Evolution des outils de simulation rapide du procédé de fabrication du pneumatique avant cuisson

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1 Evolution des outils de simulation rapide du procédé de fabrication du pneumatique avant cuisson Guillaume Trouvain To cite this version: Guillaume Trouvain. Evolution des outils de simulation rapide du procédé de fabrication du pneumatique avant cuisson. domain. Université Blaise Pascal - Clermont-Ferrand II, Français. <NNT : 2015CLF22546>. <tel > HAL Id: tel Submitted on 11 Jun 2015 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

2 Titre Evolution des outils de simulation rapide du procédé de fabrication du pneumatique avant cuisson Résumé Ces travaux de thèse s intéressent aux outils de simulation rapide de la fabrication d un pneumatique. L'objectif est de prédire le mouvement et la position des éléments constitutifs du pneumatique, lors de leur mise en conformation, en prenant en compte les déformations induites par les actions mécaniques associées. Ces travaux s appuient sur la mise en place d un algorithme visant à modéliser le gonflement d un outillage et la mise en place d un modèle de déformation d un système de formes géométriques aux caractéristiques mécaniques différentes. L'algorithme de gonflement de l outillage se base sur la théorie des membranes inextensibles et son industrialisation est validée pour des dimensions standards de pneumatiques. La méthode Masse-Ressort est retenue pour réaliser la déformation de formes géométriques afin d obtenir des résultats de déformation en temps réel. Dans ces travaux, cette méthode est adaptée aux matériaux d un pneumatique à partir de travaux de caractérisations géométrique et mécanique validés par comparaison aux Éléments Finis. En conclusion, la modélisation développée permet une description à chaque étape du procédé de fabrication. Mots clés Français : Modélisation Masse-Ressort, procédé de fabrication, modélisation géométrique, calcul de déformation en temps réel Anglais : Mass-Spring modelization, geometric deformation, real-time deformation computation, manufacturing process,

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37 tr t s s t q s é r tés s tér 1 s ét s ét é s s tr t t t s é t s t s r t r rés t t é r t t ét é t s s t s t s ré s t s à t r s è s st rq ér ts tr 1 rt t s r ré t t s t r r r t té t t r s rés t ts é r t t s ré t t 3 2 t s è s ss ss rt tt t s r r s t s s s t t sés s s t r r r t s s é s t é étr q 2s q tr 1 t été ré sés s r é s t é r t ss r s é étr q s é s tr s s r t q s t rs 2s q s r tt t r r t s r ètr s 2s q s t s q t t tr 1 è s r té t s è s s t s t s s s r ét t t r s ér t s s tér 1 q r tér s t s ér t s r s é étr q s s2stè s t r 2s q st r s r s s q s r s s s 1 è 1 é s r s s t é r t s2stè é q sé r s é é tr q s 2 s é s tr s t s té s é s t st ré sé tr t ré s t t s ét r s s r é s t t2 ss ss rt é à trô s é té s s

38

39 tr é s t é étr q t t r tr t è s é r t è s é r t t ss è s é r t t t é r q t t r t 2 t ès s ét t é r q s éq t s rt s t s s r é r ét tr é r s r t ét tr é r t r s s 1 ét s é s t é étr q r sé r t t t r t t t é q r s tr r t t t é s t ét tr é rt r t t s

40 é s t é étr q t t r é s t r é é r t t q P r r q r t q s é é ts q s t t q s t s s és s r t é r é s t t t q s r t r t r é é r t st é é s tr r tr t r t t q s s r t t r 2 r q r rt tr r r s é r s s t r r t s 1tré tés t r ss q é à tér r r tt rt é r st r 1 s éré 1t s s r q s t és s ér ts é é ts q st t t t q t ss é s t é r t r r t r rés t r s ét s r t t q s r t à t s t r r r s é r t s s ér ts é é ts t q t r é é r t t t t t r é r t r r t t t r é é r t t q é s t t t t st ré sé à rt r ét tr é r s r t q r t r q tr s ét ts r é é r t é s s tr ré é t tr s tr s ét s q r rés t t s t t s t é sé s r tr s r s t s s t st r rés té sq r st r st t r s2 étr r t s tr s ét s s t s s t s r r ré sé t é r t s

41 è s é r t é é ts q st t t t q r t s r é é r t st rq é t é s t r tt t ss r 1 à t s t r r rés t r t t ét s q s t tr ét t t ét s r st t s tr 1 ré sés r s t r r s é s t t t t r rés t r q s t r ss é à s s r tér s t q s 1 t 1t s r t r t r s t r t à s t t r st t è s é r t r s s t r t st é sé t é r t r t é t êtr ss é à é r t t 1t ét t rt st ré sé s r s ét s é r t s t ss s ét tr s s s t s r s s 1 s s è s é r t t ss st r q t tr s è s é r t t ss s t été é és s è s é étr q s s è s é r ét q s t s è s 2s q s 2s s è s r t ét r s t q s é s t s s r é r r t ss t s t rés tés s tt s t è s é étr q s s r èr s ét s é r t t ss t été é s s r s t ss s ts t ss r r t s ét s s tér ss t q rt t s s tr t rés ts s t ss è P r r r è é étr q s r s t s èr

42 é s t é étr q t t s t r r r s s s t t ss é sé tt 2 t ès st s r s t ss s ts à str t r s s rré s P r r ê t2 str t r t ss s è q r t s r tr t 1 t ss st é é r t t t t s ét s é s r r s r r t é s t 1 str t r t 1t r s r t tt r èr st ss é à s2stè t s t rés st é st q t 2stérés s s t ss s s t r s t s è s r t t s t s t ss s t é t été é és r r s r r s r t t t s s s è s é étr q s r tt t r tér s r s r r étés é q s s t s s s t tt r tér s t s s s r s r ètr s 2s q s ss s s r s s s r s rs r q s q ré s t2 è s s è s é étr q s é r t t ss q t ré s t s 2 t ès s s tr s rt s ré sé s s r s s q s t t ss r tt t s t s r t2 è s s tr 1 è s é r ét q s t 2s q s s t r s è s é r t s s r s ré té s è s s 2 t s r s rs r q s s t é és P r s è s é r ét q s é q é r t t ss r tt t ét r r r str t r t 1t q t rs ét t é r r t à ét r r t s ér t s tr t s q é s t ss r s t s s à tér r r r q s str t r t rs ét t é r P st t q t r s ét s é r ét q s r ttr è é r t t 1t P st t P r s t é sé é r rés t s str t r t 1t q tr é r s r té r é r 1 é r t rs é r r ss tér t é r 1t s t t t s t tt ét st r str t 1 str t r s é st q s s r t s ét r s è é r t r s t tt s t s r 2 t ès s t té str t r t 1t r str r rs è s 2s q s r t s è s s t st t és rés rt s rr s t 1 t rs t s tr s s s t t 1t s tr t r s s r t s s t ét r é s à rt r ét ù é r st é sé q tr é r s é r tr t ré s tr 1 rt s é r rés st s t é r rés st à 1 t é r à r té s r 1tér r t r t s è 2s q r s è ù s r r étés 2s q s s s t rs é étr s st t t s r ètr s tré è t s r r étés 2s q s s t s rt ts 1 é r s t tr t t s t è tr t 1 s s r s è s é étr q s t s r s r s r tér st q s 2s q s t ss ét é

43 θ u k = M k M k+1 + M k M k 1 M k M k+1 + M k M k 1 F k = Cf θ u k M k

44 F k

45 t t é r q t t r t rt ré é t t 1 t ss r t s êtr ét r és s ét r t r s ré ér s tr é s ét é r t t2 r 1 é r è t é r q é r t st t s r s 2 t ès s rt t s r s r tér st q s é q s t é étr q s s r t st t é r 1t s t r é s ét t tr t s r q r 1 st r r t é tt r st é r s tr ét r st é t tr é é r r rt t r t t sé rs r t t q à t t st t t tr rs r é é r t r t s t q t r ss q é tr ét t t ét r é é r t r t s 2 t ès s s t s s t r s s t s ét é r t r t s tr t s 1 s s t s r à s r é r r st r r t é r t q q q s tr t s s t s t s é t r st 1t s r st s éré é ss r s 2 t ès s r tt t s ér r é ss r r s s s s tr t s tr t r ss s t s s rs é r t r r ét é st t ré t 1 s2 étr q q r t ré s r ét é r t r r s s t s tr 1 s q r st s r t s q t s s s q t t 1 ré t r s t és s ér s ét t é r q é é s s t s t r t ét r s éq t s r t s 1 tr t s é éré s s r ré t à r ss q é s éq t s r tt t tr r s r s é r t t r t tr ét t t t ét t r t t q s tt ét t é r q q t r st é t r éré r s r ètr s é étr q s r st r q rr s à st tr t t 1 ré t r t r s s ss Y M φ q rr s à tr t t r t r 3 t st R q rr s r 2 r r r ér t tt st st é à st tr s ts t t st t tr ç t r t M q 1 ré t t r st ρ q rr s r 2 r r ér

