Loi exponentielle. Rappels sur le chapitre précédent :

Transcription

1 TS Loi ponntill Rappls sur l chapitr précédnt : On st parti d la loi uniform sur l intrvall [ ; ] puis sur un intrvall [a ; b] qulconqu (formul donnant la probabilité d un intrvall [ ; ] inclus dans [a ; b] : b ) a lan du chapitr : I Fonction d dnsité sur l intrvall [ ; + [ II Définition t prmièrs propriétés d la loi ponntill III Ercic-typ rédigé IV pplication à la physiqu V Espéranc mathématiqu t varianc d un variabl aléatoir qui suit la loi ponntill VI Simulation d la loi ponntill On a procédé à un ouvrtur prmttant d rlir ls calculs précédnts au intégrals (c qui put paraîtr un pu bizarr d prim abord!) la a débouché sur la notion d loi d probabilité défini par un dnsité d probabilité sur l intrvall [ ; ] (ou plus généralmnt sur un intrvall frmé borné [a ; b]) La probabilité d un intrvall apparaît alors comm air sous la courb d la fonction d dnsité Dans c chapitr, l princip sra l mêm qu dans l chapitr précédnt sauf qu l on va voir la notion d dnsité d probabilité sur l intrvall [ ; + [ omm ct intrvall st illimité à droit, cla va nécssitr qulqus ptits adaptations qu nous allons voir Objctif : étudir un loi d probabilité continu autr qu la loi uniform sur [ ; ] qui srt n physiqu I Fonction d dnsité sur l intrvall [ ; + [ ) Définition st fié (nous vrrons l intrprétation d c rél n physiqu dans l paragraph IV) On considèr la fonction f : ; NB : La valur d sra n général donné dans ls rcics sauf dans crtains rcics où l on dmandra d abord d calculr la valur d avant d l utilisr dans la suit On n put pas s rprésntr concrètmnt l On avait étudié ls fonctions du typ k «Eponntill ()» où k st un rél strictmnt positif dans l chapitr sur ) ropriété f vérifi ls conditions : : f st défini t continu sur : f st positiv ou null sur : lim f t dt ; ; On dit qu f st un fonction d dnsité sur l intrvall ;

2 II Définition t prmièrs propriétés d la loi ponntill ) Définition j O i Nous admttrons qu il ist un uniqu loi d probabilité sur l intrvall ; d dnsité d probabilité f : ; tt loi d probabilité st applé «loi ponntill d paramètr» put aussi s écrir : f t dt NB : Il n y a pas d condition sur la monotoni pour un dnsité d probabilité ) Démonstration évidnts : t f t d t dt t lim (car ) Donc f t t (on abord ici la notion d limit d intégral qui a déjà été vu n rcic) lim d Il n y a donc plus d objction à mttr concrnant ctt écritur étrang Nous nous gardrons cpndant d l utilisr ctt anné La fonction f défini précédmmnt st la fonction d dnsité associé à la «loi ponntill d paramètr» On put signalr d mblé la propriété intérssant (t fondamntal) : ) robabilité d un intrvall frmé borné our tout intrvall ; ;, on a : ; d ) as particulir : probabilité d un singlton our tout rél, on a : ; d 4 ) Un résultat important à savoir ; ; 5 ) Utilisation n physiqu tt loi d probabilité modélis la duré d vi d un noyau radioactif (cf IV) ; 6 ) Variabl aléatoir qui suit la loi ponntill ; fonction d répartition Soit X un variabl aléatoir qui suit la loi ponntill d paramètr On notra la propriété suivant qui st très important : X X X t 4

