Problèmes de courant continu

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1 Captur résistif d tmpératur Probèms d courant continu Variation d a résistanc d un thrmistanc n fonction d a tmpératur a résistanc R d un thrmistanc, formé d un matériau smi-conductur, vari avc a tmpératur absou T suivant a oi R R xp B B = T T où B, R = Ω t T = 98 K sont ds constants Qu rprésnt a constant R? dr xprimr cofficint d tmpératur α = n fonction d B t T RdT Cacur B sachant qu α (T = 98 K = 4,5 K 4 Cacur R aux tmpératurs C t C d 5 5 cofficint d diatation inéair du smi-conductur st λ = = K Comparr s variations d dt résistanc avc a tmpératur dus à a variation d a résistivité ρ d'un part t aux variations d dimnsions d'autr part Concur Pour msurr un tmpératur, on utiis un captur résistif On msur un signa éctriqu, n généra un tnsion, qui traduit s variations d a résistanc avc a tmpératur Un montag, aimnté par un sourc d tnsion comprnd a résistanc à msurr t d'autrs résistancs constants circuit d msur ainsi constitué st appé conditionnur du thrmomètr ontag potntiométriqu Cui-ci st rprésnté sur a figur ci-contr génératur a pour fm t pour résistanc intrn r ; votmètr d résistanc intrn R d msur a r R r tnsion v aux borns d a résistanc thrmométriqu R qui dépnd d T 6 xprimr v n fonction d R, R, R d, t R v R d 7 Commnt doit-on choisir R d pour qu a tnsion v n dépnd pas trop du votmètr utiisé? Qu st aors xprssion d v? On suppos ctt condition désormais réaisé sourc votmètr 8 À T = T, a résistanc thrmométriqu R a pour vaur R t a tnsion d msur a vaur v Cs conditions définissnt un point moyn d fonctionnmnt orsqu R vari d R, v vari d v xprimr v n fonction d R, Ro, R t, n s imitant au cas où R R 9 v On définit a snsibiité du conditionnur par S = Pour qu vaur d R, ctt snsibiité st- R maxima au voisinag d T = T? Cacur ctt snsibiité maxima Appication numériqu Sachant qu =, V, R = 9,8 Ω, r = Ω, qu votmètr put décr un variation v d, vot, cacur a vaur d R r qui donn a snsibiité maxima t a vaur R qu 'on put aors tout just décr Aors qu conditionnur a sa snsibiité maxima, a fm du génératur fuctu ntr t + Cacur a variation d v corrspondant à un variation d Comparr 'infunc d R t d Qu st nivau toérab d fuctuations d a fm d a sourc dans c dispositif? Pont d Whatston votmètr V, d résistanc intrn R d très supériur aux autrs résistancs, msur a ddp v = v B v A a résistanc intrn d a sourc st négigab (figur xprimr v n fonction d t ds résistancs A 'équiibr du pont (v = st réaisé pour R = R, T = T Qu ration i aors R, R, R 4, t Ro? Cacur v n fonction d R, R, R t R(T R 4 On suppos R = R R << R Pour qu vaur d R a snsibiité D S = v V / R st- maxima? Cacur c-ci C 5 Comparr a snsibiité du pont d Whatston t du montag potntiométriqu dans s dux cas : - votmètr n st utiisé qu sur caibr immédiatmnt supériur à ; - on put aussi utiisr ds caibrs pus ptits R R 4 B DS : probèms d courant continu, pag Figur