46 P S R S P E R E P B R B N θ N φ p p N φ N θ

47 Fnormales = (N φ dn φ dφ dφ)sin(dφ)(r dr)dθ N θdθsin(φ)ρdφ+pρdφrdθ = 0 sin(dφ) = dφ rn φ dφdθ+r dn φ dφ dφ2 dθ+n φ drdφdθ dn φ dφ dφ2 dθdr N θ dθsin(φ)ρdφ+pρdφrdθ = 0 dφ dθ rn φ N θ sin(φ)ρ+pρr = 0 r = Rsin(φ) N φ ρ + N θsin(φ) r = p N θ R + N φ ρ = p

48 é s t é étr q t t r t tr t éq r s rts s r rt r t tr tr s tr t s r ér t t ér s r é étr à tr rs s r 2 s r r r ér t t ér r ss q é à r s s t s s s r s t t s s r é é t r st ré sé Ftangentielles = N φ rdθ (N φ dn φ dr dφ)cos(dφ)(r dφ dφ dφ)dθ N θdθcos(φ)ρdφ = 0 é t t s t 2 t ès s s t ts cos(dφ) = 1 dr N φ rdθ N φ rdθ+n φ dφ dφdθ+rdn φ dφ dφdθ dn φ dr dφ dφ dφ2 dθ N θ ρcos(φ)dφdθ = 0 s t r dφ t dθ t é t s t r s ér t s 1 è r r N φ dr dφ +rdn φ dφ N θρcos(φ) = 0 q d dφ (rn φ) N θ ρcos(φ) = 0 s s r t s é étr q s ρdφ = ds t cos(φ)ds = dr t ρcos(φ)dφ = dr r r t t s r t s é étr q s s ré é t ρcos(φ) d dr (rn φ) N θ ρcos(φ) = 0 tt r t r t t r 1 è r t q s tr t s r ér t t ér s r q t d(rn φ ) dr = N θ

49 ρ φ r r x 1 ρ = dφ ds = dφ ds dr dr = dφ dr dr ds ρ tan(φ)dr = dx φ = tan 1 ( dx dr ) 1 ρ = 1 1+( dx dr dr 2 ds dr )2 d2 x ds 2 = dx 2 +dr 2 1 ρ = 1 1+( dx)2(1+(dx dr )2 ) 1 d 2 xdr 2 dr 2 ds dr ρ = (1+(dx dr )2 ) 3 2 d 2 s dr 2

50 é s t é étr q t t r 1 r ss r 2 r r t x t r ê èr r 2 r r r ér t R st é t x t r s t q r = Rsin(φ) t sin(φ)ds = dx ù t R = r(1+( dr dx )2 ) 1 2 R = r(1+(dx dr )2 ) 1 2 dx dr s 1 éq t s éq r t r tt t 1 r r t s ér N φ t r N φ ρ + 1 d Rdr (rn φ) = p r t ré é t t s r t s é étr q s dr = ρcos(φ)dφ t r = Rsin(φ) r t t t r dr N φ cos(φ) dφ dr + d dr (rn φ) sinφ r = p rn φ cos(φ)dφ+d(rn φ )sinφ = prdr d(rn φ sinφ) = prdr té r t r t ré é t s r φ = 0 r = R E ù rn φ sinφ = p r2 2 +c c = pr2 E 2

51 t t é r q t t r t s r t tr N φ p R R E t φ st t N φ = p r2 R 2 E 2rsin(φ) s r t t s r ér t N θ t t s ér N φ r r t t r t ré é t t r = Rsin(φ) é t N θ = d(rn φ) dr = d(rp r2 R2 E 2rsin(φ) ) dr = p d(r2 R2 E 2sin(φ) ) dr N θ = [ d(r2 R 2 E ) dr 2sin(φ) (2(r 2 RE) 2 d(sin(φ)) 1 )] dr 4sin(φ) 2 q d(sin(φ)) dr = 1 ρ r N θ = p( sin(φ) r2 RE 2 2ρsin(φ) 2) rès s r t s ét s ré é t q t s t s t s s ér N θ t r ér t N φ é t q t s r tér st q s é étr q s r t r ss p s s r t t s rs r s r ètr s R E cos(φ(r)) t ρ(r) s t s rs s t s s N θ t N φ s t é t t t t r rt s t s s P r s t ét r rt s t s s ér t r ér t st tr t t q T = N φ N θ r rt r r ét é t é s s t r s s r r r é t à rt r r t q r t s t N θ = N φ +r d(n φ) dr = N φ T(s) d(n φ ) N φ = dr r ( 1 T(s) 1) s ér t r rt èr r = R S r t ré é t t N φ = N φs ( r ) ( R S 1 T(s) 1)

52 é s t é étr q t t s r t R = R S t t rès r t N φ = p R2 S R2 E ( r 2R S R S ) ( N θ = p R2 S R2 E 2R S 1 T(s) ( r 1 T(s) 1) R S ) ( 1 T(s) 1) rt r s r t s ét s ré é t q t t s s t t r r φ t r 2 ρ s t é s r q t r t s t 1 r é s t R E R S r t T sin(φ) = ( R s r ) 1 T(s) r2 R 2 E R 2 S R2 E ρ = ( r ) 1 T(s)r(R T(s) S 2 R2 E ) R s 2T(s)r 2 r 2 +RE 2 s 1 r èr s r s t tr t q r ét é st é é étr q t s r 2 éq t r R E r 2 s t R S t r rt s t s s T s t s s s t s r s t s t t sé s s t tr r s r s s r r s rèt t r t à s s r s r r s r é r s tr 1 ré sés s r s r s r s rs r ss s r t s t ré sés r s t q s t2 r r r t st str t ç à s r t s r ér t N θ tt 2 t ès s tr t r t s r ér t N θ s s éq t s ét s ré é t t q q r rt s t s s T t rs q t s s r t s ré é t s é s r tt t t r à 1 ét s tr é r r rsq r 2 s t R S r 2 éq t r R E r rt T t r s t és r èr ét tr é r s r t s s r tér t s ts r à rt r t s t P S sq t s P B tt r s ét r t s s r té r ér q s 1 ét s s t rés té s ss s ét tr é r s r t s s ù t s r ér t N θ st r t tr q r 2 r r ér ρ t rsq r ρ = R2 S R2 E 2r

53 r é r s t s ér N φ st t à rt r r t t st rs t r rt r 2 r N φ = p R2 S R2 E 2r t r t sin(φ) = sin( π 2 φ) = cos(ψ) cos(ψ) = r2 R 2 E R 2 S R2 E tt r t r t ét r r φ t s t P S r é R S t 1 r ss r t r s ss t X t+1 s t é à r é R t+1 X t+1 = X t X t+1 X t tan(ψ) s 1 r t s t s t t sé s ç tér t r s s ss s s s ts r à rt r s r é s t ré é t r à r é é r sq r r t r r t t sé st rés é r r ts r é é s s rét s t t 1 s r é s tr s r é s R S t R B tt ét r t tr r s r s èr s rèt s s r ètr s R S R E R B T t r L s t s r r t é ér t r r s r t

54 ψ L = n ((Xt+1 X t ) 2 +(R t+1 R t ) 2 ) i=1 R S R E R B T L N φ ρ = p p R(r2 R 2 E ) 2ρr 2 = p zdr = dx d 2 x dr + dx 2 dr (1+(dx 2r dr )2 )( ) = 0 r 2 RE 2 dz 2r dr z(1+z2 )( ) = 0 r 2 RE 2 1 z(1+z 2 ) dz = ( 2r )dr r 2 R 2 E 1 2 ln( z 2 z(1+z 2 ) ) = ln(r2 R 2 E)+C

55 r é r st t st ét r é à rt r t t q z t rs r t rs R S q C = ln(r 2 S R 2 E) t t s r t s t st t z 2 1 ln(( z(1+z 2 ) )( 2 ) ) = ln( r2 RE 2 ) RS 2 R2 E z 2 1 ( z(1+z 2 ) )( 2 ) = ( r2 RE 2 ) RS 2 R2 E 0 dx = RS x r r 2 RE 2 dr ((RS 2 r2 )(r 2 (2RE 2 R2 S )))1 2 tt r t r t t r s s ts r ét é r té r t t tr r é R S t s t P S t r é R B t s té r t ér q ré é t r t r s r é s s s ts r ét é t ê r t r ét s rèt q t r t t r r r tr é s r t r t t r r t é r q r ét é q s rt ré ér s s t ét rsq r st é L ds = RS 0 r RS 2 R2 E dr ((RS 2 r2 )(r 2 (2RE 2 R2 S )))1 2 r s s 1 ét s 1 ét s s t é é s r tr r s r s r é é r t t q ét tr é r s r t t ét tr é r t s ét s t êtr ré s r r rt à s r tèr s r r r t r ét t à t s r s é s t é é P r ré s r tt r s q ét st é té s s t t sté s r éq é r ss r t r s t s P r s st t r r t sé s r é é r t t q t2 t r s s r ètr s tt r s t 2 t R S 330mm 2 q t r R E 270mm t 2 s R B 250mm r st tr é r ér ts s s rét s t P r r èr r s s r r s r t s r é r s ét s tr é s t s t s t r r é éq t ré à r ré ér é éq t

