Calcul vectoriel (M-3.1) vecteur v du plan tel que v =x i + y j +z k. On note alors : v ( x z) ky kz) Exemples : si u 2

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1 Calcl ectoriel (M-3.1) I. Les ecters Vecters d plan Base d plan : ne base des ecters d plan est n cople de ecters ( i ; j ) tel qe les ecters ne soient pas colinéaires. (i.e. i 0, j 0 et les ecters i et j n'ont pas la même direction). Une base ( i ; j ) est orthogonale si les ecters i et j sont orthogona. Une base ( i ; j ) est orthonormale si elle est orthogonale et si i = j =1. Vecters de l'espace Base de l'espace : ne base des ecters de l'espace est n triplet de ecters ( i ; j ; k ) tel qe les ecters ne soient pas coplanaires (i.e. i 0, j 0, k 0 et lers directions ne peent pas être contenes dans n même plan) Une base ( i ; j ; k ) est orthogonale si les ecters i et j, j et k, i et k sont orthogona. Une base ( i ; j ; k ) est orthonormale si elle est orthogonale et si i = j = k =1 Coordonnées d'n ecter dans ne base : soit ( i ; j ) ne base de ecters d plan. Por tot ecter d plan il eiste n niqe cople de réels ( ; y ) tel qe = i + y j Por tot cople de réels ( ; y ), il eiste n niqe ecter d plan tel qe = i + y j On note alors : ( y) Addition de de ecters : soient et de ecters d plan et le ecter somme w = + ( y) si ( ' y') et alors w ( +' y+ y') Eemple : si ( 1 4) alors 2) et ( 3 Mltiplication d'n ecter par n réel : soient n ecter d plan, k n réel, et le ecter w =k si ( ky) Eemples : si ( 1 2) y) alors w ( k alors 3 Colinéarité de de ecters : de ecters et d plan sont colinéaires si et selement s'il eiste n réel k tel qe =k o n réel k' tel qe =k' Remarqe : si k 0 on a k' = 1 k Le ecter nl 0 est colinéaire à tot ecter d plan. Remarqe : de ecters non nls sont colinéaires si et selement s'ils ont la même direction. Critère de colinéarité : ( si et selement si y' ' y=0 y) et ( ' y') sont colinéaires Coordonnées d'n ecter dans ne base : soit ( i ; j ; k ) ne base de ecters de l'espace. Por tot ecter de l'espace il eiste n niqe triplet de réels ( ; y ; z ) tel qe = i + y j +z k Por tot cople de réels ( ; y ; z ), il eiste n niqe ecter d plan tel qe = i + y j +z k On note alors : ( z) y Addition de de ecters : soient et de ecters de l'espace et le ecter somme w = + ( ) ( +' ) si alors w y+ y' z' z+z' z) et ( ' Mltiplication d'n ecter par n réel :soient n ecter de l'espace, k n réel, et le ecter w =k ( si y ky kz) ( 1 3) Eemples : si 2 z) alors w ( k alors 3 Colinéarité de de ecters : de ecters et de l'espace sont colinéaires si et selement s'il eiste n réel k tel qe =k o n réel k' tel qe =k' Remarqe : si k 0 on a k' = 1 k Le ecter nl 0 est colinéaire à tot ecter de l'espace. Critère de colinéarité : de ecters non nls sont colinéaires si et selement si lers coordonnées sont proportionnelles.

