Cours 09 Les fonctions de référence

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1 Seconde Lycée Desfontaines Melle Cours 09 Les fonctions de référence I. Fonctions affines. Définition : On appelle fonction affine toute fonction f définie sur IR par f()=m+p où m et p sont des réels donnés. Eemples : Parmi les fonctions suivantes, entourer celles qui sont affines : f : ; f : -5+ ; f : 7 ; f : +9 ; f : ; f : 7 5 ; f : -. Représentation graphique : Rappel : La représentation graphique d une fonction f dans un repère ( O;Åi ;Åj ) est l ensemble des points de coordonnées (;y) tels que y=f(). On dit alors que la représentation graphique de f admet pour équation y=f(). Soit f une fonction affine définie par f()=m+p. La représentation graphique de f dans un repère ( O; Åi ; Åj ) est donc l ensemble des points de coordonnées (;y) tels que y=f() càd tels que y=m+p. Le "cours 07 droites" nous permet donc de conclure que la représentation graphique de f est une droite non parallèle à l ae des ordonnées et que les droites non parallèles à l ae des ordonnées sont les représentations graphiques des fonctions affines. En conclusion : soit f une fonction. Pour m et p deu réels donnés : Dire que f est une fonction affine revient à dire que f est représentée par définie par f()=m+p la droite d équation y=m+p. Cas particuliers : Soit une fonction affine f définie sur IR par f()=m+p. Lorsque m = 0 alors f()=p pour tout réel. On dit que f est une fonction constante. Sa représentation graphique est la droite d équation y=p. Elle est parallèle à l ae des abscisses. j 0 i Y = p Lorsque p = 0 alors f()=m pour tout réel. On dit que f est une fonction linéaire. Sa représentation graphique est une droite qui passe par l origine. j O i y=m Cours 09 Fonctions de référence Page sur 6

2 . Caractérisation d une fonction affine : a. Théorème caractéristique d une fonction affine. Théorème : Si une fonction est affine alors l accroissement de l image est proportionnel à l accroissement de la variable et le coefficient de proportionnalité est égal au coefficient directeur càd si f()=m+p alors pour tout IR et tout IR avec ý, on a : accroissement de l image f( ) f( ) =m accroissement de la variable Démonstration : f une fonction affine définie sur IR par f()=m+p. Soient et deu réels distincts alors : f( ) f( ) =[ m +p] [ m +p ] =m( ) On déduit donc que f( ) f( ) (accroiss t de l image) est bien proportionnel à (accroiss t de la variable) et le coefficient de proportionnalité est bien le coefficient directeur m. Théorème (réciproque) : Soit f une fonction définie sur Ë. Si l accroissement de l image est proportionnel à l accroissement de la variable, alors cette fonction est affine. Démonstration : Soit f une fonction définie sur IR telle qu il eiste un réel m tel que pour tous réels et distincts, on a : f( ) f( ) =m Alors pour tout réel 0, on obtient : f() f(0) =m donc f() f(0)=m. 0 D où : f()=m+f(0)=m+p en posant f(0) = p. La relation f()=m+p est donc également vraie pour =0. On déduit donc que f est une fonction affine. Conséquence : Les fonctions affines sont les seules fonctions dont l accroissement de l image soit proportionnel à l accroissement de la variable. b. Application : Comment déterminer le coefficient directeur m? : y B =f( B ) B Soit f une fonction affine définie sur IR par f()=m+p et soit D la représentation graphique de f dans un repère. Soient A( A ;y A ) et B( ) f( B ) f( A ) Alors : m= B A B ;y B deu points distincts de Ι. = y B y A B A y A =f( A ) 5. Sens de variation : Théorème : Soit f une fonction affine définie par f()=m+p. Si m > 0 alors f est strictement croissante sur IR Si m< 0 alors f est strictement décroissante sur IR. Si m = 0 alors f est constante sur IR Démonstration : Soient et deu réels tels que <. f( ) f( ) =[ m +p] [ m +p ] =m m =m( ). Or < donc <0. Si m > 0 alors f( ) f( ) <0 (produit de deu facteurs de signes contraires), et donc f est strictement croissante sur IR. Si m < 0 alors f( ) f( ) >0 (produit de deu facteurs de même signe), et donc f est strictement décroissante sur IR. Si m = 0 alors f( ) f( ) =0 (produit par zéro), et donc f est constante sur IR. A J O I A B A B y B y A Cours 09 Fonctions de référence Page sur 6

