ÉNERGIE DU CHAMP ÉLECTROMAGNÉTIQUE

Transcription

1 ÉNERGIE DU CHAMP ÉLECTROMAGNÉTIQUE Le champ électromagnétique agit sur les charges mobiles et peut leur transférer de l énergie (ex : mise en mouvement des charges de l antenne réceptrice d un récepteur radio, effet joule dans un c.o., échauffement des aliments dans un four micro ondes). Inversement nous verrons que dans un émetteur radio par exemple, le mouvement des charges dans l antenne engendre un champ électromagnétique : il y a conversion d énergie cinétique en énergie électromagnétique. Enfin, le champ électromagnétique transporte lui-même de l énergie (même sans support matériel, à travers le vide). Considérons par exemple un laser émettant une impulsion très brève en direction de la lune. Il existe un laps de temps pendant lequel l énergie a déjà quitté le laser et n est pas encore absorbée par le détecteur. Le principe général de conservation de l énergie exige que cette énergie soit quelque part : elle est localisée dans la région de l espace où règne le champ électromagnétique, entre la source et le récepteur, dans le champ lui-même. L objet de ce chapitre est l expression de tous ces transferts d énergie. I. Echange d énergie entre la matière et le champ 1. Puissance volumique cédée à la matière par le champ Le champ électromagnétique peut céder de l énergie à la matière par le travail des forces de Lorentz sur les particules chargées de la matière Soit une particule chargée, de charge q, de vitesse v dans un champ électromagnétique ( E, B ); elle subit la force de Lorentz : q(e v B) f 1 de travail élémentaire: f.dl qe.dl qe.v W 1 1 et de puissance (travail par unité de temps) : W 1 P1 qe.v remarque une particule chargée ne reçoit de l énergie de la part du champ électromagnétique que si elle est en mouvement (i.e. si v ) Soit maintenant un milieu où la charge se distribue en volume. Les particules chargées sont éventuellement de plusieurs types, le type () étant caractérisé par une charge q, une densité particulaire et une vitesse moyenne en M à l instant t, v. La puissance reçue par les d particules chargées de type () d un volume élémentaire d, (c est-à-dire la puissance cédée par le champ électromagnétique) est : dp dp q v.ed j.ed avec j q v 1 La puissance reçue par les particules chargées du volume d est donc : 4.4.Energie du champ électromagnétique 1

2 dp types dp j.ed avec j j types types q v Remarque : un volume de matière contenant des particules chargées ne reçoit de l énergie de la part du champ électromagnétique que s il est le siège de courant ( j ). En revanche, il peut être électriquement neutre. La puissance reçue par la matière de la part du champ, par unité de volume (ou encore cédée à la matière par le champ) est : dp puissance volumique cédée à la matière par le champ d cédée j. E en W.m -3. Remarque : * La puissance totale cédée à la matière d un volume par le champ est P dp j.ed * Il s agit d une énergie qui change de forme : elle passe de la forme «électromagnétique» à une autre forme (énergie cinétique macroscopique ou microscopique cf ci-dessous).. Cas particuliers a) Faisceau de particules Un faisceau de particules est caractérisée par une densité de courant j = v colinéaire à sa vitesse. L expression ci-dessus montre que la puissance volumique cédée par le champ à la matière est maximale quand le faisceau est soumis à un champ électrique extérieur colinéaire à sa propre direction (de même sens que j, i.e. de même sens que v pour des particules chargées positivement, de sens opposé à v pour des particules chargées négativement. L énergie fournie par le champ est convertie en énergie cinétique macroscopique. C est ce qui se passe dans les accélérateurs de particules. b) Conducteurs ohmiques Dans un milieu conducteur, il ne peut pas y avoir d augmentation de l énergie cinétique macroscopique : l énergie cédée par le champ est convertie en énergie microscopique d agitation thermique du milieu, c est-à-dire qu elle augmente l énergie interne du conducteur (cette augmentation se traduit en général par une élévation de température) et, si le conducteur n est pas isolé, elle est en partie transférée vers le milieu extérieur sous forme de chaleur. En régime stationnaire, l énergie interne du conducteur est constante, sa température aussi : l énergie cédée par le champ est intégralement transférée vers le milieu extérieur sous forme de chaleur. L effet thermique du courant électrique dans un conducteur est connu sous le nom d effet Joule (défini en 1841 par Joule) et conduit à de nombreuses applications (résistances chauffantes, radiateurs électriques, fusibles ). Précisons l expression de la puissance cédée par le champ à la matière (puis à l extérieur sous forme de chaleur) dans le cas d un conducteur ohmique (métal ou électrolyte). Un conducteur ohmique est caractérisé par la loi d ohm locale : Loi d Ohm locale : j = E ( : conductivité du matériau =1/ où est la résistivité) la puissance volumique cédée par le champ à la matière est dp j.e E d j La puissance cédée à un tronçon cylindrique de longueur, de section s parcouru par une intensité i=js vaut donc : P j i i l dp d d.sl i : s s s On voit apparaître l expression de la résistance R du tronçon et on retrouve la forme usuelle de la loi de Joule : 4.4.Energie du champ électromagnétique

