CENTRALE 2008 PC Math 2. Préliminaire

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Marie-Hélène Boudreau
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1 CENTRLE 8 PC Math Comme o a des suites de matrices X, j utilise la otatio Maple X [i] pour oter le coe ciet de la lige i de X. Prélimiaire O véri e sas problème que : a b c d d b c a ad bc ad bc La matrice M est iversible ( e 6 ) et doc a b d b c d ad bc c a Partie I :Récurreces liéaires d ordre : I..) O a X + x+ x + I..) O calcule le polyôme caractéristique x + a x a x + a a et doc : a a (a + ) + a + a + a I..) O cherche toutes les matrices Q iversibles telles que QDQ. Les coloes de Q sot les vecteurs propres de : i x + y a x + ( a i )y la première lige doe y i x et la secode est alors véri ée pour tout x d après I... Le détermiat de la matrice vaut alors ( ) x x, ce qui impose la coditio x x 6 9 (x ; x ) (C ) x x, Q x x Ue classique véri catio par récurrece doe alors : Q: :Q I..4) Si admet ue seuile valeur propre elle est double, doc racie double du polyôme caractéristique et doc (somme et produit des racies): a et a O cherche Q iversible telle que QT Q. La première coloe de Q est u vecteur propre doc du type V avec x 6 (idem I..) ) x + y x La deuxième coloe V véri e V V + V. doc. La première lige doe y x a x + ( a )y x + x. Si o reporte das la secode c est bie véri é car x x + a + a et a. Q de détermiat x x + x x 6 9 (x ; x ) C x x C, Q x x + x O a T D + N avec D I et N doc :. O véri e DN ND et N T D + D N Q: :Q I..5) Comme le corps de base est C, admet valeurs propres (avec multiplicité). Il y a bie que cas possibles : x x

2 admet deux valeurs propres distictes. elles sot doc simples et est diagoalisables. admet ue valeur propre double. Mais alors si est diagoalisable est semblable à I et P (I ) P I. bsurde à cause du sur la première lige. I..6) exemple : de valeurs propres et. O peut doc predre Q prélimiaire doe Q et doc QT Q + + et T, Le O a doc et doc : X x x ( )x + ( )x ( + )x + + x x ( )x + ( )x véri catios : x ; x et la deuxième lige de X sot cohéretes. exemple : de valeur propres double. O peut doc predre Q 4 4 prélimiaire doe Q et.i.4) :doe T. Doc O a doc et doc : B:Vers u ordre supérieur I.B.) Par la règle de Sarrus QT Q ( ) X x x a a a + ( + ) ( ) x + x + x + ( + ) + x x ( ) x + x ( a ) a a P () I.B.) est liéaire : Si (u ) et (v ) sot deux suites et u scalaire u + v u ((u ) + (v) u + + v + u + + v u + u + est bie liéaire. Si ((u )) est la suite de matrices ulles o a : 8 u u + u v v + v + et T ((u )) + ((v )) doc 8 N u doc (u ) (), Le O pred la suite de matrices : 8 N Si (X ) Im() x x + doc x +, mais x + aussi par traslatio x + x + doc x +. BSURDE x + remarque : pour costruire le cotre exemple predre importe quelle suite telle que la secode coordoée de X e sot pas la première de X + est liéaire ijective o surjective.

