BAC BLANC DE MATHEMATIQUES Durée : 4 heures

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1 Terminale S Jeudi 1 avril 2010 BAC BLANC DE MATHEMATIQUES Durée : 4 heures L usage de la calculatrice est autorisé. Le sujet comporte pages. Exercice 1 (6 points) : Pour les candidats n ayant pas suivi la spécialité mathématiques Le plan complexe est muni d un repère orthonormal direct O,u,v d unité graphique 2 cm. On considère les points A et B d affixes respectives z A = 1+i 3, z B = 2i. 1 ) a. Écrire z A et z B sous forme exponentielle. b. Placer les points A et B sur une figure que l on complètera au cours de l exercice. c. Déterminer la nature du triangle OAB. 2 ) On note r la rotation de centre O qui transforme A en B. Pour tout point M d affixe z, on note M l image de M par r et z l affixe du point M. a. Calculer un argument du quotient z B z A. Interpréter géométriquement ce résultat. b. En déduire l écriture complexe de la rotation r. 3 ) Soient Γ le cercle de centre A passant par O et Γ le cercle de centre B passant par O. Soit C le deuxième point d intersection de Γ et Γ (autre que O). On note z C son affixe. a. Justifier que le cercle Γ est l image du cercle Γ par la rotation r. b. Calculer l affixe z I du milieu I de [AB]. c. Déterminer la nature du quadrilatère OACB. d. En déduire que I est le milieu de [OC], puis montrer que l affixe de C est : z C = 1 + (2 + 3 ) i. 4 ) Soit D le point d affixe z D = 2i 3. a. Justifier que le point D appartient au cercle Γ. Placer D sur la figure. b. Placer D, image de D par la rotation r définie à la question 2. On note z D l affixe de D. Montrer que z D = 3 + 3i. 5 ) Montrer que les vecteurs DC et DD' sont colinéaires

2 Exercice 1 (6 points) : Pour les candidats ayant suivi la spécialité mathématiques On considère un carré direct ABCD (c est à dire un carré ABCD tel que ( AB ; AD ) = π 2 [2π] ) et de centre I. Soit J, K et L les milieux respectifs des segments [AB], [CD] et [DA]. Γ 1 désigne le cercle de diamètre [AI] et Γ 2 désigne le cercle de diamètre [BK]. Partie A 1.Déterminer le rapport et l angle de la similitude directe s telle que s(a) = I et s(b) = K. 2. Montrer que les cercles Γ 1 et Γ 2 se coupent en deux points distincts : le point J et le centre Ω de la similitude directe s. 3. a. Déterminer les images par s des droites (AC) et (BC). En déduire l image du point C par s. b. Soit E l image par s du point I. Démontrer que E est le milieu du segment [ID]. 4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative, sera prise en compte dans l évaluation. Démontrer que les points A, Ω et E sont alignés. (On pourra considérer la transformation t = s s). Partie B Désormais, on considère que le côté du carré mesure 10 unités et on se place dans le repère orthonormé direct (A ; 1 AB ; AD) 1. Donner les affixes des points A, B, C et D. 2. Démontrer que la similitude directe s a pour écriture complexe z = i 2 z i. 3. Calculer l affixe ω du centre Ω de s. 4. Calculer l affixe z E du point E et retrouver l alignement des points A, Ω et E. 5. Démontrer que les droites (AE), (CL) et (DJ) sont concourantes au point Ω

