Sommaire. Opérateur d inertie. Papanicola. 23 septembre 2012

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1 Cinétique Papanicola Lycée Jacques Amyot 3 septembre 1 ommaire en 1 point Définition Détermination du moment d inertie par rapport à un axe quelconque Théorème de Huygens généralisé Changement de base Propriétés et directions principales Axes principaux d inertie, base principale d inertie olide avec un plan de symétrie olide avec deux plans de symétrie olide avec une symétrie de révolution olide plan d épaisseur négligeable Matrices d inertie de quelques solides élémentaires en 1 point - Définition Définition On appelle opérateur d inertie I O au point O d un solide l opérateur qui à tout vecteur #» u de l espace associe le vecteur I O #» u = P OP #»u OP dm. 1 L opérateur d inertie permet de synthétiser l ensemble des caractéristiques d inertie d un solide. Cet opérateur est une fonction linéaire et peut être représenté par une matrice. - oit O, #» x, #» y,, un repère, et #» x, #» y, une base, P, un point du solide, avec OP = x #» x + y #» y + z, #» u = α #» x + β #» y + γ, un vecteur. Déterminons : OP #»u OP : OP #»u OP = x #» x + y #» y + z #» u x #» x + y #» y + z + α y + z β x y γ x z #»x OP #»u OP = + α x y + β z + x γ y z #»y + α x z β y z + γ x + y

2 En intégrant OP #»u OP dm = α y + z dm β x y dm γ x z dm #»x + α x y dm + β z + x dm γ y z dm #»y + α x z dm β y z dm + γ x + y dm #»z On peut mettre ce résultat sous la forme du produit d une matrice nommée I O et du vecteur #» u + y + z dm x y dm x z dm α I O #» u = x y dm + z + x dm y z dm β x z dm y z dm + x + y dm γ Cette matrice est caractéristique de la répartition de la matière d un solide autour d un point ici O et dans une base donnée #» x, #» y,. On peut pour chaque solide définir une matrice d inertie. + y + z dm x y dm x z dm I O = x y dm + z + x dm y z dm x z dm y z dm + x + y dm O #» x, #» y, Remarques : La matrice d inertie dépend de la base et du point de calcul, il est donc important de les préciser ; La matrice d inertie est une matrice symétrique ; On nomme aussi cette matrice tenseur d inertie. Par convention, on pose : A F E I O = F B D E D C O #» x, #» y, I O, #» x P xy P xy = P xy I O, #» y P xz P xy P xz I O, O #» x, #» y,

3 - moment d inertie On reconnaît sur la diagonale de la matrice Le moment d inertie du solide autour de l axe O, #» x : A = I O, #» x = y + z dm, Le moment d inertie du solide autour de l axe O, #» y : B = I O, #» y = z + x dm, Le moment d inertie du solide autour de l axe O, : C = I O, = x + y dm - produits d inertie À partir de cette définition de la matrice d inertie on nomme les trois autres termes produits d inertie, soit : Le produit d inertie par rapport plan O, #» x, #» y : F = P xy = x y dm ; Le produit d inertie par rapport plan O, #» x, : E = P xz = x z dm ; le produit d inertie par rapport plan O, #» y, : E = P yz = y z dm. Détermination du moment d inertie par rapport à un axe quelconque Le moment d inertie autour de l axe I = P #»δ OP dm = P O, #» δ s écrit : #»δ OP On sait que produit mixte : #» u #» v w #» = #» v w #» #» u On pose : #» u = #» δ, #» v = OP et w #» #»δ = OP alors #» δ OP #»δ OP = OP #»δ OP #» δ Le moment d inertie peut se mettre sous la forme : I = #» δ P OP δ OP dm. #»δ OP dm. Détermination du moment d inertie par rapport à un axe quelconque On reconnaît, sous l intégrale, l opérateur d inertie au point O du solide. Donc I = #» δ I O δ #» δ A F E i I O = F B D et #» δ = α, β, γ alors E D C O B A F E α I = α, β, γ F B D β 3 E D C γ O B

