Limites de suites. Révisions

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1 Limites de suites Révisions Soit ( ) une suite définie pour tout n N par = n 2 + n Exprimer en fonction de n : a b + c + 2 La suite ( ) est-elle arithmétique? 3 Quel est le sens de variation de ( )? 2 Dans chaque cas préciser si la suite ( ) est arithmétique, géométrique, oi l un ni l autre Exprimer alors, lorsque cela est possible, en fonction de n Pour tout n N, = n 2 2 u 0 = 2 et pour tout entier naturel n, + = 5 3 Pour tout n N, = 2n2 + 5n + 3 n + 4 = 32n+ 2 n pour tout n N, 5 u 0 = 3 et pour tout entier naturel n, + = Soit ( ) la suite définie pour tout entier naturel n non nul par = n + n 2 + Déterminer la fonction f telle que = f(n) 2 Étudier le sens de variation de f et en déduire celui de ( ) 3 Calculer u 0, u 00, u 0 000, u 0 8 et u 0 6 Que peut-on dire des valeurs de lorsque n devient de plus en plus grand? 4 Même exercice avec les suites ( ) définies pour tout entier naturel n par a) = n2 n 2 + b) = 3n 2 + 4n 5 c) = n 3 + 6n 2 9n Soit la suite ( ) définie par u 0 = et pour tout entier n, + = + Déterminer la fonction f telle que + = f( ), puis tracer C f et placer u 0, u, u 2, u 3 et u 4 sur l axe des abscisses 6 ( ) est la suite définie par u 0 = 3 et, pour tout entier n, + = Pour tout entier n, on pose v n = 3 Démontrer que (v n ) est une suite arithmétique 2 En déduire une expression de v n, puis de en fonction de n 7 ( ) est la suite définie par u 0 = et, pour tout entier n, + = Pour tout entier n, on pose v n = 2 + Démontrer que (v n ) est une suite géométrique 2 En déduire une expression de v n, puis de en fonction n

2 2 Principe de récurrence TS Limites de suites Exemple Montrer que, pour tout n 0, 2 n 00n Pour commencer, on peut déjà vérifier cette inégalité pour n = 0 : 2 0 = = 000 Pour n =, on peut soit faire le calcul complet, soit remarquer que 2 = 2 0 2, et donc, comme d après le calcul précédent, 2 = (00 0) 2 = Ainsi cette inégalité est aussi vraie pour n = Pour traiter le problème d une manière plus général que précédemment, on peut remarquer que, si l inégalité 2 n 00n est vraie pour un certain entier n, alors 2 n+ = 2 n 2 (00n) 2 = 00n + 00n 00n + 00 = 00(n + ) Ainsi, si cette inégalité est vraie pour un certain entier n, elle est aussi vraie pour l entier n + suivant Or, on a vu que l inégalité est vraie pour n = 0, elle est donc aussi vraie pour n + =, puis pour n = 2, n = 3, On a finalement bien montrer que, pour tout entier n 0, 2 n 00n Ce raisonnement s appelle un raisonnement par récurrence Principe du raisonnement par récurrence Soit P (n) une proposition qui dépend d un entier naturel n Pour démontrer que P (n) est vraie pour tout entier n n 0, il suffit de : Initialisation : vérifier que pour le premier entier n 0, P (n 0 ) est vraie ; 2 Hérédité de la propriété : montrer que, si on suppose que P (n) est vraie pour un certain entier n (hypothèse de récurrence), alors P (n + ) est encore vraie 3 Conclusion : On conclut alors que, d après le principe de récurrence, la propriété P (n) est vraie pour tout entier n n 0 Exemple Soit la suite ( ) définie par u 0 = 0 et, pour tout entier n, + = + 5 Montrer que, pour tout entier n, 0 3 La proposition que l on souhaite démontrer est ici P (n) : "0 < < 3" Initialisation : Pour n =, u = 5 2, 2 < 3, donc P () est vraie Hérédité : Hypothèse de récurrence : supposons que pour un entier n, P (n) est vraie, c est-à-dire 0 < < 3 Alors, 5 < + 5 < 8, et donc, 5 < + 5 < 8 car la fonction racine carrée est strictement croissante sur R + On en déduit que, comme + = + 5, 0 < 5 < + < 8 < 3, et donc que P (n + ) est vraie Conclusion : D après le principe de récurrence, on vient de démontrer que pour tout n, 0 < < 3 2