2 Remarqe le nombre y' ' y= ' est appelé déterminant d cople de ecters ( ; ) dans la base ( i ; j ) Eemple : les ecters ( 8 5 )... 3) et ( 13 Norme d'n ecter : dans ne base orthonormale ( i ; j ) la norme d'n ecter ( est donnée par y) = 2 +y 2 ( 1 3) ( 4 Eemple : les ecters 2 et 8 13)... Norme d'n ecter : dans ne base orthonormale ( i ; j ; k ) la norme d'n ecter ( y = 2 +y 2 +z 2 z) est donnée par Remarqe : n ecter a sens mathématiqe d terme, est soent appelé ecter libre en sciences physiqes. Points d plan Repère d plan : n repère d plan est n triplet (O ; i ; j ) tel qe O soit n point d plan (l'origine) et ( i ; j ) ne base des ecters d plan. Coordonnées d'n point : soit M n point d plan et ( ; y ) le cople de réels représentant ses coordonnées dans le repère (O ; i ; j ) : M ( ; y ) OM ( y) Points de l'espace Repère de l'espace : n repère de l'espace est n qadrplet (O ; i ; j ; k ) tel qe O soit n point de l'espace (l'origine) et A( A ; z A ) ne base des ecters de l'espace. Coordonnées d'n point : soit M n point de l'espace et ( ; y ; z ) le triplet de réels représentant ses coordonnées dans le repère (O ; i ; j ; k ) : M ( ; y ; z ) ( z) OM y Coordonnées d ecter défini par de points : si A( A ) et B ( B ; y B ) alors AB ( B A y B y A) Démonstration : AB = AO + OB = OB - OA Distance entre de points : si A( A ) et B ( B ; y B ) alors AB= ( B A ) 2 +( y B y A ) 2 Milie d'n segment : soit M le milie d segment [AB] si A( A ) et B ( B ; y B ) alors M ( + A B ; y + y A B 2 2 ) Démonstration : OM = OA+ AM = OA+ 1 2 AB= OA+ 1 2 ( AO+ OB )= Coordonnées d ecter défini par de points : si A( A ; z A ) et B ( B ; y B ; z B ) alors AB( B A y B y A) A z B z Démonstration : AB = AO + OB = OB - OA Distance entre de points : si A( A ; z A ) et B ( B ; y B ; z B ) alors : AB= ( B A ) 2 +( y B y A ) 2 +( z B z A ) 2 Milie d'n segment : soit M le milie d segment [AB] si A( A ; z A ) et B ( B ; y B ; z B ) alors M ( + A B ; y + y A B ; z +z A B ) Remarqe : les coordonnées d milie d'n segment sont les moyennes des coordonnées des etrémités d segment. Eemple : Si A(1;2;-3) et B(4;-5;6) alors...

3 Point de e cinématiqe : on considère n point mobile M (t ) dans le repère orthonormé (O ; i ; j). Le ecter position est alors le ecter OM (t ). Le ecter itesse est le ecter ( t ) = d OM (t ) d t La qantité de moement d'n point M (t ) de masse m ecter itesse ( t ) est le ecter p =m (t) Le ecter accélération est le ecter a(t ) = d (t ) d t = d2 OM (t ) dt 2 Point de e dynamiqe : la donnée d'n point et d'n ecter est appelée ecter lié. C'est le cas, par eemple, por n ecter force (le point d'application et le ecter définissant la direction, le sens, et l'intensité de la force) II. Les barycentres Définition d barycentre de de points pondérés : soient A et B de points (d plan o de l'espace) affectés respectiement de coefficients réels a et b. Si a +b 0 alors le barycentre G d système {( A ; a ), ( B, b )} est l'niqe point tel qe a GA+b GB= 0 Démonstration de l'eistence et de l'nicité : a GA+b GB= 0 a GA+b ( GA+ AB )= 0 (a+b) GA+b AB= 0 AG= Eemple : Placer G=Bar {( A;1);(B ; 2) } Placer H =Bar {(A ;3 ); (B ; 1)} Remarqe : le barycentre de de points A et B distincts appartient à la droite (AB). b a+b AB Point de e cinématiqe : le centre d'inertie d'n ensemble de points matériels est le barycentre de ces points affectés de de ler masse. Point de e dynamiqe : le