Optimisation de trajectoire pour une mission Ariane 5

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Martine St-Laurent
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1 Optimisation de trajectoire pour une mission Ariane 5 Ludovic Goudenège (sur la base d un projet de Pierre Martinon) ENSTA - Module IN103 Septembre 2012

2 Plan 1 Quelques données et chiffres 2 Dynamique du vol 3 Structure du projet

3 Quelques données et chiffres Quelques chiffres 150 millions d euros 10 tonnes de charge utile (2 satellites de 5 tonnes) 750 tonnes sur le pas de tir, dont 650 de carburant 25 minutes entre le décollage et la libération des satellites Nécessité d optimiser la trajectoire. Il faut calculer le guidage de la fusée afin d atteindre l orbite voulue pour la mise en orbite des satellites. C est un problème de commande optimale.

et la libération des satellites Nécessité d optimiser la trajectoire.

Quelques données et chiffres Orbite géostationnaire (GEO) C est une orbite circulaire située à 36 000 km (la plus peuplée avec environ 250 satellites).

4 Quelques données et chiffres Orbite géostationnaire (GEO) C est une orbite circulaire située à km (la plus peuplée avec environ 250 satellites). Le satellite est immobile par rapport au sol terrestre. Un lancement direct est difficile du fait de l altitude élevée. On va réaliser un premier lancer sur une orbite de transfert (GTO) puis opérer une manoeuvre de circularisation.

Le satellite est immobile par rapport au sol terrestre.

5 Quelques données et chiffres Modélisation du problème Controle du système : guidage du lanceur durant le vol. C est la direction de la poussée exercée par les moteurs (c est un angle). On note la direction de la poussée u(t) où t est le temps de vol. Discrétisation : On approche u par un vecteur U constitué de n + 1 composantes U = [U 0,..., U n ] qui correspondent aux valeurs prises par u aux temps (t 0 = 0,..., t n = t final ). Approximation constante par morceaux : On reconstruit la fonction u en l approchant par une fonction constante par morceaux v telle que v(t) = U i si t [t i 1, t i [.

Discrétisation : On approche u par un vecteur U constitué de n + 1 composantes U = [U 0,.

6 Quelques données et chiffres Modélisation du problème Reconstruction de la trajectoire A l aide du guidage continu v, on résoud l équation différentielle du vol du lanceur. Cela permet de calculer la trajectoire du lanceur de t 0 à t final. La trajectoire sera donnée par un vecteur R constitué de N + 1 composantes R = [R 0,..., R N ]. Chaque composante R j est un vecteur de R 2 noté [R j,x, R j,y ] qui indique les coordonnées du lanceur à l instant t j. Ces instants peuvent être différents de ceux qui définissent U.

La trajectoire sera donnée par un vecteur R constitué de N + 1 composantes R = [R 0,..., R N ].

7 Quelques données et chiffres Trajectoires admissibles On cherche donc un guidage discret U qui mène le lanceur sur l orbite GTO. Chaque guidage conduit à une trajectoire. Afin de discriminer les trajectoires (et donc les guidages) admissibles, on introduit une mesure de qualité de la trajectoire obtenue. Lorsque le lanceur a épuisé tout son carburant, les deux satellites sont libérés. Soumis à la force gravitationnelle, ils suivent alors une trajectoire elliptique caractérisée par un demi-grand-axe a(u) et une ellipticité e(u). Les paramètres optimaux sont notés a GTO et e GTO, et la mesure de qualité du guidage U est calculée par F := U a(u) a GTO ; e(u) e GTO 2 2. On cherche donc à résoudre F (U optimal ) = 0 ou plutôt trouver min F (U). On doit donc résoudre un problème d optimisation sans contrainte.

Lorsque le lanceur a épuisé tout son carburant, les deux satellites sont libérés.

