FONCTONS AFFINES - INTRODUCTION

Transcription

1 FONCTONS AFFINES - INTRODUCTION Ce document totalement gratuit (disponible parmi bien d'autres sur la page perso JGCUAZ.FR rubrique mathématiques) a été conçu pour aider les élèves de seconde générale en mathématiques. Il contient le cours (définitions, théorèmes, démonstrations) et des exercices tous corrigés. La progression proposée est celle que je pratique dans mes classes. Au fur et à mesure, j'ai inséré des remarques, conseils et points méthode, sur la base de mon expérience d'enseignant en lycée. Ce document n'a pas la prétention de se substituer à l'assiduité nécessaire au cours, mais pourra permettre au lecteur de rattraper une absence, de réviser une notion et/ou de préparer une évaluation, le temps de recherche des exercices (et non pas une lecture immédiate du corrigé, même si celuici est écrit "juste en dessous"!) étant une condition nécessaire à la réussite. La navigation peut s'effectuer de manière interactive pour ceux qui utilisent la version PDF de ce document. Pour toute remarque, merci de vous rendre sur la page personnelle JGCUAZ.FR où vous trouverez mon adresse électronique (qui est JGCUAZ@HOTMAIL.COM à la date du 01/10/016) Montpellier, le 01/10/016 Jean-Guillaume CUAZ, professeur de mathématiques, Lycée Clemenceau, Montpellier depuis 01 Lycée Militaire de Saint-Cyr, de 000 à 01 Fonctions affines - Introduction Page 1/0 Version du 01/10/016

2 FONCTIONS AFFINES Les fonctions affines font partie des fonctions les plus "simples" et se rencontrent dans de nombreuses situations de la vie de tous les jours (tarifs des taxis, des SMS, impôts...) 1) Définitions générales Une fonction f est dite affine s'il existe deux nombres m et p tels qu'une écriture de f puisse être : Pour tout nombre x, f x = mx + p. Le nombre m est le coefficient directeur et le nombre p est l'ordonnée à l'origine. Exemples : 1 x f ( x) = x+ f ( x) = car on peut l'écrire f ( x) = x+ = car on peut l'écrire f ( x) = x f ( x) x( x 1) x Cas particuliers : Si m = 0, la fonction est constante égale à p. Si p = 0, la fonction est dite linéaire. Représentation graphique Le plan étant muni d'un repère, la représentation graphique de la fonction affine f définie par f ( x) mx p = + est la droite d'équation y = mx + p Exemple : Ci-contre la représentation graphique 1 définie par f x = x+. Elle contient le point A(1;) car f ( 1) = 1+ 1= de la fonction f Propriété : Si f est linéaire, passe par l'origine O(0;0) car f 0 = 0. Si f est constante, est parallèle à l'axe des abscisses. Seconde Générale - Fonctions affines Page /0 Version du 01/10/016

3 Exercice n 1 (correction) FONCTIONS AFFINES - EXERCICES Indiquer parmi les fonctions suivantes celles qui sont linéaires, celles qui sont affines mais non linéaires, et celles qui ne sont pas affines : f( x) = x+ 1 gx= 1 jx = x + x x 5 kx = x 1 hx = x lx = x 5 x + 1 ix = mx = (x+ ) 4x Exercice n (correction) On considère la fonction f définie par f( x) = x+. 1) Déterminer l'image de 5 par f. ) Déterminer le(s) antécédents de 5 par f. Exercice n (correction) Tracer sur un même graphique les droites,,, et d représentatives des fonctions suivantes : 1 : f x = x+ : d 1 g x : h x = x 4 : i x = d 4 d1 d d 4 = x+ d d Exercice n 4 (correction) On considère la fonction f définie pour tout nombre x par f x = x et la droite représentant f dans un repère orthonormé. 1) Déterminer l'abscisse du point de dont l'ordonnée vaut - ) Déterminer l'ordonnée du point de dont l'abscisse vaut Exercice n 5 - VRAI ou FAUX? (correction) Affirmation VRAI FAUX Toute fonction linéaire est affine Toute fonction constante est linéaire Toute fonction affine est linéaire Toute fonction constante est affine Seconde Générale - Fonctions affines Page /0 Version du 01/10/016