2 6 a snsibiité maxima étant obtnu, on tint maintnant compt ds fuctuations d ( << Comparr infunc rspctiv d R t d sur v Concur 4 Pont d Whatston x ydx xdy Préiminair : montrr qu d x y = + ( x + y Un jaug d contraint J st constitué par un fi cyindriqu d onguur, d sction s t d résistivité ρ st coé ongitudinamnt sur un poutr isoant fixé par son xtrémité infériur (fig orsqu a poutr st rctiign, a résistanc du fi st R Sous 'action d'un forc F horizonta, 'xtrémité ibr B d a poutr féchit t a poutr s courb a tmpératur étant constant, fi subit un très faib aongmnt ratif ε = n R résut un très faib variation d résistanc = K Au cours R Figur d a déformation, s variations rativs d a sction s t d a s ρ résistivité ρ sont rspctivmnt = σ t = c V, σ t c étant dux constants dépndant d a s ρ V natur du conductur t V son voum xprimr cofficint K n fonction d c t σ Appication numériqu : c =,, σ =, ; cacur K n déduir a variation d résistanc R pour un 5 forc F xrcé d N, sachant qu = KF (avc K = N t qu R = 5Ω orsqu fi st au rpos fi cyindriqu précédnt constitu 'un ds branchs d'un pont d Whatston (fig s résistancs R, R, R4 sont tout d'abord considérés comm constants Su R vari n fonction d a forc appiqué ntr s borns d sorti A t C du pont st pacé un appari d msur ( d résistanc intrn infini C pont st aimnté par un génératur d fm constant t d résistanc intrn négigab a xprimr a différnc d potnti U = V V n fonction d, R, R, R R, b On suppos qu initiamnt 4 R R = R = R = R = 4 ; R variant d'un quantité très ptit dvant R, xprimr a R variation corrspondant U Cacur numériqumnt si = V, R =, Ω t R = 5Ω A C U Afin d'améiorr a snsibiité du dispositif, c'st-à-dir d'obtnir un différnc d potnti ntr A t C pus important n fonction d a forc appiqué, on dispos d 4 jaugs idntiqus J, J, J, J 4 d résistancs rspctivs R, R, R, R4 a nitiam nt R = R = R = R4 = R n supposant qu a résistanc d ( pacé ntr A t C st infini, xprimr a Figur ddp U n fonction d, R, R, R, R4 t R b Précisr commnt i faut cor s 4 jaugs sur a pou tr pour qu dispositif soit pus snsib c Cacur numériqumnt dans hypothès précédnt U si = V, R = R = R = R =,Ω t R = 5Ω 4 On utiis ds résistancs qu on croit égas R = R = R = R = R = Ω, mais n réaité s sont 4 égèrmnt différnts pont étant équiibré, on intrvrtit s jaugs J t J ; pour rétabir équiibr du pont, i faut mttr n séri avc R un résistanc additionn r = 6 Ω ontrr qu R R xprimr n fonction d r t cacur R R t R R 4 4

3 7 Un ocomotiv éctriqu st aimnté n courant continu 'aimntation st réaisé par ds sous-stations S i distants d Cs sous-stations rint s rais FG, portés au potnti nu, à a caténair AB, c st-à-dir à un fi éctriqu situé au dssus d a ocomotiv sur qu vint frottr son pantograph Chaqu sourc S i sra rprésnté par un sourc d tnsion d forc éctromotric, a born positiv étant du côté d a caténair a motric st branché ntr s rais t contact C ntr pantograph t a caténair On supposra qu son motur doit êtr aimnté par un courant constant a motric put donc êtr schématisé par un sourc d courant d courant éctromotur = 8 A D pus a caténair présnt un résistanc inéiqu (rapport d a résistanc à a onguur d vaur r = 5 5 Ωm, aors qu a résistanc ds rais st négigab On considèr un sction d ign d onguur aimnté par dux sous-stations On not x = a onguur d caténair séparant a motric d a sous-station S t U a tnsion aux borns d a motric xprimr a chut d tnsion U = U n fonction d, r, x, t Détrminr a imitation sur a distanc ntr s dux sous-stations pour qu U n dépass pas U = 45 V Un sction d onguur st maintnant aimnté par un su station S situé à