3 Exercice 2 ( 5 points) : : Soit v = (v n ) n 0 une suite. On considère la suite u définie pour tout entier naturel n par u n = vn e +1. Partie A : Pour chacune des questions, quatre propositions sont proposées, dont une seule est exacte. Pour chacune des questions, donner, sans justification, la bonne réponse sur votre copie. Une bonne réponse donne 0,75 point, une mauvaise réponse enlève 0,25 point et l absence de réponse est comptée 0 point. Tout total négatif est ramené à zéro. 1. a est un réel strictement positif et ln désigne la fonction logarithme népérien. Si v 0 = lna alors : 1 1 a. u 0 = + 1 b. u0 = c. u 0 = a + 1 d. u 0 = e a +1 a 1+ a 2. Si v est strictement croissante, alors : a. u est strictement décroissante et majorée par 2 b. u est strictement croissante et minorée par 1 c. u est strictement croissante et majorée par 2 d. u est strictement décroissante et minorée par 1 3. Si v diverge vers +, alors : a. u converge vers 2 b. u diverge vers + c. u converge vers 1 d. u converge vers un réel l tel que l > 1 4. Si v est majorée par 2, alors : a. u est majorée par 1+e 2 b. u est minorée par 1+e 2 c. u est majorée par 1+e 2 d. u est minorée par 1+e 2 Partie B (1 point) Démontrer que pour tout entier naturel non nul, on a ln(u n )+v n >

4 Exercice 3 (5 points) : Pour tout réel k strictement positif, on considère la fonction f k définie sur [0 ; + [ par : f k (x ) = ln(e x + k x ) x. Soit C k la courbe représentative de la fonction f k dans le plan muni d un repère orthogonal O,i, j. Étude préliminaire : mise en place d une inégalité. On considère la fonction g définie sur [0 ; + [ par : g (x ) = ln(1 + x) x. 1. Étudier le sens de variation de g. 2. En déduire que pour tout réel a positif ou nul ln(1 + a ) a. Partie A : Étude de la fonction f 1 définie sur [0 ; + [ par f 1 (x ) = ln (e x + x ) x. 1. Calculer f 1 (x ) pour tout réel x appartenant à l intervalle [0 ; + [ et en déduire le sens de variation de la fonction f Dresser le tableau de variation de f 1 (sans les limites). 3. Démontrer que l équation f 1 (x) = 0,1 admet une unique solution α [0 ; 1]. En donner un encadrement d amplitude 0,1. Partie B : Étude et propriétés des fonctions f k. 1. Calculer f k (x ) pour tout réel x appartenant à l intervalle [0 ; + [ et en déduire le sens de variation de la fonction f k. 2. Montrer que pour tout réel x appartenant à l intervalle [0 ; + [, f k (x ) = ln 1+ k x. e x En déduire la limite de f k, en a. Dresser le tableau de variation complet de f k. b. Montrer que pour tout réel x de l intervalle [0 ; + [, on a f k (x ) k e. 4. Déterminer une équation de la tangente T k à C k au point O. 5. Soit p et m deux réels strictement positifs tels que p < m. Étudier la position relative de C p et C m. 6. Déterminer à partir de quelle valeur de k l équation f k (x) = 1 aura au moins une solution dans [0 ; + [

5 Exercice 4 (4 points) : L espace est muni d un repère orthonormal O,i, j,k. On prend 1 cm comme unité. Partie A : Restitution organisée de connaissances Soit D le point de coordonnées (x D, y D, z D ) et P le plan d équation a x + b y + c z + d = 0, où a, b et c sont des réels qui ne sont pas tous nuls. Démontrer que la distance du point D au plan P est donnée par : d (D, P) = ax D + by D + cz D + d a 2 + b 2 + c 2 Partie B : On considère les points A de coordonnées (3 ; 2 ; 2), B de coordonnées (6 ; 2 ; 1), C de coordonnées (6 ; 1 ; 5) et D de coordonnées (4 ; 0 ; 1). 1 ) Démontrer que le triangle ABC est rectangle. En déduire l aire du triangle ABC. 1 2 ) Vérifier que le vecteur n de coordonnées 2 est normal au plan (ABC). 1 Déterminer une équation du plan (ABC). 3 ) Calculer la distance du point D au plan (ABC). Déterminer le volume du tétraèdre ABCD. Partie C : 1 1 ) Déterminer les coordonnées du point E tel que DE = DA. 3 2 ) Déterminer l équation du plan (Q) parallèle à (ABC) passant par E. (Q) coupe [DB] et [DC] en F et G. 3 ) Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. Déterminer le volume du tétraèdre EFGD

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