3 P cédée Ri avec R l s II. Bilan d énergie électromagnétique Soit un volume de l espace (contenant éventuellement de la matière), délimité par une surface fermée (fictive) fixe (rappel : surface fermée = enveloppe délimitant un volume donné). Soit la grandeur extensive, fonction d état W(t) : «énergie électromagnétique contenue dans à l instant t». On pose W(t) électromagnétique par unité de volume). (analogue de Q(t) (r, t)d w(r, t)d où w est la densité volumique d énergie électromagnétique en M( r ) à l instant t (énergie fonction de la densité volumique de charge ) où est la densité volumique de charges pour la charge contenue dans un volume en Le bilan d énergie électromagnétique s écrit entre les instants t et t+ : soit dw=w entrante + W produite variation d énergie électromagnétique de = énergie électromagnétique algébriquement reçue de la part de l extérieur (entrant par l enveloppe + énergie électromagnétique algébriquement produite dans (par la matière) Ce dernier terme est en fait la plupart de temps, dans les matériaux conducteurs, négatif ou nul, c est l opposé de l énergie électromagnétique cédée par le champ à la matière contenue dans. W produite =-W cédée à la matière où W cédée à la matière est l énergie électromagnétique cédée par le champ électromagnétique à la matière contenue dans le volume entre t et t+. D après le I, W P. ( j.e)d cédéeà la matière L énergie entrante dans est due à un courant d énergie traversant la surface. On introduit un vecteur courant d énergie R(r,t ) dont le flux à travers une surface orientée représente la puissance électromagnétique qui s écoule algébriquement à travers dans le sens +, aussi appelée puissance rayonnée à travers orientée, P ray : P ray W traversant électromagnétique) R en W. m avec R vecteur de Poynting (vecteur courant d énergie On notera l analogie avec l intensité du courant électrique I à travers une surface : c est par définition la charge traversant par unité de temps; et on l écrire comme le flux à travers de j, vecteur densité volumique de courant Q traversant électrique. I j.ds j en A.m 4.4.Energie du champ électromagnétique 3

4 Dans le bilan que nous sommes en train de faire, est une surface fermée et par convention, elle est orientée vers Wsortan te l extérieur, donc : et W entrant W sortan t dw dw W(t ) W(t) variation élémentaire de la fonction d état W «énergie elm». Or W(t) w(r, t)d dw s écrit donc, en permutant les opérateurs dérivation par rapport au temps et intégrale de volume : dw. w d t Le bilan d énergie électromagnétique s écrit finalement, en multipliant membre à membre par (-1) : w d t j.ed Ceci est l expression intégrale du bilan d énergie électromagnétique : par unité de temps, la diminution d énergie elm dans est égale à la somme de l énergie électromagnétique sortant (par l enveloppe ) et de l énergie électromagnétique cédée à la matière contenue dans. On utilise le théorème d Ostrogradsy. L égalité précédente étant réalisée pour un volume quelconque, on obtient en faisant tendre la taille de vers autour d un point M : w divr j.e équation locale de Poynting t Ceci constitue une expression locale du bilan d énergie électromagnétique : la diminution d énergie électromagnétique est la somme de ce qui sort et de ce qui est cédée à la matière. Remarque : L analogue pour la charge de l équation locale de Poynting est l équation locale de conservation de la charge : divj t On note une différence importante entre la charge et l énergie électromagnétique : la charge est une grandeur conservative, l énergie électromagnétique ne l est pas; le terme de production est non nul. L énergie électromagnétique ne se conserve pas «telle quelle». Elle peut en effet être convertie en une autre forme d énergie (en énergie cinétique dans les accélérateurs, en énergie thermique dans les conducteurs ohmiques (effet Joule)). III. Exploitation des équations de Maxwell (MA et MF) Le bilan précédent a été réalisé indépendamment des équations de Maxwell. Or ces équations sont le fondement de la théorie électromagnétique; elles doivent donc «contenir» également ce bilan. En les exploitant (on multiplie MA par E /µ et MF par B /µ, et on retranche membre à membre), on obtient : 4.4.Energie du champ électromagnétique 4

5 Équation locale de Poynting E² B² µ E B div( ) j. E µ t En identifiant avec le bilan local d énergie électromagnétique, on obtient les expressions de R et w : E(r, t) B(r, t) R(r, t) µ 1 w(r,t) E²(r, t) B²(r, t) µ w E w B Remarque : il ne s agit pas d une démo. Il y aurait d autres solutions mathématiques mais c est celle-ci qui est retenue. Dans w, le premier terme est la contribution électrique w E, le second w B la contribution magnétique. La puissance électromagnétique rayonnée à travers une surface orientée est égale au flux du vecteur travers. Ce résultat porte le nom de théorème de Poynting P ray E B avec R vecteur de Poynting µ E B R à µ Si est une surface fermée, il s agit de la puissance sortante. 4.4.Energie du champ électromagnétique 5