son xtrémité a caténair st constitué d dux fis idntiqus AB t A'B' d onguurs t d résistancs inéiqus r, riés à urs xtrémités pantograph n st n contact qu avc un ds dux fis xprimr d nouvau U = U n fonction ds donnés t cacur a vaur maxima d a distanc pour imitr a chut d tnsion à U = 45 V On rvint à un systèm d dux stations S t S, mais avc un caténair à dux fis connctés par urs xtrémités t ur miiu pantograph n st n contact qu avc un ds dux fis xprimr U = U n fonction ds donnés t cacur, comm précédmmnt, a vaur maxima d 4 Concusion : qu st montag pus avantagux? 5 Commnt traitr a configuration d a prmièr qustion si a résistanc ds rais n st pas négigab? Réponss ; vaur d R à ; α = B/ T ; 67 K ; 4 C 7 89 ; R C = 7 Ω ; T B = R ( = Ω ( 5 a variation d a résistanc st du ssntimnt à a variation d a résistivité ; R 6 v = ; 7 R + R ( / R + d R ; v / R d R R v R S = + R ( R + R ; 9 R = R ; S v = ; R r = 89, 8 Ω ; R = =, 44 Ω ; à snsibiité st maxima, v = /, donc 4R S v = / ; doit êtr infériur à, V ; = ( B v( A = + R / R( T + R / R 4 R R = 4 ; R R v = + R/ R + R/ R ; 4 R = R ; R S = ; 6 v = 4R R 4 K = ( c + σ( c =,5 R = RKK F =,7Ω ; a U = R + R 4 R + R R R R 4 ; b U = =, 4 V ; a 4R ( R + R R4 R U = ; b cor J t J du coté où a poutr st n 4R 4 xtnsion t J t J 4 du coté où a poutr st n comprssion ; c = 5, 7 V ; 4 R R r/ = Ω ; R R 4 r/ = Ω U A F S S x S x x C Qustion Qustion S S Qustion rx ( x 4 U U = ; x( x r < = 45 m ; U = ; < 5 m ; r ( x xr 6 U U = ; < = 675 m ; 4 a configuration st préférab ; 5 considérr r = r + r r J J J J 4 B G

4 Corrigés R rprésnt a vaur d R à T = T B B n R = n R + T T ; n dérivant ctt ration par rapport à T : α = dr B RdT = T B = α T = 4,5 98 = 67 K R( C xp = = 7 89 Ω 7 98 ; R ( C = xp = 7 Ω 7 98 d n R dn ρ d n dns 5 R = ρ ; d'où : = + S dt dt dt dt d ns dn d n ρ Si a diatation st isotrop, = = λ, soit α = λ dt dt dt Comm 4 5 α t λ =, a variation d a résistanc st du ssntimnt à a variation d a résistivité, a variation ds dimnsions produisant un fft négigab 6 C'st un montag divisur d tnsion : mêm courant parcourt r + ( R r t R Rd D'où : v =, soit v = = R + R Rd R Rd R + + R + R R d R R d R 7 v n dépnd pas d Rd si Rd R, c qui st assz facimnt réaisé Aors v = = R R + R + R dv R 8 n dérivant a ration précédnt, on obtint = dr ( R + R v R n assimiant s ptits variations à ds différntis : S = R ( R + R S = st maximum quand R / R + R st minimum ; or i s'agit d a somm d dux R / R + R + R 9 nombrs d produit détrminé R ; ctt somm st minimum quand s dux trms sont égaux, soit quand R = R a snsibiité maxima st aors S = 4R AN : R r = 89, 8 Ω ; S =, 9 V/ Ω v, On détct tout just R = = =, 44 Ω S, 9 R Dans ds conditions quconqus, v = Si a snsibiité st maxima, v R + = /, donc v = / R doit êtr infériur à, V pour qu v n'xcèd pas, V t n'infunc pas a msur faut donc un tnsion d'aimntation très stab pour fair ds msurs vaabs s branchs RT (, R d'un part, R, R4 d'autr part, sont ds divisurs d tnsion : v( C v( A = v( C v( A = ; RT ( RT ( + R R + RT ( v( C v( B = v( C v( B = R R + R4 R4 + R n rtranchant mmbr à mmbr, i vint : v = v( B v( A = R R RT ( R R R4 v st nu si = R R v = R R + + R R

