Limites de suites et de fonctions

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1 TS - Chap2 1 Limites de suites et de fonctions 1 Limite d une suite u est une suite notée aussi (u n ) ; u n est son terme général ou terme d indice n. 1.1 Limite finie Soit l un nombre réel. Dire que la suite u a pour ite l, ou encore que u converge vers l, signifie que tout intervalle ouvert ]α; β[ contenant l contient tous les termes de la suite à partir d un certain rang. Autrement dit : il existe un entier naturel N tel que, pour tout n supérieur ou égal à N, u n appartienne à ]α; β[. On note : u n = l. n + La suite u est dite convergente. Une suite non convergente est divergente. 1.2 Limite infinie Dire que la suite u a pour ite + (ou tend vers + ) signifie que tout intervalle ]A; + [ (A réel) contient tous les termes de la suite à partir d un certain rang. Autrement dit : il existe un entier naturel N tel que, pour tout n supérieur ou égal à N, u n > A. Dire que la suite u a pour ite (ou tend vers ) signifie que tout intervalle ] ; B[ (B réel) contient tous les termes de la suite à partir d un certain rang. Autrement dit : il existe un entier naturel N tel que, pour tout n supérieur ou égal à N, u n < B. On note : u n = + et u n =. n + n + Remarque : u n = équivaut à ( u n) = +. n + n Cas des suites monotones Rappels La suite u est croissante si et seulement si, pour tout entier naturel n, u n+1 u n, c est-à-dire u n+1 u n 0. La suite u est décroissante si et seulement si, pour tout entier naturel n, u n+1 u n, c est-à-dire u n+1 u n 0. La suite u est majorée si et seulement si il existe un réel M tel que, pour tout entier naturel n, u n M ; M est un majorant de la suite. La suite u est minorée si et seulement si il existe un réel m tel que, pour tout entier naturel n, u n m ; m est un minorant de la suite La suite u est bornée si et seulement si elle est à la fois minorée et majorée.

2 TS - Chap Propriétés Une suite croissante non majorée tend vers +. Une suite décroissante non minorée tend vers. Démonstration : 1.4 Cas des suites géométriques Soit u une suite géométrique de raison q. - si q 1, la suite u - si 1 < q < 1, la suite u - si q = 1, la suite u - si q > 1, la suite u 2 Limite finie ou infinie d une fonction en + ou 2.1 Limite finie Soit l un nombre réel. Dire que la fonction f a pour ite l en +, ou que f(x) tend vers l quand x tend vers + signifie que tout intervalle ouvert ]α; β[ contenant l contient toutes les valeurs de f(x) pour x suffisamment grand, c est-à-dire pour x supérieur à un réel M. De même, dire que la fonction f a pour ite l en, ou que f(x) tend vers l quand x tend vers signifie que tout intervalle ouvert ]α; β[ contenant l contient toutes les valeurs de f(x) pour x inférieur à un réel m. On note : f(x) = l ou f(x) = l. x La droite d équation y = l est asymptote horizontale à la courbe représentative de f en + ou en.

3 TS - Chap Limite infinie Dire que la fonction f a pour ite + en + (ou que f(x) tend vers + quand x tend vers + ) signifie que tout intervalle ]A; + [ (A réel) contient toutes les valeurs de f(x) pour x supérieur à un réel M. Dire que la fonction f a pour ite en + (ou que f(x) tend vers quand x tend vers + ) signifie que tout intervalle ] ; B[ (B réel) contient toutes les valeurs de f(x) pour x supérieur à un réel M. De même : Dire que la fonction f a pour ite + en (ou que f(x) tend vers + quand x tend vers ) signifie que tout intervalle ]A; + [ (A réel) contient toutes les valeurs de f(x) pour x inférieur à un réel m. Dire que la fonction f a comme pour ite en (ou que f(x) tend vers quand x tend vers ) signifie que tout intervalle ] ; B[ (B réel) contient toutes les valeurs de f(x) pour x inférieur à un réel m. On note : x f(x) =. f(x) = + et f(x) = et f(x) = + et x 2.3 Asymptote oblique a et b sont deux réels ; C est la courbe représentative de la fonction f. La droite d équation y = ax + b est asymptote à C en + (respectivement ) si et seulement si : [f(x) (ax + b)] = 0 (respectivement [f(x) (ax + b)] = 0). Cela équivaut à : x f(x) = ax + b + ϕ(x) avec Exemple : ϕ(x) = 0 (respectivement x ϕ(x) = 0).

