 16[ 4 [16 ; 0[ 4 V = n.x N - x - x - x σ = V x n. x - x Plus un écart type est pett (proche de 1), plus les valeurs du caractère sont proche de x. Exercce : La consommaton d eau annuelle de 00 famlles d un même mmeuble est donnée dans le tableau suvant qu l faut compléter pour obtenr la moyenne. Consommaton (en m 3 ) Effectf n [0 ; 50[ 1 [50 ; 100[ 45 [100 ; 150[ 107 [150 ; 00[ 7 00 n. x = Calculer l écart type de cette sére statstque. Consommato n (en m 3 ) Effectf n [0 ; 50[ 1 [50 ; 100[ 45 [100 ; 150[ 107 [150 ; 00[ x - x x n. x - x V = σ = Cours CH V Statstque II Caractérstques de poston et de dsperson Page 9 / 9