Exercices corrigés sur les séries de fonctions

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1 Eercices corrigés sur les séries de foctios Eocés Eercice Motrer que la série ( ) est uiformémet covergete mais o ormalemet covergete sur [, ] Eercice 2 Étudier la covergece sur R + de la série de foctios { si = f (), où f () = si. Eercice 3 Étudier la covergece sur R de la série de foctios f, où f () = α 2 e 2, avec α >. Eercice 4 Étudier la covergece sur [, ] de la série de foctios f, où f () = α ( ), avec α >. Eercice 5 Soit u la série de foctios de terme gééral u () = ( ), [, ]. () Calculer la somme S() de la série u. (2) La série est-elle uiformémet covergete? Eercice 6 Soit u la série de foctios de terme gééral u () = 2( + 2), R. () Calculer la somme S() de la série u. (2) La série est-elle uiformémet covergete? Eercice 7 O cosidère la série de foctios f avec f () = si(2 ). Motrer que f coverge ormalemet sur R, puis motrer que sa somme est de classe C (R). Eercice 8 Étudier la ature et, évetuellemet, doer la somme de la série u, où u := ( ) cos d.

2 Eercice 9 O cosidère la série de foctios u (), où u () := ( ) 2 +. () Motrer que, si (a ) est ue suite réelle positive croissate, alors, pour tout N, ( ) ( ) k a k a. k= (2) Motrer que la série u coverge uiformémet sur R. Coverge-t-elle uiformémet absolumet? Eercice O cosidère la série de foctios f, où f () := () Etudier la covergece de cette série. ( + 2 ),. (2) Etudier la dérivabilité de sa somme S, otammet e zéro à droite. (3) Motrer que S() lorsque. 2

3 2 Solutios Solutio de l'eercice O a : sup [,] ( ) =. Or, / est le terme gééral d'ue série divergete (la série harmoique). La série de foctio cosidérée 'est doc pas ormalemet covergete. Soit Alors, f () :=, N, [, ]. (i) pour tout é das [, ], f () décroît lorsque croît ; (ii) la suite (f ) coverge uiformémet vers la foctio ulle sur [, ]. D'après le théorème du cours sur les séries alterées de foctios, la série ( ) f coverge uiformémet sur [, ]. Solutio de l'eercice 2 Il est facile de voir que la limite simple de la série est la foctio { si N F () = sio. De plus, Aisi, sup N { f () F () = si N et N + sio. = R + N f () F () = lorsque N. N + = La covergece est doc uiforme. Puisque f = f, ce qui précède motre aussi que la série coverge uiformémet absolumet. Reste à détermier si la covergece est ormale. O a : sup f () = R +. Puisque la série est divergete, la série f 'est pas ormalemet covergete. Solutio de l'eercice 3 La foctio f est paire, de dérivée f () = α e 2 2( 2 ). Il est alors facile de faire u tableau de variatio de f, duquel o déduit que ( ) sup f () = f = α R e = e +α, qui est le terme gééral d'ue série covergete (série de Riema). O a doc motré que la série est ormalemet covergete, ce qui implique toutes les autres formes de covergece. Solutio de l'eercice 4 O procède à l'étude de la foctio f, dot la dérivée est doée par f () = α ( ) ( α ( + α) ). 3

4 La foctio f est croissate sur [, α( + α) ] puis décroissate sur [ α( + α), ]. O e déduit que ( ) ( ) α α α ( sup f () = f = α ) αα [,] + α + α + α α, qui est le terme gééral d'ue série covergete (série de Riema). Il s'esuit que la série est ormalemet covergete, ce qui implique toutes les autres formes de covergece. Solutio de l'eercice 5 () Pour ], [, ( ) ( ) = ( ) = = ( ) = ( ) =. De plus, la somme de la série est ulle si = ou =, de maière évidete. E somme, { si [, [, S() = si =. (2) Chaque u est cotiue sur [, ], mais la somme S 'est pas cotiue (e = ). La covergece e peut doc pas être uiforme. Solutio de l'eercice 6 () Pour, = 2 ( + 2 ) = 2 ( = ( ) ) + 2 = De plus, la somme de la série est ulle si =, de maière évidete. Doc, { si, S() = si =. =. (2) Chaque u est cotiue sur [, ], mais la somme S 'est pas cotiue (e = ). La covergece e peut doc pas être uiforme. Solutio de l'eercice 7 Il est facile de voir que sup f () = R, qui est le terme gééral d'ue série covergete. O e déduit que f est ormalemet covergete. E calculat les dérivées successives de f, o voit que ( ) sup f (m) 2 m () =. R Or, (( 2 m ) ) / = 2m lorsque, 4

