Tout ce qu il faut savoir en math

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1 Tout ce qu il fut svoir en mth 1 Pourcentge Prendre un pourcentge t % d un quntité : t Clculer le pourcentge d une quntité pr rpport à une quntité b : Le coefficient multiplicteur CM pour une ugmenttion : CM = 1 + Le coefficient multiplicteur CM pour une réduction r : CM = 1 r b Vleur finle vleur initile On clcul le pourcentge d évolution d une quntité pr : vleur initile ( Une quntité A ugmentée n fois successivement d un même pourcentge t devient : A 1 + t ( Une quntité A diminué n fois successivement d un même pourcentge t devient : A 1 t 2 Sttistiques L médine Me d une série sttistique est l vleur de l vrible qui prtge l effectif totl en deux prties égles. Le qurtile Q 1 est l plus petite vleur de l vrible telle qu u moins 25 % des vleurs de l série lui soient inférieures ou égles. Le qurtile Q 3 est l plus petite vleur de l vrible telle qu u moins 75 % des vleurs de l série lui soient inférieures ou égles. Le décile D 1 est l plus petite vleur de l vrible telle qu u moins 10 % des vleurs de l série lui soient inférieures ou égles. Le décile D 9 est l plus petite vleur de l vrible telle qu u moins 90 % des vleurs de l série lui soient inférieures ou égles. On définit l écrt interqurtile pr : Q 3 Q 1 et l intervlle interqurtile pr [Q 1 ; Q 3 ] Le digrmme en boîtes représente une série sttistique insi que s médine, ses qurtiles et ses vleurs extrêmes (éventuellement les déciles) : ) n ) n Une série sttistique double de n couples (x i ; y i ) se représente, dns un repère orthogonl bien choisi, pr un nuge de points. n n Le point moyen G est le point dont les coordonnées sont : x G = x = x i i=1 n et y G = ȳ = Pul Miln 1 sur 8 Terminle ES y i i=1 n

2 3 PROBABILITÉS Selon l forme du nuge, on peut l juster de mnière ffine, qudrtique (crre/rcine crree) ou grâce ux logrithmes/exponentielles (on pose, en generl, z i = ln(y i )) Ajustement des extremes : Ajustement ffine qui utilise les deux points extremes du nuge (le premier et le dernier) Ajustement de Myer : Ajustement ffine qui utilise les deux points moyens de deux sous-nuges du nuge globl. Pour tous les justements ffines, on peut clculer l somme des residus n [y i (x i + b)] 2 Ajustement pr l méthode des moindres crres : L droite d eqution y = x + b telle que = Cov(x; y), et qui psse pr le point moyen G( x; ȳ) est l droite qui rend minimle l somme des residus V(x) n [y i (x + b)] 2. i=1 On obtient son éqution en utilisnt l clcultrice (Menu STAT, CALC, REG) 3 Probbilités L univers Ω est l ensemble des résultts possible d une expérience létoire. Un événement A est une prtie de Ω. Pour tout événement A, 0 P(A) 1. On P( ) = 0 et P(Ω) = 1 L somme des probbilités des événement élémentires vut 1. p 1 + p p n = 1 L probbilité d un événement est égle à l somme des propbilité des événements élémentires qui le composent. Dns le cs d équiprobbilité, P(A) = Crd(A) Crd(Ω) i=1 = Nbre de cs fvorbles Nbre de cs possibles. Pour deux événements A et B, P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Si les événéments sont incomptibles (A B = ) lors P(A B) = P(A) + P(B) Pour tout événement A, on note A l événement contrire et P(A) = 1 P(A) 3.1 Conditionnement et indépendnce Si A et B sont deux évènements tels que P(A) 0, on définit l probbilité conditionnelle de l événement B schnt A pr : On lors l rbre suivnt : P A (B) = P(A B) P(A) P(A B) = P(A) P A (B) Pul Miln 2 sur 8 Terminle ES