4 Exercice n 6 (correction) Deux chauffeurs A et B de taxi pratiquent les tarifs suivants : A demande pour chaque course de prise en charge plus 0, par kilomètre parcouru. B ne demande pas de prise en charge mais exige 0,4 par kilomètre parcouru. Soit x le nombre de kilomètres parcourus. 1) Exprimer en fonction de x le prix de revient A(x) si on prend le taxi A et le prix de revient B(x) on prend B. ) Représenter dans un même repère les courbes représentatives des prix de revient en fonction de x ) Utiliser le graphique pour : a) Déterminer le prix de revient d une course de 8 km avec A puis avec B. b) Déterminer pour quels trajets B est plus avantageux que A. c) Déterminer pour quel trajet A et B demande le même prix. 4) Vérifier par le calcul le résultat obtenu au.c) Exercice n 7 (correction) On compare trois forfaits mensuels pour SMS : Forfait A : fixe de 5 quel que soit le nombre de SMS Forfait B : 0, par SMS Forfait C : fixe de 15 et 0,1 par SMS 1) Un utilisateur assidu estime qu il envoie 80 SMS par mois environ. Quel forfait est le plus avantageux pour cet utilisateur? ) Un commercial qui utilise de très nombreux SMS chaque mois décide d étudier plus précisément les avantages de chaque forfait. On note, et h x le prix payé en euros dans le cas des forfaits A,B et C, en fonction du nombre entier x de SMS envoyés pendant le mois. f ( x ) g( x ) a) Exprimer, et h x en fonction de x. f ( x ) g( x ) b) Dans le repère ci-dessous, représenter les courbes des fonctions f,g et h. Seconde Générale - Fonctions affines Page 4/0 Version du 01/10/016

5 c) Par lecture graphique, déterminer quel forfait est le plus avantageux suivant le nombre de SMS mensuels envoyés. ) Déterminer par le calcul le nombre de SMS pour lequel les forfaits B et C sont équivalents. Exercice n 8 (correction) Déterminer l'expression de la fonction affine f telle que ( 1) f = et f ( ) = 8 Exercice n 9 (correction) On étudie la température au cours d'une journée. 1) On suppose que la température entre 10h et 18h est modélisée par une fonction affine f en fonction du temps t, avec t [ 10;18]. a) Sachant qu'à 10h la température était de 11 C et qu'elle était de C à 18h, déterminer l'expression de f t en fonction de t. b) Quelle sera la température à minuit si la tendance se poursuit ainsi? c) Selon cette modélisation, déterminer l'heure à laquelle la température sera de 17 C. ) On suppose que la température entre 18h et h est modélisée par une fonction affine g en fonction du temps t, avec t [ 18;] de 1 C à h, déterminer l'expression de g t en fonction de t.. Sachant qu'à 18h la température était de C et qu'elle était Seconde Générale - Fonctions affines Page 5/0 Version du 01/10/016

