Chapitre 2 Fonctions, continuité et dérivées. Table des matières. Chapitre 2 Fonctions, continuité et dérivées TABLE DES MATIÈRES page -1

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1 Chapitre Fonctions, continuité et dérivées TABLE DES MATIÈRES page -1 Chapitre Fonctions, continuité et dérivées Table des matières I Exercices I I I I- La fonction partie entière I- 5 Fonctions affines et linéaires I-3 6 Autres fonctions usuelles I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I-11 II Cours II-1 1 Définition intuitive et exemple II-1 Continuité des fonctions usuelles II-1 3 Théorème de la valeur intermédiaire II-1 Exemple de résolution d une équation de la f(x) = k II-1 5 Continuité dans les tableaux de variations II- 6 Équation f(x) = k et tableau de variation II- 7 Continuité et dérivabilité II-

2 Chapitre Fonctions, continuité et dérivées I EXERCICES page I-1 I Exercices Manuel : Mathématiques TES/L, Hyperbole, Nathan 1. 1 Continuité L objectif de cet exercice est d étudier ce qu est une fonction continue et ce qu est une fonction non continue re situation : on considère l intensité du courant électrique (en Ampères) passant dans une ampoule pendant 15 secondes. Dans le repère qui se trouve plus bas, tracer la représentation graphique de cette intensité électrique en fonction du temps d après les explications ci-dessous. On appelle cette fonction f. Pendant les 5 premières secondes la lampe est éteinte ; à la 5 e seconde quelqu un allume et le courant passe brutalement de à,5 Ampères ; de la 5 e seconde à la 1 e la lampe est allumée ; à la 1 e seconde il éteint et le courant passe brutalement de,5 à A ; ensuite l ampoule reste éteinte.. e situation : même consigne que dans la question précédente pour une autre ampoule, pendant 15 secondes, d après les explications ci-dessous. On appelle cette fonction g. Pendant les 3 premières secondes la lampe est éteinte ; de la 3 e à la 5 e seconde quelqu un allume avec un interrupteur variateur et le courant passe progressivement de à,5 Ampères ; de la 5 e seconde à la 1 e la lampe est allumée ; de la 1 e à la 1 e seconde il éteint et le courant passe progressivement de,5 à A ; ensuite l ampoule reste éteinte. 3. Lorsque la courbe d une fonction se trace d un trait continu, c est à dire «sans lever le crayon», on dit que cette fonction est continue. Répondre aux questions suivantes sans justifier. (a) La fonction f est-elle continue? (b) La fonction g est-elle continue? (c) La fonction f est-elle continue sur l intervalle [ s ; s]? (d) La fonction f est-elle continue sur l intervalle [7 s ; 1 s]? (e) La fonction g est-elle continue sur l intervalle [ s ; s]? (f) La fonction g est-elle continue sur l intervalle [7 s ; 1 s]? re situation fonction f e situation fonction g Intensité en Ampères Intensité en Ampères Temps en secondes Temps en secondes

3 Chapitre Fonctions, continuité et dérivées I EXERCICES page I- Objectif : savoir reconnaître graphiquement une fonction continue ou discontinue Répondre aux questions suivantes sans justifier. 1. La fonction f est-elle continue sur [ 5 ; 5]? sur [ 1 ; 3]? La fonction g est-elle continue sur [ 5 ; 5]? sur [ ; ]? La fonction h est-elle continue sur [ 5 ; 5]? sur [ 3 ; ]? Courbe C f Courbe C g Courbe C h 3 1. Dans le repère ci-dessous, tracer la représentation graphique de la fonction f correspondant au tarif postal du tableau ci-dessous.. Cette fonction «tarif postal» est-elle continue sur l intervalle [ ; 1]? Poids (g) Tarif (e) [ ; [,6 [ ; 5[ 1, [5 ; 1] 1, La fonction partie entière Un nombre entier positif est égal à sa partie entière, par exemple E(5) = 5 et E() =. Pour un nombre non entier, voici deux exemples, E(, 7) = et E(11, 5) = Tracer ci-contre la représentation graphique de la fonction partie entière sur l intervalle [ ; 3[.. La fonction partie entière est-elle continue sur l intervalle [ ; 3[?

