OBLIGATOIRE et ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ

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1 BACCALAURÉAT BLANC Août 2014 MATHÉMATIQUES Série S OBLIGATOIRE et ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur Le sujet est composé de 4 exercices indépendants Chaque candidat doit traiter tous les exercices Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l'indiquer clairement sur la copie Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies Page 1 sur 8

2 EXERCICE 1 : Commun à tous les candidats 4 points Une jardinerie vend de jeunes plants d arbres qui proviennent de trois horticulteurs : 35% des plants proviennent de l horticulteur H 1, 25% de l horticulteur H 2 et le reste de l horticulteur H 3 Chaque horticulteur livre deux catégories d arbres : des conifères et des arbres à feuilles La livraison de l horticulteur H 1 comporte 80% de conifères alors que celle de l horticulteur H 2 n en comporte que 50% et celle de l horticulteur H 3 seulement 30% Le gérant de la jardinerie choisit un arbre au hasard dans son stock On envisage les évènements suivants : H 1 : «l arbre choisi a été acheté chez l horticulteur H 1», H 2 : «l arbre choisi a été acheté chez l horticulteur H 2», H 3 : «l arbre choisi a été acheté chez l horticulteur H 3», C : «l arbre choisi est un conifère», F : «l arbre choisi est un arbre feuillu» a Construire un arbre pondéré traduisant la situation b Calculer la probabilité que l arbre choisi soit un conifère acheté chez l horticulteur H 3 c Justifier que la probabilité de l évènement C est égale à 0,525 d L arbre choisi est un conifère Quelle est la probabilité qu il ait été acheté chez l horticulteur H 1? On arrondira à 10-3 On choisit au hasard un échantillon de 10 arbres dans le stock de cette jardinerie On suppose que ce stock est suffisamment important pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise de 10 arbres dans le stock On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de conifères de l échantillon choisi a Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres b Quelle est la probabilité que l échantillon prélevé comporte exactement 5 conifères? On arrondira à 10-3 c Quelle est la probabilité que cet échantillon comporte au moins deux arbres feuillus? On arrondira à 10-3 EXERCICE 2 : Candidats n ayant pas suivi l enseignement de spécialité 5 points Soit une suite ( u n) définie pour tout entier naturel n par: ì u0 = 1 ï í ï un+ 1 = ïî u n 2u + 1 n 1 Reproduire une table (obtenue à la calculatrice) des valeurs approchées à 0,001 près des dix premiers termes de cette suite Conjecturer le sens de variation de cette suite 2 Démontrer que, pour tout entier naturel n, u n > 0 3 Démontrer la conjecture établie à la première question 4 On construit une suite ( v n) de la façon suivante: Pour tout entier naturel n, v n 1 = u n Montrer que la suite ( v n) est arithmétique, on précisera la raison et le premier terme 5 Exprimer v n en fonction de n, en déduire une expression de u n en fonction de n 6 En déduire la limite de la suite ( u n) Exercice 3 Commun à tous les candidats 7 points Partie 1 Soit la fonction définie sur [ 0 ; + [ par ( ) 1 Déterminer la limite de en 2 Etudier les variations de la fonction 3 Donner le tableau de variations de la fonction 4 a Démontrer que l équation ( ) admet sur [0 ; + [ une unique solution notée b A l aide de la calculatrice, déterminer un encadrement de d amplitude c Démontrer que 5 Déterminer le signe de ( ) suivant les valeurs de Page 2 sur 8

3 Partie 2 Soit la fonction définie et dérivable sur [0 ;+ [ telle que ( ) 1 Démontrer que pour tout réel positif ou nul, ( ) a le même signe que ( ), où est la fonction définie dans la partie 1 2 En déduire les variations de la fonction sur [0 ;+ [ Partie 3 On considère la fonction définie sur [0 ;+ [ par ( ) On note ( ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O ; ) La figure est donnée en annexe Pour tout réel positif, on note : le point de ( ) de coordonnées ( ( )) le point de coordonnées ( ) Q le point de coordonnées ( ( )) 1 Démontrer que l aire du rectangle OPMQ est maximale lorsque a pour abscisse On rappelle que le réel a été défini dans la partie 1 2 Le point a pour abscisse La tangente (T) en à la courbe ( ) est-elle parallèle à la droite ( )? Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation Exercice 4 Commun à tous les candidats 5 points Le plan complexe est muni d un repère orthonormé direct (O ; ) Pour tout entier naturel, on note le point d affixe défini par : et ( On définit la suite ( ) par pour tout entier naturel ) 1 Donner la forme exponentielle du nombre complexe 2 a Montrer que la suite ( ) est géométrique de raison b En déduire l expression de en fonction de c Que dire de la longueur lorsque tend vers? 3 On considère l algorithme suivant : Variables Entrée entier naturel réel réel strictement positif Demander la valeur de Traitement prend la valeur 1 prend la valeur 0 Tant que prend la valeur prend la valeur Fin tant que Sortie Afficher a Quelle est la valeur affichée par l algorithme pour? b Pour on obtient Quel est le rôle de cet algorithme? Page 3 sur 8