56 é s t é étr q t t 2 s r r rr r P s ét é t ét s 0,675 r s 2, 104 s 6, 340 s r t s 16, 98 ét s r s 5,62E 4 s 1,78E 2 t s 0, 57 s t r s r r r é R S 330mm R B 250mm R E 270mm s rés t ts tr t q ét r s r t rés t s t s ér rs r r rt à ét r t r ê s s rét s t t r s s rs s r s t s tr t q r s 0,57% rr r ét r t r t s rés t ts s ré s q ét r s r t t sé s 0, 675% rr r s rès s r tèr s é s s t s t rs t s r t êtr ér r à s r tèr st é r s s t ét tr é r t r r r s s 1 ét s tr é é rt é étr q tr s r s tr é s s 1 ét s st é r ê s s rét s t t é rt é étr q st é r é rt 1 2 s é rts t é rt t2 r q s s rét s t t sé s r q s r tr é r t st t sé ré ér sq r r tr é tt ét st s r t é r q ét r s r t 2s s s s é rts 1 1 s 2 s s é rts t s é rts t2 s tr q r s s rét s t é rt é étr q tr r tr é r t t r tr é r s r t st ér r à ss s s s 1 ét s rr r rr s t 1 tt t s str s 1é s r s t s t rs r s s t s tr é t s rs r s tr é s tr q ré s s rés t ts r r rt 1 tt t s str s st s t s t ét r t r s r s tr t P r s ér r à t s tr é t ét r t st tr rt t t str P r s ér r é à ét r s r t st s r q ét r t s r st s ré s r r rt à r

57 é s t é étr q r sé P s rt 1 2 s é rts rt t2 s s s rr r rr r rr r rt tr tr é t t s r t rt é étr q tr r s rèt t r t r r é R S 330mm R B 250mm R E 270mm r tr é s à rt r 2s s r s s s s rét s t r t t r s rés t ts q rr s t 1 r tèr s r r tt s ét tr é r t t r r rt à ré s s r r r t r s t s éq t à ét s rèt t sé r ét r t st s ré s s s s rét s t 1 s r é s st r t r tr r s r s ét r t s r st s tr 1 q q s t s r ét é é s t é étr q r sé s tt rt r t é s t é étr q t t st é é t r t r t ét r s r s s tr ét t t ét r é é t s 1 ét s tr é s ê r t t t st t sté t ré à ét é s t r t t s s 1 s t s ré é t s s 1 ét s tr é r s r t t r t s t é é s t ré s s r tr é r q r rés t ét t t r t P r s 1 ét s t s t s ê s r ètr s r tr r s r 2 t R S 2 q t r R E 2 s R B rt s t s s r ér t t ér N θ t N φ

58 é s t é étr q t t t ét r t r t s r s r é s P t q t r P E st rq r t t t s ét r s r t q r t r s r é s t r tér st q st s q rés ét r t r s P E ét r t st t sé r tr r s s r s s P r r é r t rés é r s ér ç s t r èr r st tr é r 2 t t R S 2 q t r R E t 2 s R B t r rt s r ètr s s t ét r és à rt r s r tér st q s é étr q s r r st tr é r t r té r t ér q éq t s s rét s t t tr é tt r r t r s r q s rt ré ér L Ref r s s r s r rés t t s t r s 2 s R B t r ré ér L R ef r t s q q s t ét t t P r tr r r r s tr ét t t t ét t t r 2 t R S i st r s tr 2 t t R S t 2 s R B s s r ètr à r st 2 q t r R E P r r t é étr q ss r t t rs s ét r s r t st t sé R Ei = r 2 R 2 S cos(φ) 1 cos(φ) s 2 q t r R Ei é r L r st é tt r st s ér r à r ré ér rs tér t r t st ré sé s r R Ei rr r st é à t s t è r t s t r à r tt r ré s tt rs r t t q r st tr é r t ré s t té r t ér q r t tt é r st ré sé r q ét r é é r t t q q s t é s r t s t r s s s tr 1 r rt t rs r t 2 q t r R Ei r 2 q t r t êtr rt ré é t r tr r r ét é

59 é s t é étr q r sé r r t é ér t r ét é é s r t r sé ss rté rt t à t s t r t r r t s r r ét s q s t t r tr s ét s t s t s r é s r r é é r t t q s é s tré ét r sé s t q tr r ètr s é étr q s t q q r t à s t s t rs 1 ét s étér è s t s r t t tr r st ré sé s s t s t r r s é s t t t r t t t tt s t st r t s t ét r t ér t q ér r t rs r é é r t t q P r ré s r tt t s t sts s t t és s r q s s r t t sé r r q r s t q s s s t s s s r s t é s 1 s r s P s r r é P r q s s é s é étr q s t s s t é s s r é s s ts s ts P S s ts éq t rs P E s ts s P B t r L r r t é r t ré é t s t st é té s s t t sté s r éq é r ss r t r s t s P tt ê st t sé r t s s s ré sés s s t tt s t

60 é s t é étr q t t 2 s r P t r é s 1 P s é r s r r s r P t R S s t Y S P t R E q t r Y E P t R B s Y B r L 1 s s s s t s t sés r r q r t q P r q t st t r s s t tr é s tr ét t t ét r é é r t t s t r t é é s t é r t t s s rét s t 1 s r é s st 1é à r r é s t ét r ê t2 r s t r s t t ê r ts r rr s à r t r à ét t t r é é r t t q é r é rt é étr q tr s r s s tr é s r t t r s r t rt 1 2 s rts t rt 2 s é rts s t és t rés r r rt à r r èr r tr é s t s r tr é s t r s r q s s t és s t s s t t sés r s r ss té t s r é s t r sé s r str s r 1 s s s r 1 s r t t tr s t r s s s é rt é étr q 1 tr s r s tr é s r t t t ét tr é r s r t st ré à r r s t 2 t R S r t t t s ét tr é r t r tr r s r s s

61 é s t é étr q r sé t r s s 1 s r s tr tr é s r t t tr é t 1 s r r s s ét s tr é r t2 1 s s r r s s s r r s r t t tr s t r s s s é rt é étr q 1 tr s r s tr é s r t t t ét tr é r s r t st ré à r r t é rt t 2 t R S t r s s r s r s tr tr é s r t t tr é t r s r r s s ét s tr é r t2 r s s r P s r s s r P s r r t t tr s t r s s s é rt é étr q 1 tr s r s tr é s

62 é s t é étr q t t r t t t ét tr é r s r t st ré à r r s t 2 t R S t r s s P s r r s tr tr é s r t t tr é t P s r r r s s ét s tr é r t2 P s r s r r s s r r r t t tr s t r s s s é rt é étr q 1 tr s r s tr é s r t t t ét tr é r s r t st ré à r r s t 2 t R S t r s s r r s tr tr é s r t t tr é t r r r s s ét s tr é r t2 r

63 é s t é étr q r sé s r é s s r é r t t tr s t r s s s é rt é étr q 1 tr s r s tr é s r t t t ét tr é r s r t st ré à r r s t 2 t R S t r s s é t tr tr é s r t t tr é t é r r s s ét s tr é r t2 é s rés t ts strés s r s r s à s t s2 t ét sés s tr t q é rt é étr q tr s r s tr é s r t t s r t st st s t s t q t rt 1 2 s rts t rt 2 tr s r s é ss t s r s s r s tr é s s ér st s r é q r t r 1 tr r s r s ét r t s r t t 2 s t q r tèr s 1 P s é r s r s r rt 1 2 s é rts rt 2 r L r s s é rts é étr q s r s ér ts t2 s r P r ét tr é r t s t s r tr r t r s s t r s tr t s s s t s t tr é s t r rt s r ts q rt r t à r tt r èr

