Contrôle commun février 2012

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1 Lycée Louise MICHEL ndes MATHEMATIQUES Année 0/0 Contrôle commun février 0 ( heures obligatoires) Les calculatrices sont autorisées, mais l échange de tout matériel est interdit. Les brouillons ne sont pas acceptés dans les copies. Une copie non soignée (orthographe, propreté, etc.) sera sanctionnée, Vous rendrez l annexe mais l énoncé NE SERA PAS RAMASSÉ, il est donc inutile de répondre dessus. Exercice. points. Dans le repère orthonormé donné sur la feuille annexe, placer les points suivants : A(0 ; ), B(7 ; ), C ( ; ). Tracer le triangle ABC.. (a) Calculer les longueurs des côtés [AB]et [BC ]. ( on donnera les valeurs exactes ) (b) Que peut on en déduire pour le triangle ABC?. Déterminer par le calcul une équation de la droite (AB). 4. (a) Calculer les coordonnées du point B milieu du côté [AC ] puis placer B sur le graphique. (b) Calculer les coordonnées du point D tel que ABC D soit un parallélogramme. Tracer le parallélogramme ABC D sur le graphique. 5. Soient les points A et C milieux respectifs des côtés [BC ] et [AB]. On admet que la droite (DB) a pour équation y = x et que la droite (A C ) a pour équation y = x+. On note I, le point d intersection des droites (DB) et (A C ). (a) Compléter la figure. (b) Calculer les coordonnées du point I. Exercice. 8 points Le tableau suivant indique la part des individus scolarisés en fonction de l âge en France : Age [ ; 6[ [6 ; 5[ [5 ; 8[ [8 ; 5[ [5 ; 0[ 0 ans et plus Part de la population scolarisée (en%) Compléter, dans le tableau de la feuille annexe, la ligne des fréquences cumulées croissantes.. Calculer l âge moyen d une personne scolarisée en France. (On prendra, comme centre de la classe 0 ans et plus).. (a) Tracer la courbe des fréquences cumulées croissantes sur le repère donné en annexe. (b) En déduire graphiquement l âge médian d une personne scolarisée ainsi que les quartiles (laisser les traits de constructions). (c) A l aide du graphique, déterminer le pourcentage des individus scolarisés qui ont plus de ans. (Vous laisserez les traits de construction et détaillerez votre démarche.)

2 Exercice. points Dans le repère ci-dessous, on observe la courbe représentative C f d une fonction f. C f Donner l ensemble de définition D f de cette fonction.. Donner l image de 0 puis celle de -5 par la fonction f.. Déterminer f ( ) et f (). 4. Quel nombre a la valeur 4 pour antécédent? 5. Déterminer les éventuels antécédents de par la fonction f? 6. Dresser le tableau de variations de f. 7. Résoudre graphiquement les équations suivantes : (a) f (x)= (b) f (x)= 8. Résoudre graphiquement les inéquations suivantes : (a) f (x)< (b) f (x) 0,5 Exercice 4. 0 points Soit f la fonction définie surrpar f (x)= x 9x+ 5.. Calculer l image par f de puis celle de 4. ( Détailler le calcul.). Justifier que pour tout réel x, f (x)=( x+ )(x+ 5).. Etablir le tableau de signe de f (x). 4. En déduire les solutions des inéquations suivantes : (a) ( x+ )(x+ 5) 0. (b) ( x+ )(x+ 5)>0. 5. (Bonus) Résoudre l inéquation f (x) > 5

3 Numéro d anonymat : Exercice. 5 ANNEXE Exercice. Age [ ; 6[ [6 ; 5[ [5 ; 8[ [8 ; 5[ [5 ; 0[ 0 ans et plus Part de la population scolarisée (en %) Fréquences cumulées croissantes

4 Correction. Exercice. points. Dans le repère orthonormé donné sur la feuille annexe, placer les points suivants : A(0;), B(7;) et C(; ). Tracer le triangle ABC. 5 4 A C B I B D A C 4. (a) Calculer les longueurs des côtés [AB] et [BC]. ( on donnera les valeurs exactes ) AB = (7 0) + ( ) = 7 + ( ) = 49+=50 donc AB = 50= 5 BC = (7 ) + (+) = = 5+5= 50 donc BC = 50= 5 (b) Que peut on en déduire pour le triangle ABC? AB = BC, donc le triangle ABC est isocèle en B.. Déterminer par le calcul une équation de la droite (AB). La droite (AB) n est pas parallèle à l axe des ordonnées, elle a donc une équation de la forme y = mx+ p avec m et p réels à déterminer. Calcul de m : m= y B y A x B x A = 7 0 = 7. Calcul de p : A est un point de la droite (AB), donc : y A = 7 x A+ p = 7 0+ p = p. Une équation de la droite (AB) est y = x+. 7 4

