7. Applications du théorème des

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1 67 7. Applictions du théorème des résidus. Évlution d intégrles réelles impropres Une ppliction importnte de l théorie des résidus est l évlution de certins types d intégrles définies et d intégrles impropres intervennt en nlyse réelle... Convergence en vleur principle L intégrle impropre d une fonction continue fx) sur l intervlle semi-infini x est définie u moyen de l éqution fx) dx = lim R fx) dx..) Si l limite dns le membre de droite existe, on dit que l intégrle impropre converge. S vleur est l vleur de cette limite. Si fx) est continue pour tout x, l intégrle impropre est définie en écrivnt fx) dx = fx) dx.) lim fx) dx + lim fx) dx,.3) R R où les vleurs R et R sont différentes. Qund les deux limites ci-dessus existent séprément, l intégrle.) converge, s vleur étnt l somme des vleurs de ces deux limites.

2 68 Chpitre 7 : Applictions du théorème des résidus Cependnt, il est utile de définir utrement une vleur possible ssignée à l intégrle.). On ppelle vleur principle de Cuchy de l intégrle.) le nombre vp fx) dx = lim fx) dx,.4) R à l condition que cette limite unique existe. Si l intégrle.) converge, l vleur obtenue est l même que l vleur principle de Cuchy. D utre prt, lorsque pr exemple fx) = x, l vleur principle de l intégrle.) est, tndis qu u sens de l définition.3) cette intégrle ne converge ps. Mis supposons que f est une fonction pire. Alors, si l vleur principle de Cuchy de l intégrle.) existe, l intégrle.) converge. De même, si f est pire, et si l une ou l utre des intégrles.) ou.) converge, il en est de même de l utre. On : fx) dx = fx) dx..5) Supposons que l intégrnd fx) de l intégrle.) est de l forme fx) = px) qx),.6) où px) et qx) sont des polynômes réels sns fcteurs communs, et où qx) n ps de zéros réels. Qund l intégrle converge, s vleur peut souvent être trouvée en déterminnt s vleur principle de Cuchy à l ide du théorème des résidus... Exemple Montrons que l intégrle converge et clculons s vleur. x x 4 + 5x + 4 dx = x x 4 + 5x dx.7) + 4 Notons que l intégrle de droite représente une intégrtion de l fonction fz) = z z 4 + 5z + 4 = z z + )z + 4).8) le long de l xe réel entier dns le pln complexe. L fonction fz) des singulrités isolées ux points z = ±i, z = ±i et elle est nlytique prtout illeurs. Qund R >, les points singuliers de f dns le demi-pln supérieur se trouvent à l intérieur de l région semi-circulire bornée pr le segment z = x x R) de l xe réel et pr l moitié supérieure du cercle z = R Fig. ).

3 Évlution d intégrles réelles impropres 69 y i i -R O R x Figure En intégrnt f dns le sens direct le long de l frontière de cette région semicirculire, on obtient fx) dx + fz) dz = πib + B ),.9) où B est le résidu de f u point z = i et B le résidu de f u point z = i. En écrivnt fz) = φz) z vec φz) = z i z + i)z + 4),.) on voit que le point z = i est un pôle simple de f et que B = φi) = /i. Le point z = i est églement un pôle simple et B = 3/4i. Donc πib + B ) = π/ et l éqution.9) peut être mise sous l forme vlble pour toutes les vleurs de R supérieures à. fx) dx = π fz) dz,.) Nous llons mintennt montrer que l vleur de l intégrle dns le membre de droite de l éqution.) tend vers lorsque R tend vers l infini. Lorsque z est un point de, on les inéglités tringulires et : z z + = R +.) z 4 + 5z + 4 = z + z + 4 z z 4 = R )R 4)..3)

4 7 Chpitre 7 : Applictions du théorème des résidus Pr suite, on l mjortion z z 4 + 5z + 4 dz R + R )R πr,.4) 4) l longueur de étnt πr. On donc : lim R On déduit lors de l éqution.9) l formule soit : lim R vp fz) dz =..5) x x 4 + 5x + 4 dx = π,.6) x x 4 + 5x + 4 dx = π..7) L intégrnd est pir, l intégrle converge donc vers s vleur principle de Cuchy. Selon l formule.7), on : x x 4 + 5x + 4 dx = π 4..8). Intégrles impropres fisnt intervenir des sinus et des cosinus.. Position du problème L théorie des résidus peut être utile pour évluer des intégrles impropres convergentes de l forme px) qx) sin x dx ou px) qx) cos x dx,.) où px) et qx) sont des polynômes réels, et où qx) n ps de zéros réels. On suppose que px) et qx) n ont ps de fcteur communs. L méthode précédente ne peut ps être ppliquée directement ici, cr sin z et cos z croissent comme sh y c est-à-dire comme e y ), lorsque y tend vers + et on ne peut ps non plus trviller dns le demi-pln inférieur cr le problème est le même). On écrit px) qx) px) cos x dx + i qx) sin x dx = px) qx) eix dx,.) et l on remrque que le module e y supérieur. de expiz) reste borné dns le demi-pln

5 Intégrles impropres fisnt intervenir des sinus et des cosinus 7.. Exemple Montrons que : cos x x + ) dx = π e..3) Comme l intégrnd est pir, il suffit de montrer que l vleur principle de Cuchy existe et de l clculer. On introduit l fonction fz) = expiz) z + ),.4) qui est nlytique prtout sur l xe réel et u-dessus de l xe réel, suf u point z = i. L singulrité z = i se trouve à l intérieur de l région semi-circulire bornée pr le segment z = x x R) de l xe réel et pr l moitié supérieure du cercle z = R R > ). L intégrtion de f dns le sens direct le long de ce contour conduit à l éqution où B est le résidu de f en z = i. Puisque fz) = expix) x + ) dx = πib expiz) z dz,.5) + ) φz) expiz), où φz) = z i) z + i),.6) le point z = i est un pôle d ordre de l fonction f et : B = φ i) = i e..7) En églnt les prties réelles des deux membres de l éqution.5), on obtient : Finlement, on utilise l mjortion x + ) cos x dx = π e Re expiz) z dz..8) + ) expiz) = exp y),.9) vlble qund z est sur, puisque là on y. Il s ensuit que : Re expiz) z + ) dz expiz) z + ) dz πr R )..) Cette dernière quntité tend vers zéro lorsque R tend vers l infini. On obtient donc insi le résultt cherché formule.3)).