64 é s t é étr q t t t s t r t t s st à t r s s rét s t à s r é sé t s 1é à s s tr 1 r t s rés t ts r s 1 1 s s t s t rs t s st é s r r r s t t t s ér r ré s é ss r r s r s t s ér r t2 é t s ré s r s r s t ér r t2 1 s t s s s tt t s t s t s t s r é s r t t t ét ts rr s t 1 1 s str s s t s t rs r tèr s s tr é r r s P r t r sé r ts r r s 1 s 2 s t q P s r s r r é s s s s s s r tr r r s tr ét t t ét rès s s ét r t st r t r t tr é s r s s r t t r é s r é étr q t r é é r t t q tt s é ér s t rs ét ré sé s r s r r ét r r s s rét s t 1 s r é s t 1 t t s r s tr é s r t t r st à r r r rt à é s t ét st é t é r s t r ét r r s rts t r t t é q t é q t r sé r é s r t t r t t q st rés té s tt s t P r ét é s t 2s q st t sé r q r ét t r ss rs à s rs r s é s t s rs ét ts t t ét t é r q ré sé t tr q é étr r é s r ss q st q é t s é étr r tr é s é r s s s t r ss rs r t t st é r ré s r é s t é étr q r é é r t t q P r ré s r é s t 2s q è ss ss rt st t sé s s r t t2 è st t sé s r é r t r s é étr q s t 1 q é s tr r t rés s tr é r ét r t s s tt r s rt ré ér t é tré

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66 é s t é étr q t t ér r t 2 r é s 2 t R S 2 q t r R E 2 s R B r L s s s q r s t r s é étr q tr r tr é r r t t t r é r é r t r ss st ré sé s t rt 1 2 s rts t rt 2 s t és t s t r tr é r r t t r ré ér 2 t R S rt 1 2 s rts rt 2 r r r s rr r r s rr r r s rr r rt tr s r s é s r t t t r é r é r t r ss s rés t ts tr t q q q s t r r t é rt é é tr q st très tr r t rès t r ss t r tr é r t t s q s rt 1 st s t r r rt à r r s 2s 2 s rts t rt 2 r t r q s r s t s rès t r ss rr s t 1 r s tr é s ét r sé s r t t é é s s tr 1 st é t t êtr t sé r é s r t r t t r t t q q q s t ét t é sé

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68 é s t é étr q t t rt r t t ét r sé st ré à ét tr é r s st t s r tr s s s r ét r é s à rt r s s s r t sé rs r t s t q s s s rét s t 1 s r é s s r r rt 1 s ré sé s ré é t st r é s t r sé t rs q r ré sé é s t r t r q ts r r r s tr s s 2 s r P t r é s 1 s P s r é P t t R S Y S P t q t r R E Y E P t s R B Y B s s s t q s t stés P r q s rt 1 2 s rts t rt 2 s t és s ét s rt ré ér sq st é str t s r tèr s r s é étr q s s t rés r r rt à r r ré ér s q s 2 s r 1 s P s r é r é P t t rt 1 rr r r r rt à r é P t t 2 s rts rr r r r rt à r é P t t rt 2 rr r r r rt à r é P t t rt é étr q tr s r s s r ér t s t s tr q q q s t s é rt é étr q tr s 1 é s t s r st t ér r à tt rr r st ér r à rr r ss str

69 r s tr r t t t é s t 2 s r 1 s P s r é r é r q r ét r ét é é rr r r t tr r t r é r q rr r r t tr r ét é é t r r s s rs r s ér ts s tr és ét t ét r sé r t é r q s r s st é éq t r s tr s s ét és tt r t é r q st ré 1 rs s r s tr é s ét t r t t s s rr r r t r r rt 1 rs s r s r tt t r rq r q é rt st ér r à r s tr s s r t 1 rr r té r s s str st 1é à q tr é r ét r sé s r t t r t t r s té ts és r r rt à ét rsq s s rét s t st é à r t q q s t s t q s rés t ts rt ré é t t tr t ré s s tr és ré sés ét r t r r rt à r s rèt rt ré é t tr é t q tr é t r s s s ts st é à s s s s s r s s s r s t sé s r t s rr s 1 t s ét r tr r q t tr s r s ét s ét é é r t é s r s q s s ét s é s t é étr q r é é r t t q rés é é s t r sé r t tr r t t r s q s té tr ét t t ét r é é r t t q s s r s s t t s s s t s q s ér rs à 1 ét q r t tr r q s tr s ét s r s r t s r s é sé s t ét r t s t s t s ré s t é étr q ét r sé t s t r t é s r r ét s q s t r t t q s r t q ét t q ét st é ç s ré s

70 é s t é étr q t t s s tr é s t é étr q t t st r sé r t à t s t r r rés t r t t ét s q s t tr ét t t ét r é é r t t q t tt é s t s s s r r t t s t ét tr é r s r t ét r r ér q t s r é s t r tér st q r t éq t r P E s s s r ètr s ét r és tr é r st ré sé ét r t q rt ré s r té t r rt t ét s r é s r t t t r ét r sé s r s t s r é s r s ér t s ét s r é é r t s t é s r ét ss ss rt t ré à é s t s s t é r é r t s é é ts sés s r t st ét é tr ét t t ét r é é t s é é ts s t é sés r s r s é étr q s t s s t é r t sé r r t é sé r ét r sé s tr

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73

74 é r t t r r é étr q s r tèr s s t t s é s t r é é r t st t sé tr r r t s r t r s t s t rs 1 ét s étér è s s t s t rs s t t t r s rés t ts t s ré st s é s t t s é s é é s t t êtr ré sé t s ér r à t t ç t t sé s r tèr s s t érés t r rt r r t r ét s r r é t q r tèr t t sé r é r q ét s s rs 1 très té té té té t r rét t s ér t s t s 2sé s r t s é r ét s2 st t sé ét rès té té P té té é 2 2 s t sés r é r s ét s é r t ss tt r s ét q ré 1 1 s s é s t st r t s rs ét s r ss t éq t s r ré r r è sé 1 st ré sé r r rt 1 r tèr s é q s q t s rt q s r tèr s s t r r rt à ér t ré sé ét s é r t é étr q s ét s é r t é étr q s t s r t s s ts t s q s ts r s s r s s ét s rés té s s s tr 1 s t ét s é r t s r s ét é r t r t t r s r s ét s é r t s r s P r s ét s é étr q s r r t P rr2 rés t t ét é ét é r t s r s r s r r r t s r r t P rr2 r r t r tt ét r t é r r é étr t ss t s r s ts trô s t rs r é é tr q r t é r r t t s s r s é étr q s ss s t s ré s s s r r t r tér st q s é q s P r tt r s s rés t ts tt ét s t ré té 2s q rt t t é sé

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78 é r t t r r é étr q t s r s r s q s t s r s é étr q s s é r t s q ê t s t tt t é r s s tr 1 ét s ér q s é r t s é s r3 s t tr s t s è s 2s q s é r t s r s ér q r3 s t r3 s t s r s è s t é r t r é étr q t s é t s s rs t s t s t s s é q t s r tt t t r s é r t s é q s s ér t s q s ét s é étr q s s ét s 2s q s ét é s s tt s t s t ét s é ts s ét ss ss rt ét s é é ts r t èr s ét s ss s s rs ét s é ts s ét s é ts s r t ét s té r t r é s t 2s q s é r t s t t r rés r s r è s é q s t s t 3 t t s t é ss t s rét s t s2stè é q ét é é é ts sés s s s r tt t r 1 r r s t s t r t t s s s r s t é ts ré s s rés t ts t s t s é t ré s t r ré s s t s s très rt ts t êtr tt ts s s é s t s 1 s t é t ê êtr t sé r s t s é ss t t s rés t ts t s ré s ré r t s s ét s t r t s s t é é s t ré r t r é s r P r s r s t tt ét é é r t t st rsq rt t tér é sé st s sé é r t t s s s rts s t s érés é ts à q tt 2 t ès r t ré s r ré r str r s é s tt s r s t s s s ré sé é r t t s ré st ss t tt é t st s rsq t st é t s t sq à q t s2stè t t s t s ré t êtr r t r é s t tt ét ét é r 3é 2 t t êtr t sé rsq st é sé s rs s s s 3 2 t tr 1 t êtr

