Analyse Corrigé rapide de la feuille d exercices n 1

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1 L - UE MAT34 Analyse Corrigé rapide de la feuille d exercices n. Df IR IR Df {(x, y)/x + y } Df 3 IR \ {(, )} Df 4 IR + IR + IR IR. A9 B8 C4 D3 E6 F G3 H7 I J5 K5 L 3. courbe de niveaux f i (x, y) K f : si K <, droite x si K, droites x ± K si K > f : y ± x K si K, x ± y + K si K f 3 : y (x + /) /4 K parabole de sommet ( /, /4 K) f 4. (x ) + (y + ) K : si K <, point P (, ) si K, cercle de centre P de rayon K si K > 4. f (r, θ) r f (r, θ) r f 3 (r, θ) tan θ f 4 (r, θ) θ 5. D fi x y xx xy yy f IR 6x 3 y 6xy 3 + y 8x 4 y 9x y + x 48x y 6y 3 8x 4 8x y 3x 3 y 8xy + f x + y y/d x/d 4y/D 3 (x y)/d 3 4x/D 3 f 3 IR x + y xy y 3 y x 6y f 4 IR xy cos(x y) x cos(x y) y cos(x y) 4x y sin(x y) x cos(x y) x 3 y sin(x y) x 4 sin(x y) f 5 IR (cos x + y sin x)e xy (x sin x)e xy ( sin x + y cos x + y sin x)e xy (sin x + x cos x + xy sin x)e xy (x sin x)e xy f 6 IR \ (, ) x/d y/d (y x )/D xy/d (x y )/D f 7 IR \ (, ) 4xy /D 4x y/d 4y ( 3x + y )/D 3 8xy(x y )/D 3 4x ( x + 3y )/D 3 f 8 IR \ (, ) y(y x )/D x(x y )/D xy(x 3y )/D 3 ( x 4 + 6x y y 4 )/D 3 xy( 3x + y )/D 3 f 9 IR ( x + y)/d (x y)/d (3x 3xy )/D 3 ( 3x + 9xy 3y + )/D 3 (3y 3xy )/D 3 6. d (3x + )ex+y g d (x + 3y) (x + y) 7. continuité : facile

2 f x (x, y) x sin x + y x(x + y ) / cos x + y. f est donc C sur IR \ {(, )}. f(h, ) f(, ) f x (, ) lim lim h sin / h. Donc f x est définie sur IR, continue h h h sur IR \ {(, )}. Pour regarder la continuité en (, ), on regarde par exemple f x (x, ), qui n a pas de limite quand x. Donc f x est discontinue en (, ). Idem pour f y par symétrie entre x et y. 8. En (x, y), f est C et (x, y) x y(x +3y ), et (x, y) x3 (x y ). En (, ) les x (x +y ) y (x +y ) dérivées partielles existent et sont nulles: lim h h h 3 h + lim h h h + h Pour montrer que la fonction est C, il faut montrer que les dérivées partielles sont continues en (, ), ce qui suit de x x + 3y y x + y x + y 3 y x x y x x + y x + y x Comme les dérivées partielles sont nulles à l origine, on a df (,) (h, h ). (, ) donc df y (,)(h, h ) h. 9. f x (x, y, z) yz yz donne f(x, y, z) (x + y) x + y + g(y, z). f y(x, y, z) (, ), x xz (x + y) donne g(y, z) g(z). Enfin f z donne g(z) z + K. Finalement :f(x, y, z) yz x + y + z + K.

3 L - UE MAT34 Analyse Corrigé rapide de la feuille d exercices n. f cst. (f x ) x (f x ) y f x A, f y B, pour des constantes A et B. f Ax + g(y) f y g (y) B donc g(y) By + C. Finalement f est affine, f(x, y) Ax + By + C. 3. ( f ), donc f g(y). ( ) g(y) donc xg(y) + h(y). x x y x y x y y Finalement, on a f xg (y) + h (y) (pour g, h dérivables trois fois). 4. g(u, v) f(x, y) x g u + g et v y g u + g v. D où: g u et g(u, v) φ(v). 5. g(u, v) f(x, y) x g u + 3 g et v y g g. D où: v u 3u /4 uv/4 et g(u, v) u 3 /4 u v/8 + φ(v). 6. g(u, v) f(x, y) x y g g y/x et u v y x g u + /x g v. g D où: u u g +. équa diff du premier ordre: g(u, v) + uφ(v) Résolution d une 7. g(r, θ) f(x, y). L EDP devient : g r a. D où g(r, θ) ar + b(θ) 8. x (u + v)/, y (v u)/. D où : x u u x + v Idem pour f x, etc... D où : f x + f y f x y f u ug(v) + H(v), G et H étant C. v x ( u + ). v. D où en intégrant f(u, v) 9. du y x dx + dy et dv y dx+x dy. D où : x x y g x u + y g. Etc. On arrive à : v x f x f y y g g 4y y/x u v u. C est à dire 4uvg uv ug u. D où par intégration g(u, v) vφ(u) + C(v).. (a) x y [(x ) + ] [(y ) + ] [(x ) + (x ) + ][(y ) + (y ) + ] + (x ) + (y ) + (x ) + 4(x )(y ) + (y ) + o( h ) (b) sin(xy) xy + o( xy ) xy + o( (x, y) ) (c) x 3 y xy 4 +y 5 4 (x )+(y )+(x ) 5(x )(y )+33(y ) +...