5 et la règle de Cauchy motre alors que f (m) sup R est covergete, autremet dit, que f (m) est ormalemet covergete. Ceci état vrai quelque soit m R, o voit que F admet des dérivées cotiues d'ordre quelcoque, c'est-à-dire, que F est de classe C (R). Solutio de l'eercice 8 Pour tout ], π/2], f () := cos lorsque. La limite simple de la suite de foctios (f ) est doc la foctio f déie par { si =, f() = si ], π/2]. Cette limite 'est pas uiforme car, pour tout, sup [,π/2] f f =. Toutefois, il facile de voir que cos d ted vers zéro lorsque. E eet, os ε ], π/2[. Il eiste N N tel que Aisi, pour tout N, cos d = ε/2 N = cos ε 2 ε π. cos d + ε/2 cos d ε 2 + ε ( π π 2 2) ε ε. Puisque ε peut être choisi arbitrairemet petit, o a bie la covergece vers zéro de cos d. La série u est doc covergete, d'après le théorème sur les séries alterées. O remarque que la série de foctios ( ) cos e coverge pas uiformémet sur [, π/2], i même sur ], π/2]. O e peut doc pas s'appuyer sur le théorème permettat d'iterchager itégratio et sommatio. Toutefois, pour tout α ], π/2[, la série ( ) cos est ormalemet (doc uiformémet) covergete sur [α, π/2], car Ecrivos alors u = v + w, avec sup ( ) cos = cos α lorsque. [α,π/2] α v := ( ) cos d et w := ( ) cos d D'ue part, le théorème sur les séries alterées motre que v est covergete, et que v v = = α d = α. D'autre part, puisque ( ) cos coverge uiformémet sur [α, π/2], ( π/2 ) w = ( ) cos d = α α + cos d = du = tg α tg(α/2) 2, = = où l'o a eectué le chagemet de variable O obtiet doc l'ecadremet u = tg 2, u2 cos = + u 2, d = 2 + u 2 du. tg α 2 u tg α 2 + α, = 5 α

6 et e faisat tedre α vers zéro, o voit que = u =. Solutio de l'eercice 9 () Posos A := k= ( )k a k. Nous allos motrer par récurrece la propriété (P ) A = ( ) A et A a. La propriété (P ) est trivialemet satisfaite, puisque A = a. Supposos alors (P ) vraie. O a : A + = A + ( ) + a +, et doc ( ) + A + = a + ( ) A = a + A [d'après(p )] a A [car (a ) est croissate], [d'après(p )] de sorte que A + = ( ) + A +, et la deuième égalité motre aussi que A + a +. Doc (P + ) est ecore vraie. (2) Etudios, pour é, la foctio g : y La dérivée est doée, pour y R +, par g (y) = y y 2 + (y ). y2 (y 2 + ) 2, ce qui motre que la foctio g est croissate etre et, puis décroissate etre et l'ii. O voit doc que u () = ( ) g (), où la suite umérique (g ()) est décroissate à partir du rag = E( ) +. Ici, E(r) désige commme d'habitude la partie etière du réel r. Le théorème sur les séries alterées motre alors que u () coverge simplemet. Pour établir la covergece uiforme sur R, ous allos motrer que le reste R N () := ( ) 2 + =N ted uiformémet vers la foctio ulle sur R lorsque N, et pour cela, ous allos établir que sup R N () R N. Pour tout tel que N, la suite ( u () ) N est décroissate d'après ce que ous avos établi sur la foctio g. Le théorème sur les séries alterées motre alors que R () u N () sup un ( ) = R N. Pour tout tel que > N, ous avos, e posat M := E( ), R N () = α + β avec α := M ( ) u () et β := =N =M+ ( ) u (). 6

7 Nous voyos que das la première somme, c'est le terme d'idice M qui domie, car ( u () ) est croissate etre = N et = M, alors que das la deuième somme, c'est le terme d'idice M + qui domie, car ( u () ) est décroissate à partir du rag = M +. Plus précisémet : α = M N k= M N ( ) N+k u N+k () = ( ) N k= ( ) k u N+k (), et comme la suite ( u N+k () ) k est croissate et positive jusqu'au rag k = M N, le poit () motre que Il s'esuit que M N α = ( ) M N M N ( ) M N k= k= D'autre part, β = R M+ (), de sorte que ( ) k u N+k () u M (). ( ) k u N+k () sup u M () = sup R R M M 2 + = M N. β = R M+ () u M+ () sup u M+ () = R M + N, où la première iégalité proviet du théorème sur les séries alterées, puisque la suite ( u () ) est décroissate à partir du rag = M +. E remarquat que α est du sige de ( ) M et β est du sige de ( ) M+, o a : R N () = α + β = α β N. E résumé, o a bie motré que sup R N () R N, ce qui etraîe la covergece uiforme de la série u sur R. E, la série u e coverge pas uiformémet absolumet : e fait, la série umérique u () e coverge pour aucue valeur de! Solutio de l'eercice () O a : f () = ( + 2 ) 3 2 ( + 2 ) 2 = ( + 2 ) 2. La foctio f est doc croissate sur R +, et so sup est sa limite lorsque : sup f () = lim R + ( + 2 ) = 3. O voit doc que f est ormalemet covergete sur R +. Chaque foctio f état cotiue, la somme S est déie et cotiue sur R +. 7

8 (2) Soit a > quelcoque. Pour tout a, f () = ( + 2 ) 2 ( + 2 a) 2 a 2 5. O voit doc que f est ormalemet covergete sur tout itervalle de la forme [a, [ avec a >. Le théorème sur les séries de foctios cotiûmet dérivables motre que la somme S est cotiûmet dérivable sur R + et que, pour tout R +, Etudios la dérivabilité à droite e zéro : S () = f (). = S() S() = S() = = ( + 2 ) t( + t 2 ) dt = 2 u( + u) du, où l'o a eectué le chagemet de variable u = t 2. Or, ( u( + u) du = u ) [ du = l + u ] u = l + u + lorsque +. Aisi, (S() S())/ ted vers l'ii lorsque +, et la somme S 'est doc pas dérivable e zéro à droite. (3) lim S() = ζ(3), c'est-à-dire lim = (+ 2 ) = = ). 3 E eet, = ( + 2 ) ζ(3) = = = = = = Cette derière série est positive, covergete et de somme majorée par ζ(5). Ceci prouve que la limite, lorsque teds vers + est bie comme aocé.. = 8