3 8 Soit la suite v définie par v 0 = 2, puis pour tout entier n, v n+ = + v n 3 Montrer que pour tout entier naturel n, 2 v n 2 TS Limites de suites 9 Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, n 2 n(n + )(2n + ) = 6 2 Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, n 3 = [ n ] 2 n 2 (n + ) 2 = 0 Soit n un entier naturel non nul, et S n la somme : S n = n p= p(p + ) Écrire un algorithme permettant de calculer S n où n est un entier naturel non nul choisi par l utilisateur 2 Montrer par récurrence que pour tout entier n, S n = n n + 3 a) Vérifier que p(p + ) = p p + b) Retrouver alors le résultat du par une autre méthode 4 Soit a un réel strictement positif Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, ( + a) n + na 2 Soit u la suite définie par u 0 = 3, et pour tout entier n, par + = 2( ) Calculer les premiers termes de cette suite, et conjecturer une expression de Démontrer alors cette conjecture 3 Soit la suite u définie par u 0 = 5, et pour tout entier n, + = 3 + Démontrer que cette suite est monotone 3 Limite d une suite 3 Définition et exemples Définition La suite numérique ( ) converge vers le réel l si et seulement si tout intervalle ouvert contenant l contient tous les termes à partir d un certain rang On note : = l ou encore = l Remarque Cette condition : "tout intervalle ouvert" est très forte car elle permet, entre autre, que l intervalle puisse être arbitrairement petit Exemple Soit la suite ( ) définie pour n par = n + 3

4 TS Limites de suites Intervalle ouvert contenant l l = O n Soit par exemple l intervalle ouvert I =]0, 99 ;, 0[ contenant l = Alors, I 0, 99 < <, 0 0, 99 < n + <, 0 0, 0 < n Ainsi, dès que n > 00, tous les termes sont dans l intervalle ouvert I =]0, 99 ;, 0[ On note = < 0, 0 n > 0, 0 = 00 Définition 2 On dit que la suite ( ) tend vers + lorsque tout intervalle ouvert de la forme ]A; + [, avec A R, contient tous les termes de la suite à partir d un certain rang On dit que la suite ( ) tend vers lorsque tout intervalle ouvert de la forme ] ; A[, avec A R, contient tous les termes de la suite à partir d un certain rang > A pour n N A O N n 3 2 Limites usuelles Propriété n = + ; n = + ; n2 = + ; n3 = + et plus généralement, pour tout entier p non nul np = + Preuve Par exemple pour la suite ( ) définie sur N par = n 2 Soit I un intervalle ouvert quelconque de la forme I =]A; + [, avec A un réel strictement positif I =]A; + [ n 2 > A n > A (car A > 0) Soit n 0 un entier tel que n 0 > A, alors, pour tout entier n n 0, on a I, et donc = + 4