79 é r t r é étr q tr té é t r r ss r r t q rs q té r é s t t ré t t s é t s t tr s r ss rs s tt ét é s 2 s r t q s s r rés é ét s é ts s r t t r s rés t ts ré s é s é q é ss t 1 rt s t t s rt ts t s t s r tt t s r r s rés t ts t s ré s s ét s é r t s 1 s r t s r tèr s é q s à rt r s s rt t s tér 1 tt ét èr é t s tr s r s é étr q s ét s é ts r t èr s ét s é é ts r t èr s r2 t t s s r s t rs r é étr q s é é ts t sés r s t és é é ts r t èr s r t rés t ér q s s s r éq t r t à rt r éq t s r t é r t s r r étés s tér 1 s tér 1 t êtr t s s tr s é st q s t é r s s t P s é é ts tr r s t q r tèr s s t s 1 t2 s t sés r s rét s r s r 1tér r t s é é ts tr s s t t sés s é é ts t êtr st ts é r s q r t q s s q q s t t2 é é ts s é ts t s rts s t q és 1 s t t P ss r tér é r t s tr s t r s és s s s s t ts é ts t êtr ré sés r r s t r s 2 t ès s é s t t r t r s rés t ts 1 ér ts P r ré r t s é r t ét ré t êtr ré sé t s r t s tt ét s st à r tr r r s2stè é sé ét très rt t t s é r t ré sé r s t r é s r é r t r é étr q ét é s s r ré t t êtr t t s ré t ét ré t êtr r t à q t t s 1 t s r è é sé ét st t sé s s s é r t s t ss s s st q t str t r ù st s t ré à ét é ts s t tt ét st é t t sé s t r r t s r ètr s 2s q s s s s é r t r t rés é ét r t é s r q s tér 1 é r s t s tr s P r r rt t s ré t êtr ré sé r t r é r t t s ré tt ét st 1 à ttr t à t s r

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82 é r t t r r é étr q s r st q é q 1 1 t t s s tr 1 2s r t 2s t r t t r 3 3 t ét s ss s s rs st t sé s r é s r é r s s P r s è é r tt t r é st té é r t t r P t rés é ét ss s r r t r r t s r tér st q s tér 1 t ér r s s s tr s r s é étr q s s rés t ts s t r s t s ré s s é s r è s à é s r st 1 2 t ès s ét s é r t rt r s s r t s s ét s é r t s é étr q t 2s q s2 t ès st ré sé r té r ét r r ét s té à é s t r é é r t s t q s 2 t ès s ét s é étr q s tr s s ét s é étr q s q r tt t é r r s r s é étr q s t s ré ét é ss t q s t 1 rt s é é rt t s t r ét é r t r t t s r ét t r s r s r tt t s é r r s rs r s ê t s t ér r s s s tr s s tr s ét s r tt t s r r t s r tér st q s tér 1 rs é r t s r s é étr q s s s é ts s tr s ét s é étr q s r tt t s r é t t s r s tr 1 r tèr s P ér t ét é r t s r s é r t r t t r s r s ér t s tér 1 s s tr s rs r s é étr q s s ré s é 2 t ès s s ét s é étr q s

83 é r t r é étr q 2 t ès s ét s ér q s é r t s s ét s 2s q s r t t s r tér st q s s té r 1 rs é r t t s t ét st té à s tér 1 t s s tr s é st q s t é r s tt r str t t s t s t r r rt 1 tr s ét s r s st r s st s s s tr s r s é étr q s é t s é è s t r é étr t rés ts s é s t t tt t té st ré sé r t r s s s ét ss ss rt ét é ts s st s t s r r r s rés t ts t s ré s rs q st s r tér st q s r s ét ss ss rt s tt r èr ét é ss t s 1 rt s r êtr t sé t s r t tr r t 1 ét s ss s r t r tèr s P ér t ét s é ts s ét ss ss rt ét ss s r ét s é ts r t èr s ér t s tér 1 s s tr s r s é étr q s s ré s é 2 t ès s s ét s ér q s é r t rt r r s s ét s 2s q s t ér t q r tèr ét ss ss rt st s r é s r é r t s r s é étr q r é é r t t q s t s t s s t t é r t s tér 1 s s r t s é t t 1t t t tt ét st é ss r r q r à é r t t q t s r r étés é q s rés t r r té s ét r tér s t ét ss ss rt t êtr é é r é r r s r s q é s t s é é ts t q é s t ss ss rt t s2stè ss ss rt st sé rt s t r ss rts ss st ss é à q rt t r r à q r ss rt é s à rt r tér é sé é t s ss s t r rs r tt t é r r ç ér t s2stè é ss t é t ét r tér s t

84 é r t t r r é étr q t t rt s ét s r tér s t s r s s ét s r tér s t 1 st t s t s ss 1 té r s s ét s s t t t t é r s ét s 2t q s s ét s s t t t t é r P r s ét s s t t t t é r ré s é r s t é t s ts r r t t t t P r str té é t st st 2é t s r t q r rés t ér tr rt t è ré ér t è ét é s s ét 1 sé r r t r t t s r t s é ss r s r é r ss q rt s t 1tr t s à rt r s é s r tt t ré ér r s s tés s t é sé r t é ét q st t sé r é r r r s r ss rts s t s ér s tr s s r s é r t t s s r è ré t rt t t rt t s ét s s t s r t t r q s r ètr s r t r rés t t s r ré té 2s q s t s 1 ss t é ss té r s t ré ér r tt t s t s r s ét s s t t t t é r r ré s r r étr s2stè ss ss rt s s tr 1 s ét s 2t q s s ét s 2t q s s st t à r r s r ètr s s s2stè s ss ss rt à rt r 1 r ss s 2t q s s r èr s t êtr s s é q s 1 t s r 1 r3 s st r r à r r sé ét 2t q r3 s t q ér s éq t s t té t r q é s t r t s r tr s rt r s s2stè ss ss rt q r 1 s ét r tér s t sé s r s éq t s é q s 1 t s st r tér é st q s tr t r s s tr r s tétr é r q s r tt ét tr q s ts r r q r ss rt s r ê t t êtr ér ts s r s t s t t tt ét st q r t ss q st s s s s tr 1 é r t r st q t s t

85 é r t r é étr q ss t é t è ss ss rt r r s é r t s t ss s s é s è r s t s r ètr s ré s s tér 1 ss t r st 2 r r tt ét t é ét r tér s t sé s r r s s tr s r r s2stè é sé r ss ss rt t r é ts s tt ét st r s s tr r s r t r s tétr é r q s 2 t t st r str t 1 tér 1 2 t t P ss é r r tt r rr r st sé ts r s r s r à 2 t r s è s t t tt ét t t s à s éq t s 2t q s é ér s s à s 1 s s rt r ts t s t rés t ét sé s r t t st t r r r r rt t t P ss t t r r s r r ré s r tt t t 1 s s r s t sts s t tr t t r ss s t ré sés r é r s r rs s ér ts r ss rts s tr 1 r tt t r tér s r s2stè ss ss rt s s tér é r è s tr q t s r étr r sé r t st ré sé s r s é é t q r s2s tè ss ss rt s2stè st sé s rs é é ts s r rs s t r tér sés t t ss és s t rs ss s r ss rts té r 1 s é é ts s t é és t s r ss rts r è s t s és q t t é r s r ss rts r è s r s r tt t r s r rs s r ss rts tér 1 K 1 K 2 r 1 s s s t K 1 = E(h2 0(3ν +2) l0) 2 4l 0 h 0 (1+ν) K 2 = E(l2 0(3ν +2) h 2 0) 4l 0 h 0 (1+ν) r r r ss rt K 3 st t r t K 3 = E(l2 0 +h 2 0) 4l 0 h 0 (1+ν) E st t ν t P ss tér t t h 0 t l 0 s rs s r ss rts

86 F h0 = h 0F h0 (1 3ν) 8l 0 F l0 = l 0F l0 (1 3ν) 8h 0 ρ S

87 é r t r é étr q s t s t ét é t r q é é t r é r s r ss rts st é r ré rt r ç è ss s r s s s t é é t r t 1 r r t ss M i rt q r rt t à n é é ts e j r A ej é s t t ss s r q ρ S M i = n j=1 ( ρ SA ej 4 ) r str 1 ér t s ss s s s tr r s ss s s t é s à rt r r t t tt é t st t sé r s tr 1 M i = n j=1 ( ρ SA ej 3 ) r é rt t s ss s s r s rt s s2stè ss ss rt s s tr r rs s ss rts s ét s r tér s t rés té s t s t é s s r é r t r s s r tér sés r s s ér r à P st s s r s tér 1 t sés r é s t r é é r t t q s tér 1 t r s tr t P t t P ss r s tr t s s ét s 1 sé s r r r 2 2 t s t s s r t s s ts P ss tr s ét s s t q s r s s r q s é é r ts ts t s ét tr t r t t r t êtr é ér q s t sé 1 s s st s é q r s t s r ss rts 1 t é ss t t r s rr tr s s è r r tér s r t t t2 tér 1