4 Chapitre Fonctions, continuité et dérivées I EXERCICES page I-3 5 Fonctions affines et linéaires Objectif : revoir les fonctions linéaires et affines et savoir si elles sont continues. 1. Les fonctions f et g sont définies par f(x) = 3x et g(x) = x (a) Tracer leurs représentations graphiques dans le repère ci-contre (ne pas hésiter à utiliser la calculatrice, le mode d emploi est rappelé en fin de manuel dans le rabat de la couverture). (b) Ces fonctions f et g sont-elles continues?. On rappelle qu une fonction affine f est définie par f(x) = ax + b et qu une fonction linéaire g est définie par g(x) = ax (a) Quelle est la représentation graphique d une fonction affine ou d une fonction linéaire? (b) Les fonctions linéaires et affines sont-elles continues? sur quel intervalle? 6 Autres fonctions usuelles 6 6 Objectif : revoir rapidement les représentations graphiques des fonctions carré, cube, inverse, racine carrée, et vérifier si ces fonctions sont continues ou non. Dans cet exercice ne pas hésiter à utiliser sa calculatrice pour les représentations graphiques. 1. Fonctions carré, cube, racine carrée : d après les représentations graphiques (À FAIRE) ces fonctions sont-elles continues? (préciser chaque fois sur quel intervalle).. Fonction inverse : d après la représentation graphiques À FAIRE : la représentation graphiques (a) cette fonction est-elle continue sur l intervalle ] ; [? (b) cette fonction est-elle continue sur l intervalle ] ; + [?

5 Chapitre Fonctions, continuité et dérivées I EXERCICES page I- 7 Continuité et équation f(x) = k L objectif de cet exercice est d aborder le théorème de la valeur intermédiaire et de le comprendre intuitivement. Une course cycliste de km commence à l altitude de m et se termine à l altitude de 8 m. La fonction f est définie sur l intervalle [ ; ], x est la distance en km depuis le départ, et f(x) est l altitude à la distance x. On a donc f() = et f() = 8. Figure 1 Figure Figure La figure 1 donne une représentation graphique possible pour la fonction f. (a) Est ce que le parcours passe par toutes les altitudes intermédiaires entre m et 8 m? (b) Est ce que le parcours peut passer plusieurs fois par une altitude intermédiaire entre m et 8 m? Donner un exemple et tracer des traits sur le graphique. (c) Y a-t-il une altitude entre m et 8 m par laquelle le parcours ne passe pas? La traduction mathématique de la question 1a est «Pour toutes les valeurs de k entre f() et f(), l équation f(x) = k a-t-elle toujours une solution?». (a) Traduire l exemple de la question 1b par une équation. (b) Traduire la question 1c en utilisant f(x) = k. 3. (a) Dans le repère de la figure, tracer une autre représentation graphique possible de la fonction f telle que le parcours passe une seule fois par chaque altitude intermédiaire entre m et 8 m. (b) Traduire mathématiquement la question précédente en utilisant f(x) = k.. (a) La représentation graphique de la figure 3 est-elle possible? Pourquoi? Donner une raison mathématiques et une raison intuitive. (b) D après cette représentation graphique donner une valeur de k telle que l équation f(x) = k n a pas de solution. Tracer un trait sur le grahique. 5. Concernant la fonction f, quelles sont les conditions telles que, pour toutes les valeurs de k entre f() et f(), l équation f(x) = k ait une unique solution? Objectif : utiliser la fonction table de la calculatrice pour résoudre une équation f(x) = k La fonction représentée graphiquement ci-dessous est la fonction définie par f(x) = x 3 + 5x sur l intervalle [ ; 5].