centre de graité d'n ensemble de points matériels est le barycentre de ces points affectés de de ler poids. Homogénéité d barycentre : soient A et B de points (d plan o de l'espace) affectés respectiement de coefficients réels a et b tels qe a+b 0. Por tot réel k 0, Bar {(A ; a), (B,b )}=Bar {( A;ka ), (B, kb)} Eemple : Bar {( A ;3 ); (B ;6 )}= Bar {( A ; 3);( B; 1)}= Propriété caractéristiqe : soient A et B de points (d plan o de l'espace) affectés respectiement de coefficients réels a et b tels qe a+b 0. G=Bar {( A; a ) ;( B ; b)} por tot point M (d plan o de l'espace), (a +b) MG=a MA+b MB Démonstration : a GA+b GB= 0 a ( GM + MA)+b ( GM + MB )= 0... Coordonnées d barycentre de points pondérés : soient A et B de points (d plan o de l'espace) affectés respectiement de coefficients réels a et b tels qe a +b 0 et G=Bar {( A; a ) ;( B ; b)} dans le plan : G( a A +b B a+b ; a y +b y A B a+b ) dans l'espace : G( a +b A B ; a y +b y A B ; a z +b z A B a+b a+b a+b ) Démonstration : la propriété caractéristiqe appliqée a point O donne : (a+b) OG=a OA+b OB Remarqe : les coordonnées d barycentre sont obtenes en effectant des moyennes pondérées des coordonnées des points. Définition d barycentre de trois points pondérés : soient A, B et C trois points (d plan o de l'espace) affectés respectiement de coefficients réels a, b et c.

4 Si a+b+c 0 alors le barycentre G d système {( A ; a ); ( B ;b ); (C ; c )} est l'niqe point tel qe a GA+b GB+c GC = 0 Remarqe : les propriétés alables por de points restent érifiées por trois points. En particlier la propriété caractéristiqe deient : G=Bar {( A;a) ;(B ; b);(c ; c )} por tot point M, (a+b+c ) MG=a MA+b MB+c MC aec a+b+c 0 Application : Placer G=Bar {( A; 1) ;( B ; 2) ;( C ; 3)} Placer H =Bar {(A ;1), ( B ; 2) ;(C ;3 )} Coordonnées d barycentre trois points pondérés : soient A, B et C trois points (d plan o de l'espace) affectés respectiement de coefficients réels a, b et c tels qe a +b+c 0 et G=Bar {( A; a ) ;( B ; b) ;(C ; c )} dans le plan : dans l'espace : G( a +b +c A B C ; a y +b y +c y A B C a+b+c a+b+c ) G( a +b +c A B C ; a y +b y +c y A B C ; a z +b z +c z A B C a+b+c a+b+c a+b+c ) Ces règles sont généralisables por traailler sr le barycentre de n points d plan o de l'espace. Dans ce cas il est efficace de pooir constrire des "barycentres intermédiaires". Associatiité d barycentre : le barycentre de n points pondérés n'est pas modifié en remplaçant p de ces points par ler barycentre G' affecté de la somme de ler p coefficients. Remarqe : por qe les barycentres eistent il fat tojors qe la somme des coefficients soit non nlle! Placer H =Bar {(A ;1), ( B ; 2) ;(C ; 3); ( D ; 4)} Placer G=Bar {( A; 1);(B ; 1); (C ; 1)} III. Le prodit scalaire Définition d prodit scalaire de de ecters : soient et de ecters (d plan o de l'espace). Le prodit scalaire des ecters et est le nombre réel noté tel qe : = 1 2 ( ) 2 = 3 2.= =1.5 2 Remarqes : 0 =0 = 2 on note parfois = 2 le carré scalaire d ecter D'après le théorème de Pythagore et sa réciproqe : et sont orthogona si et selement si =0 2 = = 4 2