6 7 Chpitre 7 : Applictions du théorème des résidus 3. Intégrtion le long d une coupure Le théorème des résidus est souvent utilisé pour évluer des intégrles réelles lorsque l fonction fz) introduite possède une coupure. Exemple Considérons l fonction x, où x > et où < <, définie comme l détermintion principle de l puissnce indiquée de x. Autrement dit, x est le nombre réel positif exp Log x). Nous llons clculer ici l intégrle réelle impropre x dx, < <. 3.) x + L intégrle 3.) est impropre pour deux risons : l limite supérieure d intégrtion est infinie, et l intégrnd une discontinuité infinie en x =. D près les résultts connus en nlyse réelle, l intégrle converge lorsque < <. Il fut toutefois signler que, dns le contexte présent, il n est ps utile d étblir séprément l convergence de l intégrle : ceci viendr tout nturellement lors de son évlution. Soient C ɛ et les deux cercles z = ɛ et z = R, où ɛ < < R. Les orienttions sont celles représentées sur l Fig.. y C ϵ - O ϵ R x Figure Comme l brnche fz) = z, z >, < rg z < π 3.) z + de l fonction multiforme z /z + ), vec l coupure rg z =, est continue pr morceux sur C ɛ et, les intégrles C ɛ fz) dz, fz) dz 3.3)

7 Intégrles définies fisnt intervenir des sinus et des cosinus 73 existent. On considère le contour simple fermé orienté positivement constitué comme le montre l Fig. 4 et on pplique à ce contour le théorème des résidus. Il fut remrquer que, sur le bord inférieur de l coupure, l fonction qui intervient est f[x expπi)] = exp iπ) fx). L fonction considérée possède à l intérieur du contour un seul pôle simple z =. Il vient x ɛ ɛ x + dx + [x expiπ)] fz) dz + dx + fz) dz = πi exp iπ), R x + C ɛ 3.4) soit : fz) dz + fz) dz = πi exp iπ) + e iπ x ) dx. 3.5) C ɛ ɛ x + En revennt à l définition 3.) de fz), on remrque que fz) dz ɛ π πɛ = C ɛ ɛ ɛ ɛ 3.6) et : fz) dz R R πr = πr R R. 3.7) Puisque < <, les vleurs de ces deux intégrles tendent vers zéro lorsque ɛ et R tendent respectivement vers et vers l infini. En réécrivnt l éqution 3.5) comme une expression pour l dernière intégrle qu elle contient, et en y fisnt tendre ɛ vers zéro et R vers l infini, on obtient le résultt : x exp iπ) dx = πi x + exp iπ) = π, < <. 3.8) sin π 4. Intégrles définies fisnt intervenir des sinus et des cosinus L méthode des résidus est églement utile pour évluer certines intégrles définies du type : π F sin θ, cos θ) dθ. 4.) Comme l ngle θ vrie entre et π, on le considère comme l rgument de l ffixe z d un point situé sur le cercle unité C centré à l origine : z = e iθ, θ < π. 4.) L intégrle 4.) devient lors l intégrle de contour z z F, z + ) z dz i iz C 4.3)

8 74 Chpitre 7 : Applictions du théorème des résidus d une fonction de z sur le cercle C prcouru dns le sens direct. L intégrle originle 4.) est une forme prmétrisée de l intégrle 4.3). Dns le cs où l intégrnd de l intégrle 4.3) est une frction rtionnelle de z, on peut évluer cette intégrle pr le théorème des résidus dès lors que les zéros du dénominteur ont été identifiés, et à l condition qu ucun de ces zéros ne se trouve sur C. Exemple Montrons que π + sin θ dθ = π, < <. 4.4) L formule 4.4) est évidemment vrie si =, et nous excluons ce cs dns l démonstrtion. Avec l substitution 4.), l intégrle 4.4) prend l forme de l intégrle de contour suivnte : C z + i z dz. 4.5) Le dénominteur de l intégrnd des zéros purement imginires : z = i ) +, z = i ). 4.6) Lorsque >, on : z = + >. 4.7) Comme z z =, on donc z <. Il n y ps de points singuliers sur C. Le seul point singulier intérieur à C est le point d ffixe z. On peut écrire dns ce cs : + ) z = i. 4.8) Lorsque <, on : z = + >. 4.9) Le point singulier intérieur à C est le point d ffixe z. On peut écrire dns ce cs : + ) z = i 4.) Dns tous les cs, le point singulier intérieur à C pour ffixe : + ) z = i. 4.)

9 Intégrles définies fisnt intervenir des sinus et des cosinus 75 On pose : fz) = Pour trouver le résidu de fz) en z, on écrit : Le résidu est : fz) = φz) z z, φz) = b = φz ) = On déduit du théorème des résidus le résultt : C z + i z. 4.) z i z + i z dz = πib = ). 4.3) i. 4.4) π. 4.5)