6 FONCTIONS AFFINES - CORRECTION Correction de l'exercice n 1 (retour à l'énoncé) La fonction définie par f( x) = x+ 1 est affine car de la forme f ( x) = mx + p avec m = et p = 1 x 1 1 La fonction définie par gx = = xest linéaire car de la forme g( x) = mx + p avec m = et p = 0 La fonction définie par hx = n est pas affine car n est pas de la forme h( x) = mx + p x x La fonction définie par ix = = x+ est affine car de la forme i( x) = mx + p avec m = 1 et p = La fonction définie par jx = x + 1 n est pas affine car n est pas de la forme j( x) = mx + p La fonction définie par La fonction définie par La fonction définie par forme m( x) = mx + p avec m = 1 et p = 9 Correction de l'exercice n (retour à l'énoncé) 1) f (5) = 5 + = 7 est affine car de la ) Pour déterminer le(s) antécédents de 5 par f, on résout l'équation f( x ) = 5 qui se réécrit x + = 5 puis x = donc x = 1. L'unique antécédent de 5 par f est -1. Correction de l'exercice n (retour à l'énoncé) Pour construire la droite représentative d'une fonction affine, deux points sont nécessaires (cf chapitre équations de droites). De plus, un point fonction f si et seulement si x 5 kx = n est affine car n est pas de la forme x 1 lx = n est affine car n est pas de la forme x 5 mx x x x x x x = ( + ) 4 = = appartient à la droite représentative de la Pour : f x x, on se donne x = 0 f 0 = 0+ 1= 1 d où le point A(0 ;1), et d où le point B(- ;-5) Pour : g x x, on se donne x = 0 g 0 = 0+ = d où le point C(0 ;), et x = g = + = 1 d où le point D( ;-1) ( ab ; ) b= f ( a) d 1 = + 1 f d = + d = 4 h d où le point F(4 ;0) x = = + 1= 5 k( x) = mx + p l( x) = mx + p Pour : h x x, on se donne x = 0 h 0 = 0 4= 4 d où le point E(0 ;-4), et x = 4 4 = 4 4= 0 Seconde Générale - Fonctions affines Page 6/0 Version du 01/10/016

7 La droite d a pour équation y =. Elle est constituée de tous les points dont l ordonnée est égale 4 à. Cette droite est donc parallèle à l axe des abscisses. Correction de l'exercice n 4 (retour à l'énoncé) 1) L'abscisse x du point de dont l'ordonnée vaut - est solution de l'équation f x =, qui se 1 réécrit successivement 4x 1= x = 4 ) L'ordonnée du point de dont l'abscisse vaut 7 est égale à f 7 = = 7 Correction de l'exercice n 5 (retour à l'énoncé) Affirmation VRAI FAUX Toute fonction linéaire est affine Toute fonction constante est linéaire Toute fonction affine est linéaire Toute fonction constante est affine X X X X Seconde Générale - Fonctions affines Page 7/0 Version du 01/10/016

8 Correction de l'exercice n 6 (retour à l'énoncé) Soit x le nombre de kilomètres parcourus. 1) Si on prend le taxi A, le prix de revient de la course sera Si on prend le taxi B, le prix de revient de la course sera = 0,x+ ) Ci-dessous les droites et D représentant les fonctions affines A et B : D1 A x = 0, 4 B x x ) a) Pour déterminer le prix de revient d une course de 8 km avec A puis avec B, on lit les ordonnées des points des droites et qui ont pour abscisse 8 (ou on calcule 8 et B 8 ). D1 D A On trouve respectivement, et 4,4. On confirme par le calcul : A = + = + = et B ( 8) = 0,4 8=, ( 8) 0, 8, 4 4, 4 b) Il est plus avantageux d utiliser le taxi B que le taxi A pour tous les trajets dont la longueur (lue en abscisse) correspond aux points pour lesquelles est au dessus de D. D 1 On lit graphiquement que cela correspond aux trajets supérieurs à 0 kms. Par le calcul : B( x) A( x) 0, 4x 0,x+ 0,1x x = 0 0,1 c) Les deux taxis demanderont le même prix pour un nombre de km égal à l abscisse du point d intersection de et D D1 On lit sur le graphique que ce trajet est de 0 km 4) Par le calcul : B( x) = A( x) 0, 4x= 0,x+ 0,1x= x= = 0 0,1 Correction de l'exercice n 7 (retour à l'énoncé) 1) Si l utilisateur estime qu il envoie 80 SMS par mois, il paiera : 5 avec le forfait A. 0, 80 = 16 avec le forfait B ,1 80 = = avec le forfait C. Le forfait B est alors plus avantageux pour cet utilisateur ) a) Si on note x le nombre de SMS envoyés pendant le mois, alors :, g x 0, x 0, x et h x = ,1 x = ,1x f ( x ) = 5 = = prix d'un SMS nombre de SMS prix fixe prix d'un SMS Seconde Générale - Fonctions affines Page 8/0 Version du 01/10/016 nombre de SMS