6 Chapitre Fonctions, continuité et dérivées I EXERCICES page I-5 1. Résoudre graphiquement l équation f(x) = 1, en traçant des traits sur le graphique. Arrondir les deux solutions x 1 et x à,1 près.. En utilisant la calculatrice, déterminer un encadrement de x 1 et un encadrement de x à,1 près. f(x) x 9 Objectif du programme de TES : exploiter le tableau de variation pour déterminer le nombre de solutions d une équation du type f(x) = k Le tableau de variation d une fonction f est donné ci-dessous à gauche. x f(x) D après ce tableau, tracer dans le repère ci-dessus à droite, une courbe qui puisse représenter la fonction f.. Donner chaque fois le nombre de solutions de l équation indiquée sur l intervalle précisé. Tracer des traits sur la figure. (a) f(x) = sur l intervalle [ 6 ; 1] (b) f(x) = sur l intervalle [ ; ] (c) f(x) = sur l intervalle [ 6 ; 1] (d) f(x) = 7 sur l intervalle [ 6 ; 1] Justifier la réponse (b) de l exercice 9.

7 Chapitre Fonctions, continuité et dérivées I EXERCICES page I-6 11 Le tableau de variation d une fonction f est donné ci-contre. D après ce tableau, donner chaque fois le nombre de solutions de l équation indiquée sur l intervalle précisé. x f(x) 1 3 (a) f(x) = 8 sur l intervalle [ 1 ; 7] (b) f(x) = 1 sur l intervalle [ 1 ; 7] (c) f(x) = sur l intervalle [ 1 ; 7] (d) f(x) = 3 sur l intervalle [ 1 ; 7] (e) f(x) = 5 sur l intervalle [ 1 ; ] (d) f(x) = sur l intervalle [ ; 7] 1 Continuité, équation f(x) = k, variations et dérivée Objectifs : utiliser la calculatrice (table et graphe) ; revoir une fonction polynôme du nd degré ; revoir le calcul de dérivées ; revoir le signe de la dérivée et les variations d une fonction ; résoudre une équation f(x) = k graphiquement, avec la calculatrice, et par le calcul. Soit la fonction f définie sur l intervalle [ ; 6] par : f(x) = x 6x Étude de la fonction (a) La fonction f est dérivable sur [ ; 6], de dérivée f. Calculer f (x) (b) Indiquer le signe de f (x) selon les valeurs de x en complétant la e ligne du tableau ci-dessous. (c) D après le signe de la dérivée, indiquer les variations de la fonction f en complétant la 3 e ligne du tableau ci-dessous. Indiquer aussi les valeurs de f(), f(3), f(6). (d) Dans le repère ci-dessous, tracer la représentation graphique de la fonction f.. Résolution de l équation f(x) = (a) Justifier que l équation f(x) = a une unique solution x 1 sur l intervalle [ ; 3]. On admet sans justifier que l équation f(x) = a aussi une solution x sur [3 ; 6]. (b) D après la représentation graphique, donner des valeurs approchées de x 1 et x. Tracer des traits sur le graphique. (c) En utilisant la calculatrice, déterminer un encadrement de x 1 et un encadrement de x à 1 près. (d) Calculer les valeurs exactes de x 1 et x en résolvant l équation f(x) =. Il faut d abord transformer cette équation sous la forme ax + bx + c =.

8 Chapitre Fonctions, continuité et dérivées I EXERCICES page I x 6 Signe de f (x) Variations de f(x) 5 13 Objectif : calculer des dérivées Calculer les dérivées des fonctions définies par les égalités suivantes. (1) f(x) = x () f(x) = x (3) f(x) = x + x () f(x) = 5x (5) f(x) = x + 6 (6) f(x) = x 5 (7) f(x) = 8x 3 (8) f(x) = 1 x + x (9) f(x) = 3x 6x + 8 (1) f(x) = x 3 + 5x 9x Objectif : calculer des dérivées de sommes, de produit et de quotient Calculer les dérivées des fonctions définies par les égalités suivantes. (1) f(x) = 1 3x Objectif : calculer des dérivées () f(x) = (5x ) x (3) f(x) = x 3 x + 5 Calculer les dérivées des fonctions définies par les égalités suivantes. () f(x) = x 3x 1 x 1 (1) f(x) = x 7 x () f(x) = 3 x () f(x) = 8x 1 (5) f(x) = 1 x 6 3x 16 Objectif : revoir les résolutions d équations du nd degré. Résoudre les équations suivantes : (3) f(x) = x 3 + 6x x + (6) f(x) = x + 5x 3 x + (1) 3x + x + 36 = () x + x + 1 = (3) 5x 3x + =