4 . r x + y, x f f x y y x xy/r3. En (3, 4), on a: f 5, /5. x/r, y x y/r, f x 3/5, y (r x x )/r y /r 3, 4/5, f x 6/5, f y f y x /r 3, 9/5 et f x y f(3 + h, 4 + h ) h h + 6h 4h h + 9h + o( h ) 5 Ceci donne l approximation (3.) + (4.) 5 + 6(.) + 8(.) 5.76, où l erreur est donnée pour un certain θ ], [ par (y + θh ) h (x + θh )(y + θh )h h + (x + θh ) h {(x + θh ) + (y + θh ) } 3/ (yh xh ) {(x + θh ) + (y + θh ) } (yh xh ) 3/ r 3 h r.4

5 L - UE MAT34 Analyse Corrigé rapide de la feuille d exercices n 3... f(x, y) 4 x y. f ( 4x, y), nul en (, ). 4 x y 4, donc f(, ) 4 est un maximum global.. f(x, y) x +y. f (x, y), nul en (, ). x +y, donc f(, ) est un minimum global. 3. f(x, y) x x+y (x ) +y. f (x, y), nul en (, ). minimum global. 4. f(x, y) x + xy y 4. f ( x + y, x 4y), nul en (, ). r f (, ) x, s f (, ), t f (, ) 4, s rt 4 <, et r < donc x y y f(, ) 4 donne un maximum local (et global car f(x, y) 4 (x y) y ). 5. f(x, y) x y x 3. f ( 3x, y), nul en (± 3, ). f x 6x, f, f x y y. Max local en (/ 3, ), point de selle en ( / 3, ). Comme lim x f(x, y) +, pas de maximum global. 6. f(x, y) 3x + y x 3 y 3. f (3 3x, 3y ), nul en (±, ±). Max. loc. en (, ), min loc. en (, ), selle en (, ) et (, ) (pas d extrema globaux). 7. f(x, y) (x y) + x 3 + y 3 f x (x y) + 3x, f y (y x) + 3y. Un point critique doit alors vérifier x y, ce qui donne (, ) comme seule solution. On a d autre part f(x, x) x 3 qui n a pas d extremum en. Donc f n a pas d extremum. 8. f(x, y) (x y) + x + y f x (x y) + x, f y (y x) + y, d où (, ) comme seul point critique. f est positive, donc (, ) est un minimum global. 9. f(x, y) (x y) + x 4 + y 4 f x 4(x y) + 4x 3, f y 4(y x) + 4y 3. Pour un point critique, on a x 3 y 3, donc x y, ce qui donne les solutions (, ), (, ), et (, ). (, ) : on calcule r t et s 4, donc f a un minimum local. (, ) : idem. (, ) : f(x, x) x 4 > au voisinage de, et f(x, x) x (x 8) < au voisinage de. Donc f n a pas d extremum en (, ).. x donc est un minimum global, non strict.. (, ) est un point de selle pour xy.

6 3. x 4y (x y)(x + y) uv (changement de variables u x y, v x + y), donc pt de selle. 4. f(x, y) x + xy + y, f (x + y, x + y), r, s, t, s rt 3 <, r >, minimum local, qui est aussi global. 5. f(x, y) x xy + y, r, s, t, minimum global. 3. f(,, ) (4,, ), et comme D u f(a) f(a) u, u (4,, )/ donne la dérivée maximale, u (4,, )/ la dérivée directionnelle minimale. 4. f (ax+by, bx+cy), r a, s b, t c. s rt b 4ac, négatif si et seulement si on a un extremum. 5. f(θ) cos(θ) 4 + sin(θ) 4, on a f( θ) f(θ) f(π θ) f( π chercher le max et le min sur [, π ], et sur cet intervalle, la dérivée 4 θ), donc il suffit de f (θ) sin(θ)( sin (θ) ) ne s annule qu aux extrémités θ, π. max f f(), min f f(π/4) /. 4 Sur x 4 + y 4, i.e. r 4 (cos 4 (θ) + sin 4 (θ)), on a x + y r cos 4 (θ) + sin 4 (θ) qui est maximale quand f(θ) est minimale. Valeur maximale: / / ; val. min:. 6.. Il s agit de minimiser l erreur E(a, b, c) i(ax i + by i + c z i ). Le point critique de E est solution du système : ( x i )a + ( x i y i )b + ( x i )c ( x i z i ) ( x i y i )a + ( y i )b + ( y i )c ( y i z i ) ( x i )a + ( y i )b + nc ( z i ).. Sur l exemple, on trouve a 333/395, b 74/395 et c 48/ Pour le modèle linéaire on doit résoudre le système : ( x i )a + nb ( y i ) ( x i )a + ( x i )b ( x i y i ). On trouve a 73/49 et b 4, 5/4. L erreur commise est: E (ax i + b y i ) ( x i )a + nb + ( yi ) + ab( x i ) a( x i y i ) b( y i ), i