3 La fonction d répartition d X st donc la fonction F défini sur d la manièr suivant : ; F ; par ; III Ercic-typ rédigé Énoncé : F La duré n annés d bon fonctionnmnt d un composant élctroniqu suit la loi ponntill d paramètr ) robabilité qu l composant fonctionn ntr t 5 ans (au sns larg) On not la loi ponntill d paramètr sur ; 5 5 5,5 (valur act) ;5 d vc la calculatric, on obtint : ;5,447 ) robabilité qu l composant fonctionn au plus ans (valur act) ; d vc la calculatric, on obtint : ;,6 ) robabilité qu l composant fonctionn au moins ans ; vc la calculatric, on obtint : Rmarqu : d pas ctt anné ; ;,67 On a : ; ; (réunion disjoint) Or Donc ; ; IV pplication à la physiqu ) Lin ntr décroissanc radioactiv t loi ponntill On considèr un élémnt radioactif En physiqu, on établit qu l nombr d noyau radioactifs présnts à l instant t st donné (modélisé) par : N t N t où désign la constant d radioactivité du composant t N l nombr d noyau radioactifs présnt initialmnt tt rlation st applé «loi d décroissanc radioactiv» La loi ponntill modélis la duré d vi d un noyau radioactif nombr d noyau morts ntr ls instants t t «l noyau murt ntr t t» nombr d noyau initial «l noyau murt ntr t t» «l noyau murt ntr t t» nombr d noyau initial nombr d noyau rstant à l'instant t nombr d noyau initial N N N «l noyau murt ntr t t» t t «l noyau murt ntr t t» d t ) ropriété fondamntal (qui justifi l nom d loi d duré d vi sans viillissmnt) : loi d ponntill d paramètr sur ; our tout rél s, la probabilité conditionnll t s ; / t ; ou : n dépnd pas du rél t On suppos qu X st un variabl aléatoir qui suit la loi ponntill d paramètr our tout rél X t s / X t n dépnd pas du rél t s, la probabilité conditionnll Ou ncor (millur formulation, à connaîtr par cœur) On suppos qu X st un variabl aléatoir qui suit la loi ponntill d paramètr our tout rél X t s / X t X s s, la probabilité conditionnll 5 La probabilité qu un noyau radioactif soit ncor n vi à l instant t s sachant qu il st ncor n vi à l instant t n dépnd pas du rél t 6

4 Empl : t rprésnt un instant t s rprésnt un duré t t s X / X X 5 / X t s t (probabilité qu l composant ait un duré d vi supériur ou égal à 5 sachant qu il a déjà vécu anné) On put prndr la anné comm anné X La probabilité st égal à On dira qu X st «sans mémoir» ) Démonstration (RO) / B B B On a : t s ; / t ; (avc B ) ; ; t ; t s t On put écrir : t s ; / t ; t s ; t ; On sait qu t ; t ts t t s ; t s ; / t ; t s t tst s Rappl : ; ; ( t sont du réls positifs ou nuls) V Espéranc mathématiqu t varianc d un variabl aléatoir qui suit la loi ponntill ) Définition On considèr un variabl aléatoir X qui suit la loi ponntill d paramètr L spéranc t la varianc d X sont donnés n rprnant la définition donné dans l chapitr sur ls généralités sur ls variabls à dnsité On utilis fonction d dnsité f : t l on adapt n considérant ds limits On démontrra dans la parti démonstration qu cs limits istnt bin t sont finis, c qui justifi la définition donné ci-dssous L spéranc mathématiqu d X, noté E X, st la limit d La varianc d X, noté V X, st la limit d On rtindra On pourrait écrir fair n trminal ) ropriété E X V X E X lim d d lorsqu tnd vrs + E X d lorsqu tnd vrs + t t E X d V X lim E X d V X E X d mais on préfèr n pas l car Il découl immédiatmnt d l prssion d la varianc qu X V X ) Démonstration pour l spéranc (la varianc st admis) ar définition, on a : E X lim d Un tll intégral n put s calculr dirctmnt car on n connaît pas d primitiv d la fonction qui figur «sous» l intégral 7 8

5 èr méthod : utilisation d un intégration par partis méthod : utilisation d la fonction G : t t t t G ' t t t (calcul très simpl) Donc d G lim car donc On pourrait ffctur l changmnt d variabl X lim Donc car E X VI Simulation d la loi ponntill X lim (limit d référnc) X X On put simulr la loi ponntill à partir d la loi uniform sur ; ) Variabl aléatoir Soit U un variabl aléatoir qui suit la loi uniform sur l intrvall ; t un rél strictmnt positif On pos X ln U Détrminons la fonction d répartition d la variabl X Soit t un rél positif ou nul X t ln U t X t ln U t (on a multiplié ls du mmbrs par ; on a ) X t U t X t U t X U t t X t car U suit la loi uniform sur ; t On n conclut qu X suit la loi ponntill d paramètr ) pplication : simulation d la loi ponntill On rntr la formul «ln ala» où ala défini la «fonction» prmttant d générr ds nombrs aléatoirs dans l intrvall [ ; [ sur calculatric ou sur tablur ln ala» On put simplifir ctt formul n «On put ainsi simulr ds séris d réalisations d un variabl aléatoir qui suit la loi ponntill d paramètr Empl : L instruction «,5ln ala» simul la loi ponntill d paramètr 8 On put simplifir n «,5 ln ala» On va démontrr qu la variabl aléatoir X suit la loi ponntill d paramètr On vérifi aisémnt qu la variabl X st bin défini En fft, U st à valurs dans l intrvall ; donc U L logarithm népérin d U ist bin X st à valurs dans l intrvall ; En fft, comm U st à valurs dans l intrvall omm, donc X st à valurs positivs ou nulls ; st à valurs dans l intrvall ;, ln U st à valurs dans l intrvall ; 9