3 II. Fonctions carré et inverse : et Fonction carré Définition : On appelle fonction carré, la fonction définie sur IR par f() = Parité : La fonction carré est paire. Sa représentation graphique, dans un repère orthogonal, est donc symétrique par rapport à l ae des ordonnées. Sens de variation : La fonction carré est strictement décroissante sur ]- ; 0] càd si < Â0 alors > Ã0. La fonction carré est strictement croissante sur [0 ; + [ càd si 0Â < alors 0Â < Tableau de variation : Fonction inverse Définition : On appelle fonction inverse la fonction définie sur IR * par f() = Parité : La fonction inverse est impaire. Sa représentation graphique est donc symétrique par rapport à l origine du repère. Sens de variation : La fonction inverse est strictement décroissante sur ]- ; 0[ et sur ]0 ; + [ càd si < <0 alors Tableau de variation : > si 0< < alors > f 0 + f Représentation graphique : La représentation graphique de la fonction carré est une parabole. Elle a pour équation y= Représentation graphique : La représentation graphique de la fonction inverse est une hyperbole. Elle a pour équation y= 0 9 y Cours 09 Fonctions de référence Page sur 6

4 III. Eercices Eercice : Dans un repère orthogonal ( O; Åi ; Åj ) (unités : cm pour unité sur l ae des abscisses et cm pour unité sur l ae des ordonnées), représenter graphiquement les fonctions affines f, g, h, l et k définies sur Ë par : f()= ; g()=- + 7 ; h()= ; l()=- ; k()=-5. Eercice : Dans un repère, on considère les points A(-;-) et B(;). Justifier que la droite (AB) est la représentation graphique d une fonction affine. Déterminer alors cette fonction affine. Eercice : Soit f une fonction affine telle que f(-)= et f()=. Déterminer f. Eercice : Déterminer l équation des droites D, D et D représentées ci-contre et en déduire, lorsque c est le cas, l epression des fonctions affines qu elles représentent. - Eercice 5 : On considère les fonctions affines suivantes définies par : f()= 6 ; g()= ; h()=-7 ; i()= ; j()=. 5. Donner, en justifiant, le sens de variation de chacune de ces fonctions.. Déterminer, en fonction de, le signe de chacune de ces fonctions.. Représenter graphiquement les fonctions f et g.. Résoudre graphiquement f()>0 et g()<0. Eercice 6 : Une agence propose deu types de contrat de location d une voiture pour une journée : Premier type : un montant fie de 0 et 0.0 par kilomètre. Deuième type : un montant fie de 0 et 0.0 par kilomètre. Pour kilomètres parcourus, le pri à payer est noté f() pour le premier type de contrat et g() pour le second.. Donner les epressions de f() et g(). Construire dans un même repère orthogonal (unités : cm pour 50 kms sur l ae des abscisses et cm pour 0 sur l ae des ordonnées), les représentations graphiques de ces fonctions pour positif.. Indiquer, en utilisant le graphique, le contrat le plus avantageu suivant le nombre de kilomètres parcourus.. Retrouver ces résultats par le calcul. Activité : Soit f la fonction carré définie par f()= ; Notons P sa courbe représentative dans un repère ( O; Åi ; Åj ) orthonormal.. Déterminer l ensemble de définition de f.. Etudier la parité de f. Quelle conséquence graphique peut-on en déduire?. (a) Soient et deu réels. Montrer que f( ) f( ) (b) En déduire le sens de variation de f sur [0;+õ[. (c) Déduire de. et de.b. le sens de variation de f sur ]-õ;0]. (d) Dresser le tableau de variations de f. D - - =( )( + ) - - y - 0 D 5 6 D. Compléter le tableau suivant : 0 5 f() 5. En utilisant le tableau de variation de f et le tableau de valeurs, tracer soigneusement P sur [0;+õ[ puis sur ]-õ;0]. On choisira comme unité du repère cm et on placera l origine du repère au centre de la page. Cours 09 Fonctions de référence Page sur 6