3 I.B.) O véri e que : X x + x + x x + x + a x + a x + a x X et doc (suite géométrique) X X Réciproquemet soit X véri at : 8 N, X X. alyse : si (X ) ((u )) alors pour tout u X [] la première coordoée de X. Véri catio : Soit (U ) ((u )), véri os (U ) (X ) puis (U ) R p : Par costructio 8 N, X [] U []. Puis : 8 N : X [] X + [] (d après la forme de ) et U [] u + U + [] doc X [] U [] de même 8 N X [] X + [] U + [] U [] E 8 N, X + X doe 8 N, x + a x a x + a x + et doc 8 N, u + +a u + +a u + +a u Doc la suite (X ) est l image de la suite (u ) R p (X ) (R p ), 8 N, X X I.B.4) D après la questio précédete toute suite de R p est du type X. O peut décomposer X das la base caoique X e + e + e. O a alors 8 N : X e + e + e Réciproquemet toute suite du type 8 N, Y e + e + e véri e Y Y doc (X ) R p, 9 (; ; ) C (X ) ( e ) + ( e ) + ( e ) Mais la famille ( e ) ; ( e ) ; ( e ) est libre. Si o pred ue combiaiso liéaire ( e ) + ( e ) + ( e ) (), le premier terme (pour ) impose e + e + e. Or la famille (e ; e ; e ) est libre doc ; O a doc dim (R p ) C:Exemples (quasi) umériques I.C.) Le polyôme caractéristique est P Ue fois costater que est racie évidete, o trouve valeurs propres disticts et i. est doc diagoalisable. b)si o pred X, la suite est costateulle et coverge vers. Ce est pas lebut de la questio. 54 Si o pred X o a la ; : Si o a comme suite des Lk la suite ; ; ; ; 4; 8; O peut cojecturer que la limite est.. remarque : la répose déped de X ; c) o véri e que det(q) 6. Q est doc iversible. Deux produits matriciels véri et que Q d) O obtiet successivemet : 4 4, T

4 O e déduit Puis e multipliat par T; T ; T T 4p+ ( T 4p T 4 p 4 ( 4) p ( 4) ( 4)p ( ; T 4p+ ( T 4p+ ( 4 ( 4)p O peut aussi poser u calcul par blocs e remarquat que T matrice d ue similitude directe de rapport p et d agle 4 et doc T est pas le pla du sujet. e) chagemet de base classique : 4 )p 4 ( ( 4)p p cos (4) si (4) est la si (4) cos (4) cos (4) si (4) mais ce si (4) cos (4) X X ) X QT Q X ) Y T Y Or les 4 suites T 4p ; T 4p+ ; T 4p+ ; T 4p+ coverget vers la même limite Doc la suite T coverge vers L, la suite Y coverge vers LY. Or X QY doc X coverge vers QLY QLQ X : x X [] la première coordoée de X coverge doc aussi. Si P X X + X toute suite de R p coverge. la machie le calcul (o demadé) e pose pas de gros problème : (x ) coverge vers x x + x I.C.) a) Les racies de P sot et ip e i. b) La matrice est doc diagoalisable et il existe ue matrice Q iversible telle que Qdiag(; e i ; e i )Q. Qdiag(; e i ; e i )Q est doc de période 6. E repreat la otatio Y Q X o a Y diag(; e i ; e Y [] + Y [] Y [] Y [] + e + Y [] Y [] Y [] + e et doc X Y [] + cos Y [] + si Y [] Y [] Y [] o pose doc a la première lige de Y [], celle de Y [], celle de Y [] et o a bie : Y [] Y [] 9 (; ; ) C, x + cos + si I.C.) a) O développe (X ) (X ) (X ) (X X + ) X ( + ) X + + et + Y [] 4

