Mathématiques - ECS1. Formule du binôme. 30 avenue de Paris Versailles. c 2015, Polycopié du cours de mathématiques de première année.

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1 Mthémtiques - ECS 8 Formule du iôme Lycée L Bruyère 30 veue de Pris Versilles c 05, Polycopié du cours de mthémtiques de première ée.

2 8 Formule du iôme. 8. Ojectifs Coe ciets iomiux, ottio. p Formule du trigle de Pscl. Formules = p p( p). = et =. p p p p p Formule du iôme de Newto dot ( + ). E lie vec le progrmme de termile, le omre ser itroduit comme le omre p de chemis rélist p succès pour répétitios ds u rre iire. Lorsque et sot strictemet positifs, o pourr fire le lie vec l loi B(, + ). 8. Coefficiets iômiux Défiitio. Soit N et N tel que 0 pple pple. L expressio (lire «prmi») désige le omre de chemis rélist succès ds l rre oteu pour répétitios d ue épreuve à deux issues. Le omre est doc u etier turel. Exemple. =, =, =, 0 = Formule de symétrie. Soit N et N tel que 0 pple pple. = Formule de Pscl. Soit N et N tel que pple pple. = + Trigle de Pscl. L formule de Pscl permet u clcul de proche e proche des coe ciets iômiux :

3 8.3 Formule du iôme Formule du iôme O cherche ue formule dot le développemet de ( + ). L expressio ( + ) est le produit de fcteurs ( + ). Lors du développemet, chcu de ces fcteurs cotriue soit à l lettre, soit à l lettre. Le développemet de ( + ) fit doc pprître des termes de l forme : si fcteurs ( + ) ot cotriué à l lettre, c est que les utres fcteurs ot cotriué à l lettre. Pour oteir ue formule complète, il reste doc à compter le omre de termes de l forme ds le développemet. Le développemet de ( + ) peut être schémtisé à l ide d u rre Désigos pr «succès» l ppritio d u fcteur et pr «échec» l ppritio d u fcteur. U terme de l forme est oteu e fist le produit des lettres recotrées e suivt u chemi rélist succès ds l rre ssocié u développemet de ( + ). Pr défiitio, il y chemis rélist succès ds u tel rre. Formule du iôme. Soiet et deux omres complexes et u etier turel. X ( + ) =.

4 4 Formule du iôme. E échget les rôles de et, o otiet ussi X ( + ) =. Exemple. Avec = et = x, o otiet ( + x) = X x doc est le coe ciet du moôme x ds le polyôme ( + x). Exemple 3. Avec = et =, o otiet Exemple 4. Avec = Autre iterpréttio de Soit N et ~0,. = X et = et N, o otiet X 0 = ( ) Ds l rre des répétitios, u chemi met à succès est détermié e choisisst les rgs des épreuves pour lesquelles l issue est u succès. Il y doc utt de chemis met à succès que de sous-esemle de crdil de ~,. Propositio. Le omre est le omre de mières de choisir élémets (d u seul coup doc ss ordre) ds u esemle qui e cotiet. Défiitio. Soit E u esemle possédt u omre fii d élémets. Le omre d élémets de E s ppelle crdil de E et se ote crde. Propositio. Soit N et ~0,. U esemle de crdil, possède sous-esemles de crdil. X Le omre totl de sous-esemles d u esemle de crdil est =. Formules de clcul des coe ciets iômiux. Propositio 3. Soiet et p des etiers tels que 0 pple p pple = p p( p)

5 8.4 Exercices. 5 ou ecore ( )...( p + ) = p p Formule d sorptio-extrctio. Soiet et p des etiers tels que pple p pple = p p p 8.4 Exercices. Exercice. Clculer les expressios suivts : ,,,, , Exercice. Motrer que pour tout etier 3, = Exercice 3. Quel est le coe ciet de x 9 ds le polyôme x 3? Exercice 4. Soiet m et deux etiers positifs o uls. O ppelle chemi du pl toute suite de déplcemets d ue uité vers l droite ou vers le hut. Comie de chemis du pl mèet de l origie (0, 0) u poit (m, )? Exercice 5. Soiet et des etiers tels que pple pple. Motrer que = ( + ) Exercice 6. Soiet et r deux etiers tels que > r. Motrer que + = + r r + r r r r +

6 6 Formule du iôme. Exercice 7. Soiet et des etiers positifs tels que pple + + = + + ( + ) +. Motrer que Exercice 8. Ds u jeu de 3 crtes, o ppelle mi u sous-esemle formé de huit crtes. Comie de mis e comportt ps l s de pique peut o former? Comie de mis comportt u mois u s peut-o former? Comie de mis comportt u plus u pique peut o former? Exercice 9. Simplifier les sommes suivtes : 7X 7 X, i 3, X5 ( ) 5 e i 3 Exercice 0. Liériser cos 6 x. Exercice. Motrer l églité : X = Exercice. Motrer que pour tout etier 3 X X = 0pplepple pir 0pplepple impir Exercice 3. Soit ( ) ue suite rithmétique. Motrer que pour tout etier 3 X ( ) + = 0. Exercice 4. Motrer que pour tout etier, 4 + pple