9 Chapitre Fonctions, continuité et dérivées I EXERCICES page I-8 17 Objectif : revoir différentes techniques pour étudier le signe d une fonction Faire les tableaux de signes des fonctions définies par les égalités suivantes. (1) f(x) = 5x () f(x) = 3x 8 (3) f(x) = (x 6)(x + 3) x + 11 () f(x) = (5) f(x) = 3x 6 (6) f(x) = x + x 1 x + 1 (x 5) (7) f(x) = 3x x + 1 (8) f(x) = x + 1x + 36 (9) f(x) = x + x 5 (x + ) 18 La fonction f, définie par f(x) = x + 6x 3, est définie et dérivable sur l intervalle [ 1 ; 8], et sa dérivée est f Calculer f( 1) et f(8).. Calculer f (x). 3. Étudier le signe de f (x) et dresser le tableau de variation de la fonction f, en indiquant les valeurs de f( 1) et f(8).. La fonction f atteint un maximum sur l intervalle [ 1 ; 8]. Indiquer pour quelle valeur de x et calculer ce maximum. 5. Dans le tableau de variation, indiquer la valeur de ce maximum. La fonction f, définie par f(x) = x 3 + 6x, est définie et dérivable sur l intervalle [ 7 ; 3], et sa dérivée est f. 1. Calculer f (x).. Étudier le signe de f (x) et dresser le tableau de variation de la fonction f, en indiquant les valeurs de f( 7) et f(3), et les valeurs des extremums (minimum et maximum). Comme dans les exercices prédents, pour chaque fonction ci-dessous, calculer et étudier le signe de f (x), puis dresser le tableau de variation de la fonction f, en y indiquant les valeurs utiles Fonction f, définie par f(x) = x 3 +9x +6x 7, définie et dérivable sur l intervalle [ 5 ; 9].. Fonction f, définie par f(x) = x 3 + 9x + 7x, définie et dérivable sur l intervalle [ 6 ; 1]. 3. Fonction f définie par f(x) = x 5x + 7 x. Fonction f définie par f(x) = x + 7x + 9 x + Les deux repères ci-dessous ont pour unité 1 carreau., définie et dérivable sur l intervalle [, 1 ; 1]., définie et dérivable sur l intervalle [ 1, 1 ; 8, 1]. À gauche est représentée une fonction f définie et dérivable sur l intervalle [ 6 ; ] et à droite une fonction g définie et dérivable sur l intervalle [ 6 ; 11]. Dresser les tableaux de variation des fonctions f et g sur leurs intervalles de définition (le signe de la dérivée sur la e ligne du tableau et les variations sur la 3 e ligne du tableau).

10 Chapitre Fonctions, continuité et dérivées I EXERCICES page I-9 C f C g Une fonction g, définie sur l intervalle [ 5 ; 5], est représentée graphiquement ci-dessous à droite. 1. D après la représentation graphique, indiquer le signe de g(x) dans un tableau.. Cette fonction g est la dérivée d une fonction f définie et dérivable sur l intervalle [ 5 ; 5]. Dresser le tableau de variation de la fonction f. On pourra compléter le tableau précédent. 3 La courbe C f ci-contre est la représentation graphique de la fonction : f : x x 8x + 18 définie et dérivable sur l intervalle [1 ; 7]. Le but des questions suivantes est de tracer trois tangentes à cette courbe et de déterminer leurs équations. 1. Calculer f(), f(), f(5).. Placer sur la courbe C f le point A d abscisse, le point B d abscisse, le point D d abscisse Calculer f (x). Calculer f (), f (), f (5). 5. Que représentent ces trois nombres pour les tangentes à la courbe en A, en B, en D? 6. Tracer les tangentes à la courbe en A, en B, en D