9 b) Les représentations graphiques des trois fonctions f,g et h sont des droites, la première horizontale (fonction constante), la deuxième passant par l origine (fonction linéaire), la troisième oblique. Pour la deuxième droite, un point autre que l origine suffit. Par exemple le point (50 ;10) correspondant à 50 SMS. Pour la troisième droite, deux points sont nécessaires. Par exemple les points (0 ;15) correspondant à 0 SMS et (50 ;0) correspondant à 50 SMS. Les trois droites sont : c) Par lecture graphique des positions relatives des différentes droites, on établit que : Pour une quantité de SMS comprise entre 0 et 150, le forfait B est le plus avantageux Pour une quantité de SMS comprise entre 150 et 00, le forfait C est le plus avantageux Au delà de 00 SMS, le forfait A est le plus avantageux. ) Les forfaits B et C seront équivalents pour un nombre x de SMS solution de l'équation : 15 0, x= ,1x. On résout 0, x 0,1x= 15 donc 0,1x = 15 donc x = = ,1 Les forfaits B et C seront équivalents pour 150 SMS. Correction de l'exercice n 8 (retour à l'énoncé) On cherche la fonction f sous la forme Puisque f 1 =, on a m ( 1) + p = Puisque ( ) 8 f =, on a m + p = 8 m+ p = L On obtient donc le système m+ p = 8 L Le système se réécrit successivement : f ( x) = mx + p 1 Seconde Générale - Fonctions affines Page 9/0 Version du 01/10/016

10 p = + m L1 m ( m) + p p = 8 ( ) L L 11 p = + L m= L L La fonction affine f admet pour expression 11 1 f ( x) = x 4 4 p = + m L1 4m= 11 L L 1 p = L m= L L Correction de l'exercice n 9 (retour à l'énoncé) 1) a) Puisque f est affine, il existe deux nombres m et p tels que f t = mt + p. 10m+ p = 11 Puisque f ( 10) = 10m+ p = 11 et f ( 18) = 18m+ p =, on obtient le système. 18m+ p = Par soustraction des deux lignes on aura 8m = 1 donc m = 1,5. La première ligne fournit ensuite Ainsi, b) f 4 = 1,5 4 4 =. Si la tendance se poursuit ainsi, la température sera de C à minuit. c) On résout f t = c'est-à-dire 1,5t 4 = 17 ou encore Selon cette modélisation, déterminer il fera 17 C à 14 heures. ) Puisque g est affine, il existe deux nombres m et p tels que g t = mt + p. 18m+ p = Puisque g( 18) = 18m+ p = et g( ) = m+ p = 1, on obtient le système. m+ p = 1 Par soustraction des deux lignes on aura 5m = 10 donc m =. La première ligne fournit ensuite p = 18m= 18 = 59. Ainsi, f ( t) = 1,5t 4 17 = t+ 59 g t p = 11 10m= ,5 = 4 1 t = = 14 1,5 Seconde Générale - Fonctions affines Page 10/0 Version du 01/10/016

11 FONCTIONS AFFINES - PROPRIETE CARACTERISTIQUE ) Proportionnalité des accroissements d'une fonction affine Propriété (preuve) Soit f une fonction affine d'écriture f x = mx + p. f x f x1 Pour tous nombres x1 et x distincts, on a : = m. x x 1 Cela signifie que les accroissements en ordonnées f x f x 1 accroissements en abscisses x x. Le coefficient de proportionnalité est m. 1 sont proportionnels aux Preuve : On écrit f x mx p et f x = mx + p puis on calcule : ( 1) = 1+ f x f x1 mx1+ p mx + p m x x1 = = = m. x x x x x x Application : Cela permet, connaissant deux images d'une fonction affine, de déterminer son coefficient directeur puis n'importe quelle image sans avoir à déterminer l'expression de la fonction. Exemple : f f 5 7 Si f est une fonction affine telle que f ( ) = 5 et f = 7 alors m = = =. f ( 10) f f ( ) f Pour calculer f ( 10), on écrit l'égalité des rapports = 10 On réécrit cette égalité : f ( 10) 7 = et on déduit f ( 10 ) = = 9 8 Seconde Générale - Fonctions affines Page 11/0 Version du 01/10/016