4 TS - Chap2 4 3 Limite infinie d une fonction en un réel Dire que la fonction f a pour ite + en a (ou que f(x) tend vers + quand x tend vers a) signifie que tout intervalle ]A; + [ (A réel) contient toutes les valeurs de f(x) pour x suffisamment proche de a. Dire que la fonction f a pour ite en a (ou que f(x) tend vers quand x tend vers a) signifie que tout intervalle ] ; B[ (B réel) contient toutes les valeurs de f(x) pour x suffisamment proche de a. On note : f(x) = + ou f(x) =. x a x a Si le résultat n est vrai que pour les valeurs de x suffisamment proches de a mais inférieures à a, on parle de ite à gauche en a ; de même, si le résultat n est vrai que pour les valeurs de x suffisamment proches de a mais supérieures à a, on parle de ite à droite en a. On note : x < a f(x) = + et x < a f(x) = ; et x > a. f(x) = + et x > a f(x) = Si la ite de f en a ou la ite à gauche de f en a ou la ite à droite de f en a est + ou, alors la droite d équation x = a est asymptote verticale à la courbe représentative de f. 4 Théorèmes de comparaison 4.1 Théorème "des gendarmes" Suites u, v et w sont trois suites telles que, pour n suffisamment grand (n supérieur à un certain entier N), v n u n w n ; l est un nombre réel. Si v n = l et w n = l, alors n + n Fonctions f, g et h sont trois fonctions telles que, pour x suffisamment grand (x supérieur à un certain réel M), g(x) f(x) h(x) ; l est un nombre réel. Si g(x) = l et h(x) = l, alors démonstration :

5 TS - Chap2 5 Il existe un théorème analogue pour les ites en et en un réel a quelconque. 4.2 Comparaison avec une suite ou une fonction de ite infinie Suites u et v sont deux suites telles que, pour n suffisamment grand (n supérieur à un certain entier N), u n v n. Si v n = +, alors n + u et v sont deux suites telles que, pour n suffisamment grand (n supérieur à un certain entier N), u n v n. Si v n =, alors n Fonctions f et g sont deux fonctions telles que, pour x suffisamment grand (x supérieur à un certain réel M), f(x) g(x). Si g(x) = +, alors f et g sont deux fonctions telles que, pour x suffisamment grand (x supérieur à un certain réel M), f(x) g(x). Si g(x) =, alors Il existe un théorème analogue pour les ites en et en un réel a quelconque. 5 Limites et opérations α est un réel ou ou Limite d une somme f(x) l l l + + g(x) l + + (f + g)(x) 5.2 Limite d un produit f(x) l ± + + ± g(x) l l (fg)(x) 5.3 Limite de l inverse d une fonction f(x) l ± 1 f(x) 5.4 Limite d un quotient f(x) l l 0 ± l ± 0 g(x) l ou 0 l ± ± 0 f(x) g(x)

6 TS - Chap Cas des fonctions polynômes et rationnelles La ite en + ou en d une fonction polynôme est la ite en + ou en de son terme de plus haut degré. La ite en + ou en d une fonction rationnelle est la ite en + ou en du quotient du terme de plus haut degré de son numérateur et du terme de plus haut degré de son dénominateur. 6 Limites et composées 6.1 Limite de la composée de deux fonctions f et g sont des fonctions ; a, b et c sont des réels ou + ou. Si f(x) = b et g(x) = c, alors : x a X b 6.2 Limite de la composée d une suite et d une fonction u est une suite, f est une fonction. b et c sont des réels ou + ou. Si u n = b et f(x) = c, alors : n + X b