5 Point de e cinématiqe et dynamiqe : Le traail (ne énergie) d'ne force constante F sr le trajet [AB] est donné par le réel W= F. AB La pissance (dériée temporelle de l'énergie) d'ne force F s appliqant sr n point mobile ayant por ecter itesse est donnée par le réel P= F. Propriété d cosins : soient et de ecters non nls (d plan o de l'espace) et l'angle θ=( ; ) [2 π ] : = cos (θ).=2 3 cos( π 3 )=3 Remarqe : cette relation pet permettre de déterminer l'angle géométriqe entre de ecters connaissant ler norme et ler prodit scalaire : cos (θ )= Eemple : si =4, = 3 et =6 alors... Propriété d projeté orthogonal : soient A, B, C et D qatre points d plan o de l'espace. On considère les points C' et D' projetés orthogona des points C et D sr la droite (AB), alors : AB CD= AB C' D' si AB et C' D' ont le même sens : AB CD= AB C' D' si AB et C' D' sont de sens contraire: AB CD= AB C' D' Remarqe : on retroe ici la notion de traail moter o résistant. Prodit scalaire et coordonnées : le plan o l'espace étant mnis d'ne base orthonormée. si ( y) et ( ' alors ='+yy' y') ( ) si alors ='+yy' +zz' z' z) et ( ' Remarqe : dans ne base orthonormale ( i ; j ; k ), l'abscisse d ecter est i. Opérations sr le prodit scalaire : soient, et w trois ecters (d plan o de l'espace) et k n réel. symétrie : = homogénéité : (k ) =k ( ) additiité : ( + ) w = w + w Remarqe : on dit qe le prodit scalaire est ne forme bilinéaire symétriqe. Dans la pratiqe on pet assimiler ces règles à ne forme de distribtiité. III. Le prodit ectoriel Le cadre d application d prodit ectoriel est l'espace. Une base de l'espace ( i ; j ; k ) est dite directe s'il elle érifie l'ne des trois règles éqialentes siantes : Règle de "la main droite" Règle d "bonhomme d'ampère" Règle d "tire-bochon" Remarqe : dans ce cas, la base ( j ; i ; k ) est de sens indirect.

6 Définition d prodit ectoriel : soient et de ecters de l'espace. Le prodit ectoriel des ecters et est le ecter w = tel qe : si et sont colinéaires : w = 0 {le ecter w est orthogonal à le ecter w est orthogonal à si et ne sont pas colinéaires, la base ( ; ; w )est directe w = sin ( ; ) Remarqe : le ecter nl 0 étant colinéaire à tot ecter, on a : 0 = 0 Point de e cinématiqe : le moment cinétiqe d'n point mobile M (t ) ayant ne qantité de moement p, éalé en O est le ecter : M 0 (M (t))= OM p Le moment dynamiqe (o moment des qantités d'accélération) est la dériée temporelle d moment cinétiqe. Point de e dynamiqe : le moment d'ne force F appliqée sr n point M, éalé en O est le ecter M 0 ( F )= OM F Prodit ectoriel et colinéarité : soient et de ecters de l'espace. = 0 si et selement si et sont colinéaires Prodit ectoriel et projection orthogonale : Soient A, B, C et D qatre points de l'espace incls dans n même plan. On considère les points C' et D' projetés orthogona des points C et D sr la droite perpendiclaire à la droite (AB) passant par le point A. Alors : AB CD =AB C ' D ' Aire d'n triangle : soit ABC n triangle et A ABC son aire. A ABC = 1 2 AB AC Aire d'n parallélogramme : soit ABCD n parallélogramme et A ABCD son aire. A ABCD = AB AD Opérations sr le prodit ectoriel : soient, et w trois ecters de l'espace et k n réel. Antisymétrie : = Homogénéité : (k ) =k ( ) Additiité : ( + ) w = w + w Prodit scalaire et coordonnées : l'espace est mni d'ne base orthonormale directe ( i ; j ; k ). Si ( y z) ( ' ) ( yz' zy' et y' alors z' z' z' y' y') Remarqe : ne méthode permet de minimiser le risqe d'errer dans les permtations des coordonnées. En ajotant de les premières composantes de chaqe ecter por créer la matrice ci-contre, on calcle les déterminants sccessifs : ( 1 3) ( 5) 3 Eemple : si 2 et 4 alors... ( ' y z z' ' ) ' z z' = ' ' z z' ' = y ' z z' ' = z