12 FONCTIONS AFFINES - PROPRIETE CARACTERISTIQUE - EXERCICES Exercice n 10 (correction) f est une fonction affine telle que f = 1 et f ( 5) = 10. Déterminer f ( 9) et f ( 1) Exercice n 11 (correction) Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on considère les points A(1;-) et B(-1;). Déterminer une expression de la fonction affine dont (AB) est la représentation graphique. Cette droite passe-t-elle par le point C(;-7)? Seconde Générale - Fonctions affines Page 1/0 Version du 01/10/016

13 FONCTIONS AFFINES - PROPRIETE CARACTERISTIQUE - CORRECTION Correction de l'exercice n 10 (retour à l'énoncé) En appliquant la propriété de proportionnalité entre les variations de la fonction et celles de la variable, on peut écrire : f 9 f f 5 f f = =, donc De même, f 1 f f 5 f f = = f ( 9) = 7 1= donc 11 f ( 1) = ( ) 1 = 1 Correction de l'exercice n 11 (retour à l'énoncé) Puisque, la droite (AB) n est pas parallèle à l axe des ordonnées. L expression de la fonction affine dont (AB) est la représentation graphique est de la forme f x = mx + p. Puisque les points A(1;-) et B(-1;) appartiennent à la représentation graphique de f, on a et f 1 = f 1 f 1 5 Pour calculer m, on utilise la formule m = = = L expression de la fonction f est donc de la forme f ( x) = x+ p Pour calculer p, on utilise f ( 1) = 1+ p = p = + = 5 1 Ainsi f ( x) = x+. Puisque x A x f ( 1) = f B = + = = = 7, cette droite passe par le point C(;-7) Seconde Générale - Fonctions affines Page 1/0 Version du 01/10/016

14 FONCTIONS AFFINES - VARIATIONS ) Variation d'une fonction affine Propriété (preuve) : Soit f une fonction affine dont l'écriture est f x = mx + p. Trois situations sont possibles : Situation 1 Situation Si m > 0, la fonction f est Si m < 0, la fonction f est strictement croissante sur strictement décroissante sur Situation Si m = 0, la fonction f est constante égale à p Preuve : Supposons que m > 0 Alors pour deux valeurs de la variable a< b, on écrit successivement et de manière équivalente : ma < mb car m > 0 puis ma p mb p, c est-à-dire f a < f b L équivalence < < traduit la stricte croissance de f sur Supposons que m < 0 Alors pour deux valeurs de la variable a< b, on écrit successivement et de manière équivalente : ma > mb car m < 0 (INVERSION DU SENS DE L INEGALITE car m < 0 ) puis ma p mb p, c est-à-dire f a > f b. L équivalence < > traduit la stricte décroissance de f sur Enfin, si m = 0, quels que soient a b, on aura f a = f b = p. L équivalence a b f ( a) f ( b) + > + a b f ( a) f ( b) a b f ( a) f ( b) + < + < < = traduit la constance de f sur Exemples : 1 f ( x) = x+. La fonction f est strictement décroissante sur car son écriture est de la forme f ( x) mx p g x = + avec m < 0 4 = x+. La fonction g est strictement croissante sur car son écriture est de la forme g ( x) mx p = + avec m > 0 Seconde Générale - Fonctions affines Page 14/0 Version du 01/10/016

15 FONCTIONS AFFINES - VARIATIONS - EXERCICES Exercice n 1 (correction) Déterminez les variations des fonctions suivantes : f( x) = 7x gx = x+ 5 hx = x f( x) = gx = x hx = 1 x Exercice n 1 (correction) Dresser le tableau des variations des fonctions : f ( x) = 1,5x g( t) = t h( y) = y Seconde Générale - Fonctions affines Page 15/0 Version du 01/10/016

