TRIGONOMETRIE DANS LE TRIANGLE RECTANGLE Corrigés 1 / 8. cosb = côté adjacent à l angle B hypoténuse

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1 TRIGONOMETRIE DANS LE TRIANGLE RECTANGLE Corrigés 1 / 8 Corrigé 01 OP est l hypoténuse. OQ est le côté adjacent à l angle O. QP est le côté adjacent à l angle P. Corrigé 02 Dans un triangle ABC rectangle en A cosb = côté adjacent à l angle B hypoténuse Corrigé 03 cos 24 = 0,91 cos 36 = 0,81 cos 48 = 0,67 cos 60 = 0,50 cos 72 = 0,31 cos 84 = 0,10 Corrigé 04 cosj = JK IJ cos 62 = 3,8 / IJ IJ = 3,8 / cos 62 IJ = 8,09 cm L hypoténuse mesure 8,1 cm. Corrigé 05 coso = OQ OP coso = 4,1 / 5,8 O = 45 L angle O mesure 45. Corrigé 06 Cos Y = XY / YZ Cos 50 = XY / 6,2 XY = 6,2 x cos 50 XY = 4

2 TRIGONOMETRIE DANS LE TRIANGLE RECTANGLE Corrigés 2 / 8 Corrigé 07 coss = ST / SR coss = 6 / 9 coss = 2 / 3 S = 48 Dans un triangle rectangle, la somme des angles est égale à 180. R + S + T = 180 R = 180 R = 42 Corrigé 08 1/ AC = 7,5 cm 2/ DEF = 64,6 Corrigé 20 Lorsque l avion survole la ville, il est à sa perpendiculaire. Dans le triangle rectangle formé par le point de décollage, la ville et le point d altitude, on a : cos D = DV / DA DA = DV / cos D DA = 3,5 cos 40 DA = 4,6 km A = 180 D - V A = A = 50 cos A = AV / DA cos A = AV / DA AV = DA / cos A AV = 4,6 / cos 50 AV = 2,96 A la perpendiculaire de la ville, il se situe à 2,96 km d altitude.

3 TRIGONOMETRIE DANS LE TRIANGLE RECTANGLE Corrigés 3 / 8 Corrigé 21 On a donc : AC = 4,5 BC = 0,8 D après le théorème de Pythagore, on a dans le triangle ABC rectangle en B : AC² = AB² + BC² 4,5² = AB² + 50² AB² = 4,5² - 0,8² AB = 19,44 AB = 4,4 m Le haut de l échelle se situe à 4,4 m. Si on recule l échelle de 10 cm supplémentaires, on a donc alors BC = 0,9 cos C = BC / AC cos C = 0,9 / 4,5 C = 78,5 L angle C mesure 78,5. Corrigé 22 1/ Cette figure est un trapèze rectangle. 2/ AB = A C = DC - DA AB = 6,6-2,6 AB = 4 cm AB mesure 4 cm cos A = AB / AC cos 30 = 4 / AC AC = 4 cos 30 AC = 4,6 cm. AC mesure 4,6 cm. 3/ AA = BC Dans un triangle rectangle, la somme des angles est égale à 180. CAB + ABC + BCA = 180 BCA = 180 CAB ABC BCA = BCA = 60 cos BCA = AC / BC cos 60 = 4,6 / BC BC = 4,6 cos 60 BC = 2,3 cm BC mesure 2,3 cm et donc AA mesure 2,3 cm.

4 TRIGONOMETRIE DANS LE TRIANGLE RECTANGLE Corrigés 4 / 8 Corrigé 23 cos HJI = 3,5 / 8,3 HJI = 65 Calculons HI pour calculer HK : Dans un triangle, la somme des angles est égale à 180. IJH + JHI + HIJ = HIJ = 180 HIJ = 25 cos HIJ = HI / IJ cos 25 = HI / 8,3 HI = 8,3 x cos 25 HI = 7,52 IK = IH + HK 10,5 = 7,52 + HK HK = 2,98 D après le théorème de Pythagore, on a dans le triangle JKH rectangle en H : JK² = JH² + HK² JK² = 3,5² + 2,97² JK = 4,59 cos HJK = HJ / JK cos HJK = 3,5 / 4,59 HJK = 40,31 IJK = IJH + HJK IJK = = 105 L angle IJK mesure 105. Corrigé 24 1 / Calculons DH : DH = cos FDH x DF DH = cos 55 x 3,7 DH = 2,12 cm 2 / Calculons HE : Dans le triangle rectangle DHF, la somme des angles est égale à 180. On a donc : DFH = = 35 Dans le triangle rectangle DFE, l angle droit F mesure 90. On a donc : DFE = 90 DFH + HFE = HFE = 90 HFE = 55