4 4 a Démontrer que le triangle est rectangle en b On admet que Déterminer les valeurs de pour lesquelles est un point de l axe des ordonnées c Compléter la figure donnée en annexe, à rendre avec la copie, en représentant les points Les traits de construction seront apparents Page 4 sur 8

5 Annexes à rendre avec la copie Annexe exercice 3 Annexe Exercice 4 Page 5 sur 8

6 EXERCICE 2 : Candidats ayant suivi l enseignement de spécialité 5 points Partie A : préliminaires 1 a) Soient n et N deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2, tels que : Montrer que : 2 n N N n n 3 1 modulo 1 modulo N b) Déduire de la question précédente un entier k1 tel que : 5k1 1 modulo 26 On admettra que l unique entier k tel que : 0 k 25 et 5k 1 modulo 26 vaut A 2 1 x1 y1 B X Y On donne les matrices : 3 4, x, 2 y2 et 2 a) Calculer la matrice 6A A 1 b) En déduire que A est inversible et que sa matrice inverse, notée A 1, peut s écrire sous la forme A I A, où et sont deux réels que l on déterminera 1 c) Vérifier que: B 5A d) Démontrer que si AX Y, alors 5X BY Partie B : procédure de codage Coder le mot «ET», en utilisant la procédure de codage décrite ci-dessous x1 Le mot à coder est remplacé par la matrice X x2, où x1 est l entier représentant la première lettre du mot et x 2 l entier représentant la deuxième, selon le tableau de correspondance ci-dessous : A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T Page 6 sur 8

7 U V W X Y Z y1 La matrice X est transformée en la matrice Y telle que : Y AX y2 r1 La matrice Y est transformée en la matrice R r2, où r est le reste de la division de 1 y1 par 26 et r 2 le reste de la division de y 2 Les entiers r 1 et r2 donnent les lettres du mot codé, selon le tableau de correspondance ci-dessus Exemple : «OU» (mot à coder) 14 X Y R 4 «YE» (mot codé) Partie C : procédure de décodage (on conserve les mêmes notations que pour le codage) y1 Lors du codage, la matrice X a été transformée en la matrice Y telle que : Y AX y2 1 5x1 2y1 y2 Démontrer que : 5x2 3y1 4y2 2 x1 16y1 5y2 En utilisant la question 1 b de la partie A, établir que : x2 15y1 6y2 modulo 26 3 Décoder le mot «QP» EXERCICE 3 : Commun à tous les candidats 6 points x On considère les fonctions f et g définies pour tout réel x par : f x e et g x 1 e x Les courbes représentatives de ces fonctions dans un repère orthogonal du plan, notées respectivement C f et C g, sont fournies en annexe Partie A Ces courbes semblent admettre deux tangentes communes Tracer aux mieux ces tangentes sur la figure ci-dessous Partie B Dans cette partie, on admet l existence de ces tangentes communes On note D l une d entre elles Cette droite est tangente à la courbe C f au point A d abscisse a et tangente à la courbe C g au point B d abscisse b 1 a Exprimer en fonction de a le coefficient directeur de la tangente à la courbe C f au point A b Exprimer en fonction de b le coefficient directeur de la tangente à la courbe C g au point B c En déduire que b a x 2 x1 e Démontrer que le réel a est solution de l équation x 2 x 1 e x 1 Partie C On considère la fonction définie sur par 1 a Calculer les limites de la fonction en et b Calculer la dérivée de la fonction, puis étudier son signe c Dresser le tableau de variation de la fonction sur Préciser la valeur de 0 2 a Démontrer que l équation x 0 admet exactement deux solutions dans b On note la solution négative de l équation x 0 et la solution positive de cette équation À l aide d une calculatrice, donner les valeurs de et arrondies au centième Partie D Dans cette partie, on démontre l existence de ces tangentes communes, que l on a admise dans la partie B On note E le point de la courbe C f d abscisse a et F le point de la courbe C g d abscisse a ( a est le nombre réel défini dans la partie C) 1 Démontrer que la droite (EF) est tangente à la courbe C f au point E 2 Démontrer que (EF) est tangente à C g au point F Page 7 sur 8

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