3 Les événements A et B sont indépendnts lorsque l rélistion de l un n influe ps sur l rélistion de l utre. On lors : 3.2 Vrible létoire P A (B) = P(B) ou P B (A) = P(A) P(A B) = P(A) P(B) On définit une vrible létoire X sur Ω lorsqu on ssocie un nombre réel ux événements de Ω. L loi de probbilité de l vrible létoire X est l fonction k P(X = k), souvent présentée dns un tbleu : vleurs possibles x 1 x 2... x n probbilité p 1 p 2... p n et p 1 + p p n = 1 L espèrence mthémtique de cette loi est le nombre noté E(X) défini pr : E(X) = p 1 x 1 + p 2 x p n x n 3.3 Répétition d épreuve Lorsque qu on répète plusieurs fois et de mnière indépendnte une expèrience n ynt que deux issues (succès et échec), S de probbilité p et S de probbilité q = 1 p, on effectue une expérience de Bernouilli. Sur l ensemble des répétitions, on peut compter le nombre de succès à l ide d un rbre. Ne ps oublier que l évènement contrire de «obtenir u moins un succès» est «obtenir que des échec». 4 Algèbre 4.1 Le second degré P(x) = x 2 + bx + c le trinôme du second degré. Le discriminnt = b 2 4c Si > 0, l éqution P(x) = 0 dmet deux rcines réelles distinctes : x 1 = b + et x 2 = b 2 2 Fctoristion : P(x) = (x x 1 )(x x 2 ) Le signe de P(x) est du signe de à l extérieur des rcines et du signe de à l intérieur. Si = 0, l éqution P(x) = 0 dmet une unique rcine réelle «double» : x 0 = b 2 Fctoristion : P(x) = (x x 0 ) 2 Le signe de P(x) s nnule en x 0 et est du signe de illeurs. Si < 0, l éqution P(x) = 0 n dmet ps de rcine réelle On ne peut ps fctoriser P(x) Le signe de P(x) est du signe de. Pul Miln 3 sur 8 Terminle ES

4 4.2 Domine de définition d une fonction Il fut exclure les vleurs qui nnulent le dénominteur. u(x) existe ssi u(x) 0 ln (u(x)) existe ssi u(x) > 0 Les conditions peuvent se cumuler d où des sytèmes et des intersections d intervlles. 4.3 Limites et symptotes On étudie les limites d une fonction ux bornes de son ensemble de définition. On peut utiliser lors : Les limites des fonctions élémentires : ( lim x + x2 = + ) Les limites de comprison (théorème des gendrmes) Les ( opértions sur les limites (somme, ) produit et quotient). Attention ux formes indéterminées +, 0, et 0 0 L limite en ± d un polynôme est celle de son terme du plus hut degré. L limites en ± d une fonction rtionnelle est celle de son quotient simplifié des termes du plus hut degré. Les limites pr croissnce comprées (cf exponentielle et logrithmes) Asymptote verticle Asymptote horizontle Asymptote oblique Si lim x f (x) = ±, l droite d éqution x = est symptote verticle à C f. Il fut en générl étudier l limite à guche et à droite de. Si lim x ± f (x) = l, l droite d éqution y = l est symptote horizontle à C f. Si lim [ f (x) (x + b)] = 0, l x ± droite d éqution y = x + b est symptote oblique à C f en +,. Position reltive : il fut étudier le signe de f (x) (x + b). 4.4 Théorème des vleurs intermédiires Si f est une fonction est dérivble (donc continue) et strictement monotone sur l intervlle [, b], lors pour toute vleur k comprise entre f () et f (b), l éqution f (x) = k dmet une unique solution sur l intervlle [, b]. Ce théorème s étend ux cs d intervlles ouverts et ux bornes infinie Cs de f (x) = 0 : Si f est une fonction est dérivble (donc continue) et strictement monotone sur l intervlle [, b] et si f () f (b) < 0, lors il existe une unique solution α à l éqution f (x) = 0 dns l intervlle [, b]. Pul Miln 4 sur 8 Terminle ES

5 4.5 Dérivée et primitives Si pour tout x I, f (x) > 0 lors f est strictement croissnte sur I. Si pour tout x I, f (x) < 0 lors f est strictement décroissnte sur I. Une primitive sur l intervlle I d une fonction f continue sur I est une fonction F définie et dérivble sur I, telle que : x I, F (x) = f (x) Les primitives sont définies à une constnte près. Fonction Dérivée D f f (x) = k f (x) = 0 R f (x) = x f (x) = 1 R f (x) = x n n N f (x) = nx n 1 R f (x) = 1 x f (x) = 1 x 2 f (x) = 1 x n n N f (x) = n x n+1 f (x) = x f (x) = 1 2 x f (x) = ln(x) f (x) = 1 x R R R + R + f (x) = e x f (x) = e x R Fonction Primitive D F f (x) = k F(x) = kx R f (x) = x f (x) = x n f (x) = 1 x f (x) = 1 x n F(x) = x2 2 F(x) = xn+1 n + 1 R R F(x) = ln x R + 1 R F(x) = +, (n 1)x n 1 R f (x) = 1 x F(x) = 2 x R + f (x) = e x F(x) = e x R Dérivée Formule de l somme (u + v) = u + v de ku (ku) = ku Primitive de l somme de ku Formule (u + v) = u + v (ku) = k u du produit (uv) = u v + uv de l inverse du quotient de l puissnce de l rcine ( ) 1 = u u u 2 ( u ) u v uv = v v 2 (u n ) = nu u n 1 ( u ) = u 2 u du logrithme (ln u) = u u de l exponentielle (exp(u)) = u exp(u) de de u u n u u n = un+1 n + 1 de de u u u u n n 1 u u u = ln u u n = 1 (n 1)u n 1 u u u u = 2 u de u e u u e u = e u Pul Miln 5 sur 8 Terminle ES