88

89 é s t ss ss rt r sé s t ss s s rt s st t t s é ér t s râ à s é té r t é r q s s t s s rt s st t t s t ss s râ à s é té r t ér q s s t s r t s s r rt t t rs t s ér ts s é s té r t t êtr t sés t s q s s é s t s t 1 t s r s ét s tt s tr s ét s s t é é s t s q ét r sé r s r t s r t q s s r s é té r t t q r t t r t ré st rt q s2stè ss ss rt s s tr 1 ét r t q st r st r s s s2stè ss ss rt st t sé s s ét s r tér s t 1 st t s s r tt t s r ét rés t é r ss s ér t s rt s s2stè ss ss rt s tr 1 r ttr é s t ss ss rt rt t rs s r é t s r rs s r ss rts s q s r r ré rt t s s r s r é étr q é s t ss ss rt r sé s tr 1 é r ts s ttér t r tr t t é r t t r r ts r s tér 1 s s ér r à P r s s tr 1 ét ss ss rt s r é s t r é é r t t q st r sé P r r tér s t é q t é étr q st t é r étr r s ér ts r tèr s t s q ré rt t t r r s r ss rts s rés t ts r s r ét r sé s t rés à 1 t s r ét é ts s s r é t s r ètr s r tér s t r èr r tér s t st ré sé é r s r ètr s rt ts é s t ss ss rt r s t s tr 1 P r tt r tér s t s r ss rts ssè t ê r r q q s t r s t s s2stè ss ss rt P r é r tt r r s t sts é q s tr t t r ss s t ts s r s r s é étr q s s s ré ér à s séq s r é é r t t q r t

90 é r t t r r é étr q s é s t sts é q s s t ré sés s r tr s tr s s s t s tr s s t stré s s r s r rs t r ss s 1 r s r tr s 1 rs s t ssé s r s r rès ttér t r ré rt t s r ss rts s s2stè ss ss rt st r ètr à r tér s r P r tt r èr r tér s t 1 t2 s s t t stés r r é r st sé r ss rts s sés ç à ré r s é é ts tr r s s s tr t s r r s r ss rts r s st é tr t st sé r ss rts s sés ç à ré r s é é ts tr r s s q s s r ss rts t ê r t r r t 2 r r r t 2 str t ré tr t r 1 t2 s t stés é r é tr s s r t sé t r r r é t r ét ss ss rt st ré à t r é ts s è é ts s st ré sé s é t t q s è ss ss rt s t s s s t s rés s s tr 1 r s 1 ét s t sé s r ss t s rés t ts s s t s ér rs à s s érés t s ré tér tr st r P t P ss t ss q / 3 ét s s té st ré sé r é r r r s r ss rts s ér ts è s tt ét r s s s tr t2 t t r t t tér é sé

91

92 0,61% 0,51% 190E 6 N/m 165E 6 N/m 9%

93

94

95 é s t ss ss rt r sé ét r tér s t r s r s str s rès r ré sé r èr r tér s t s s2stè s ss ss rt s r s r s r t r s ét st q é à s r s str s r ré s r r tér s t é ér tt r tér s t s é s r tér s t é q t r tér s t é étr q r èr st ré sé r ét r r t t tér é sé 1 è st ré sé r ét r r é sé t ss é s 1 r tér s t s s t s r s é t st é q s é r s r s str s P r ré s r r tér s t é q t é étr q è ss ss rt t st r ss s r s r s é étr q s st ré sé t st t ré ér à r èr s t t r t ù r ss st q é s r ér r s é é ts q s t t q s r tér s t s s t ré sé s r tr s r s 2 s 1 s s é s r t r tr s tér 1 rés ts s t q r t t rs r tér st q s s t ré rt r é s s r r r r r s é étr q s é ér q s t sé s rs r t t q

96 3 3 3

97 3% mm mm mm mm

98 10 3 N/m 10 3 N/m 10 3 N/m mm mm

99 10 3 N/m 10 3 N/m 10 3 N/m

100 mm mm

101 é s t ss ss rt r sé é rt é r t tr s è s ss ss rt t é ts s st ér r à r s tr s t2 s tér 1 P r t r s rés t ts r r à q r à s s r ss rts st 10 3 N/m s s r 10 3 N/m s s t 10 3 N/m s s t r s s r rs r r rt 1 s rs tt r tér s t é q s r rs s r ss rts s t ét r é s t tér é sé r r r t s t s s r rs ê s s s t ré s r ét r s s q t 1 st r tr s s r rs à q r 1 r ss rts r q r t q tér s t ré rt r é s s s 1 à tér r 2 r r r r P r s r ss rts rt rt tr é st té tér t r r s r ss rts s r s r rs q é s 1 r ss rts r é étr q r tér sé r r é t r é étr q é r é t s r rs q é s r t s t r s s r r rt r tér 2 r r r r P r s r ss rts rt rt tr é st té tér t r r s r ss rts s P r s s r rs q é s r t s t r s s r r rt P r s t s r rs q é s r t s t r s s r r rt t

102 é r t t r r é étr q tér t 2 r r r r P r s r ss rts rt rt tr é st té tér t r r s r ss rts s t s r tér s t é q P r s s r tér s t s é q s ré sé s s ré s tr è ss ss rt t è é ts s st tt t r r rt à é r é r ss s r r à q r à s s r ss rts é r é étr q q q s t tér t s r t t r r r s r ss rts rr r ér r à r s tér 1 r s t s q r t t rr r ér r à r tér s t q t s r rs ét r é s r q r tér s t s t t sé s r ré s r r tér s t é étr q r tér s t é étr q P r r tér s t é étr q é r é r ss s tr s r s é étr q s st ét é s tr 1 s t ré sés s t ét r r r t s r é r t é t 1 tr 1 ré sés t s tr str t ré st ré sé r s tr s r s r s r rs ét r é s rs r tér s t é q ré é t s t t sé s r r é r é s r s ss s q r é r t st ré sé à rt r ê s é t sé r r tér s t é q q r é r é st tr é t ré à t r é ts s r s à é rt é étr q tr s r s s é r é s t s s 1 è s st é s q s P r rt 1 tr s 1 r s t s st é s q 2 s rts t rt 2 1 à r r st sé r ss rts r r t s é é ts tr r s r r q é à s s r ss rts st / s s r / s s / s s t

103 é s t ss ss rt r sé r r s é r é s t s r q tér t q è s t tr é s r s r s s t r r s s é r é s s r s ss s t s r é ts s t ss ss rt r s tr s tér 1 r

104

105 é s t ss ss rt r sé r r st sé r ss rts r r t s é é ts tr r s r r q é à s s r ss rts st / s s r / s s / s s t r r s é r é s t s r q tér t q è s t tr é s r s r s s t r r s s é r é s s r s ss s t s r é ts s t ss ss rt r s tr s tér 1 r

106 é r t t r r é étr q P r tt r é rt 1 st tr s 1 é r é s t s r ss ss rt t é ts s ré rt t étér è s r ss rts 1 q t é rt rt tr t s 1tré tés r tér r t é r t 1 2 s rts rt r r rt à rt 1 rt r r rt à rt 2 rt r r rt à rt é r t s r s ss s r s ér ts tér 1 r r s 2 s rts rt 1 t rt 2 tr q s tr s r ètr s s t ê r r r r q q s t tér é sé t 2 s rts st r rt 1 r t rt 2 r r st sé r ss rts r r t s é é ts tr r s r r q é à s s r ss rts st / s s r / s s / s s t r r s é r é s t s r q tér t q è s t tr é s r

107 é s t ss ss rt r sé s r s s t r r s s é r é s s r s ss s t s r é ts s t ss ss rt r s tr s tér 1 r P r tt r é rt 1 st tr s 1 é r é s t r ss ss rt t é ts s ré rt t étér è s r ss rts 1 q t é rt rt tr t s 1tré tés r tér r t é r t 1 2 s rts rt r r rt à rt 1 rt r r rt à rt 2 rt r r rt à rt é r t s r s ss s r s ér ts tér 1 r

108 mm mm

109 3 /

110 é r t t r r é étr q r é r é r ss r ér t s r rs r ss rts r r t r tér r r é r t 1 è ré ér é r t 1 è ss ss rt rt tr s é r t s 1 s 2 s rts rt r r rt à rt 1 rt r r rt à rt 2 rt r r rt à rt é r t s r s ss s r s ér ts tér 1 r r t r P r r r t st é rt é étr q tr è ss ss rt t è é

111 é s t ss ss rt r sé ts s st s ér r à q st s t r t s t str t é é P r 1 è t st é r t 1 s r s r rs r r t r tt é r t st éq t à t r é ts s P r tr é rt é étr q tr s 1 è s st s ér r à q st s t r t str P r tr s è t st é rt é étr q s r rt tr r ss st très r r rt è ré ér t 2 s rts t rt 2 s rts s t ér rs à s tr t r é r t rt tr r ss rr s t à é r t è t é r t 1 tr s è è rés t rt s ér r à r r rt è é ts s q st s t r r rt 1 tt t s str s s rès s 1 è t tr s è t sts r r s r ss rts s t és s r s r s s r s é étr q s t êtr s ér r à s r ss rts s s r é étr q s t s t tr t ré rt t r r t t r é r t t s r s rt ss s t sts s t ré sés r s t s r r r 2 ét é s s t ré é t q r t2 r r str st s r r ré r t t st st r ré rt t è s r ss rts r s rét s r r é étr q P r r r t sé r é s r t q st s térêt ét r tt r é étr q rés s t q rés t é ss r st t s é s r ss rts s t ré rt s s tt r ç à ré r s tr s s è s r ê t2 q r r t r ét é ré é t r ré r r P r r tér s t r t st stré t r ss P st q é s r r ss tér t2 r r tér s tt r é étr q P t t ss t ss q 3 P r é s r