5 TS Limites de suites Propriété 2 = 0 ; n n = 0 ; et plus généralement, pour tout entier p non nul n 2 = 0 ; n p = 0 n 3 = 0 Preuve Par exemple pour la suite = n Soit I un intervalle ouvert quelconque de la forme ] ε; +ε[, avec ε > 0 I ε < < ε 0 < < ε n > n n ε n > ε 2 tout entier n n 0, I, et donc la suite ( ) converge vers 0 : = 0 Théorème 3 3 Opérations sur les ites ( ) et (v n ) sont deux suites, et L et L sont deux réels Le point d interrogation correspond à une forme indéterminée, c est-à-dire un cas où on ne peut pas conclure directement Limite de la somme + v n = L L L + + v n = L v n = L + L + +? Exemple Soit ( ) la suite définie sur N par = 3 + 2n n 3 On a : 3 = 3 2n = + n 3 = 0 Par addition des ites = + Théorème 2 Limite du produit v n = L L 0 + ou 0 v n = L + ou + ou + ou + ou + ou v n = L L (règle des signes du (règle des signes du? produit) produit) Exemple Soit ( ) la suite définie sur N par = ( Par ite des sommes, 2 + ) n ( 2 + n) ( + n 2 ) ( = 2, et + n 2 ) = + 5

6 Ainsi, par ite de produit, = + TS Limites de suites Théorème 3 Limite de l inverse = L 0 0 par valeurs positives 0 par valeurs négatives + ou = + 0 L Exemple Soit ( ) la suite définie sur N par = Par ite de somme, n2 + n = +, et donc, n 2 + n = 0 Théorème 4 Limite du quotient un v n = L L + ou L 0 ou + ou 0 + ou v n = L 0 + ou L ou + ou L = v n L 0 + ou (règle des signes du?? produit) Méthode en cas de forme indéterminée : On essaye dans ce cas de lever l indétermination en transformant l expression (factorisation, développement, ) Par exemple, soit la suite ( ) définie sur N par = n 2 2n + 4 On a : somme n2 = +, et ( Néanmoins, = n 2 2n n n 2 et ( 2n + 4n ) 2 2n =, donc on a une forme indéterminée pour la ite de la ) = n 2 ( 2n + 4n 2 ), avec n2 = +, =, d où, par produit des ites = + Remarque n 2 est le terme dominant en + dans l expression de C est lui qui impose son comportement en +, ce qui apparaît clairement quand on le factorise 4 Dans chacun des cas suivants, déterminer la ite de la suite ( ) : a) = n 3 + n b) = (3n + )( 7n + 5) c) = d) = n 3 n 2 + 3n e) = 2n2 + n g) = n n + 3 n n h) = ( 2n + 3) n 2 + n + 6 j) = 9 n 2 (n + )(2n + ) 3 4 n 2 n 2 f) = n2 + 3n 5 n 3 6n 2 + i) = n n + n k) = 3 n (2n + ) 2 l) = 2 3n 2n n 2 + n + 6

7 3 4 Autres théorèmes de convergence Théorèmes de comparaison TS Limites de suites Théorème 5 Théorème des gendarmes pour les suites Soit ( ), (v n ) et (w n ) trois suites telles que, pour tout entier n, v n w n Si de plus n = n = l, alors n = l Corollaire Soit ( ) et (v n ) deux suites telles que, pour tout entier n, v n Si v n = +, alors = + Si =, alors v n = 5 D après BAC ( ) est une suite définie par u 0 = et, pour tout entier naturel n, + = + 2n + 3 Étudier le sens de variation de ( ) 2 Démontrer par récurrence que, pour tout entier n, = (n + ) 2 3 En déduire que, pour tout entier n, n 2 4 La suite ( ) est-elle minorée? majorée? Justifier 5 Donner la ite de ( ) 2 Suites minorées, majorées et bornées Définition 3 Une suite ( ) est dite minorée lorsqu il existe un réel m tel que, pour tout entier n, m Une suite ( ) est dite majorée lorsqu il existe un réel M tel que, pour tout entier n, M Une suite ( ) est dite bornée lorsqu elle est à la fois minorée et majorée, c est-à-dire qu il existe deux réels m et M tels que, pour tout entier n, m M Exemple Soit ( ) la suite définie par = sin(n) + n Alors, pour tout entier n, comme sin(n), = sin(n) + n + n + 0 = Ainsi, cette suite ( ) est minorée par m = De plus, pour tout entier n, = sin(n) + n + n, ce qui montre que la suite ( ) n est pas majorée, et donc n est pas bornée non plus Remarque Tout nombre inférieur à m est aussi un minorant En effet, pour tout entier n on a aussi par exemple, n, 0 20 Exemple ( ) définie pour n par = 3 sin n, 5 ( ) + 2, alors ( ) est bornée : n 7