5 dv R 4 n dérivant a ration précédnt, on obtint S = = qui st smbab à a ration trouvé dans dr ( R + R a qustion 8 a snsibiité st donc maxima pour R = R t vaut aors 4R 5 Avc un su caibr, s dux méthods ont mêm snsibiité Si ds caibrs nttmnt infériurs à sont disponibs, pont d Whaston prmt d s utiisr, car à 'équiibr v st nu ; captur st aors pus snsib monté sur un pont d Whatston qu sur un montag potntiométriqu ( R R R R 6 D a ration d, on déduit v =, d'où v = 'infunc ds fuctuations d ( R + R( R + R R 4 st baucoup pus faib qu dans cas du montag potntiométriqu si R st ptit Pont d Whatston u vdu udv x ( x + y dx x ( dx + dy y dx x dy n utiisant d ( =, on obtint : d v v = = x + y ( x + y ( x + y dr dρ d ds dv d ds d ds d ds = d(n R = d(n ρ + n n s = + = c + = c R ρ s V s ( + + s s dr d ds d = ( c + + ( c = [( c + σ( c ] R s dv d ds Comm V = s, = + t K = ( c + σ( c =,,, =,5 V s 5 R = RKK F = 5,5 =,7Ω a Supposons V( N = ; aors V( P = Appiquons théorèm d iman aux points A t C : R R R R 4 VA ( = = VC ( = = R + R R + R R R R R 4 R R U = R + R 4 R + R b a ration du préiminair montr qu RdR 4 R, 4 du = U = = =, 4 V ( R + R 4R a n utiisant a ration du préiminair, Figur R dr R dr R dr R dr 4 4 du = ( R R ( R R ( R + R R R 4 U = 4R b faut cor J t J du coté où a poutr st n xtnsion t J t J 4 du coté où a poutr st n comprssion J 4 c a tnsion st quadrup d c d a qustion b : = 5, 7 V R R R R s dux équiibrs impiqunt = = R R R R + r R R + r quotint mmbr à mmbr donn : = qui montr qu R R ; R R R = + r + r R R rr r = = Ω R R R R 4 On n tir R = R + r R r R4 = Ω R R R U J J J 4

6 U = xri = ( x ri U ( ( i i U = i + i = + = r x x rx x rx ( x U = d U r ( x = > si x < dx qui montr qu U ( x st maximum pour x = / Aors U = r /4 Rmarqus U U a on put abrégr cacu n écrivant a oi ds nœuds n fonction ds potntis : + = rx r ( x b produit d dux nombrs, x t x, dont a somm st détrminé st maximum quand is sont égaux : x = / r 4 U 4 45 On vut donc qu < U < = 5 45 m 4 r < 5 8 U raisonnmnt st simiair : U = xri = ( x ri = i + i = r ( + x x suffit d rprndr s résutats d a qustion t d y rmpacr par, donc < 45 m < 5 m s trois courants marqués i sur a figur sont égaux, car c sont s i i courants dans ds résistancs égas r / dont s borns sont au mêm i potnti i i U = xri = ( x ri + ri U U U = i + i = + = xr ( x r ( x xr ( x xr U = U st maximum quand ( x x st maximum d (( x x = 6x > si x <, donc U st maximum quand x = Aors dx r 6 U 6 45 U = < U < = m 6 r < 5 8 On put aussi utiisr fait qu produit d x par x st maximum quand cs nombrs sont égaux 4 a configuration st désavantagus par rapport à a configuration, car nécssit mêm nombr d sousstations t dux fois pus d câb a comparaison ntr s configurations t dépnd du coût ds sous-stations, qu économis t du coût du câb, qu économis ; on put aussi tnir raisonnmnt suivant : au iu d prndr un câb d onguur doub comm dans a configuration, on pourrait réaisr a configuration n doubant a sction d'un câb uniqu, sans changr a quantité d méta mpoyé, c qui prmttrait d divisr par a résistanc inéiqu, donc d doubr 'spacmnt ds sous-stations ; a distanc ds sous-stations, 9 m, srait aors pus prformant qu 675 m, donc a configuration st préférab 5 suffit d considérr qu r st a somm ds résistancs r x (r + r x inéiqus r d a caténair t r ds rais pour s ramnr au probèm précédnt : équivaut à r x