7 soit ici E 93/96.. c et d sont solutions du système : ( x i xi )c + ( x i )d ( y i xi ) ( x i )c + ( x i xi )d ( x i y i ). On trouve c 69/76 et d 5/76. L erreur est ici : E i (cx i + d x i y i ) ( x i )c + ( x i )d + ( y i ) + cd( x i xi ) c( x i y i ) d( y i xi ), soit E /9. Comme E < E, le modèle non linéaire est le meilleur.

8 L - UE MAT34 Analyse Corrigé rapide de la feuille d exercices n ] [ I 3 4y y ( [ ] ) ( 3 [ ] ) x I 3 3 x y.. ( π I 3 π sin x dx + ) π cos y dy π. π I 4 π π x( cos x) dx +. I 5 π sin x dx π. 4 I 6 ln 8 (y e)e y dy 8 ln 8 8e 8 + e. I 7 (sin(y + z) + cos(y + z)) dydz π [, π cos z dz. ] A(D ) π ( ) z r dr dz π. A(D ) π ( ) z r dr dz 4π. 3 A(D 3 ) ( ) x (x + y ) dy dx x ( x)x dx + [ ] 3 x 3 x4 3 [ ( x) 4 + x4 ] (( x)3 x 3 ) dx 4 3. I I I 3 ( ) ( ) π r4 dr. sin θ cos θ dθ. [ ] x xy dy dx x ( x) dx 4. [ x x dy ] dx (x x x )x dx. Pour I 4, (x, y) D {(x, y) IR x + y, x + y, x y} si et seulement si (X, Y ) (x + y, x y) D {(X, Y ) IR X + Y, X, Y }.

9 La formule de changement de variable donne I 4 XY e (x Y )/4 ( )dx dy D [ ] X Y e Y /4 dy Xe X /4 dx e + e / e /4. ( Xe +X + Xe X /4 ) dx I 5 r cos(θ) cos(r)rdr dθ [, π] [,π/4] ( ) ( π ) π/4 r cos(r)dr cos(θ) dθ π. 4.. I a [,a] [,π] ( a e r rdr dθ ) ( π ) e r rdr dθ π( e a ). la fonction intégrée est positive et D a C a D a. 3. ( a ) ( a ) ( a J a e (x +y) dx dy e x dx e y dy e x dx [,a] a a a converge vers π lim a + I a d où + e x dx π. ) 5. I x x+ x dx u(u ) du + 4Arctan() π +. u I R π ( ( cos θ sin θ) sin θ + (cos θ + sin θ) cos θ) dθ R π ( sin θ cos θ) dθ πr. I 3. (circulation d un champ de gradient sur une courbe fermée) 6. Se déduit du théorème de Green-Riemann avec Q(x, y) x et P (x, y) y.. A π ( ab cos θ + ab sin θ ) dθ abπ.

10 L - UE MAT34 Analyse Corrigé rapide de la feuille d exercices n 5. (grad f)(x, y) x i + y j r u r, f(x, y) 4. y (grad g)(x, y) (x + y ) i xy θ j sin u 3/ (x + y ) 3/ θ, r x θ g(x, y) cos (x + y ) 3/ r.. 3. div V (x, y, z) ( + 3x )e z sin y, rot V div W (r, θ, z) sin θ +, (V est un champ de gradient). rot W (r, θ, z) cos θ k div(fv ) (f.v ) + (f.v ) + (f.v 3) ( x y z x.v + y.v + ) z.v 3 div(gradf) ( ) + ( ) + ( x x y) y z f rot(gradf) y z f i + z y. ( V + f. ) ( z ( f z x f x z x + V y + V 3 z. ). ) ( ) f j + x y f k y x 4. f α (x, y, z) α(α + )(x + y + z ) α. On en déduit que le laplacien de f α est identiquement nul pour α et pour α. Attention : faire le calcul à part pour α et α.