6 4.6 Représenttion de l fonction et du nombre dérivé Lorsque f est dérivble en, l courbe représenttive C f de l fonction f dmet u point A(, f ()) une tngente de coefficient directeur f () dont l éqution est : y = f ()(x ) + f () Le coefficient directeur de l tngente est l vleur du nombre dérivé. Ce coefficient se lit sur l courbe en clculnt le quotient y x. 4.7 L fonction logrithme et l fonction exponentielle Fonction logrithme ln x est définie sur ]0 ; + [ On : ln 1 = 0 et ln e = 1 ln(b) = ln + ln b, ln 1 b = ln b ln b = ln ln b, ln n = n ln ln (x) = 1. L fonction ln est strictement crois- x snte sur ]0 ; + [. Fonction exponentielle e: x où exp(x) est définie sur R e 2, 718 On : e 0 = 1 et e 1 = e e +b = e e b, e = 1 e e b = e e b, (e ) n = e n (e x ) = e x. L fonction e x est strictement croissnte sur R. Pul Miln 6 sur 8 Terminle ES

7 Fonction logrithme ln x lim x + x = 0, lim ln x = 0 x + x n lim x ln x = 0, lim x 0 + x 0 xn ln x = 0 + e x lim x + x Fonction exponentielle e x = +, lim x + x = + n lim x xex = 0, lim x xn e x = Equtions et inéqutions mêlnt logrithmes et exponentielles Elles se tritent en utilisnt l stricte croissnce des fonctions logrithme et exponentielle. Si et b sont deux réel positifs lors : ln = ln b = b et ln < ln b < b Si et b sont deux réels quelconques lors : 4.9 Fonction exponentielle en bse Pour tout réel positif et pour tout nombre réel b, on définit : b = e b ln. Si > 1, l fonction x est strictement croissnte sur R. Si 0 < < 1, l fonction x est strictement décroissnte sur R. e = e b = b et e < e b < b 4.10 Clcul intégrl et clcul d ires Toutes les fonctions f et g sont continues sur [, b] donc intégrble sur [, b]. F désigne une primitive de l fonction f. L intégrle de f entre et b est le nombre défini pr : On les propriétés suivntes : c f (x)dx = 0 f (x)dx = et b f (x)dx + ( f (x) + bg(x)) dx = Si f (x) 0 sur [, b] lors f (x)dx = [F(x)] b = F(b) F() f (x)dx = c b Si f (x) g(x) sur [, b] lors f (x)dx f (x)dx + b f (x)dx 0 f (x)dx f (x)dx reltion de Chsles g(x)dx linérité de l intégrle L réciproque est fusse g(x)dx Pul Miln 7 sur 8 Terminle ES

8 5 SUITE L vleur moyenne de f sur [, b] µ = 1 b Primitive définie pr une intégrle : G(x) = x f (x)dx f (t)dt primitive qui s nnule en Clcul d ire Si f (x) 0 sur [, b], le domine délimitée pr C f, l xe des bscisses et les droites d éqution x = et x = b, est donné, en unité d ire (u) pr : f (x)dx Si f (x) < 0 sur [, b], f (x)dx ser l opposé de l ire du domine défini ci-dessus. Si f (x) g(x) sur [, b], l ire du domine limité pr C f, C g et les droite d équtions x = et x = b vut : ( f (x) g(x)) dx 5 Suite Suites rithmétiques (utilisées pour des vritions bsolues) Définition : u n+1 = u n + r et un premier terme. r est l rison Terme générl : u n = u 0 + nr ou u n = u p + (n p)r Somme des termes : S n = u 0 + u u n = (n + 1) u 0 + u n 2 D une fçon générle : Σ termes extrèmes S n = Nbre de termes 2 Suite géométriques (utilisées pour des vritions reltives (en %) Définition : u n+1 = q u n et un premier terme. q est l rison Terme générl : u n = u 0 q n ou u n = u p q n p Somme des termes : S n = u 0 + u u n = u 0 1 qn+1 1 q D une fçon générle : de termes 1 S n = 1 er qnbre terme 1 q Limites de suites : On exmine le comportement des termes u n lorsque n tend vers +. On dit que l suite (u n ) converge, si l limite des termes u n est finie soit lim u n = l. n + Dns tous les utres cs, on dit que l suite (u n ) diverge : soit lim u n = ± soit lim u n n existe ps n + n + (exemple ( 1) n ) Thèorème : Une suite géométrique de rison q : Converge vers 0 si 1 < q < 1 et lim n + qn = 0 Diverge vers ± si q > 1 et lim n + qn = + est constnte si q = 1 n dmet ps de limite si q 1 Pul Miln 8 sur 8 Terminle ES