5 TRIGONOMETRIE DANS LE TRIANGLE RECTANGLE Corrigés 5 / 8 Dans le triangle rectangle HFE, la somme des angles est égale à 180. On a donc : FEH = FEH = 35 cos FEH = FE / HE cos 35 = 5,3 / HE HE = 5,3 / cos 35 HE = 4,34 cm HE mesure 4,34 cm. 3 / DE = DH+HE DE = 2,12 + 4,34 DE = 6,46 DE mesure 6,46 cm. Corrigé 25 TV = TD + DC + CV * Calculons DC : Dans un triangle rectangle, la somme des angles est égale à 180. ACB = = 64 L angle ACB mesure 64. L angle DCB est rectangle. DCA = = 26 L angle DCA mesure 26. cos C = DC / AC cos 26 = DC / 7,3 DC = 7,3 cos 26. DC = 6,6 DC mesure 6,6 cm * Calculons CV, pour cela calculons d abord CB puis BV : Calculons CB : CB = 7,3 cos 64 = 3,2 CB mesure 3,2 cm Calculons BV : cos CBV = BC / BV cos 43 = 3,2 / BV BV = 3,2 / cos 43 BV = 4,4 BV mesure 4,4 cm.

6 TRIGONOMETRIE DANS LE TRIANGLE RECTANGLE Corrigés 6 / 8 Dans un triangle rectangle, la somme des angles est égale à 180. CVB = L angle CVB mesure 47. cos CVB = CV / VB cos 47 = CV / 4,4 CV = 4,4 x cos47 CV = 3 CV mesure 3 cm. Le triangle est isocèle ; les points A et B appartiennent aux côtés de même longueur donc par symétrie TD = CV TD mesure 3cm TV = TD + DC + CV TV = 3 + 6,6 + 3 = 12,6 TV mesure 12,6 cm. Corrigé 26 1 / Les diagonales d un rectangle se coupent en leur milieu, on a donc : MA = MB et le triangle AMB est isocèle de sommet principal M. Dans un triangle, la somme des angles est égale à 180, la somme des deux autres angles est donc égale à 65. Dans un triangle isocèle, les sommets opposés au sommet principal, ont un angle de même mesure. Chaque angle mesure donc 32,5. MBA mesure 32,5. 2 / Dans le triangle ABC rectangle en A, cos A = AB / AC AB = AC / cos A AB = 4,5 / cos 32,5 AB = 3,8 AB mesure 3,8 cm. Dans le triangle ABC rectangle en B, cos C = AC / CB CB = AC / cos C CB = 4,5 / cos 56,5 CB = 2,5 CB mesure 2,5 cm. Le périmètre du rectangle mesure donc : 2 x (2,5 + 3,8) = 12,6 cm

7 TRIGONOMETRIE DANS LE TRIANGLE RECTANGLE Corrigés 7 / 8 Corrigé 27 Dans un triangle rectangle, la IO H, on a donc : = 39 O = 39 cos O = O H / O I cos 39 = 4 / O I O I = 4 / cos 39 O I = 5,1 cos I = IH / IO cos 51 = IH / 5,1 IH = 3,21 Dans un triangle rectangle, la IOH, on a donc : = 39 O = 39 cos O = OH / OI cos 39 = 2 / OI OI = 2 / cos 39 OI = 2,6 OI = 2,6 cm cos I = IH / IO cos 51 = IH / 2,6 IH = 1,64 somme des angles est égal à 180. Dans le triangle rectangle somme des angles est égale à 180. Dans le triangle rectangle HH = IH + IH HH = 1,64 + 3,21 = 4,85 HH mesure 4,85 cm. Corrigé 28 Traçons les diagonales de ce trapèze. Elles délimitent deux triangles rectangle. DC est un diamètre du cercle. A appartient au cercle. Si, dans un cercle, un triangle a pour sommets les extrémités d un diamètre et un point du cercle alors ce triangle est rectangle en ce point. ADC est donc un triangle rectangle.

8 TRIGONOMETRIE DANS LE TRIANGLE RECTANGLE Corrigés 8 / 8 Dans le triangle rectangle ADC, on a : cos D = AD / DC cos 65 = AD / 5,3 AD = 5,3 x cos 65 AD = 2,24 Le trapeze est isocèle, donc AD = BC BC mesure 2,24 cm. Le périmètre mesure 13,15 cm. AB + BC + DC + AD = 13,15 AB + 2,24 + 5,3 + 2,24 = 13,15 AB = 3,37 AB mesure 3,37 cm.