Probabilités conditionnelles et suites

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1 Probabilités conditionnelles et suites Polynésie Juin 2011 (5 points) Enseignement obligatoire Un joueur débute un jeu vidéo et effectue plusieurs parties successives. On admet que : la probabilité qu il gagne la première partie est de 0,1 ; s il gagne une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à 0,8 ; s il perd une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à 0,6. On note, pour tout entier naturel non nul : l évènement «le joueur gagne la -ième partie» ; la probabilité de l évènement On a donc. 1. Montrer que. On pourra s aider d un arbre pondéré. 2. Le joueur a gagné la deuxième partie. Calculer la probabilité qu il ait perdu la première. 3. Calculer la probabilité que le joueur gagne au moins une partie sur les trois premières parties. 4. Montrer que pour tout entier naturel non nul, 5. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul, 6. Déterminer la limite de la suite quand tend vers. Asie - Juin 2010 (4 points) Avant le début des travaux de construction d une autoroute, une équipe d archéologie préventive procède à des sondages successifs en des points régulièrement espacés sur le terrain. Lorsque le -ième sondage donne lieu à la découverte de vestiges, il est dit positif. L évènement : «le -ième sondage est positif» est noté, on note la probabilité de l évènement. L expérience acquise au cours de ce type d investigation permet de prévoir que : si un sondage est positif, le suivant a une probabilité égale à 0,6 d être aussi positif ; si un sondage est négatif, le suivant a une probabilité égale à 0,9 d être aussi négatif. On suppose que le premier sondage est positif, c est-à-dire :. 1) Calculer les probabilités des évènements suivants : a) A : «les 2e et 3e sondages sont positifs» ; b) B : «les 2e et 3e sondages sont négatifs». 2) Calculer la probabilité pour que le 3e sondage soit positif. 3) désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2. N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 1

2 Recopier et compléter l arbre ci-dessous en fonction des données de l énoncé : 4) Pour tout entier naturel non nul, établir que :. 5) On note la suite définie, pour tout entier naturel non nul par :. a) Démontrer que est une suite géométrique, en préciser le premier terme et la raison. b) Exprimer en fonction de. c) Calculer la limite, quand tend vers, de la probabilité. Nouvelle Calédonie - Mars 2009 Commun à tous les candidats Dans un stand de tir, un tireur effectue des tirs successifs pour atteindre plusieurs cibles. La probabilité que la première cible soit atteinte est. Lorsqu une cible est atteinte, la probabilité que la suivante le soit est Lorsqu une cible n est pas atteinte, la probabilité que la suivante soit atteinte est. On note, pour tout entier naturel non nul : l évènement : «la -ième cible est atteinte». l évènement : «la -ième cible n est pas atteinte. la probabilité de l évènement la probabilité de l évènement. 1. Donner et. Calculer et. On pourra utiliser un arbre pondéré. 2. Montrer que, pour tout, : puis 3. Soit la suite définie pour tout entier naturel non nul, par. a. Montrer que la suite est une suite géométrique. On précisera la raison et le premier terme. N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 2

3 b. En déduire l expression de en fonction de, puis l expression de en fonction de. c. Déterminer la limite de la suite. Polynésie Septembre 2007 (4 points) La végétation d un pays imaginaire est composée initialement de trois types de plantes : 40 % sont de type, 41 % de type et 19 % de type On admet qu au début de chaque année : type ou C. type ou. type. La probabilité qu une plante de type soit remplacée par une plante de même type est 0,6 et celle qu elle le soit par une plante de type est 0,3. La probabilité qu une plante de type soit remplacée par une plante de même type est 0,6 et celle qu elle le soit par une plante de type est 0,3. Au début de chaque année, on choisit au hasard une plante dans la végétation et on relève son type. Pour tout entier naturel non nul, on note : l événement «la plante choisie la année est de type» l événement «la plante choisie la année est de type» événement «la plante choisie la année est de type» On désigne par, et les probabilités respectives des événements, et. Compte tenu de la composition initiale de la végétation (début de l année ) on pose :. 1) Recopier et compléter l arbre pondéré ci-contre, en remplaçant chaque point d interrogation par la probabilité correspondante. Aucune justification n est demandée pour cette question. N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 3

4 2) a) Montrer que puis calculer et. b) Montrer que, pour tout entier naturel n non nul :. 3) On définit les suites et sur par : et a) Montrer que est une suite géométrique dont on précisera la raison. On admet que est une suite géométrique de raison 0,3. b) Déterminer les limites des suites et. c) En déduire les limites des suites, et Interpréter le résultat. Polynésie Juin 2006 (4 points) On a posé à personnes la question suivante : «Combien de fois êtes-vous arrivé en retard au travail au cours des deux derniers mois?». Les réponses ont été regroupées dans le tableau suivant : Retard Le 1 er Retard mois ou plus Total Le 2 ième mois ou plus Total On choisit au hasard un individu de cette population. a. Déterminer la probabilité que l individu ait eu au moins un retard le premier mois, b. Déterminer la probabilité que l individu ait eu au moins un retard le deuxième mois sachant qu il n en a pas eu le premier mois. 2. On souhaite faire une étude de l évolution du nombre de retards sur un grand nombre de mois ( entier naturel non nul). On fait les hypothèses suivantes : si l individu n a pas eu de retard le mois, la probabilité de ne pas en avoir le mois est 0,46. si l individu a eu exactement un retard le mois, la probabilité de ne pas en avoir le mois est 0,66. si l individu a eu deux retards ou plus le mois, la probabilité de ne pas en avoir le mois est encore 0,66. N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 4

5 On note, l évènement «l individu n a eu aucun retard lemois»,, l évènement «l individu a eu exactement un retard le mois»,, l évènement «l individu a eu deux retards ou plus lemois». Les probabilités des évènements, sont notées respectivement a. Pour le premier mois ( ), les probabilités sont obtenues à l aide du tableau précédent. Déterminer les probabilités b. Exprimer en fonction de. On pourra s aider d un arbre. c. Montrer que, pour tout entier naturel non nul, d. Soit la suite définie pour tout entier naturel non nul par. Démontrer que est une suite géométrique dont on donnera la raison. e e N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 5