5 b) est semblable à T doc est diagoalisable si et seulemet si T l est. Or T est de rag ( 6 ) et doc le sous espace propre E (T ) Ker(T I ) est de dimesio strictemet iférieur à la multiplicité. est pas diagoalisable c) Le décompositio T D + N avec D diag(; ; ) et doe comme DN ND( N) et N E posat ecore Y Q X o a X QY et Y T Y Si pour tout X la suite (X ) coverge vers alors pour tout Y Q X la suite Y coverge vers. E preat X Qe o trouve que T e coverge vers doc que X Qe o trouve ] ; coverge vers doc ] ; [. De même avec Réciproquemet si ] ; [ et ] ; [ alors T coverge vers () et doc toute suite X QT Q X coverge vers () 8X M ; (C) ; lim (X ) ()) () ] ; [ et ] ; [ Si pour tout X la suite (X ) coverge alors pour tout Y Q X la suite Y coverge. E preat X Qe o trouve que T e coverge vers doc coverge vers doc ] ; ]. De même avec X Qe o trouve ] ; ] puis avec X Qe impose la covergece de et doc u ] ; [ Réciproquemet si ] ; [ et ] ; [ (X ) coverge vers () et si ; ] ; [,X coverge vers Q X 8X M ; (C) ; X ) coverge () ] ; ] et ] ; [ PRTIE II élémets de solutios o rédigés : existece et uicité II..) Par récurrece 8 N, X P X II..) Si (X ) est solutio alors (X ) (P a), d où l uicité si existece. Mais la suite (P ) véri e les coditios, d où l existece et l uicité. II..) a) O a u sous esemble de S C k, o vide ( cotiet la suite ulle), sable par combiaiso liéaire (véri catio immédiate), doc u sous espace vectoriel. b) est liéaire, ijective ( si X, (X ) (P X ) () ) et surjective (si a C k ) la suite (X ) (P a) est u atécédet de a. est u isomorphisme et coserve doc les dimesios B : u exemple dim (S) k II.B.) Le calcul des premiers termes laisse peser P + h x II.B.) D après II..) 8 N, X P X + x h + y, que l o véri e par récurrece. 5

6 II.B.) Doc 8 N, X x + + y. Ue base de S est composé des deux suites h qui formet u système libre de bo cardial. + h II.B.4) (h ) est la suite des sommes partielles d ue série divergete à termes positifs et diverge doc vers +:La suite (X ) coverge si et seulemet si x au quel cas elle est costate. C: coditio iitiale au temps II.C.) Das ce cas pour tout [; ], P est iversible comme produit de matrices iversibles. a) O sait que X P X, doc si P est iversible X (P ) X et doc et 8p N, X +p P +p (P ) X, 8p [; ], p P p (P ) X b) Si la suite (X ) o a pour tout X P (P ) X ; doc au plus ue solutio, et o véri e que cette suite coviet. II.C.) a) OUI : Si o pose () o iversible alors X () et 8 X (). Si o impose X 6 il y a pas de solutio. b) OUI : même exemple avec X () D: Equatio avec secod membre II.D.) a)o fait deux récurreces: 8p, X +p existe et est uique 8p [; ], X p existe et est uique. (cette secode récurrece utilise X (X b ) qui existe dès que est iversible) b) e maple sous forme récursive : X:proc(a,,b) if the a elif > the (-)&*X(-)+b(-) else ()^(-)&*(X(+)+b(+)) fi; ed; II.D.) O pred ue combiaiso liéaire i Zp i (), alors d après les formules du II.C d existece et uicité 8 N, i Z i P (P p ) i i Zp i et doc i i i i Z i. Or ces suites sot supposées libres doc 8i, N i.la famille est libre das C k et de bo cardial : c est ue base. II.D.) c a) Pour tout xé la famille Z; Z; k est ue base de C k or Y C k. doc Y se décompose Y c i Z i B C b) O veut 8 N, Y + Y + b soit 8 N, Z + C + Z C + b. Mais8 N, Z + Z (le véri er par blocs e utilisat Z i + Z i ) doc o veut 8 N, Z + C + Z + C + b. Or les coloes de Z + formet par costructio ue base de C k et doc Z + est iversible. i c k E: U exemple 8 N; C + C + Z + b II.E.) d après II.B.) o coaît ue base que l o peut oter Z + h Z + h et Z et doc 6

7 comme det(z ) le prélimiaire doe Z ( + ) + h + h + h +. O a doc C + C + + II.E.) de la relatio précédete o déduit par récurrece 8 N, C Or Y Z C C. Doc C Y doc C x + y + h h et doc Z + b + C : Y Z C et doc e simpli at + x + + x ( + h ) + y 7

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