112 é r t t r r é étr q rt t tér t à rt r s s s t ré s t r r st q é à s s r ss rts és t ts é r t é r é r ss r è é r é r ss r è r r s é r t r ss r t r s s s é r é s tr q t r ss ss rt r st ér t t rs s r rs t sts r t rés t t r st é é é r é ré ér t r é ts s r s r r 1 1 s 1tré tés t é r é r é r é r t r ré r s rr rs é r t s s t s à s q té s é é ts r és r s r ss rts ré t s t t t r tr r r rt 1 é é ts st r s r s é é ts s t s t és s r s 1tré tés r é étr q r t r é r t st ér t s é r é r ss t s 1tré tés r st ssé

113 é s t ss ss rt r sé s s r ré rt t s r ss rts s r é étr q s tr 1 s r ré rt t s r ss rts s s2stè ss ss rt tr rt r ré rt t s r ss rts è s s r tr t s tr 1 s r r r t r tr q t2 r r t s êtr ê s r s r é étr q r r s r ss rts s t és s r s t rs r t êtr s ér r r r rt à 1 s t és s r é étr q s s tr 1 s r r str tt t t rt s r r ss rts tr t ts rs s ts r s s s à s tr t s rés t s à s r ts é r t ç 1 ss r r r rt à ré té t r r s s str t ét r t s tr t s tr s t s r ss ss rt t s r é ts s st ré sé r é q t è é é tr t s é q s st é s s r é r é ét s tr t s é q s st ré sé r s 1 r s é étr q s ét é s s rt ré é t s tr 1 s t ré sés r r ré rt t s r ss rts s r é r t é s ét ts tr t s és s r é r é s t rés à 1 t s r é ts s t s tr t s s r r t r s é r ré s r s tr t s s r r t r st t q à ré sé t r r r r t r r ré s r tr t s ét s tr t s st ré sé s r r ss ù st q é r t P r r s tr t s s tt 3 r r t r r t st t sé tt r t st té r t r ét t r s2stè ss ss rt σ = k (l l 0 ) ù σ st tr t k st t r r q é à s s r ss rts t ǫ t é r

114 é r t t r r é étr q σ = E ǫ ù σ st tr t E st tér é sé t ǫ t é r s s tr t s σ yy s t ré sés r s tr s r rs t s rs s tr s t sts r tér s t s ré sés ré é t 3 / 3 / t 3 / r r s s ét ts tr t s σ yy tr s è s ss ss rt t é ts s s s tr t s s t ré sés à rt r s é r é s t s s s t ré é t s rés t ts tr t q q q s t t r r q é s2stè ss ss rt s tr t s s t s ê s r ss r r t r s tr t t s è ss ss rt r s ss r ss s r r r t r t rr r è é ts s rs t st ré s r tr t s σ yy r tr t2 îtr s r t 1 tr t s s r é étr q é r é s s st t s é t r s tr t s r q té s rés t ts é r t s t s ét ss ss rt s r tt t s ttr s rè s r tér s t é q t é étr q

115 s s ét é r t 2s q ss ss rt st s ét é r t r s tr 1 r t ré s r s s é r t r t t s r tér st q s tér 1 tr r t 1 ét s é r t s é étr q s s è ss ss rt r t s rés t ts t s ré q st s s ét r é ts s rès ttér t r ét ss ss rt t s s r s s é r s tér 1 s s ù s tér 1 é sés st ér r à P s tr 1 r tt t r tér s r è ss ss rt r s tér 1 r s tr P t P s éré s tr t é r ét ss ss rt st té r ré r à s s s s tr 1 tt rt s t ré sés q t ê r r à s s r ss rts s r é étr q t tr r 1 s s st t sé s rés t ts tr t q é r t r ét ss ss rt é ré rt t s r ss rts q s t s sé r ss rts ré rt s ç s è ss r t t r s rés t ts éq ts à 1 t s r é ts s ét q t ré ér r r r s rés t ts t s s s s t s tr 1 1 ss r r r 1 r ss rts éq t tér é sé t t s r s ré r ss st ré sé

116

117 tr é r t 2s q s2stè r s é étr q s r tr t é s t s é é ts t q é t é étr q s2stè r s é étr q s P r étr s2stè ss ss rt ss é t r t s tr s é é ts t q t r é étr t t èr ét s ét t t r ér s é s t é q r é é r t t ss s é é ts s r t t r s t t sq à r tr tr t r t t r r é r t t t s r é s t r é é r t t q

118 é r t 2s q s2stè r s é étr q s s s tr s ré é ts r t st é é r é s r t t r t t ét ér q st s r r é r t s é é ts q st t t t q s tr 1 s t r r s s tr r r é r t s2stè r s é étr q s s t é s r r é é r t t q r tr t é s t r é é r t t q t ss s st à é r r s r s é étr q s q r r rés t é é t t q 1 r tér st q s tér 1 r r s r é é s s q tr ét s q rr s t à ss s é é ts t q t 1 ét ts é r t t r t s q tr ét s s t ss s é é ts s r t tr s t t sq à r tr tr r t t r tr t t t sq à tt r r s té t q t ss é s t s ét s rt s t s q t êtr é s P r é s t q ét s r tér st q s tér 1 s é é ts t êtr ss é s 1 r s é étr q s r t r s é r t s ér t s P r ét r tér s t é é s tr st t sé s s r s é étr q s t t r r tr s s r t r é étr t s rs é r t r r t st s s rs t s é s t tr t t ét t rt s r s ét s s s st ré sé rés r s tr t s é étr q s t 2s q s r tér s t q ét r é é t s s r t à é r s é s s s é r t s r s é étr q s ss é s s s r s2stè é s t s é é ts t q t q st st t é é é ts é sés r s r s é é tr q s é s2stè s s tr 1 s 1 ét s à ré s r r é s r s2stè s t é t é étr q s2stè t r étr s2stè ss ss rt ss é é t é étr q s2stè r s é étr q s é r é étr q t s2stè r é étr q t êtr é sé ré t à rt r s t rs s t é é t t q é sé s r s s t s t s t é s s s r r rt 1 tr s ré r s2stè r é s r r èr ét r é é r t t q

119

120 é r t 2s q s2stè r s é étr q s ù M i r rés t ss rt rt t à n é é ts e j r A ej é s t t ss s r q ρ S st t sé r é r ss q rt r rt tér r tér s t é é t r r s r ss rts st ttr é à q r t rr s tér M i = n j=1 ( ρ SA ej 3 ) P r s r ss rts s t és s r r t èr 1 r s é étr q s s s2s tè r r r s rt t s tér 1 é sés st r s t r s t s t rs é s t é é t s r st s rt t s r é r t q é é t s t t tr é é t ss s rt s rés t s s r r t èr st é r t é t s tt s s ss s s r q s s 1 r s t r t r ss rts s r r t èr tr 1 r s é étr q s rsq r étr s2stè ss ss rt st ré sé s tr t s q ét r é é r t t q s t q é s s2stè r r é r t r r t r t s tr s é é ts t q é r t s rs r s é étr q s ss é s s s r s2stè q st s t r ér s tr s r s sq s s2stè s t r ss t rs é s t r é é r t é s t r s t s s tr t s t r ss t r é étr t tr s r s é étr q s q é s t ss ss rt rés t s tt t r è t r t tr s é é ts t q st rés té ét t rt st é s r s ér t s ét s q tr t t s r è s s s t r s r té r t t r t tr s r s s tr r

121

122 tn tn+1

123

124

125 / 3 / 3 / 6 /

126

127 é s t é q r é é r t t r r r ss r r t r é r é è ss ss rt rés t é rt s ér r à r r rt è t è ré ér t é rt st s éré tr rt t r s t s t rs r r t s t è ss ss rt r tt ét é s t t è ss ss rt t êtr é ré r s tt q tt r ss r r t r st té é t rt t s é ts r 3 t 1 s t q és r t r t s s é q r r tt 2 t ès é s t 1 q t é rt s tr s è s s t s t s è r t s rés t ts t s ré tr r t 1 è s ss ss rt t é ts s q r ss t rés t t s s t s s r s t t é rt tr s è s s 1 q r t s t s r s s rts s è s è r t q s ét s t t é r t r é étr q r t r r t r r r r t r é r é rt é r t è r s s r ss r r t r é r é rt é r t è r r ss r r t r é r é rt é r t è ét ét ss ss rt 2 ét s é ts s s s ré s s r s s è s ss ss rt t é ts s r é s t ét ss s r é s r tt ét è ss ss rt r s t s r t r r é étr q s t é s r tr r é étr q t è t s êtr t sé ét t sq 2 t ès s r t r s r ts st s r s té tt rr r r t s é r è q t êtr é ré r r tt 2 t ès r r rt 1 t s è ss ss rt s q è s r t é tr t