11 Chapitre Fonctions, continuité et dérivées I EXERCICES page I-1 Dans la figure ci-dessous se trouve la représentation graphique C f d une fonction f définie et dérivable sur [ ; 7]. L unité du repère est un carreau. Les points A, B, C sont des points de la courbe C f et les droites (DE), (FG), (HK) sont les tangentes à la courbe C f respectivement en A, en B, en C. 1. Par lecture graphique, déterminer f (1).. Par lecture graphique, déterminer f ( 3). On rappelle que f ( 3) est le coefficient directeur de la tangente (DE) et que ce coefficient directeur est égal à y E y D x E x D 3. Déterminer de même f (5) D A C f K E C F G B H

12 Chapitre Fonctions, continuité et dérivées I EXERCICES page I-11 5 La fonction f, définie par f(x) = x 3 3x 9x + 15, est définie et dérivable sur l intervalle [ 3 ; 5], et sa dérivée est f. Sa représentation graphique sera appelée C f. 1. Calculer f (x). Étudier le signe de f (x) et dresser le tableau de variation de la fonction f. 3. Calculer f( 1), f(1), f(3), f ( 1), f(1), f (3).. Soient A, B, C trois points de la courbe C f, d abscisses respectives 1, 1, 3. Dans le repère ci-dessous, (a) placer les points A, B, C et tracer les trois tangentes ; (b) tracer la courbe C f sur l intervalle [ 3 ; 5]. 5. Démontrer que l équation f(x) = 8 admet une unique solution α sur l intervalle [ ; ], puis donner un encadrement à 1 3 près du nombre α

13 Chapitre Fonctions, continuité et dérivées II COURS page II-1 II Cours 1 Définition intuitive et exemple Définition intuitive On considère une fonction f définie sur un intervalle I. Lorsque la courbe d une fonction f se trace d un trait continu, c est à dire «sans lever le crayon», on dit que la fonction f est continue sur l intervalle I. Exemples : voir exercice sur fiche n o. Continuité des fonctions usuelles Propriété Les fonctions usuelles, sauf la fonction partie entière, sont continues sur leurs ensembles de définition. Plus précisément : les fonctions linéaires et affines sont continues sur IR, c est à dire sur ] ; + [ les fonctions carré, cube, et toutes les fonctions polynômes sont continues sur IR la fonction racine carrée est continue sur [ ; + [ la fonction inverse est continue sur IR c est à dire sur ] ; [ ] ; + [ les fonctions rationnelles, c est à dire les fonctions définies par f(x) = g(x) où g et h sont des h(x) fonctions polynômes, sont continues sur leur ensemble de définition 3 Théorème de la valeur intermédiaire Théorème Soit f une fonction continue et strictement croissante sur un intervalle [a ; b] et k un nombre compris entre f(a) et f(b), alors l équation f(x) = k admet une unique solution qui est dans l intervalle [a ; b]. Cette propriété est aussi vraie pour une fonction continue et strictement décroissante sur un intervalle [a ; b]. Exemple de résolution d une équation de la f(x) = k Énoncé : justifier que pour la fonction f représentée cidessous, l équation f(x) = 1 a une unique solution dans l intervalle [ ; ]. Justification La fonction f est continue et strictement croissante sur l intervalle [ ; ]. De plus f() = et f() =, donc 1 est compris entre f() et f(). On peut donc appliquer le théorème de la valeur intermédiaire sur l intervalle [ ; ]. Par conséquent l équation f(x) = 1 admet une unique solution qui est dans l intervalle [ ; ]. 3 1 α 1

14 Chapitre Fonctions, continuité et dérivées II COURS page II- 5 Continuité dans les tableaux de variations Convention Dans les tableaux de variation, une flèche oblique indique que sur cet intervalle la fonction est continue est strictement croissante ou continue et strictement décroissante. Exemple : le tableau de variation ci-dessous indique que la fonction f est continue et strictement croissante sur l intervalle [ ; 1] la fonction f est continue et strictement décroissante sur l intervalle [1 ; ] Ü ¼ ½ ܵ 6 Équation f(x) = k et tableau de variation Objectif du programme de terminale ES : exploiter le tableau de variation pour déterminer le nombre de solutions d une équation du type f(x) = k Voir les exercices sur fiche n o 9 et 11 et 7 Continuité et dérivabilité Propriété Si une fonction est dérivable sur un intervalle, alors cette fonction est continue sur cet intervalle.