8 (v n ) définie par v n = n est bornée, car, n 0, 0 v n 3 2 TS Limites de suites Théorème 6 Toute suite monotone et bornée est convergente : Toute suite croissante et majorée est convergente Toute suite décroissante et minorée est convergente Remarque Ce théorème permet de montrer qu une suite converge, mais ne fournit aucun moyen pour déterminer cette ite 6 Soit la suite u définie par u 0 = 5 et + = 3 + Montrer que ( ) est décroissante 2 Montrer que la suite ( ) est minorée 3 En déduire que la suite ( ) est convergente 3 Point fixe Théorème 7 Point fixe Si une suite est définie par une relation de récurrence du type + = f( ), alors, si elle converge vers un réel l, on a f (l) = l l s appelle un point fixe pour la fonction f 7 Soit la suite ( ) définie par u 0 = 0 et + = + 5 Montrer que cette suite est croissante 2 Montrer que pour tout entier n, 0 3 En déduire que la suite ( ) converge vers une ite l 3 Déterminer la ite l de la suite ( ) 8 Soit la suite u définie par u 0 = 2 et, pour tout entier n, par + = 4 3 a Dans un repère orthonormal (unité graphique 4cm), tracer la droite d équation y = x et la courbe C f représentant la fonction f définie sur ]0; + [ par l expression f(x) = 4 3 x b Placer sur l axe des abscisses, et sans effectuer aucun calcul, les termes u 0, u, u 2 et u 3 c Quelle conjecture peut-on faire sur la suite u 2 a Démontrer par récurrence que pour tout n N, 2 3 b Démontrer que la suite u est croissante, et en déduire qu elle converge c Déterminer alors la ite de la suite u 3 5 Suites arithmétiques et géométriques Propriété 3 Soit ( ) une suite arithmétique de premier terme u 0 et de raison r Alors pour tout entier n, = u 0 + nr et : si r > 0, alors = + si r < 0, alors = 8

9 TS Limites de suites 9 ( ) est la suite définie par u 0 = 3 et, pour tout entier n, + = Pour tout entier n, on pose v n = 3 Démontrer que (v n ) est une suite arithmétique 2 Déterminer la ite de la suite ( ) 20 Soit a un réel strictement positif Démontrer par récurrence que pour tout entier n, ( + a) n + na 2 Soit (v n ) une suite géométrique de premier terme v 0 > 0 et de raison q > Montrer que v n = + Théorème 8 Soit q un réel, alors Si < q <, alors la suite (q n ) converge vers 0 : qn = 0 Si q >, alors la suite (q n ) diverge vers + : qn = + Si q, alors la suite (q n ) n a pas de ite Si q =, alors la suite (q n ) est constante, q n = pour tout entier n, et donc aussi, qn = 2 On considère la suite ( ) définie par u 0 = 2 et, pour tout entier n, + = et la suite (v n ) définie sur N par v n = 8 Démontrer que la suite (v n ) est géométrique 2 En déduire l expression de v n, puis de en fonction de n 3 Déterminer les ites des suites (v n ) et ( ) 22 Soit la suite u définie par u 0 = 2 et, pour tout entier n, + = ère méthode a) vérifier que pour tout n N, + = b) Montrer que, pour tout n N, [; 2] c) Établir la relation + = ( ) 2, et en déduire le sens de variation de u + 3 d) Démontrer que u converge et déterminer sa ite l 2 ème méthode On considère la suite v définie pour tout n N par v n = a) Prouver que v est une suite arithmétique de raison 4 b) Exprimer pour tout n, v n puis en fonction de n c) En déduire la convergence de u et sa ite 9

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