128 é r t 2s q s2stè r s é étr q s é ts s s t s t s ré s s 1 è s r tt t s r r é r t t r r t r tr ét t t t ét t é r t tt é t rés t rt r s t s t rs s s r s s rts s t s r s t r é étr t s tr s r s é étr q s r t s t t ét t s t r ér s tr s r s s è ss ss rt s r t s t s r s s t r é étr t tr s r s s r t s q r rés t tr t r r rt à é s t t r s t t sq à r tr tr rs 1 è ét r é é ètr t t tt ét s tr t r tr s t r t q é s t s r s é étr q s q s t s2stè s t s t é s s r t t t t tr t t t r é étr q r r é tr s éré é r é s t tt ét r é é rés t s t s s t s s é r t r é étr q rs s tr r tt t t t s rt r t t tr r é r t r é r t r é étr t tr s r s é étr q s tt t é r èr sq 1 r s q s r tr t s é r t s s 1 t s s t stré s r r ù s r s é étr q s é s t s é é ts t tr t s r é s t é é t r s éré é r r s r s é r s s é r t s t t r é ètr t é r q st s ér t r t é s t r tr t

129 é s t é q r é é r t s è ss ss rt r sé s t rs r r s t é s r q t r s 1 t s r s s s r s t r é étr t t èr tr r é r t r é r t t r r t t r é étr t t èr q rés t é s t P r ér r t t r s r t r é étr t tr s r s é étr q s é r s t é r s st é r s s é r s ts s s r é r t t r s st à s r r é ss r s r s é étr q s é r s q tr t s r é r r st t r r é r t r s s r s s r s é r s t t rès é r t t t r r s t s r tér st q s tér 1 s é é ts rs é r t s r s é étr q s q tt t s r é r q tt s ré sé r é s r tt ét s st à é r s2stè 1 r s é r s r t r s sé s s r tr t r é r r r s t é à ss s s2stè s r s r t r s t r s t t s t tr s té s rs r é r sq à t r é r s t s s r r r r 2 r r é r s tr 1 r s é r s t r é r P r è s 1 r s é étr q s r t r s s t é s t r s t t r st s t é s r r tt r èr st ê é s r r t é s t t r t st s t tr s té t r st str t s té è ss ss rt st str t s r s s2stè r s é étr q s rés té t tr s ss s s rt s s t é s à rt r r t ss q r r / 3 t r t / 3 r t s r rs s r ss rts r r 3 / st t sé r é s r s é é ts t t r r 6 / r é é t r

130 é r t 2s q s2stè r s é étr q s t sé st tr t t P r é s r t t tr s 1 r s é étr q s t ét t s t r ér s tr s r s é étr q s sé s r ét é étr q st t sé r tt q tt tr st tr s té r t r é r s t s té P r é s t é ts s s r s r t r s s t r tér sé s r tér t P t t P ss t r r r r tér r P t t P ss s r s r t r s s t é à é s s s r r rt 1 tr s à ét t t s t t ê q é r è ss ss rt st t sé P r tt é s t r ss r r t r s r st té é t q rr s à tr s t és t ts r tr s rés t ts é r t s t s q é s t P r è s 1 r s r t r s s é r t s t t r é ètr t r r r st s s r s 1 tr s è s ù é r s t s r s s r t é s t é s t ss ss rt é s t é ts s r é s t s tr r é r t 1 r s é r s P r r r s rés t ts q tt ré sé s tr s è s s t rs r r é s ré é t s t r r s s

131 é s t é q r é é r t P r r rt à t r é étr t t èr q tt ré sé é s t tr q r st rés t à tér r r r r r t r é étr t 2 P r tr s q tt s ré sé s é s t ss ss rt t ét r é ts s rés t t s t r é étr t t èr tr s 1 r s r t r s t r r r s t é r s t s s r r r s 1 r s r t r s s é r t s é s t tr r t à é s t ss ss rt ù é r s t s r t é rt r r rt à t é s t é ts s é r s t s r s é r s s é s t s r s 1 r s r t r s rès é r t st é à t é r t P r tr r r 2 t r 2 è ss ss rt tt r t r r s 1 r s é étr q s st éq t à st té s r q tt ré sé r é ts s sq é rt tr s 1 è s st ér r é à s s rés t ts é r t s r s r t r s tr s t r s t é st té tér è ss ss rt t s é s t q q s ét s t t é r t r t rés t t t s ré rés t t é r t r è ss ss rt st t s s t è r é ts s s s s s 1 r èr s ét s r ss t s rés t ts t s ré ét ét ét ss ss rt ts s r t r é étr t r s t s s r é r rt é r t ét ts s r t r 2 r r rt é r t ét ts s r t r 2 r r rt é r t ét ts s s s ré s s r s s è s t ss ss rt r é s t s r é r

132

133

134 6 / / 3 / / 3 P ext P ext L = L a + L i L a = R θ L L a L i θ P ext

135

136 é r t 2s q s2stè r s é étr q s P r r r s rés t ts ss s s tr s è s s t rs r r s t r r s s t é s t s rt ré ér r s r r t à é r é tr q r st s r é r é s t tr r t 1 é s t s ss ss rt t é ts s s r s s r s s r s é r é s t s s è s ss ss rt t é ts s r r rt à t ét tr q é rt tr s è s st ér r à r s r r ss tr q è ss ss rt rés t é rt ér r à r r rt à é r é t è t è é ts s rés t é rt ér r à t s ét st t s ré rs q é s t ss ss rt r t rés t t s s r tt ét r r t s s 1 q r t s t t ét t s t r ér s tr s r s é étr q s t t r t t r é r t r t r r é r s s q 2 t t r é étr t t èr t s ét é ts s r t t s éq t à ét ss ss rt ét ét ss ss rt ét é ts s r r t 2 r r rt é r t r r rt è r t r ss r r ss rt é r t r r rt è s s ré s s r s s è s t ss s ss rts r é s t r t t r r é r s ré s t s rt ts ét ss ss rt r ré s r ét r t t r tr q té s rés t ts r s r tt ét rt rt t r s t s t rs t r é étr t tr s 1 r s é étr q s s r é s s r t s 1 s r è t st s t è ss ss rt râ à t s t t ét t s t r ér s tr s r s

137

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140

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142

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146 s t P rs t s tt ét st té s s tr 1 1 tr t s é s t r t t q s tr 1 s r é r t s2stè ss ss rt tr tr r r s r ss rts t é st té tér é sé t r té r s t é étr q tr s r q té é r t s t s r é ss r r r t tr s r ètr s tér 1 t s q t P ss 2 ré st té t rs r tér s t é q s2stè ss ss rt s tr 1 t s r tt t s r s rés t rr s t q é r r q té s rés t ts é r t s é s s t s t ré rt t s r ss rts t s r s tr té s s r t r é r t q té é r t t s s rs r tér s t é étr q t s st t s é t r s q st r r r r s r q té rés t t t s t r rés r rr s r t str r t r q t2 r é étr q é r é è é r t r é é r t t q t s s st r sé s s tr 1 st sé s r è é étr q t t t é r t t r r é étr q t s t ét ss ss rt é s t r sé tè r t ét t s t r ér s tr s r s é étr q s r rés r r è t r é étr t t èr ré s t s é s t é r s tr 1 r é é st é sé q tr ét s r q s t r s t rs r r s s t é s r rt s t s é s t t s q t r é étr t t èr t s é r t s ér t s s r s é étr q s s t rs r tt t r r é s t é s t r sé t é s t r é ts s t s rés t ts s é r t s t s è r sé s t és r r s ét é ts s q t ré ér r s tr 1 ét r sé rt s é r t s r s t é st té s tér 1 s t r é étr t s r s é étr q s t ss té é s r t s s ét ts t t é s t r sé t s s ét ts é r t ét t rt st s t r r rt à é s t q r t q s ét ts t t q ét tt ér 1 q s t s s rt ts ét r sé r r rt à ét t s t s r st t t s r t s t str rt t r s q té rés t ts r s 1 t s t rs s sé t r s t s t rs à r s s s ét s rt t s r ttr ré r t s ê é s t r sé r t s rés t ts s r s éq ts à 1 é s t é ts s t é étr q ét r é r rs r s t s r

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