4 Théorème de Huygens généralisé On recherche la relation entre la matrice d inertie en A du solide et la matrice d inertie en le centre d inertie du solide. I A #» u = AM #»u AM dm I #» u = M #»u M dm soit I A #» u = A + M I A #» u = A + M #»u A #»u dm + #»u A dm + A + M dm A M #»u M dm #»u M dm Théorème de Huygens généralisé Les ème et 3ème termes sont nuls car Mdm = #» I A #» u = A #»u A dm + il reste econd terme : d inertie en. Premier terme : d A #»u A dm = m M #»u M dm M #»u M dm = I u opérateur A #»u A D où le théorème de Huygens généralisé I A #» u = I #» u + m A #»u A 4 Théorème de Huygens généralisé Déterminons A #»u A avec #» u = α, β, γ et A = a, b, c. A #»u b + c a b a c α A = a b a + c b c β a c b c a + b γ On pose pour les matrices d inertie en et A : A A F A E A I A = F A B A D A E A D A C A A #» x, #» y, A F E et I = F B D E D C On déduit, dans la base #» x, #» y,, la relation entre ces matrices : AA F A E A A F E = + m F A B A D A E A D A C A A F B D E D C b + c a b a c a b a + c b c a c b c a + b #» x, #» y, Changement de base Connaissant la matrice d inertie du solide en un point A dans la base B 1, on se propose de déterminer cette matrice en ce même point dans la base B. Matrice de Passage : On appelle P B1,B, la matrice de passage de la base B 1 à la base B cette matrice est constituée en colonnes des coordonnées des vecteurs de la nouvelle base B écrits dans la base d origine B 1. On l appelle aussi matrice de changement de base, cette matrice est une matrice inversible. oit I A B1 et I A B les matrices d inertie d un solide respectivement dans la base B 1 et la base B, et P B1,B la matrice de passage de la base B 1 à la base B, on a alors : I A B = P 1 B 1,B I A B1 P B1,B avec P 1 B 1,B la matrice inverse de P B1,B.

5 Propriétés et directions principales La matrice d inertie est une matrice symétrique, une simple étude mathématique de la matrice d inertie nous permet de dire que : Les valeurs propres de la matrice sont réelles ; Il existe une base orthonormée dans laquelle la matrice est diagonale. Il existe ainsi pour tout point A une base orthogonale de vecteurs #» propres B = x, y #», z #». Dans cette base la matrice d inertie du solide au point A est une matrice diagonale : A I A = B A,B. C Propriétés et directions principales #» La base B = x, y #», z #» est appelée base principale d inertie au point A. Les axes A, x #», A, y #» et A, z #» sont les axes principaux d inertie et A, B et C les moments principaux d inertie. Pour tous les solides présentant des symétries dans la répartition des masses, il est facile de déterminer les axes principaux en s appuyant sur ces symétries. i le point d écriture est le centre d inertie, on parle alors de base centrale et de moments centraux d inertie ; Les moments centraux d inertie sont minima. olide avec un plan de symétrie #» y z x P 1 z P y #» x Lorsque le solide possède un plan de symétrie, les produits d inertie comportant la normale au plan de symétrie sont nuls. I Ox P xy I O = P xy I Oy I Oz olide avec deux plans de symétrie #» y z x P 1 z P y #» x i un solide possède deux plans de symétrie, en choisissant d écrire la matrice d inertie en un point O de la droite d intersection des deux plans et dans une base B respectant cette symétrie, alors les trois produits d inerties sont nuls. I Ox I O = I Oy I Oz

6 olide avec une symétrie de révolution #» x #» y i l axe O, est un axe de révolution matérielle, le solide possède alors une infinité de plan de symétrie orthogonaux. Les produits d inertie sont donc tous nuls et la matrice est diagonale dans toute base contenant l axe de révolution et en tout point de cet axe. A I O = A C Compte tenu de la symétrie de révolution les moments d inertie par rapport aux O, #» x et O, #» y sont égaux. olide plan d épaisseur négligeable Pour un solide plan d épaisseur #» #» x négligeable, la matrice s écrit en un y point O du plan et dans une base B contenant la normale à celui-ci : A F I O = F B A + B i le solide est un disque plan, alors la matrice s écrit en O centre du disque et dans une base B telle que est la normale au plan A I O = A A de quelques solides élémentaire - Cylindre Cylindre d axe, de rayon R et de hauteur H #» y #» R x m 4 + H 1 R m 4 + H 1 m R en dans toute base contenant #»?, #»?, de quelques solides élémentaire - Tube Tube d axe, de rayon R et de hauteur H épaisseur négligeable #» y #» x R m + H 1 R m + H 1 m R en dans toute base contenant. #»?, #»?,

7 de quelques solides élémentaire - Tige Tige cylindrique, de rayon négligeable #» y #» x m H 1 m H 1 #»?, #»?, en dans toute base contenant. de quelques solides élémentaire - Disque Disque d axe, d épaisseur négligeable #» y #» x m R 4 m R 4 m R #»?, #»?, en dans toute base contenant. de quelques solides élémentaire - phère pleine phère pleine de centre C #» y #» x 5 m R C 5 m R 5 m R C B En C centre de la sphère et dans toute base de quelques solides élémentaire - phère creuse phère creuse de centre C #» y #» x 3 m R C 3 m R 3 m R C B En C centre de la sphère et dans toute base

8 de quelques solides élémentaire - Parallélépipède Parallélépipède de cotés a, b et c #» y #» x m b + c 1 m a + c 1 m a + b b c 1 C B a en dans la base B parallèle aux arêtes du parallélépipède de quelques solides élémentaire - Cône Cône, de rayon R et de hauteur H #» y #» x 3 m R H 3 m R H au sommet dans toute base contenant. 3 m 5 R #»?, #»?,