16 FONCTIONS AFFINES - VARIATIONS - CORRECTION Correction de l'exercice n 1 (retour à l'énoncé) La fonction définie par f( x) = 7x est de la forme f ( x) = mx + p avec m = 7> 0, donc elle est strictement croissante sur. La fonction définie par gx = x+ 5 est de la forme g( x) = mx + p avec m = < 0, donc elle est strictement décroissante sur. La fonction définie par hx = est de la forme h( x) = mx + p avec m = 0, donc elle est constante. x La fonction définie par f( x) = = x+ est de la forme f ( x) = mx + p avec m = < 0, donc elle est strictement décroissante sur La fonction définie par gx = x est de la forme g( x) = mx + p avec m = > 0, donc elle est strictement croissante sur La fonction définie par hx = 1 x= x+ 1 est de la forme h( x) = mx + p avec m = < 0, donc elle est strictement décroissante sur Correction de l'exercice n 1 (retour à l'énoncé) f ( x) = 1,5x g( t) = t = t+ h( y) = y Seconde Générale - Fonctions affines Page 16/0 Version du 01/10/016

17 FONCTIONS AFFINES - SIGNE 4) Signe d'une fonction affine Un premier exemple d'introduction : Soit f( x) = x L équation L inéquation f( x ) = 0 f( x ) < 0 admet pour solution x = admet pour intervalle solution - ; L inéquation f( x ) > 0 admet pour intervalle solution ; + On traduit ces résultats sous la forme d un tableau de signes de l expression f( x) = x Un deuxième exemple : Soit L équation L inéquation gx= 0 gx< 0 gx = x+ admet pour solution x = admet pour intervalle solution ; + L inéquation gx> 0 admet pour intervalle solution - ; On traduit ces résultats sous la forme d un tableau de signes de l expression gx = x+ De manière générale, on a le : Théorème : Soit m et p deux réels tels que m 0 p L expression f ( x) = mx + p s'annule pour x =. Deux cas se présentent alors : m m>0 m<0 Le tableau de signes de l'expression est alors Le tableau de signes de l'expression est alors Seconde Générale - Fonctions affines Page 17/0 Version du 01/10/016

18 En résumé : Tableau de signes de f ( x) = mx + p (avec m 0 ): Cette règle sera à la base de l'élaboration des tableaux de signes utilisés pour la résolution d'inéquation Seconde Générale - Fonctions affines Page 18/0 Version du 01/10/016

19 FONCTIONS AFFINES - SIGNE - EXERCICES Exercice n 14 (correction) Dresser le tableau de signes des fonctions suivantes : f( x) = x+ gx = x 4 1 x hx = Exercice n 15 (correction) Dresser le tableau de signes des fonctions suivantes : f ( x) = 1,5x g( t) = t+ h( y) 1 1 = y Seconde Générale - Fonctions affines Page 19/0 Version du 01/10/016

20 FONCTIONS AFFINES - SIGNE - CORRECTION Correction de l'exercice n 14 (retour à l'énoncé) La fonction définie par f( x) = x+ est de la forme f ( x) = mx + p avec m = 1< 0. De plus f( x) = 0 x+ = 0 x=. Le tableau de signes de f est : La fonction définie par gx = x 4 est de la forme g( x) = mx + p avec m = > 0. 4 De plus gx = 0 x 4= 0 x=. Le tableau de signes de g est : 1 x La fonction définie par hx = est de la forme h( x) = mx + p avec m = < 0. 1 x 1 De plus hx = 1 x= 0 x=. Le tableau de signes de h est : Correction de l'exercice n 15 (retour à l'énoncé) f ( x) = 1,5x g( t) = t+ h y 1 1 = y Seconde Générale - Fonctions affines Page 0/0 Version du 01/10/016