Dynamique du vol Équations de la dynamique du vol Variables d état r : position (dimension 2 pour une trajectoire plane) v : vitesse (même dimension que r) m :

8 Dynamique du vol Équations de la dynamique du vol Variables d état r : position (dimension 2 pour une trajectoire plane) v : vitesse (même dimension que r) m : masse (lanceur + carburant + satellites) Dynamique du vol ṙ = v v = (W + T + D)/m ṁ = β W : poids, T : poussée, D : trainée, L : portance, β : débit de carburant.

masse (lanceur + carburant + satellites) Dynamique du vol ṙ = v v = (W + T +

9 Dynamique du vol Séquence du vol Un vol est donc constitué de 3 phases. Un vol avec les boosters et le premier étage en fonctionnement. Une deuxième phase avec seulement le premier étage. Et une troisième phase avec l étage 2, jusqu à la libération.

10 Dynamique du vol Paramètres du lanceur Poids, poussée, trainée, portance : Pour simplifier, on suppose qu il n existe pas de trainée ni de portance. Pour une trajectoire plane, ce sont des vecteurs de R 2 définis par : W = µmr r 3, T = g 0 βisp 2 ( cos(u) sin(u) ), L = D = 0. où µ est le paramètre gravitationnel standard ( km 3.s 2 ), g 0 l accélération de la pesanteur au sol (9.81 m.s 2 ) et Isp est l impulsion spécifique du moteur. On donne les paramètres suivants : Masse Poids ergols Isp Débit β Activation Boosters 75t 500t 300 4t/s Phase 1 Étage 1 15t 150t t/s Phase 1 & 2 Étage 2 5t 15t t/s Phase 3

où µ est le paramètre gravitationnel standard (398 600 km 3.s 2 ), g 0 l accélération de la pesanteur au sol (9.81 m.

11 Dynamique du vol Structure du lanceur

12 Dynamique du vol Calcul de la trajectoire : Schéma d Euler Étant donné un guidage U ou sa représentation continue par morceaux v, on cherche à résoudre l équation de la dynamique du vol. Or il existe une méthode numérique pour résoudre n importe quelle équation différentielle de degré 1. Il faut donc en premier lieu se ramener à une équation différentielle de degré 1 de la forme : { ż(t) = f (t, z(t)), z(t 0 ) = z 0. où z 0 est la donnée initiale (c est généralement un vecteur de R d ). Lorsque f ne dépend pas de la première variable t, on parle d équation autonome en temps. Pour résoudre cette équation, on applique un schéma d Euler.

Il faut donc en premier lieu se ramener à une équation différentielle de degré 1 de la forme : { ż(t) = f (t, z(t)), z(t 0 ) = z 0.

13 Dynamique du vol Calcul de la trajectoire : Schéma d Euler N : nombre de pas de discrétisation en temps h = t final t 0 : taille du pas de discrétisation en temps. N Z est un tableau de taille N + 1. Initialisation : t = t 0 et Z[0] = z 0 Pour j = 1... N Z[j] = Z[j 1] + hf (t, Z[j 1]) t = t + h Fin

discrétisation en temps. N Z est un tableau de taille N + 1.

14 Dynamique du vol Conditions initiale et finales Conditions initiales : Pas de tir de Kourou. La trajectoire est supposée plane, on choisit les axes de telle sorte que ( ) ( ) RTerre 0 r(t 0 ) =, v(t 0 0 ) = 2πR Terre /T Terre Conditions finales : orbite GTO a GTO = km, e GTO = Pour une libération à la distance r et à la vitesse v, le demi-grand-axe et l ellipticité de la trajectoire des satellites sont donnés par les formules suivantes : 1 a = 2 v 2 2 r 2 µ, e2 = 1 + 2pk µ, avec p = (r xv y r y v x ) 2 µ et k = v µ r 2.

Conditions finales : orbite GTO a GTO = 24535.135km, e GTO = 0.

15 Structure du projet Structure du projet Calcul des durées des 3 phases. Définition des paramètres (masse, débit, Isp) en fonction de t. Définition des forces (poids et poussées) en fonction de t, r et u. Ecriture du schéma d Euler pour une équation différentielle de degré 1 quelconque. Définition de l équation différentielle de degré 1 de la trajectoire du lanceur. Calcul de la mesure de qualité d une trajectoire en fonction de la zone de libération. Visualisation graphique de la trajectoire. Optimisation du guidage pour obtenir une trajectoire de meilleure qualité.

Ecriture du schéma d Euler pour une équation différentielle de degré 1 quelconque.

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