5 4. (a) Calculer les coordonnées du point B milieu du côté [AC] puis placer B sur le graphique. B est le milieu du côté [AC] donc : x B = x A+ x C = 0+ = et y B = y A+ y C Les coordonnées de B sont (;0). = = 0. (b) Calculer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme. Tracer le parallélogramme ABCD sur le graphique. ABCD est un parallélogramme, or dans un parallélogramme les diagonales se coupent en leur milieu, donc B est le milieu du segment [BD] d où : x B = x B + x D = 7+ x D =7+ x D 7=x D =x D y B = y B + y D 0= + y D 0 =+ y D = y D Les coordonnées de D sont ( -5 ; -). 5. Soient les points A et C milieux respectifs des côtés [BC ] et [AB]. On admet que la droite (DB) a pour équation y = x et que la droite (A C ) a pour équation y = x+. On note I, le point d intersection des droites (DB) et (A C ). (a) Compléter la figure. Voir la figure. (b) Calculer les coordonnées du point I. Les coordonnées de I vérifient le système : y = x x+ = x x x = y = x+ y = x+ y = x+ 0 x= 40 x = 40 ( 0 ) { { { x = 4 y = x+ y = x+ y = x+ x= 4 x = 4 y = 4+ y = Les coordonnées de I sont (4;). Exercice. 8 points. Age [ ; 6[ [6 ; 5[ [5 ; 8[ [8 ; 5[ [5 ; 0[ 0 ans et plus Part de la population scolarisée (en %) Fréquences cumulées croissantes

6 . Calculer l âge moyen d une personne scolarisée en France. (On prendra, comme centre de la classe 0 ans et plus) ,5 46+6,5 5+,5 9+7,5 + =,4 00. (a) Tracer la courbe des fréquences cumulées croissantes sur le repère donné en annexe ,8,8 7,6 (b) En déduire graphiquement l âge médian d une personne scolarisée ainsi que les quartiles (laisser les traits de constructions). Graphiquement, la médiane est d environ,8 ; le premier quartile est 7,8 et le troisième quartile est 7,6. (c) A l aide du graphique, déterminer le pourcentage des individus scolarisés qui ont plus de ans. (Vous laisserez les traits de construction et détaillerez votre démarche.) Graphiquement, on peut estimer que les moins de ans représentent 85% de la population scolarisée. On en déduit que les plus de ans représentent environ 5% de la population scolarisée. 6

7 Exercice. points C f D f = [,5 ; ].. L image de 0 est et celle de est.. f ( )=0,5 et f ()=. 4. Le nombre a la valeur 4 pour antécédent. 5. Les antécédents de par la fonction f sont,5 et x,5 4,5,5,75,4, f 0,5,6,5 7. (a) L équation f (x) = a pour solutions ; 4 ;, 5 et. (b) L équation f (x)= n a pas de solution. 8. (a) f (x)< x ] ; 0,5[ (b) f (x) 0,5 x [,5 ; ] [0,5 ; ] Exercice 4. 0 points Soit f la fonction définie surrpar f (x)= x 9x+ 5.. Calculer l image par f de puis celle de 4. ( Détailler le calcul.) f ( )= ( ) 9 ( )+5 = = 4 L image par f de est 4. 7

8 ( ) 4 f = ( 4 ) = = 9 7 = 6 9 = 95 9 L image par f de 4 est Justifier que pour tout réel x, f (x)=( x+ )(x+ 5). Pour tout réel x : On a bien f (x)=( x+ )(x+ 5).. Etablir le tableau de signe de f (x). ( x+ )(x+ 5)= x 0x+ x+ 5 = x 9x+ 5 = f (x) x+ =0 x = et x+ 5=0 x =. x + x x ( x+)(x+5) En déduire les solutions des inéquations suivantes : (a) ( x+ )(x+ 5) 0. Par lecture du tableau de signe, ( x+ )(x+ 5) 0 x ] ;] (b) ( x+ )(x+ 5)>0. Par lecture du tableau de signe, ( x+ )(x+ 5)>0 x 5. (Bonus) Résoudre l inéquation f (x) > 5 f (x)>5 x 9x+ 5>5 x 9x> 0 x( x 9)>0 Il ne reste plus qu à faire le tableau de signe de x( x 9). L ensemble solution est ] 9 ;0[. ] ; [ [ [ ;+ 8