5 Eercice 7 : En utilisant les propriétés de la fonction carré, que peut-on dire de si est un réel tel que : (a) > (b) ÂÂ (c) <- (d) -<<- (e) -ÂÂ Activité : Soit f la fonction carré définie par f()=. Déterminer l ensemble de définition de f.. Etudier la parité de f. Quelle conséquence graphique peut-on en déduire?. (a) Soient et deu réels non nuls. Ecrire f( ) (b) En déduire le sens de variation de f sur ]0;+õ[. (c) Déduire de. et de.b. le sens de variation de f sur ]-õ;0[. (d) Dresser le tableau de variations de f. ; Notons H sa courbe représentative dans un repère ( O; Åi ; Åj ) orthonormal. f( ) sous la forme d un quotient.. Compléter le tableau suivant : 6 f() 5. En utilisant le tableau de variation de f et le tableau de valeurs, tracer soigneusement H sur ]0;+õ[ puis sur ]-õ;0[. On choisira comme unité du repère cm et on placera l origine du repère au centre de la page. Eercice 8 : En utilisant les propriétés de la fonction inverse, que peut-on dire de (a) > (b) ÂÂ si est un réel tel que : (c) <- (d) -<<- Eercice 9 : Dans chacun des cas suivants, comparer a et b :. a= et b=5.. a=- et b=-.. a=- et b=. Eercice 0 : Associer à chaque phrase la fonction qui lui correspond : (a) Doubler (b) Prendre la moitié (c) Doubler puis ajouter (d) Ajouter puis doubler. +. (+).. ( ) (e) Soustraire puis doubler 5. (f) Soustraire puis prendre la moitié 6. (g) Doubler puis soustraire 7. Réponses (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) Eercice : (éléments de correction en fin de chapitre). On définit une fonction f par le procédé de calcul suivant : "on choisit quelconque, on multiplie par, on ajoute 7 puis on élève au carré". Déterminer l epression de f().. On définit une fonction g par le procédé de calcul suivant : "on choisit différent de, on prend son opposé, on ajoute, on prend l inverse, puis on multiplie par -". Déterminer l epression de g().. On définit une fonction h par le procédé de calcul suivant : "on choisit supérieur ou égal à - ; on ajoute, on prend la racine carrée du résultat". Déterminer l epression de h(). Eercice : On donne maintenant les fonctions f, g et h définies respectivement sur Ë, Ë\{-} et ]-õ;] par : f()=-( ) - + ; g()= ; h()= (+) Donner les procédés de calcul permettant de passer de à f(), de à g() et de à h(). Cours 09 Fonctions de référence Page 5 sur 6

6 Eercice : eercice guidé Le but de cet eercice est d étudier les variations d une fonction par inégalités successives A. Eemple : étudions les variations de la fonction f définie sur ]-;+õ[ par f()= +.. Donner le procédé de calcul permettant de passer de à f().. Compléter les étapes suivantes pour étudier les variations de f sur ]-;+õ[ en raisonnant par inégalités successives : Soient et deu réels tels que -< < Alors.. < +..< + car Alors Alors car... car Cad f( )..f( ). D où f est. sur.. B. A vous de jouer : Soit la fonction f définie sur ]-õ;] par f()=( 6) +5. Donner le procédé de calcul permettant de passer de à f().. Démontrer que la fonction f est décroissante sur ]-õ;]. Eercice : Soit la fonction f définie sur Ë\{} par f()=.. Conjecturer les variations de la fonction f à l aide de votre calculatrice graphique.. (a) Donner le procédé de calcul permettant de passer de à f(). (b) Valider votre conjecture du. Eercice 5 : Soit ABC un triangle rectangle isocèle en A tel que AB=AC=6. Soit M un point du segment [AB]. La parallèle à (AC) passant par M coupe (BC) en N et la parallèle à (AB) passant par N coupe [AC] en P. On pose AM=.. Quel est l intervalle des valeurs possibles de?. Démontrer que le quadrilatère AMNP est un rectangle.. (a) Justifier que BM BA = MN AC. (b) En déduire que MN=6. (c) En déduire que l aire A() du rectangle AMNP est donnée par A()=6.. (a) Vérifier que A()=-( ) +9. (b) Donner alors le procédé de calcul permettant de passer de à A(). (c) Etudier, en raisonnant par inégalités successives, alors les variations de A sur [0;] puis sur [;6]. (d) Dresser le tableau de variation de A. 5. Quelle est la position du point M pour laquelle l aire du rectangle AMNP est maimale? 6. Quelles sont les positions possibles du point M pour lesquelles l aire du rectangle AMNP est : (a) égale à 8? (b) supérieure ou égale à 8? Eléments de correction : Eercice :. f()=(+7). g()=- -+. h()= + Cours 09 Fonctions de référence Page 6 sur 6