7 8.4 Exercices. 7 Exercice 5. Soiet et p des etiers positifs tels que p pple. Motrer que px ( ) = ( ) p p Exercice 6. E clcult (+i) pour N,, détermier pour p N les vleurs des sommes suivtes px ( ) p Xp, ( ) p + X X Exercice 7. Pour N, o pose = e i. Clculer l somme doule : p=0 q=p q p+q p Exercice 8. Motrer que quelque soiet les etiers turels i,, i = i i lorsque les coe ciets ci-dessus sot défiis. E déduire l somme doule X X i. i i= Exercice 9. Détermier l suite ( ) pour lquelle X 8 N, = + = Exercice 0. Soit N tel que. Simplifier les sommes suivtes : X px m S =, S 4 = + p X rx + S =, S 5 = + S 3 = X = ( )( + ),

8 8 Formule du iôme. Exercice. Simplifier l somme X Exercice. Soit R et N. E comit les formules de Moivre et du iôme, exprimer le polyôme T tel que T (cos ) = cos. Exercice 3. Pour, clculer (+), (+ j) et (+ j ) de deux fços di éretes. E déduire les sommes [/3] X [( X)/3] [( X)/3],, X Exercice 4. A prtir de ( t), motrer que X ( ) i i i = i= X i= i X c Exercice 5. Pour tout N, o pose S = ( ) m. () Motrer que, pour tout N, S + = S S. () Etlir que l suite (S ) est périodique de période 6. Exercice 6. Motrer que cos x X c (cos x) = ( ) (t x) et si x (si x) = X c ( ) + (t x) + Exercice 7. Motrer que et m (cos x) m = m m m (si x) m = m m Xm + Xm + ( ) m+ m m cos((m cos((m )x) Trouver des formules logues pour m (cos x) m+ et m (si x) m+ )x)

9 8.5 Idictios pour les exercices 9 Exercice 8. Simplifier l somme X cos( ). Exercice 9. Soit x R. Motrer que 0 X c 0 ( + x ) = B@ ( ) p X x p p CA c + ( ) B@ p x p p + CA p=0 p=0 Exercice 30. Motrer que X = = + + X = 8.5 Idictios pour les exercices Idictio pour l exercice 5. deux memres sot égux Idictio pour l exercice 6. deux memres sot égux Idictio pour l exercice 7. deux memres sot égux Utiliser l formule vec les fctorielles et costter que les Utiliser l formule vec les fctorielles et costter que les Utiliser l formule vec les fctorielles et costter que les Idictio pour l exercice 8. Pour former ue mi e comportt ps l s de pique, il su t de choisir huit crtes ds le jeu duquel l s de pique ur été écrté. Idictio pour l exercice 9. Réecrire les sommes de fço à fire pprître l formule du iôme ( + ) vec les oes vleurs pour et Idictio pour l exercice 0. Comier l formule du iôme vec les formules d Euler. Idictio pour l exercice. Peser à comme (+). Appliquer esuite l formule du iôme et motrer que les sommes de prt et d utre du terme cetrl sot égles. Idictio pour l exercice. églité vue e cours. Cette églité est qu ue coséquece immédite d ue Idictio pour l exercice 3. Risoer pr récurrece. O pourr predre pour P l X propriété «pour toute suite rithmétique ( p ) pn, l somme ( ) + est ulle» Vérifier P 3. X+ Pour l hérédité, se doer ue suite rithmétique (c q ) qn et vérifier que ( ) + c + = 0 e utilist l formule de Pscl. Attetio à l gestio des termes...

10 0 Formule du iôme. Idictio pour l exercice 4. Exprimer + + e foctio de et risoer pr récurrece. Ue récurrece fiie sur p doit permettre d étlir l for- Idictio pour l exercice 5. mule. Idictio pour l exercice 6. Développer ( + i) pour = p et séprer l somme e deux : somme sur les idices pirs plus somme sur les idices impirs et e ps oulier que + i se met ussi sous forme trigoométrique Idictio pour l exercice 0. peser à Z 0 Pour S, voir le terme x dx. L même idée permet de simplifier S. Pour S 3, il e mque ps eucoup u terme égl à. + comme qui doit fire + + ( )( + ) pour être Pour S 4, si P(x) = 0 + x+ x + + x et Q(x) = 0 + x+ x + + m x m, quel est le coe ciet de x p, près développemet, ds le polyôme P(x) Q(x), puis peser à choisir deux polyômes P et Q ie prticuliers. Pour l somme S 5 commecer pr geler l idice du s grâce à l symétrie puis etmer u risoemet pr récurrece (le résultt est coue sous le om de théorème de l chussette de Noel). Idictio pour l exercice. cos( ) est l prtie réelle de e i qui est égl à (e i ) = (cos + i si ). Développer pr l formule du iôme puis extrire l prtie réelle. Reste à gérer les termes e si qui sot tous à u expost pir si vous e vous trompez ps. O doit trouver X c T (X) = ( ) X ( X ) où c désige l prtie etière de. Idictio pour l exercice 3. Bie sûr j = e i 3. O ppris à trsformer les omres de l forme + e i, cel doe ue première fço de clculer les omres proposés. L utre fço est ie sûr d employer l formule du iôme. 8.6 Correctio des exercices Correctio de l exercice. 7 =, 6 4 = 5, 0 3 = 0, 9 ( 7 = 36, 5 ) ( 6 3) = 0, = 0 3 = = Correctio de l exercice = (+)(+) ( )( ) 6 = ( ) 6 = Correctio de l exercice 3. Le coe ciet cherché est Correctio de l exercice 4. U tel chemi peut être ssocié à u mot formé de m + lettres, prmi lesquelles m sot des lettres E (est) et sot des lettres N (ord). Il y m+ m tels mots doc utt de chemis.

11 8.6 Correctio des exercices Correctio de l exercice. L formule du iôme doe : (+) = P P =+. Or pr symétrie et chgemet d idice P P =+ = P =+ = = X doc